ในระบบพลวัตและทฤษฎีเออร์โกดิกแนวคิดของเซตที่เคลื่อนที่ไปมา (wandering set)เป็นการทำให้แนวคิดเรื่องการเคลื่อนที่และการผสมผสาน เป็นรูปธรรม เมื่อระบบพลวัตมีเซตที่เคลื่อนที่ไปมาที่มีขนาดไม่เป็นศูนย์ ระบบนั้นจะเป็นระบบที่สูญเสียพลังงาน (dissipative system ) ซึ่งตรงข้ามกับ ระบบอนุรักษ์พลังงาน (conservative system)ซึ่ง ทฤษฎีบท การเกิดซ้ำของปวงกาเร (Poincaré recurrence theorem ) สามารถนำไปใช้ได้ โดยสัญชาตญาณแล้ว ความเชื่อมโยงระหว่างเซตที่เคลื่อนที่ไปมาและการสูญเสียพลังงานนั้นเข้าใจได้ง่าย: หากส่วนหนึ่งของปริภูมิเฟส "เคลื่อนที่ออกไป" ในระหว่างการวิวัฒนาการตามเวลาปกติของระบบ และไม่เคยถูกเยี่ยมชมอีกเลย ระบบนั้นจะเป็นระบบที่สูญเสียพลังงาน ภาษาของเซตที่เคลื่อนที่ไปมาสามารถใช้เพื่อให้คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ที่แม่นยำแก่แนวคิดของระบบที่สูญเสียพลังงานได้ แนวคิดของเซตที่เคลื่อนที่ไปมาในปริภูมิเฟสได้รับการแนะนำโดยเบิร์คฮอฟฟ์ (Birkhoff ) ในปี 1927

นิยามทั่วไปของเซตที่เคลื่อนที่ไปมาในเวลาไม่ต่อเนื่องเริ่มต้นด้วยแผนที่ของปริภูมิเชิงทอพอโลยีXจุดหนึ่งเรียกว่าจุดเคลื่อนที่ไปมาถ้ามีบริเวณใกล้เคียงUของxและจำนวนเต็มบวกNเช่นนั้น สำหรับทุกค่าแผนที่แบบวนซ้ำจะไม่ตัดกัน: ${\displaystyle f:X\to X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle n>N}$

${\displaystyle f^{n}(U)\cap U=\varnothing .}$

นิยามที่สะดวกกว่านั้นกำหนดเพียงแค่ว่าจุดตัดต้องมีมาตรเป็นศูนย์ กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น นิยามนี้กำหนดให้Xเป็นปริภูมิการวัด กล่าว คือ เป็นส่วนหนึ่ง ของเซตบอเรลสามตัวและมีมาตรเช่นนั้น ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \mu \left(f^{n}(U)\cap U\right)=0,}$

สำหรับทุกๆในทำนองเดียวกัน ระบบเวลาต่อเนื่องจะมีแผนที่ที่กำหนดวิวัฒนาการหรือการไหลของระบบตามเวลา โดยที่ตัวดำเนินการวิวัฒนาการตามเวลา คือ การกระทำของกลุ่มอาเบเลียนต่อเนื่องแบบพารามิเตอร์เดียวบนX : ${\displaystyle n>N}$${\displaystyle \varphi _{t}:X\to X}$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi _{t+s}=\varphi _{t}\circ \varphi _{s}.}$

ในกรณีเช่นนี้ จุดที่เคลื่อนที่ไปมาจะมีบริเวณใกล้เคียงUของxและเวลาTโดยที่สำหรับทุกเวลาแผนที่ที่เปลี่ยนแปลงไปตามเวลาจะมีขนาดเป็นศูนย์: ${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle t>T}$

${\displaystyle \mu \left(\varphi _{t}(U)\cap U\right)=0.}$

คำจำกัดความที่เรียบง่ายเหล่านี้สามารถขยายไปสู่การกระทำของกลุ่มของกลุ่มเชิงทอพอโลยีได้ อย่างสมบูรณ์ ให้ เป็นปริภูมิการวัด นั่นคือเซตที่มีการวัด ที่กำหนดไว้บน เซตย่อยบอเรลของมันให้ เป็นกลุ่มที่กระทำบนเซตนั้น เมื่อกำหนดจุดเซต ${\displaystyle \Omega =(X,\Sigma ,\mu )}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle x\in \Omega }$

${\displaystyle \{\gamma \cdot x:\gamma \in \Gamma \}}$

เรียกว่าวิถี โคจรหรือวงโคจรของจุดx

องค์ประกอบหนึ่งเรียกว่าจุดเร่ร่อนถ้ามีบริเวณใกล้เคียงUของxและบริเวณใกล้เคียงVของเอกลักษณ์ใน x เช่นนั้น ${\displaystyle x\in \Omega }$${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \mu \left(\gamma \cdot U\cap U\right)=0}$

สำหรับทุกคน ${\displaystyle \gamma \in \Gamma -V}$

จุดที่ไม่เคลื่อนที่คือสิ่งที่ตรงกันข้าม ในกรณีแบบไม่ต่อเนื่องจุดจะไม่เคลื่อนที่ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกเซตเปิดUที่บรรจุxและทุกN > 0 จะมีบางn > Nที่ทำให้ ${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle \mu \left(f^{n}(U)\cap U\right)>0.}$

คำจำกัดความที่คล้ายกันนี้ใช้ได้กับทั้งการกระทำกลุ่มแบบต่อเนื่องและแบบไม่ต่อเนื่อง

เซตเร่ร่อน (Wandering set) คือกลุ่มของจุดที่เร่ร่อน กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น เซตย่อยWของจะเป็นเซตเร่ร่อนภายใต้การกระทำของกลุ่มไม่ต่อเนื่อง (discrete group) ก็ต่อ เมื่อW เป็นเซตที่วัดได้ และถ้าสำหรับ จุดตัด ใดๆ ของ ∂W และ ∂W ...${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \gamma \in \Gamma -\{e\}}$

${\displaystyle \gamma W\cap W}$

เป็นเซตที่มีขนาดเป็นศูนย์

แนวคิดของเซตเคลื่อนที่นั้นในแง่หนึ่งเป็นคู่ตรงข้ามกับแนวคิดที่แสดงออกในทฤษฎีบทการเกิดซ้ำของปวงกาเร ถ้ามีเซตเคลื่อนที่ที่มีขนาดเป็นบวก การกระทำของตัวดำเนินการนั้นจะเรียกว่าเป็นการ กระทำแบบ กระจายพลังงานและระบบพลวัตนั้นจะเรียกว่าเป็นระบบกระจายพลังงานถ้าไม่มีเซตเคลื่อนที่ดังกล่าว การกระทำนั้นจะเรียกว่าเป็นการกระทำแบบอนุรักษ์พลังงานและระบบนั้นจะเป็นระบบอนุรักษ์พลังงานตัวอย่างเช่น ระบบใดๆ ที่ทฤษฎีบทการเกิดซ้ำของปวงกาเรเป็นจริง จะไม่สามารถมีเซตเคลื่อนที่ที่มีขนาดเป็นบวกได้ตามนิยาม และดังนั้นจึงเป็นตัวอย่างของระบบอนุรักษ์พลังงาน ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle (\โอเมก้า ,\แกมมา )}$

กำหนดวิถีการเคลื่อนที่ของเซตเร่ร่อนWดังนี้

${\displaystyle W^{*}=\bigcup _{\gamma \in \Gamma }\;\;\gamma W.}$

กล่าวได้ว่าการกระทำของ เป็นการกระทำที่สลายตัวอย่างสมบูรณ์หากมีเซตเร่ร่อนWที่มีขนาดเป็นบวก โดยที่วงโคจรเกือบทุกที่เท่ากับนั่นคือ ถ้า ${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle W^{*}}$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \Omega -W^{*}}$

เป็นเซตที่มีขนาดเป็นศูนย์

การแยกส่วนแบบฮอปฟ์กล่าวว่าปริภูมิการวัด ทุกปริภูมิ ที่มีการแปลงที่ไม่เอกฐานสามารถแยกส่วนออกเป็นเซตอนุรักษ์ที่ไม่เปลี่ยนแปลง และเซตเร่ร่อนที่ไม่เปลี่ยนแปลงได้

• ทฤษฎีบทโดเมนไม่เคลื่อนที่