ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในสาขาการจัดเรียงและการรวม (combinatorics)คู่ ฟังก์ชัน Wilf–Zeilbergerหรือคู่ WZคือคู่ฟังก์ชันที่สามารถใช้รับรองเอกลักษณ์ เชิงการจัดเรียงและการรวมบางอย่างได้ คู่ WZ ตั้งชื่อตามHerbert S. WilfและDoron Zeilbergerและมีบทบาทสำคัญในการประเมินผลรวมจำนวนมากที่เกี่ยวข้องกับสัมประสิทธิ์ทวินาม แฟกทอ เรียลและโดยทั่วไปแล้วอนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริก ใดๆ สามารถใช้คู่ WZ ของฟังก์ชันเพื่อหาผลรวมที่เทียบเท่าและง่ายกว่ามาก แม้ว่าการหาคู่ WZ ด้วยมือจะทำได้ยากในกรณีส่วนใหญ่ แต่อัลกอริทึมของ Gosperก็เป็นวิธีหนึ่งในการหาคู่ WZ ของฟังก์ชัน และสามารถนำไปใช้ในโปรแกรมการจัดการสัญลักษณ์ได้

ฟังก์ชันสองฟังก์ชันFและGจะประกอบกันเป็นคู่ WZ ได้ก็ต่อเมื่อเงื่อนไขสองข้อต่อไปนี้เป็นจริง:

${\displaystyle F(n+1,k)-F(n,k)=G(n,k+1)-G(n,k),}$

${\displaystyle \lim _{M\to \pm \infty }G(n,M)=0.}$

จากนิยามจึงสรุปได้ว่า

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty [F(n+1,k)-F(n,k)]=0}$

เนื่องจากฟังก์ชันGเป็นแบบกล้องโทรทรรศน์ :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }[F(n+1,k)-F(n,k)]&{}=\lim _{M\to \infty }\sum _{k=-M}^{M}[F(n+1,k)-F(n,k)]\\&{}=\lim _{M\to \infty }\sum _{k=-M}^{M}[G(n,k+1)-G(n,k)]\\&{}=\lim _{M\to \infty }[G(n,M+1)-G(n,-M)]\\&{}=0-0\\&{}=0.\end{aligned}}}$

ดังนั้น,

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }F(n+1,k)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }F(n,k),}$

นั่นคือ

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }F(n,k)={\text{const}}.}$

ค่า คงที่นี้ไม่ขึ้นอยู่กับnสามารถหาค่าได้โดยการแทนค่าn = n สำหรับn ค่า ใดค่าหนึ่ง

ถ้าFและGเป็นคู่ WZ แสดงว่าทั้งสองคู่นี้สอดคล้องกับความสัมพันธ์ต่อไปนี้

${\displaystyle G(n,k)=R(n,k)F(n,k-1),}$

ที่ไหน${\displaystyle R(n,k)}$เป็นฟังก์ชันตรรกยะของnและkและเรียกว่าใบรับรองการพิสูจน์ WZ

สามารถใช้คู่ Wilf–Zeilberger เพื่อตรวจสอบเอกลักษณ์ได้

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{n \choose k}{2k \choose k}4^{nk}={2n \choose n}.}$

หารเอกลักษณ์ด้วยด้านขวามือของมัน:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}{n \choose k}{2k \choose k}4^{nk}}{2n \choose n}}=1.}$

ใช้ใบรับรองหลักฐาน

${\displaystyle R(n,k)={\frac {2k-1}{2n+1}}}$

เพื่อตรวจสอบว่าด้านซ้ายมือไม่ขึ้นอยู่กับnโดยที่

${\displaystyle {\begin{aligned}F(n,k)&={\frac {(-1)^{k}{n \choose k}{2k \choose k}4^{nk}}{2n \choose n}},\\G(n,k)&=R(n,k)F(n,k-1).\end{aligned}}}$

ตอนนี้FและGจับคู่กันแบบ Wilf–Zeilberger แล้ว

เพื่อพิสูจน์ว่าค่าคงที่ทางด้านขวามือของสมการเอกลักษณ์คือ 1 ให้แทนค่าn = 0เป็นต้น

• วิธี Almkvist–Zeilbergerเป็นวิธีที่คล้ายคลึงกันกับวิธี WZ สำหรับการประเมินอินทิกรัลจำกัด
• รายชื่อเอกลักษณ์ทางคณิตศาสตร์

• อัลกอริทึมของ Gosperนำเสนอวิธีการสร้างคู่ WZ เมื่อมีอยู่จริง
• เว็บไซต์ Generatingfunctionologyให้รายละเอียดเกี่ยวกับวิธีการรับรองตัวตนแบบ WZ