ในทางคณิตศาสตร์ ข้อสันนิฐานของ คุมเมอร์-แวนไดเวอร์หรือข้อสันนิฐานของแวนไดเวอร์กล่าวว่า จำนวน เฉพาะpไม่สามารถหารจำนวนชั้นh ของ ฟิลด์ย่อยจริงสูงสุด ได้${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\zeta _{p})^{+}}$ของสนามไซโคลโทมิ ก ที่ p ข้อสันนิษฐานนี้ถูกเสนอครั้งแรกโดยErnst Kummerเมื่อวันที่ 28 ธันวาคม 1849 และ 24 เมษายน 1853 ในจดหมายถึงLeopold Kroneckerซึ่งตีพิมพ์ซ้ำใน( Kummer 1975 , หน้า 84, 93, 123–124)และถูกค้นพบใหม่โดยอิสระราวปี 1920 โดยPhilipp FurtwänglerและHarry Vandiver ( 1946 , หน้า 576 ) 

ณ ปี 2011 ยังไม่มีหลักฐานที่ชัดเจนสนับสนุนหรือคัดค้านข้อสันนิษฐานนี้ และยังไม่แน่ชัดว่าข้อสันนิษฐานนี้เป็นจริงหรือเท็จ แม้ว่าตัวอย่างที่ขัดแย้งอาจมีน้อยมาก ก็ตาม

หมายเลขชั้นhของสนามไซโคลโทมิก ${\displaystyle \mathbb {Q} (\ซีตา _{p})}$เป็นผลคูณของจำนวนเต็ม สองจำนวน h และh ซึ่งเรียกว่าตัวประกอบแรกและตัวประกอบที่สองของจำนวนชั้น โดยที่h คือจำนวนชั้นของฟิลด์ย่อยจริงสูงสุด${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\zeta _{p})^{+}}$ของ สนามไซโคลโทมิกที่ pปัจจัยแรกh เป็นที่เข้าใจได้ดีและสามารถคำนวณได้ง่ายในรูปของเลขเบอร์นูลลีและโดยทั่วไปจะมีค่าค่อนข้างมาก ปัจจัยที่สองh ยังไม่เป็นที่เข้าใจดีและยากที่จะคำนวณอย่างชัดเจน และในกรณีที่คำนวณได้แล้ว ค่าของมันมักจะเล็ก

คุมเมอร์แสดงให้เห็นว่า ถ้าจำนวนเฉพาะpไม่หารจำนวนชั้นh ลงตัว ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ก็ จะเป็น จริงสำหรับเลขชี้กำลังp

ข้อสันนิษฐานของ Kummer–Vandiver กล่าวว่าpไม่หารตัวประกอบที่สองh² Kummer แสดงให้เห็นว่า ถ้าpหารตัวประกอบที่สองได้ p ก็จะหารตัวประกอบแรกได้ด้วยเช่นกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ข้อสันนิษฐานของ Kummer–Vandiver ใช้ได้กับเฉพาะปกติ (จำนวนเฉพาะที่pไม่หารตัวประกอบแรกได้)

Kummer ได้ตรวจสอบสมมติฐาน Kummer–Vandiver สำหรับpน้อยกว่า 200 และ Vandiver ได้ขยายสมมติฐานนี้ไปถึงpน้อยกว่า 600 Joe Buhler, Richard Crandall และReijo Ernvall และคณะ( 2001 )ได้ตรวจสอบสมมติฐานนี้สำหรับp < 12,000,000 Buhler & Harvey (2011)ได้ขยายสมมติฐานนี้ไปถึงจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่า 163,000,000 และHart, Harvey & Ong (2017)ได้ขยายสมมติฐานนี้ไปถึงจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่า2 ³¹ 

วอชิงตัน (1996 , หน้า158)อธิบายถึงข้อโต้แย้งเชิงความน่าจะเป็นแบบไม่เป็นทางการ โดยอาศัยสมมติฐานที่ค่อนข้างน่าสงสัยเกี่ยวกับการกระจายตัวอย่างเท่าเทียมกันของจำนวนชั้นโมดูลัสp ซึ่ง ชี้ให้เห็นว่าจำนวนของจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าxที่เป็นข้อยกเว้นของข้อสันนิษฐานของ Kummer–Vandiver อาจเติบโตเหมือน (1/2)log log xซึ่งเติบโตช้ามาก และชี้ให้เห็นว่าการคำนวณด้วยคอมพิวเตอร์ไม่ได้ให้หลักฐานมากนักสำหรับข้อสันนิษฐานของ Vandiver ตัวอย่างเช่น ข้อโต้แย้งเชิงความน่าจะเป็น (รวมกับการคำนวณสำหรับจำนวนเฉพาะขนาดเล็ก) ชี้ให้เห็นว่าควรคาดหวังเพียงตัวอย่างค้านประมาณ 1 ตัวอย่างในจำนวนเฉพาะ 10 ¹⁰⁰ตัวแรก ซึ่งชี้ให้เห็นว่าไม่น่าจะพบตัวอย่างค้านใด ๆ โดยการค้นหาแบบใช้กำลังทั้งหมดต่อไป แม้ว่าจะมีข้อยกเว้นจำนวนอนันต์ก็ตาม 

Schoof (2003)ได้ให้การคำนวณเชิงคาดการณ์เกี่ยวกับจำนวนชั้นของฟิลด์ไซโคลโทมิกจริงสำหรับจำนวนเฉพาะไม่เกิน 10000 ซึ่งชี้ให้เห็นอย่างชัดเจนว่าจำนวนชั้นไม่ได้กระจายแบบสุ่มตาม mod pแต่มีแนวโน้มที่จะมีค่าค่อนข้างน้อยและมักจะเป็น 1 ตัวอย่างเช่น หากสมมติสมมติฐานรีมันน์แบบทั่วไปจำนวนชั้นของฟิลด์ไซโคลโทมิกจริงสำหรับจำนวนเฉพาะpจะเป็น 1 สำหรับp < 163 และหารลงตัวด้วย 4 สำหรับp = 163 สิ่งนี้ชี้ให้เห็นว่าข้อโต้แย้งเชิงความน่าจะเป็นอย่างไม่เป็นทางการของวอชิงตันต่อข้อสันนิษฐานอาจทำให้เข้าใจผิดได้

Mihăilescu (2010)ได้นำเสนอข้อโต้แย้งเชิงอนุมานของวอชิงตันในรูปแบบที่ละเอียดขึ้น โดยชี้ให้เห็นว่าสมมติฐานของ Kummer–Vandiver น่าจะเป็นจริง

คุริฮาระ (1992)แสดงให้เห็นว่าข้อสันนิษฐานนี้เทียบเท่ากับข้อความในทฤษฎี K ทางพีชคณิตของจำนวนเต็ม กล่าวคือ K ( Z ) = 0 เมื่อใดก็ตามที่nเป็นพหุคูณของ 4 อันที่จริง จากข้อสันนิษฐานของคุมเมอร์-แวนไดเวอร์และทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมของเศษเหลือ ของบรรทัดฐาน ตามมาด้วยการคำนวณเชิงสันนิษฐานอย่างสมบูรณ์ของ กลุ่ม K สำหรับค่า nทั้งหมดดู รายละเอียด เพิ่มเติมได้ที่ข้อสันนิษฐานของควิลเลน-ลิชเทนบอม

• จำนวนเฉพาะปกติและจำนวนเฉพาะไม่ปกติ
• ทฤษฎีบทเฮอร์แบรนด์-ริเบต์