การแตกแขนงในทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตหมายถึงการแยกตัวประกอบของอุดมคติเฉพาะในส่วนขยายเพื่อให้ได้ตัวประกอบอุดมคติเฉพาะที่ซ้ำกัน กล่าวคือ ให้${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}__{K}}$เป็นวงแหวนของจำนวนเต็มของฟิลด์จำนวนพีชคณิต${\displaystyle K}$, และ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$อุดมคติหลักของ${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}__{K}}$สำหรับการขยายขอบเขต${\displaystyle L/K}$เราสามารถพิจารณาวงแหวนของจำนวนเต็มได้${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$(ซึ่งเป็นการปิดแบบอินทิกรัลของ${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}__{K}}$ใน${\displaystyle L}$) และอุดมคติ${\displaystyle {\mathfrak {p}}{\mathcal {O}__{L}}$ของ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$อุดมคตินี้อาจจะเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ก็ได้ แต่สำหรับจำนวนจำกัด${\displaystyle [L:K]}$มันสามารถแยกตัวประกอบออกเป็นไอเดียลเฉพาะได้:

${\displaystyle {\mathfrak {p}}\cdot {\mathcal {O}}_{L}={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{e_{k}}}$

ที่ซึ่ง${\displaystyle {\mathfrak {p}__{i}}$เป็นอุดมคติหลักที่แตกต่างกันของ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$. แล้ว${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$กล่าวกันว่ามีการแตกแขนงออกไปใน${\displaystyle L}$ถ้า${\displaystyle e_{i}>1}$สำหรับบางคน${\displaystyle i}$มิเช่นนั้นก็จะเป็นไม่แตกแขนงกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$แตกแขนงออกไปใน${\displaystyle L}$ถ้าดัชนีการแตกแขนง${\displaystyle e_{i}}$มากกว่าหนึ่งสำหรับบางกรณี${\displaystyle {\mathfrak {p}__{i}}$เงื่อนไขที่เทียบเท่ากันคือ${\displaystyle {\mathcal {O}__{L}/{\mathfrak {p}}{\mathcal {O}__{L}}$มี องค์ประกอบ นิลโพเทนต์ที่ ไม่เป็นศูนย์ : มันไม่ใช่ผลคูณของฟิลด์จำกัดริชาร์ด เดเดคินด์และไฮน์ริช เอ็ม. เวเบอร์ ได้ชี้ให้เห็นถึงความคล้ายคลึงกับกรณีของพื้นผิวรีมันน์แล้วในศตวรรษที่สิบเก้า

ผลพวงนั้นถูกเข้ารหัสไว้แล้ว${\displaystyle K}$โดยตัวแยกแยะสัมพัทธ์และใน${\displaystyle L}$โดยความแตกต่างเชิงสัมพัทธ์อันแรกเป็นอุดมคติของ${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}__{K}}$และหารลงตัวด้วย${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ก็ต่อเมื่อมีอุดมคติบางอย่างเท่านั้น${\displaystyle {\mathfrak {p}__{i}}$ของ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$การแบ่ง${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$แตกแขนงออกไป ส่วนหลังเป็นอุดมคติของ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$และหารลงตัวด้วยอุดมคติเฉพาะ${\displaystyle {\mathfrak {p}__{i}}$ของ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$เมื่อไหร่กันแน่${\displaystyle {\mathfrak {p}__{i}}$แตกแขนงออกไป

ผลกระทบจะอยู่ในระดับปานกลางเมื่อพิจารณาจากดัชนีผลกระทบ${\displaystyle e_{i}}$ทั้งหมดล้วนเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับลักษณะเฉพาะของสารตกค้างpของ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$มิฉะนั้นก็จะเป็นป่าเถื่อนเงื่อนไขนี้มีความสำคัญใน ทฤษฎี โมดูลกาโลอิสการขยายแบบเอทาลทั่วไปแบบจำกัด${\displaystyle B/A}$โดเมนของ Dedekind จะเชื่องก็ต่อเมื่อการติดตามเท่านั้น${\displaystyle \operatorname {Tr} :B\to A}$เป็นฟังก์ชันทั่วถึง (surjective)

การวิเคราะห์การแตกแขนงในฟิลด์จำนวนอย่างละเอียดมากขึ้น สามารถทำได้โดยใช้ส่วนขยายของจำนวน p-adicเนื่องจากเป็น คำถาม เฉพาะที่ในกรณีนั้น จะมีการกำหนดมาตรวัดเชิงปริมาณของการแตกแขนงสำหรับส่วนขยายของกาโลอิส โดยพื้นฐานแล้วโดยการถามว่า กลุ่มกาโลอิส เคลื่อนย้ายองค์ประกอบของฟิลด์ ไปไกลแค่ไหนเมื่อเทียบกับเมตริก ลำดับของกลุ่มการแตกแขนง จะถูกกำหนดขึ้น ซึ่งทำให้การแตกแขนง แบบป่าเถื่อน (ไม่ถูกควบคุม) เป็นรูปธรรม (ในบรรดาสิ่งอื่นๆ) ซึ่งเหนือกว่าการเปรียบเทียบทางเรขาคณิต