ในแคลคูลัสเวกเตอร์ศักย์เวกเตอร์คือสนามเวกเตอร์ที่มีเคิร์ลเป็นสนามเวกเตอร์ที่กำหนดให้ ซึ่งคล้ายคลึงกับศักย์สเกลาร์ซึ่งเป็นสนามสเกลาร์ที่มีเกรเดียนต์เป็นสนามเวกเตอร์ที่กำหนดให้

ตามหลักการแล้ว เมื่อกำหนดสนามเวกเตอร์มาแล้วศักย์เวกเตอร์คือสนามเวกเตอร์ที่มีคุณสมบัติว่า ${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle \mathbf {A} }$$${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {A} .}$$

ถ้าสนามเวกเตอร์ยอมรับศักย์เวกเตอร์แล้ว จากความเท่าเทียมกัน ( ไดเวอร์เจนซ์ของเคิร์ลเป็นศูนย์) จะได้ ซึ่งหมายความว่าต้องเป็นสนามเวกเตอร์โซเลนอยด์ ${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$$${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$$$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0,}$$${\displaystyle \mathbf {v} }$

ให้ เป็นสนามเวกเตอร์โซเลนอยด์ซึ่งสามารถหาอนุพันธ์อันดับสองได้อย่างต่อเนื่องสมมติว่าลดลงอย่างน้อยเร็วเท่ากับสำหรับกำหนดให้ โดยที่แทนเคิร์ลเทียบกับตัวแปรแล้วเป็นศักย์เวกเตอร์สำหรับนั่นคือ $${\displaystyle \mathbf {v} :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}$$${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} )}$${\displaystyle 1/\|\mathbf {x} \|}$${\displaystyle \|\mathbf {x} \|\to \infty }$$${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla _{\mathbf {s} }\times \mathbf {v} (\mathbf {s} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {s} \right\|}}\,d^{3}\mathbf {s} }$$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {s} }\times }$${\displaystyle \mathbf {s} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {v} .}$$

โดเมนอินทิกรัลสามารถจำกัดได้เฉพาะบริเวณที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายใดๆ ก็ได้นั่นคือก็เป็นศักย์เวกเตอร์ของเช่นกัน โดยที่ ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbf {A'} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$$${\displaystyle \mathbf {A'} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {\nabla _{\mathbf {s} }\times \mathbf {v} (\mathbf {s} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {s} \right\|}}\,d^{3}\mathbf {s} .}$$

ทฤษฎีบทนี้เป็นการขยายความทั่วไปของทฤษฎีบทดังกล่าว โดยเรียกว่า ทฤษฎีบท การแยกส่วนของเฮล์มโฮลทซ์ซึ่งกล่าวว่าสนามเวกเตอร์ใดๆ ก็สามารถแยกออกเป็นผลรวมของสนามเวกเตอร์โซเลนอยด์และสนามเวกเตอร์ไร้การหมุนได้

โดยเปรียบเทียบกับกฎของบิโอต์-ซาวาร์ตแล้วยังถือว่าเป็นศักยภาพเวกเตอร์สำหรับโดยที่ ${\displaystyle \mathbf {A''} (\mathbf {x} )}$${\displaystyle \mathbf {v} }$

$${\displaystyle \mathbf {A''} (\mathbf {x} )=\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {v} (\mathbf {s} )\times (\mathbf {x} -\mathbf {s} )}{4\pi \left|\mathbf {x} -\mathbf {s} \right|^{3}}}d^{3}\mathbf {s} }$$

เมื่อแทนค่า( ความหนาแน่นกระแส ) ด้วยและ( สนาม H ) ด้วยจะได้กฎของบิโอต์-ซาวาร์ต ${\displaystyle \mathbf {j} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {H} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$

ให้เป็นโดเมนรูปดาวที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด โดยที่เมื่อใช้ทฤษฎีบทของปวงกาเรสำหรับรูปแบบเชิงอนุพันธ์กับฟิลด์เวกเตอร์แล้วก็เป็นศักย์เวกเตอร์สำหรับโดยที่ ${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbf {A'''} (\mathbf {x} )}$${\displaystyle \mathbf {v} }$

$${\displaystyle \mathbf {A'''} (\mathbf {x} )=\int _{0}^{1}s\left[(\mathbf {x} -\mathbf {p} )\times \mathbf {v} (s\mathbf {x} +(1{-}s)\mathbf {p} )\right]ds}$$

ศักย์เวกเตอร์ที่สนามโซเลนอยด์ยอมรับนั้นไม่เป็นเอกลักษณ์ ถ้าเป็นศักย์เวกเตอร์สำหรับแล้ว ก็เป็นศักย์เวกเตอร์เช่นกัน โดยที่เป็นฟังก์ชันสเกลาร์ที่อนุพันธ์ต่อเนื่องใดๆ สิ่งนี้เป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าเคิร์ลของเกรเดียนต์เป็นศูนย์ ${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$$${\displaystyle \mathbf {A} +\nabla f,}$$${\displaystyle f}$

ความไม่เป็นเอกลักษณ์นี้ นำไปสู่ระดับของอิสระในการกำหนดสูตรของอิเล็กโทรไดนามิกส์ หรืออิสระในการเลือกเกจ และจำเป็นต้องเลือกเกจ

• ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสเวกเตอร์
• ศักย์เวกเตอร์แม่เหล็ก
• สนามเวกเตอร์โซเลนอยด์
• รูปแบบเชิงอนุพันธ์แบบปิดและแม่นยำ