ในฟิสิกส์เชิง คำนวณ คำว่า แผนการพาความร้อน หมายถึง วิธี การแยก ส่วน เชิงตัวเลขประเภทหนึ่งสำหรับการแก้สม การเชิง อนุพันธ์ย่อยไฮเปอร์โบลิกในแผนการที่เรียกว่า upwind โดยทั่วไปตัวแปรที่เรียกว่า upstream จะถูกใช้ในการคำนวณอนุพันธ์ในฟิลด์การไหล กล่าวคือ อนุพันธ์จะถูกประมาณโดยใช้ชุดจุดข้อมูลที่มีอคติให้ "อยู่ต้นน้ำ" มากกว่าจุดสอบถาม เมื่อเทียบกับทิศทางการไหล ในทางประวัติศาสตร์ ต้นกำเนิดของวิธีการ upwind สามารถสืบย้อนไปถึงงานของCourant , Isaacson และ Rees ที่เสนอวิธีการ CIR ^{[ 1 ]}

เพื่ออธิบายวิธีการ ลองพิจารณาสมการการเคลื่อนที่ เชิงเส้นแบบหนึ่งมิติต่อไปนี้ ซึ่งอธิบายคลื่นที่แพร่กระจายไปตามแกน x ด้วยความเร็ว สมการนี้ยังเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับ การเคลื่อนที่เชิงเส้นแบบหนึ่งมิติด้วยลองพิจารณาจุดกริดทั่วไปในโดเมน ในโดเมนหนึ่งมิติ จะมีเพียงสองทิศทางที่เกี่ยวข้องกับจุดนั้นคือ ซ้าย (ไปทางลบอนันต์) และขวา (ไปทางบวกอนันต์) ถ้าเป็นค่าบวก คำตอบของคลื่นเดินทางของสมการข้างต้นจะแพร่กระจายไปทางขวา ด้านซ้ายเรียกว่า ด้าน ต้นลมและด้านขวาเรียก ว่าด้าน ตามลม ในทำนองเดียวกัน ถ้าเป็นค่าลบ คำตอบของคลื่นเดินทางจะแพร่กระจายไปทางซ้าย ด้านซ้ายเรียกว่า ด้าน ตามลมและด้านขวาเรียกว่า ด้าน ต้นลมถ้าวิธีการผลต่างจำกัดสำหรับการหาอนุพันธ์เชิงพื้นที่มีจุดในด้านต้นลมมากกว่า วิธีการนั้นเรียกว่าวิธีการที่เอนเอียงไปทางต้นลมหรือเรียกง่ายๆ ว่าวิธีการต้นลม $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+a{\frac {\partial u}{\partial x}}=0}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle a}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \partial u/\partial x}$

แผนการ upwind ที่ง่ายที่สุดที่เป็นไปได้คือแผนการ upwind ลำดับที่หนึ่ง ซึ่งกำหนดโดย^{[ 2 ]}

$${\displaystyle {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}+a{\frac {u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n}}{\Delta x}}=0\quad {\text{สำหรับ}}\quad a>0}$$

1

$${\displaystyle {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}+a{\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n}}{\Delta x}}=0\quad {\text{สำหรับ}}\quad a<0}$$

2

โดยที่หมายถึงมิติ และหมายถึงมิติ (เมื่อเปรียบเทียบกันแล้ว แผนการหาผลต่างส่วนกลางในสถานการณ์นี้จะมีลักษณะดังนี้ ไม่ว่าเครื่องหมายของ จะเป็นอย่างไรก็ตาม) ${\displaystyle n}$${\displaystyle t}$${\displaystyle i}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}+a{\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i-1}^{n}}{2\Delta x}}=0,}$$${\displaystyle a}$

การกำหนด สมการเงื่อนไขสองสมการ ( 1 ) และ ( 2 ) สามารถรวมและเขียนในรูปแบบกระชับได้ดังนี้ $${\displaystyle {\begin{aligned}a^{+}&=\max(a,0)\,,&a^{-}&={\text{min}}(a,0),\\[1ex]u_{x}^{-}&={\frac {u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n}}{\Delta x}}\,,&u_{x}^{+}&={\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n}}{\Delta x}}\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-\Delta t\left[a^{+}u_{x}^{-}+a^{-}u_{x}^{+}\right]}$$

3

สมการ (3) เป็นวิธีทั่วไปในการเขียนแผนการแบบ upwind ทุกประเภท

แผนการ upwind จะมีเสถียรภาพหากเงื่อนไข Courant–Friedrichs–Lewy (CFL) ต่อไปนี้เป็นไป ตามที่กำหนด ^{[ 3 ]}

$${\displaystyle c=\left|{\frac {a\Delta t}{\Delta x}}\right|\leq 1\quad {\text{ และ }}\quad 0\leq a.}$$

การวิเคราะห์อนุกรมเท ย์เลอร์ของวิธีการอัปวินด์ที่กล่าวถึงข้างต้นจะแสดงให้เห็นว่ามีความแม่นยำอันดับหนึ่งทั้งในเชิงพื้นที่และเวลา การวิเคราะห์เลขคลื่นที่ปรับปรุงแล้วแสดงให้เห็นว่าวิธีการอัปวินด์อันดับหนึ่งก่อให้เกิดการแพร่กระจาย/การกระจายตัวเชิงตัวเลข อย่างรุนแรง ในคำตอบเมื่อมีความชันสูง เนื่องจากความจำเป็นต้องใช้เลขคลื่นสูงเพื่อแสดงถึงความชันที่คมชัด

ความแม่นยำเชิงพื้นที่ของแผนการ upwind อันดับแรกสามารถปรับปรุงได้โดยการรวมจุดข้อมูล 3 จุดแทนที่จะเป็นเพียง 2 จุด ซึ่งให้สเตนซิลความแตกต่างจำกัดที่แม่นยำยิ่งขึ้นสำหรับการประมาณอนุพันธ์เชิงพื้นที่ สำหรับแผนการ upwind อันดับสอง จะกลายเป็นความแตกต่างย้อนหลัง 3 จุดในสมการ ( 3 ) และถูกกำหนดเป็น และคือความแตกต่างไปข้างหน้า 3 จุด ซึ่งกำหนดเป็น แผนการนี้มีการแพร่กระจายน้อยกว่าเมื่อเทียบกับแผนการที่แม่นยำอันดับแรกและเรียกว่าแผนการหาผลต่าง upwind เชิงเส้น (LUD) ${\displaystyle u_{x}^{-}}$$${\displaystyle u_{x}^{-}={\frac {3u_{i}^{n}-4u_{i-1}^{n}+u_{i-2}^{n}}{2\Delta x}}}$$${\displaystyle u_{x}^{+}}$$${\displaystyle u_{x}^{+}={\frac {-u_{i+2}^{n}+4u_{i+1}^{n}-3u_{i}^{n}}{2\Delta x}}}$$

• วิธีผลต่างจำกัด
• แผนการหาผลต่างทิศทางลมสำหรับการพาความร้อน
• แผนการของโกดูนอฟ