ในบริบทของพีชคณิตเชิงเส้นและเรขาคณิตเชิงซิมเพล็กติกทฤษฎีบทวิลเลียมสันเกี่ยวข้องกับการทำให้เมทริกซ์บวกแน่นอนเป็นเมทริกซ์ ทแยงมุม ผ่านเมทริกซ์เชิงซิมเพล็กติก^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

กล่าวโดยละเอียดกว่านั้น เมื่อกำหนด เมทริกซ์เฮอร์มิเชียนจริงที่เป็นบวกแน่นอนทฤษฎีบทนี้รับประกันการมีอยู่ของเมทริกซ์ซิมเพล็กติกจริงและเมทริกซ์จริงบวกแนวทแยงเช่นนั้นโดยที่ หมาย ถึง เมทริกซ์เอกลักษณ์ 2x2${\displaystyle 2n\times 2n}$${\displaystyle M\in \mathbb {R} ^{2n\times 2n}}$${\displaystyle S\in \mathbf {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle D\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$$${\displaystyle SMS^{T}=I_{2}\otimes D\equiv D\oplus D,}$$${\displaystyle I_{2}}$

การได้มาซึ่งผลลัพธ์นี้ขึ้นอยู่กับการสังเกตพื้นฐานเพียงไม่กี่ข้อ:

1. เมทริกซ์จริงที่มี เป็นเมทริกซ์ที่กำหนดได้ชัดเจนและสมมาตรแบบเฉียง${\displaystyle M^{-1/2}(J\otimes I_{n})M^{-1/2}}$${\displaystyle J\equiv {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$
2. สำหรับเมทริกซ์จริงแบบสมมาตรเฉียงที่ผกผันได้ใดๆจะมี เมทริกซ์ อยู่จริง โดยที่ เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมบวกแน่นอนที่มีค่าเอกลักษณ์ของ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{2n\times 2n}}$${\displaystyle O\in \mathbf {O} (2n)}$${\displaystyle OAO^{T}=J\otimes \Lambda }$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle A}$
3. สำหรับเมทริกซ์ตั้งฉากใดๆเมทริกซ์นั้นจะมีคุณสมบัติว่า${\displaystyle O\in \mathbf {O} (2n)}$${\displaystyle S=\left(I_{2}\otimes {\sqrt {D}}\right)OM^{-1/2}}$${\displaystyle SMS^{T}=I_{2}\otimes D}$
4. ถ้าเมทริกซ์ เป็นเมทริกซ์ทแยงมุม ซึ่งหมายความว่าเมทริกซ์ เป็นไปตามเงื่อนไขแล้วเมทริกซ์จะเป็นไปตามเงื่อนไขดังนั้น เมื่อเลือก เมทริกซ์ ก็เป็นเมทริกซ์เชิงซิมเพล็กติกเช่นกัน ซึ่งสอดคล้อง กับเงื่อนไข${\displaystyle O\in \mathbf {O} (2n)}$${\displaystyle M^{-1/2}(J\otimes I_{n})M^{-1/2}}$$${\displaystyle OM^{-1/2}(J\otimes I_{n})M^{-1/2}O^{T}=J\otimes \Lambda ,}$$${\displaystyle S=\left(I_{2}\otimes {\sqrt {D}}\right)OM^{-1/2}}$$${\displaystyle S(J\otimes I_{n})S^{T}=J\otimes (D\Lambda ).}$$${\displaystyle D=\แลมบ์ดา ^{-1}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S(J\otimes I_{n})S^{T}=J\otimes I_{n}}$