ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันโมดูลาร์ของเวเบอร์เป็นกลุ่มของฟังก์ชันสามฟังก์ชัน ได้แก่f , f 1 _และ f 2 _[ ^{หมายเหตุ 1 ]}ซึ่งศึกษาโดยไฮน์ริช มาร์ติน เวเบอร์

ให้τเป็นองค์ประกอบของระนาบครึ่งบนแล้วฟังก์ชันของเวเบอร์คือ ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {f}}(\tau )&=q^{-{\frac {1}{48}}}\prod _{n>0}(1+q^{n-1/2})={\frac {\eta ^{2}(\tau )}{\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}\eta (2\tau )}}=e^{-{\frac {\pi i}{24}}}{\frac {\eta {\big (}{\frac {\tau +1}{2}}{\big )}}{\eta (\tau )}},\\{\mathfrak {f}}_{1}(\tau )&=q^{-{\frac {1}{48}}}\prod _{n>0}(1-q^{n-1/2})={\frac {\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}}{\eta (\tau )}},\\{\mathfrak {f}__{2}(\tau )&={\sqrt {2}}\,q^{\frac {1}{24}}\prod _{n>0}(1+q^{n})={\frac {{\sqrt {2}}\,\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}.\end{aligned}}}$

นี่คือคำจำกัดความในบทความของ Duke เรื่อง"เศษส่วนต่อเนื่องและฟังก์ชันโมดูลาร์" เช่นกัน ^{[หมายเหตุ 2 ]}ฟังก์ชันดังกล่าวคือฟังก์ชันDedekind etaและควรตีความว่าคำอธิบายในฐานะผลหารบ่งบอกโดยทันทีว่า ${\displaystyle \eta (\tau )}$${\displaystyle (e^{2\pi i\tau })^{\alpha }}$${\displaystyle e^{2\pi i\tau \alpha }}$${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle {\mathfrak {f}}(\tau ){\mathfrak {f}}_{1}(\tau ){\mathfrak {f}}_{2}(\tau )={\sqrt {2}}.}$

การแปลงτ  → –1/ τจะตรึงfและสลับf ₁และf ₂ดังนั้นปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อน 3 มิติที่มีฐานf , f ₁และf ₂จะถูกกระทำโดยกลุ่ม SL ₂ ( Z )

หรืออีกทาง เลือก หนึ่ง ให้เป็นชื่อสกุล${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathfrak {f}}(q)&=q^{-{\frac {1}{24}}}\prod _{n>0}(1+q^{2n-1})={\frac {\eta ^{2}(\tau )}{\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}\eta (2\tau )}},\\{\mathfrak {f}}_{1}(q)&=q^{-{\frac {1}{24}}}\prod _{n>0}(1-q^{2n-1})={\frac {\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}}{\eta (\tau )}},\\{\mathfrak {f}}_{2}(q)&={\sqrt {2}}\,q^{\frac {1}{12}}\prod _{n>0}(1+q^{2n})={\frac {{\sqrt {2}}\,\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}.\end{aligned}}}$

รูปแบบของผลคูณอนันต์มีการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อย แต่เนื่องจากผลหารอีตาคงเดิม ดังนั้นตราบใดที่รูปแบบที่สองใช้โนมประโยชน์ของรูปแบบที่สองคือการแสดงความเชื่อมโยงและสัญลักษณ์ที่สอดคล้องกับฟังก์ชัน G และ g ของรามานุจันและฟังก์ชันทีตาของจาโคบีซึ่งทั้งสองอย่างใช้โนมตามธรรมเนียม ${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{i}(\tau )={\mathfrak {f}}_{i}(q)}$${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$

โดยยังคงใช้ชื่อเดิมกำหนดนิยามของฟังก์ชัน G และ g ของรามานุจันดังนี้ ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}2^{1/4}G_{n}&=q^{-{\frac {1}{24}}}\prod _{n>0}(1+q^{2n-1})={\frac {\eta ^{2}(\tau )}{\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}\eta (2\tau )}},\\2^{1/4}g_{n}&=q^{-{\frac {1}{24}}}\prod _{n>0}(1-q^{2n-1})={\frac {\eta {\big (}{\tfrac {\tau }{2}}{\big )}}{\eta (\tau )}}.\end{aligned}}}$

ค่าผลหารอีตาทำให้ความเชื่อมโยงกับฟังก์ชันเวเบอร์สองฟังก์ชันแรกปรากฏชัดเจนในทันที ในนาม ให้สมมติว่าจากนั้น ${\displaystyle \tau ={\sqrt {-n}}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}2^{1/4}G_{n}&={\mathfrak {f}}(q)={\mathfrak {f}}(\tau ),\\2^{1/4}g_{n}&={\mathfrak {f}}_{1}(q)={\mathfrak {f}}_{1}(\tau ).\end{aligned}}}$

รามานุจันพบความสัมพันธ์มากมายระหว่างและซึ่งบ่งชี้ถึงความสัมพันธ์ที่คล้ายคลึงกันระหว่างและตัวอย่างเช่น อัตลักษณ์ของเขา ${\displaystyle G_{n}}$${\displaystyle g_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {f}}(q)}$${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{1}(q)}$

${\displaystyle (G_{n}^{8}-g_{n}^{8})(G_{n}\,g_{n})^{8}={\tfrac {1}{4}},}$

นำไปสู่

${\displaystyle {\big [}{\mathfrak {f}}^{8}(q)-{\mathfrak {f}}_{1}^{8}(q){\big ]}{\big [}{\mathfrak {f}}(q)\,{\mathfrak {f}}_{1}(q){\big ]}^{8}={\big [}{\sqrt {2}}{\big ]}^{8}.}$

สำหรับค่าn จำนวนมาก รามานุจันยังได้จัดทำตารางสำหรับn คี่ และสำหรับn คู่ ซึ่งทำให้ได้ค่าประมาณที่ชัดเจนของและ โดยอัตโนมัติ ตัวอย่างเช่น การใช้ซึ่งเป็นตัวแยกแยะที่ไม่มีกำลังสองบางส่วนที่มีหมายเลขชั้น 2 ${\displaystyle G_{n}}$${\displaystyle g_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {f}}(q)}$${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{1}(q)}$${\displaystyle \tau ={\sqrt {-5}},\,{\sqrt {-13}},\,{\sqrt {-37}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}G_{5}&=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{1/4},\\G_{13}&=\left({\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}\right)^{1/4},\\G_{37}&=\left(6+{\sqrt {37}}\right)^{1/4},\end{aligned}}}$

และเราสามารถเข้าใจสิ่งเหล่านี้ได้ง่ายๆ รวมถึงตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่าที่พบในสมุดบันทึกของรามานุจันด้วย ${\displaystyle {\mathfrak {f}}(\tau )=2^{1/4}G_{n}}$

โดยทั่วไปแล้ว ข้อโต้แย้งของฟังก์ชันเธต้าของจาโคบี แบบคลาสสิก คือ โนม${\displaystyle q=e^{\pi i\tau },}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{10}(0;\tau )&=\theta _{2}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{(n+1/2)^{2}}={\frac {2\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )}},\\[2pt]\vartheta _{00}(0;\tau )&=\theta _{3}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\;=\;{\frac {\eta ^{5}(\tau )}{\eta ^{2}\left({\frac {\tau }{2}}\right)\eta ^{2}(2\tau )}}={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {\tau +1}{2}}\right)}{\eta (\tau +1)}},\\[3pt]\vartheta _{01}(0;\tau )&=\theta _{4}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {\tau }{2}}\right)}{\eta (\tau )}}.\end{aligned}}}$

เมื่อหารด้วยและสังเกตด้วยว่า แล้วพวกมันก็คือค่ากำลังสองของฟังก์ชันเวเบอร์นั่นเอง${\displaystyle \eta (\tau )}$${\displaystyle \eta (\tau )=e^{\frac {-\pi i}{\,12}}\eta (\tau +1)}$${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{i}(q)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\theta _{2}(q)}{\eta (\tau )}}&={\mathfrak {f}}_{2}(q)^{2},\\[4pt]{\frac {\theta _{4}(q)}{\eta (\tau )}}&={\mathfrak {f}}_{1}(q)^{2},\\[4pt]{\frac {\theta _{3}(q)}{\eta (\tau )}}&={\mathfrak {f}}(q)^{2},\end{aligned}}}$

โดยฟังก์ชันทีตาที่มีตัวห้อยเป็นเลขคู่จะถูกระบุไว้เป็นอันดับแรกโดยเจตนา โดยใช้เอกลักษณ์ของจาโคบี ที่รู้จักกันดี ซึ่งมีตัวห้อยเป็นเลขคู่ทางด้านซ้ายมือ

${\displaystyle \theta _{2}(q)^{4}+\theta _{4}(q)^{4}=\theta _{3}(q)^{4};}$

ดังนั้น,

${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{2}(q)^{8}+{\mathfrak {f}}_{1}(q)^{8}={\mathfrak {f}}(q)^{8}.}$

รากทั้งสามของสมการกำลังสาม

${\displaystyle j(\tau )={\frac {(x-16)^{3}}{x}}}$

โดยที่j ( τ ) คือฟังก์ชัน jซึ่งกำหนดโดยนอกจากนี้ เนื่องจาก ${\displaystyle x_{i}={\mathfrak {f}}(\tau )^{24},-{\mathfrak {f}}_{1}(\tau )^{24},-{\mathfrak {f}}_{2}(\tau )^{24}}$

${\displaystyle j(\tau )=32{\frac {{\Big (}\theta _{2}(q)^{8}+\theta _{3}(q)^{8}+\theta _{4}(q)^{8}{\Big )}^{3}}{{\Big (}\theta _{2}(q)\,\theta _{3}(q)\,\theta _{4}(q){\Big )}^{8}}}}$

และเมื่อใช้คำจำกัดความของฟังก์ชันเวเบอร์ในแง่ของฟังก์ชันเธต้าของจาโคบี บวกกับข้อเท็จจริงที่ว่าแล้ว ${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{2}(q)^{2}\,{\mathfrak {f}}_{1}(q)^{2}\,{\mathfrak {f}}(q)^{2}={\frac {\theta _{2}(q)}{\eta (\tau )}}{\frac {\theta _{4}(q)}{\eta (\tau )}}{\frac {\theta _{3}(q)}{\eta (\tau )}}=2}$

${\displaystyle j(\tau )=\left({\frac {{\mathfrak {f}}(\tau )^{16}+{\mathfrak {f}}_{1}(\tau )^{16}+{\mathfrak {f}}_{2}(\tau )^{16}}{2}}\right)^{3}=\left({\frac {{\mathfrak {f}}(q)^{16}+{\mathfrak {f}}_{1}(q)^{16}+{\mathfrak {f}}_{2}(q)^{16}}{2}}\right)^{3}}$

เนื่องจากและ มีสูตรเดียวกันในแง่ของฟังก์ชัน Dedekind eta ${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{i}(\tau )={\mathfrak {f}}_{i}(q)}$${\displaystyle \eta (\tau )}$

• ชุดหนังสือรามานุชัน-ซาโตะ ระดับ 4