อ่าน 5 นาที
ตัวเลขที่ผ่านการตรวจสอบแล้ว
การคำนวณเชิงตัวเลขที่ผ่านการตรวจสอบ หรือ การคำนวณที่เข้มงวด การ คำนวณ ที่ ได้รับการยืนยัน การ คำนวณที่เชื่อถือได้ การตรวจสอบเชิงตัวเลข ( ภาษาเยอรมัน : Zuverlässiges Rechnen )...
ตัวเลขที่ผ่านการตรวจสอบแล้ว
การคำนวณเชิงตัวเลขที่ผ่านการตรวจสอบหรือการคำนวณที่เข้มงวดการคำนวณที่ ได้รับการยืนยัน การคำนวณที่เชื่อถือได้การตรวจสอบเชิงตัวเลข ( ภาษาเยอรมัน : Zuverlässiges Rechnen ) คือการคำนวณเชิงตัวเลขที่รวมถึงการประเมินข้อผิดพลาดที่เข้มงวดทางคณิตศาสตร์ (ข้อผิดพลาดจากการปัดเศษ ข้อผิดพลาดจากการตัดทอน ข้อผิดพลาดจากการแบ่งส่วนย่อย) และเป็นสาขาหนึ่งของการวิเคราะห์เชิงตัวเลขสำหรับการคำนวณมักใช้เลขคณิตช่วง ซึ่งผลลัพธ์ทั้งหมดแสดงด้วยช่วง การคำนวณเชิงตัวเลขที่ผ่านการ ตรวจ สอบถูกใช้โดย Warwick Tuckerเพื่อแก้ปัญหาข้อที่ 14 ของ Smale [ 1 ]และในปัจจุบันได้รับการยอมรับว่าเป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพสำหรับการศึกษาระบบพลวัต[ 2 ]
ความสำคัญ
การคำนวณโดยไม่ตรวจสอบความถูกต้องอาจส่งผลให้เกิดผลลัพธ์ที่ไม่พึงประสงค์ ตัวอย่างบางส่วนมีดังต่อไปนี้
ตัวอย่างของรัมป์
ในช่วงทศวรรษ 1980 Rump ได้สร้างตัวอย่าง[ 3 ] [ 4 ]เขาสร้างฟังก์ชันที่ซับซ้อนและพยายามหาค่าของมัน ผลลัพธ์ความแม่นยำเดี่ยว ความแม่นยำคู่ และความแม่นยำขยายดูเหมือนจะถูกต้อง แต่เครื่องหมายบวก-ลบของมันแตกต่างจากค่าจริง
โซลูชันแฟนทอม
Breuer–Plum–McKenna ใช้ระเบียบวิธีสเปกตรัมในการแก้ปัญหาค่าขอบเขตของสมการ Emden และรายงานว่าได้คำตอบที่ไม่สมมาตร[ 5 ]ผลการศึกษานี้ขัดแย้งกับการศึกษาเชิงทฤษฎีของ Gidas–Ni–Nirenberg ซึ่งอ้างว่าไม่มีคำตอบที่ไม่สมมาตร[ 6 ]คำตอบที่ Breuer–Plum–McKenna ได้รับนั้นเป็นคำตอบปลอมที่เกิดจากข้อผิดพลาดในการแบ่งส่วนย่อย นี่เป็นกรณีที่หายาก แต่บอกเราว่าเมื่อเราต้องการอภิปรายสมการเชิงอนุพันธ์อย่างเคร่งครัด คำตอบเชิงตัวเลขจะต้องได้รับการตรวจสอบ
อุบัติเหตุที่เกิดจากข้อผิดพลาดทางตัวเลข
ตัวอย่างต่อไปนี้เป็นที่รู้จักกันในชื่ออุบัติเหตุที่เกิดจากข้อผิดพลาดทางตัวเลข:
- ความล้มเหลวในการสกัดกั้นขีปนาวุธในสงครามอ่าว (พ.ศ. 2534) [ 7 ]
- ความล้มเหลวของ จรวด Ariane 5 (พ.ศ. 2539) [ 8 ]
- ข้อผิดพลาดในการนับผลการเลือกตั้ง[ 9 ]
หัวข้อหลัก
การศึกษาเกี่ยวกับตัวเลขที่ผ่านการตรวจสอบความถูกต้องแล้ว แบ่งออกเป็นสาขาต่างๆ ดังต่อไปนี้:
- การตรวจสอบในพีชคณิตเชิงเส้นเชิงตัวเลข
- การตรวจสอบความถูกต้องของวิธีแก้ปัญหาเชิงตัวเลขของระบบสมการเชิงเส้นที่กำหนด[ 10 ] [ 11 ]
- การตรวจสอบความถูกต้องของค่าไอเกนที่ได้มาเชิงตัวเลข[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]
- การคำนวณ ดีเทอร์มิแนนท์อย่างเข้มงวด[ 15 ]
- การตรวจสอบความถูกต้องของวิธีการแก้ปัญหาเชิงตัวเลขของสมการเมทริกซ์[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]
- การตรวจสอบฟังก์ชันพิเศษ :
- การตรวจสอบการคำนวณเชิงตัวเลข[ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]
- การตรวจสอบสมการไม่เชิงเส้น ( ทฤษฎีบท Kantorovich [ 34 ]วิธี Krawczyk วิธี Newton ช่วง และวิธี Durand–Kerner–Aberth ได้รับการศึกษา)
- การตรวจสอบสำหรับวิธีแก้ปัญหาของ ODE และ PDE [ 35 ] (สำหรับ PDE จะใช้ ความรู้เกี่ยวกับ การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน[ 34 ] )
- การตรวจสอบการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น[ 36 ]
- การตรวจสอบเรขาคณิตเชิงคำนวณ
- การตรวจสอบความถูกต้องในสภาพแวดล้อมการประมวลผลประสิทธิภาพสูง
เครื่องมือ
- ไลบรารีINTLAB สร้างขึ้นโดยใช้ MATLAB / GNU Octave
- ไลบรารี kvสร้างขึ้นด้วยภาษา C++ไลบรารีนี้สามารถสร้างเอาต์พุตความแม่นยำสูงหลายระดับโดยใช้GNU MPFR
- kvบนGitHub
- ไลบรารีArb สร้างขึ้นด้วย ภาษา Cมีความสามารถในการคำนวณฟังก์ชันพิเศษ ต่างๆ ได้ อย่างแม่นยำ
- arbบนGitHub
- CAPDคือชุดโมดูล C++ ที่ยืดหยุ่น ซึ่งออกแบบมาเพื่อคำนวณความคล้ายคลึงกันของเซต แผนที่ และค่าตัวเลขที่ผ่านการตรวจสอบแล้วสำหรับระบบพลวัตเป็นหลัก
- JuliaIntervalsบนGitHub (ไลบรารีที่สร้างโดยJulia )
- Boost Safe Numerics - ไลบรารี C++ แบบ header-only ที่ตรวจสอบความถูกต้องของค่าทดแทนสำหรับชนิดข้อมูลจำนวนเต็มพื้นฐานทั้งหมด
- ตัวเลขที่ปลอดภัยบนGitHub
ดูเพิ่มเติม
- การตรวจสอบพิสูจน์อักษรด้วยคอมพิวเตอร์
- เลขคณิตช่วง
- เลขคณิตเชิงเส้น
- อินท์แล็บ (ห้องปฏิบัติการช่วงเวลา)
- การหาผลต่างอัตโนมัติ
- วิกิบุ๊ก: การคำนวณเชิงตัวเลขและคณิตศาสตร์ที่เข้มงวด
- ทฤษฎีบทของคันโตโรวิช
- ทฤษฎีวงกลมเกอร์ชโกริน
- อุลริช ดับเบิลยู. คูลิช
อ่านเพิ่มเติม
- Tucker, Warwick (2011). Validated Numerics: A Short Introduction to Rigorous Computations. Princeton University Press .
- มัวร์, รามอน เอ็ดการ์ , เคียร์ฟอตต์, อาร์. เบเกอร์, คลาวด์, ไมเคิล เจ. (2009). บทนำสู่การวิเคราะห์ช่วงเวลาสมาคมคณิตศาสตร์อุตสาหกรรมและประยุกต์
- Rump, Siegfried M. (2010). วิธีการตรวจสอบ: ผลลัพธ์ที่เข้มงวดโดยใช้เลขคณิตจุดลอยตัวActa Numerica , 19, 287–449.
ลิงก์ภายนอก
- ตัวเลขที่ผ่านการตรวจสอบแล้วสำหรับคนเดินเท้า
- Reliable Computingคือวารสารอิเล็กทรอนิกส์แบบเปิดที่อุทิศให้กับการคำนวณเชิงตัวเลขที่มีความแม่นยำที่รับประกันได้ การกำหนดขอบเขตของช่วง การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์โดยใช้เลขคณิตจุดลอยตัว และทฤษฎีและการประยุกต์ใช้เลขคณิตช่วงและการปัดเศษแบบมีทิศทางอื่นๆ
สรุปเนื้อหา
ข้อมูลสำคัญจากบทความ
ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ ตัวเลขที่ผ่านการตรวจสอบแล้ว
การคำนวณเชิงตัวเลขที่ผ่านการตรวจสอบ หรือ การคำนวณที่เข้มงวด การ คำนวณ ที่ ได้รับการยืนยัน การ คำนวณที่เชื่อถือได้ การตรวจสอบเชิงตัวเลข ( ภาษาเยอรมัน : Zuverlässiges Rechnen )...
ความสำคัญ
การคำนวณโดยไม่ตรวจสอบความถูกต้องอาจส่งผลให้เกิดผลลัพธ์ที่ไม่พึงประสงค์ ตัวอย่างบางส่วนมีดังต่อไปนี้
ตัวอย่างของรัมป์
ในช่วงทศวรรษ 1980 Rump ได้สร้างตัวอย่าง [ 3 ] [ 4 ] เขาสร้างฟังก์ชันที่ซับซ้อนและพยายามหาค่าของมัน ผลลัพธ์ความแม่นยำเดี่ยว ความแม่นยำคู่ และความแม่นยำขยายดูเหมือนจะถูกต้อง แต่เครื่องหมายบวก-ลบของมันแตกต่างจากค่าจริง
โซลูชันแฟนทอม
Breuer–Plum–McKenna ใช้ระเบียบวิธีสเปกตรัมในการแก้ปัญหาค่าขอบเขตของสมการ Emden และรายงานว่าได้คำตอบที่ไม่สมมาตร [ 5 ] ผลการศึกษานี้ขัดแย้งกับการศึกษาเชิงทฤษฎีของ Gidas–Ni–Nirenberg ซึ่งอ้างว่าไม่มีคำตอบที่ไม่สมมาตร [ 6 ] คำตอบที่ Breuer–Plum–McKenna...