ในสถิติประยุกต์การแปลงที่ทำให้ความแปรปรวนคงที่คือการแปลงข้อมูลที่ถูกเลือกโดยเฉพาะเพื่อลดความซับซ้อนในการพิจารณาในการวิเคราะห์ข้อมูลเชิงสำรวจ กราฟิก หรือเพื่ออนุญาตให้ใช้เทคนิค การถดถอยแบบง่ายหรือ การวิเคราะห์ความแปรปรวน^{[ 1 ]}

จุดมุ่งหมายเบื้องหลังการเลือกใช้การแปลงที่ทำให้ความแปรปรวนคงที่ คือการหาฟังก์ชันง่ายๆƒที่จะนำไปใช้กับค่าxในชุดข้อมูลเพื่อสร้างค่าใหม่y = ƒ ( x )โดยที่ความแปรปรวนของค่าyไม่เกี่ยวข้องกับค่าเฉลี่ยของค่าเหล่านั้น ตัวอย่างเช่น สมมติว่าค่า x เป็นค่าที่ได้จากการแจกแจงปัวซง ที่แตกต่างกัน กล่าวคือ การแจกแจงแต่ละแบบมีค่าเฉลี่ยμ ที่แตกต่างกัน เนื่องจากสำหรับการแจกแจงปัวซง ความแปรปรวนจะเท่ากับค่าเฉลี่ย ดังนั้นความแปรปรวนจึงแปรผันไปตามค่าเฉลี่ย อย่างไรก็ตาม หากใช้การแปลงที่ทำให้ความแปรปรวนคงที่แบบง่ายๆ

${\displaystyle y={\sqrt {x}}\,}$

เมื่อนำการแปลงนี้ไปใช้ ความแปรปรวนของการสุ่มตัวอย่างที่เกี่ยวข้องกับการสังเกตจะเกือบคงที่: ดูรายละเอียดเพิ่มเติมและการแปลงทางเลือกอื่นๆ ได้ที่ การแปลง Anscombe

ในขณะที่การแปลงที่ทำให้ความแปรปรวนคงที่นั้นเป็นที่รู้จักกันดีสำหรับตระกูลการแจกแจงแบบพาราเมตริกบางตระกูล เช่น การแจกแจงปัวซงและการแจกแจงทวินามการวิเคราะห์ข้อมูลบางประเภทดำเนินการเชิงประจักษ์มากกว่า เช่น โดยการค้นหาการแปลงกำลังเพื่อหาการแปลงคงที่ที่เหมาะสม หรืออีกทางหนึ่ง หากการวิเคราะห์ข้อมูลแนะนำรูปแบบฟังก์ชันสำหรับความสัมพันธ์ระหว่างความแปรปรวนและค่าเฉลี่ย ก็สามารถใช้สิ่งนี้เพื่ออนุมานการแปลงที่ทำให้ความแปรปรวนคงที่ได้^{[ 2 ]}ดังนั้น หากสำหรับค่าเฉลี่ย μ

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=h(\mu ),\,}$

พื้นฐานที่เหมาะสมสำหรับการแปลงค่าความแปรปรวนให้คงที่คือ

${\displaystyle y\propto \int ^{x}{\frac {1}{\sqrt {h(\mu )}}}\,d\mu ,}$

โดยสามารถเลือกค่าคงที่ของการอินทิเกรตและตัวประกอบการปรับขนาดตามอำเภอใจได้เพื่อความสะดวก

ถ้าXเป็นตัวแปรสุ่มบวกและสำหรับค่าคงที่ s บางค่า ความแปรปรวนจะกำหนดโดยh ( μ ) = s²μ² ^แล้วค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะเป็นสัดส่วนกับค่าเฉลี่ย ซึ่งเรียกว่าข้อผิดพลาดสัมพัทธ์^คงที่ในกรณีนี้ การแปลงที่ทำให้ความแปรปรวนคงที่คือ

${\displaystyle y=\int ^{x}{\frac {d\mu }{\sqrt {s^{2}\mu ^{2}}}}={\frac {1}{s}}\ln(x)\propto \log(x)\,.}$

กล่าวคือ การแปลงที่ช่วยรักษาเสถียรภาพของความแปรปรวนคือการแปลงแบบลอการิทึม

^ถ้าความแปรปรวนกำหนดเป็นh ( μ ) = ^σ² + s²μ² แล้ว^ความแปรปรวนจะถูกครอบงำด้วยความแปรปรวนคงที่σ² ^{เมื่อ}| μ | มีค่าน้อยพอ และจะถูกครอบงำด้วยความแปรปรวนสัมพัทธ์s²μ²เมื่อ| μ ^|มี ค่ามากพอ ในกรณี ^นี้การแปลงที่ทำให้ความแปรปรวนคงที่ คือ

${\displaystyle y=\int ^{x}{\frac {d\mu }{\sqrt {\sigma ^{2}+s^{2}\mu ^{2}}}}={\frac {1}{s}}\ตัวดำเนินการ {asinh} {\frac {x}{\sigma /s}}\propto \ตัวดำเนินการ {asinh} {\frac {x}{\lambda }}\,.}$

กล่าวคือ การแปลงที่ทำให้ความแปรปรวนคงที่คือ ไซน์ไฮเปอร์โบลิ ก ผกผันของค่าที่ปรับขนาดแล้วx / λสำหรับλ = σ / s

การแปลงฟิชเชอร์เป็นการแปลงที่ช่วยรักษาเสถียรภาพของความแปรปรวนสำหรับสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์เพียร์สัน

ในที่นี้จะนำเสนอวิธีเดลต้าแบบไม่เป็นทางการ เพื่อแสดงให้เห็นถึงความเชื่อมโยงกับการแปลงค่าความแปรปรวนให้คงที่ สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีเดลต้า โปรดดูที่ วิธีเดลต้า

ให้เป็นตัวแปรสุ่ม โดยที่และกำหนดให้โดยที่เป็นฟังก์ชันปกติ การประมาณค่าเทย์เลอร์อันดับแรกสำหรับคือ: ${\displaystyle X}$${\displaystyle E[X]=\mu }$${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}}$${\displaystyle Y=g(X)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle Y=g(x)}$

${\displaystyle Y=g(X)\approx g(\mu )+g'(\mu )(X-\mu )}$

จากสมการข้างต้น เราจะได้ว่า:

${\displaystyle E[Y]\approx g(\mu )}$และ${\displaystyle \operatorname {Var} [Y]\approx \sigma ^{2}g'(\mu )^{2}}$

วิธีการประมาณค่านี้เรียกว่า วิธีเดลต้า

พิจารณาตัวแปรสุ่ม โดยที่และสังเกตความสัมพันธ์ระหว่างความแปรปรวนและค่าเฉลี่ย ซึ่งบ่งชี้ถึง ความแปรปรวนที่ไม่คงที่ (heteroscedasticity ) ในแบบจำลองเชิงเส้น ดังนั้น เป้าหมายคือการหาฟังก์ชันที่ทำให้มีความแปรปรวนที่ไม่ขึ้นกับค่าเฉลี่ย (อย่างน้อยก็โดยประมาณ) ${\displaystyle X}$${\displaystyle E[X]=\mu }$${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=h(\mu )}$${\displaystyle g}$${\displaystyle Y=g(X)}$

เมื่อกำหนดเงื่อนไขนี้ความเท่าเทียมกันนี้จะนำไปสู่สมการเชิงอนุพันธ์: ${\displaystyle \operatorname {Var} [Y]\approx h(\mu )g'(\mu )^{2}={\text{constant}}}$

${\displaystyle {\frac {dg}{d\mu }}={\frac {C}{\sqrt {h(\mu )}}}}$

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญนี้ เมื่อแยกตัวแปรแล้ว จะได้ คำตอบดังต่อไปนี้:

${\displaystyle g(\mu )=\int {\frac {C\,d\mu }{\sqrt {h(\mu )}}}}$

การแสดงออกครั้งสุดท้ายนี้ปรากฏครั้งแรกในเอกสารMS Bartlett ^{[ 3 ]}