ในกลศาสตร์ระบบมวลแปรผันคือกลุ่มของสสารที่มีมวลเปลี่ยนแปลงตามเวลาการพยายามใช้กฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตันโดยตรงกับระบบดังกล่าว อาจทำให้สับสนได้ ^{[ 1 ] [ 2 ]}แทนที่จะเป็นเช่นนั้น การพึ่งพาเวลาของมวลmสามารถคำนวณได้โดยการจัดเรียงกฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตันใหม่และเพิ่มพจน์เพื่ออธิบายโมเมนตัมที่มวลที่เข้าหรือออกจากระบบนำมาด้วย สมการทั่วไปของการเคลื่อนที่ของมวลแปรผันเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }+\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}}$

โดยที่F _extคือแรงภายนอกสุทธิที่กระทำต่อวัตถุv _relคือความเร็วสัมพัทธ์ของมวลที่หลุดออกหรือเข้ามาเมื่อเทียบกับจุดศูนย์กลางมวลของวัตถุ และvคือความเร็วของวัตถุ^{[ 3 ]} ในดาราศาสตร์พลศาสตร์ซึ่งเกี่ยวข้องกับกลศาสตร์ของจรวดคำว่าv _relมักเรียกว่าความเร็วไอเสียที่มีประสิทธิภาพ^และใช้สัญลักษณ์v _e ^{[ 4} ]

สมการการเคลื่อนที่ของระบบมวลแปรผันมีวิธีการคำนวณที่แตกต่างกัน ขึ้นอยู่กับว่ามวลนั้นกำลังเข้าหรือออกจากวัตถุ (กล่าวคือ มวลของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่นั้นเพิ่มขึ้นหรือลดลงตามลำดับ) เพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น จึงถือว่าวัตถุทั้งหมดเป็นอนุภาคนอกจากนี้ยังถือว่ามวลไม่สามารถออกแรงภายนอกต่อวัตถุได้ นอกเหนือจากเหตุการณ์การดูดกลืน/การสลายมวล

การพิสูจน์ต่อไปนี้ใช้สำหรับวัตถุที่กำลังได้รับมวล ( การสะสมมวล ) วัตถุที่มีมวลm ที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา เคลื่อนที่ด้วยความเร็วvในเวลาเริ่มต้นtในขณะเดียวกัน อนุภาคที่มีมวล dm เคลื่อนที่ด้วยความเร็วuเมื่อเทียบกับพื้นดินโมเมนตัม เริ่มต้น สามารถเขียนได้ดังนี้^{[ 5 ]}

${\displaystyle \mathbf {p} _{\mathrm {1} }=m\mathbf {v} +\mathbf {u} \mathrm {d} m}$

ณ เวลาt + dt ให้ทั้งวัตถุหลักและอนุภาคเคลื่อนที่เข้าหากันจนกลายเป็นวัตถุที่มีความเร็วv + dv ดังนั้นโมเมนตัมใหม่ของระบบสามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle \mathbf {p} _{\mathrm {2} }=(m+\mathrm {d} m)(\mathbf {v} +\mathrm {d} \mathbf {v} )=m\mathbf {v} +m\mathrm {d} \mathbf {v} +\mathbf {v} \mathrm {d} m+\mathrm {d} ม\คณิตศาสตร์ {d} \คณิตศาสตร์ {v} }$

เนื่องจาก d m d vเป็นผลคูณของค่าเล็กๆ สองค่า จึงสามารถละเลยได้ ซึ่งหมายความว่าในช่วงเวลา d tโมเมนตัมของระบบจะเปลี่ยนแปลงไป

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {p} =\mathbf {p} _{\mathrm {2} }-\mathbf {p} _{\mathrm {1} }=(m\mathbf {v} +m\mathrm {d} \mathbf {v} +\mathbf {v} \mathrm {d} m)-(m\mathbf {v} +\mathbf {u} \mathrm {d} m)=m\mathrm {d} \mathbf {v} -(\mathbf {u} -\mathbf {v} )\mathrm {d} m}$

ดังนั้น ตามกฎข้อที่สองของนิวตัน

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}={\frac {m\mathrm {d} \mathbf {v} -(\mathbf {u} -\mathbf {v} )\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}-(\mathbf {u} -\mathbf {v} ){\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}}$

เมื่อพิจารณาว่าu - vคือความเร็วของ d m เทียบกับmซึ่งแสดงเป็นv _relสมการสุดท้ายนี้สามารถจัดเรียงได้ดังนี้^{[ 6 ]}

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }+\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}}$

ในระบบที่มวลถูกขับออกหรือระเหยออกจากวัตถุหลัก การคำนวณจะแตกต่างออกไปเล็กน้อย ณ เวลาtให้มวลmเคลื่อนที่ด้วยความเร็วvหมายความว่าโมเมนตัมเริ่มต้นของระบบคือ

${\displaystyle \mathbf {p} _{\mathrm {1} }=m\mathbf {v} }$

สมมติให้uคือความเร็วของมวลที่ถูกกัดกร่อน d mเทียบกับพื้นดิน ณ เวลาt + d tโมเมนตัมของระบบจะเป็นดังนี้

${\displaystyle \mathbf {p} _{\mathrm {2} }=(m-\mathrm {d} m)(\mathbf {v} +\mathrm {d} \mathbf {v} )+\mathbf {u} \mathrm {d} m=m\mathbf {v} +m\mathrm {d} \mathbf {v} -\mathbf {v} \mathrm {d} m-\mathrm {d} m\mathrm {d} \mathbf {v} +\mathbf {u} \mathrm {d} m}$

โดยที่uคือความเร็วของมวลที่ถูกดีดออกเมื่อเทียบกับพื้น และมีค่าเป็นลบเนื่องจากมวลที่ถูกกัดกร่อนเคลื่อนที่ในทิศทางตรงกันข้ามกับมวล ดังนั้นในช่วงเวลา d tโมเมนตัมของระบบจะเปลี่ยนแปลงไปตาม

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {p} =\mathbf {p} _{\mathrm {2} }-\mathbf {p} _{\mathrm {1} }=(m\mathbf {v} +m\mathrm {d} \mathbf {v} -\mathrm {d} \mathbf {m} \mathrm {d} \mathbf {v} -\mathbf {v} \mathrm {d} m+\mathbf {u} \mathrm {d} m)-(m\mathbf {v} )=m\mathrm {d} \mathbf {v} +[\mathbf {u} -(\mathbf {v} +\mathrm {d} \mathbf {v} )]\mathrm {d} m}$

ความเร็วสัมพัทธ์v _relของมวลที่ถูกกัดกร่อนเมื่อเทียบกับมวลmเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {rel} }=\mathbf {u} -(\mathbf {v} +\mathrm {d} \mathbf {v} )}$

ดังนั้น การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมจึงสามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {p} =m\mathrm {d} \mathbf {v} +\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }\mathrm {d} m}$

ดังนั้น ตามกฎข้อที่สองของนิวตัน

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}={\frac {m\mathrm {d} \mathbf {v} +\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}+\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}}$

ดังนั้น สมการสุดท้ายจึงสามารถจัดเรียงได้ดังนี้

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }-\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\mathrm {d} \mathbf {v} \over \mathrm {d} t}}$

ตามนิยามของความเร่งa = dv /dt ดังนั้นสมการการเคลื่อนที่ของระบบมวลแปรผันสามารถเขียนได้ ดังนี้

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }+\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m\mathbf {a} }$

ในวัตถุที่ไม่ถือว่าเป็นอนุภาคจะต้องแทนค่าa ด้วย a _cmซึ่งเป็นความเร่งของจุดศูนย์กลางมวลของระบบ หมายความว่า

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }+\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m\mathbf {a} _{\mathrm {cm} }}$

โดยทั่วไป แรงเนื่องจากแรงผลักจะถูกกำหนดไว้ดังนี้ ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {thrust} }=\mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}}$

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {ext} }+\mathbf {F} _{\mathrm {thrust} }=m\mathbf {a} _{\mathrm {cm} }}$

รูปแบบนี้แสดงให้เห็นว่าวัตถุสามารถมีความเร่งเนื่องจากแรงขับได้ แม้ว่าจะไม่มีแรงภายนอกมากระทำต่อมันก็ตาม ( F _ext = 0) สุดท้ายนี้ โปรดสังเกตว่า หากเรากำหนดให้F _netเป็นผลรวมของF _extและF _thrustแล้ว สมการจะกลับคืนสู่รูปแบบปกติของกฎข้อที่สองของนิวตัน:

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {net} }=m\mathbf {a} _{\mathrm {cm} }}$

สมการจรวดในอุดมคติหรือ สมการจรวด ของ Tsiolkovskyสามารถใช้ศึกษาการเคลื่อนที่ของยานพาหนะที่มีพฤติกรรมคล้ายจรวด (โดยที่วัตถุเร่งความเร็วตัวเองด้วยการปล่อยมวลส่วนหนึ่ง ซึ่งก็คือเชื้อเพลิงด้วยความเร็วสูง) สามารถอนุมานได้จากสมการการเคลื่อนที่ทั่วไปสำหรับระบบมวลแปรผันดังนี้: เมื่อไม่มีแรงภายนอกกระทำต่อวัตถุ ( F _ext = 0) สมการการเคลื่อนที่ของระบบมวลแปรผันจะลดลงเหลือ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}}$

หากสมมติว่าความเร็วของเชื้อเพลิงที่ถูกพุ่งออกมาv _relมีทิศทางตรงกันข้ามกับความเร่งของจรวด d v /d tสม การในรูป สเกลาร์สามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle -v_{\mathrm {rel} }{\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} t}}=m{\mathrm {d} v \over \mathrm {d} t}}$

ซึ่งสามารถตัด d t ออกได้เพื่อให้ได้

${\displaystyle -v_{\mathrm {rel} }\mathrm {d} m=m\mathrm {d} v\,}$

การอินทิเกรตโดยการแยกตัวแปรให้ ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle -v_{\mathrm {rel} }\int _{m_{0}}^{m_{1}}{\frac {\mathrm {d} m}{m}}=\int _{v_{0}}^{v_{1}}\mathrm {d} v}$

${\displaystyle v_{\mathrm {rel} }\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}=v_{1}-v_{0}}$

โดยการจัดเรียงใหม่และกำหนดให้ Δ v = v ₁ - v ₀จะได้สมการจรวดในอุดมคติในรูปแบบมาตรฐาน:

${\displaystyle \Delta v=v_{\mathrm {rel} }\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}}$

โดยที่m ₀คือมวลรวมเริ่มต้น รวมทั้งเชื้อเพลิงm ₁คือมวลรวมสุดท้ายv _relคือความเร็วไอเสียที่มีประสิทธิภาพ (มักใช้สัญลักษณ์v _e ) และ Δ vคือการเปลี่ยนแปลงความเร็วสูงสุดของยานพาหนะ (เมื่อไม่มีแรงภายนอกมากระทำ)