ในเศรษฐศาสตร์เชิงปริมาณและการประยุกต์ใช้การวิเคราะห์อนุกรมเวลา หลายตัวแปรอื่นๆ การแยกส่วนความแปรปรวนหรือการแยกส่วนความแปรปรวนของข้อผิดพลาดการพยากรณ์ ( FEVD ) ใช้เพื่อช่วยในการตีความ แบบจำลอง เวกเตอร์อัตถารีเกรสชัน (VAR) เมื่อได้ทำการปรับแบบจำลองแล้ว^{[ 1 ]}การ แยก ส่วนความแปรปรวนบ่งชี้ปริมาณข้อมูลที่แต่ละตัวแปรมีส่วนร่วมต่อตัวแปรอื่นๆ ในอัตถารีเกรสชัน โดยจะกำหนดว่าความแปรปรวนของข้อผิดพลาดการพยากรณ์ของแต่ละตัวแปรสามารถอธิบายได้มากน้อยเพียงใดจากผลกระทบภายนอกต่อตัวแปรอื่นๆ

สำหรับ VAR (p) ของรูปแบบ

${\displaystyle y_{t}=\nu +A_{1}y_{t-1}+\dots +A_{p}y_{tp}+u_{t}}$ .

สามารถเปลี่ยนโครงสร้างนี้เป็น VAR(1) ได้โดยการเขียนในรูปแบบคู่ขนาน (ดูสัญลักษณ์เมทริกซ์ทั่วไปของ VAR(p))

${\displaystyle Y_{t}=V+AY_{t-1}+U_{t}}$ที่ไหน

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&\dots &A_{p-1}&A_{p}\\\mathbf {I} _{k}&0&\dots &0&0\\0&\mathbf {I} _{k}&&0&0\\\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &\mathbf {I} _{k}&0\\\end{bmatrix}}}$, , และ${\displaystyle Y={\begin{bmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{p}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle V={\begin{bmatrix}\nu \\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}}$${\displaystyle U_{t}={\begin{bmatrix}u_{t}\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}}$

โดยที่, และเป็นเวกเตอร์คอลัมน์มิติ และเป็นเมทริกซ์มิติ และ, และเป็นเวกเตอร์คอลัมน์มิติ ${\displaystyle y_{t}}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle u}$${\displaystyle k}$${\displaystyle A}$${\displaystyle kp}$${\displaystyle kp}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle V}$${\displaystyle U}$${\displaystyle kp}$

ค่าความคลาดเคลื่อนกำลังสองเฉลี่ยของการพยากรณ์แบบ h ขั้นตอนของตัวแปรคือ ${\displaystyle j}$

${\displaystyle \mathbf {MSE} [y_{j,t}(h)]=\sum _{i=0}^{h-1}\sum _{l=1}^{k}(e_{j}'\Theta _{i}e_{l})^{2}={\bigg (}\sum _{i=0}^{h-1}\Theta _{i}\Theta _{i}'{\bigg )}_{jj}={\bigg (}\sum _{i=0}^{h-1}\Phi _{i}\Sigma _{u}\Phi _{i}'{\bigg )}_{jj},}$

และที่ไหน

• ${\displaystyle e_{j}}$คือคอลัมน์ที่ j ^{ของเมท}ริกซ์และดัชนีหมายถึงองค์ประกอบนั้นของเมทริกซ์${\displaystyle I_{k}}$${\displaystyle jj}$

• ${\displaystyle \Theta _{i}=\Phi _{i}P,}$โดยที่ เป็น เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่างที่ได้จาก การแยกส่วน แบบCholeskyของโดยที่ เป็นเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของข้อผิดพลาด ${\displaystyle P}$${\displaystyle \Sigma _{u}}$${\displaystyle \Sigma _{u}=PP'}$${\displaystyle \Sigma _{u}}$${\displaystyle u_{t}}$

• ${\displaystyle \พี _{i}=JA^{i}J',}$โดยที่เป็นเมทริกซ์มิติขนาด${\displaystyle J={\begin{bmatrix}\mathbf {I} _{k}&0&\dots &0\end{bmatrix}},}$${\displaystyle J}$${\displaystyle k}$${\displaystyle kp}$

ปริมาณความแปรปรวนของข้อผิดพลาดในการพยากรณ์ของตัวแปรที่เกิดจากผลกระทบภายนอกต่อตัวแปรนั้น กำหนดโดย${\displaystyle j}$${\displaystyle l}$${\displaystyle \omega _{jl,h},}$

${\displaystyle \omega _{jl,h}=\sum _{i=0}^{h-1}(e_{j}'\Theta _{i}e_{l})^{2}/MSE[y_{j,t}(h)].}$

• การวิเคราะห์ความแปรปรวน