ถ้าเรากำหนดให้ เป็นระยะเวลาที่ไม่ตอบสนองหลังจากได้รับการกระตุ้น สัดส่วนของเซลล์ที่อยู่ในช่วงเวลาที่ไม่ตอบสนองคือและสัดส่วนของเซลล์ที่ไวต่อการกระตุ้น (สามารถรับการกระตุ้นได้) คือ${\displaystyle r}$${\displaystyle \int _{tr}^{t}E(t')dt'}$${\displaystyle 1-\int _{tr}^{t}E(t')dt'}$

ระดับการกระตุ้นเฉลี่ยของเซลล์ประสาทกระตุ้น ณ เวลา t คือ:${\displaystyle t}$

${\displaystyle x(t)=\int _{-\infty }^{t}\alpha (tt')[c_{1}E(t')-c_{2}I(t')+P(t')]dt'}$

ดังนั้น จำนวนเซลล์ที่ถูกกระตุ้น ณ เวลาใดเวลาหนึ่งคือจำนวนเซลล์ที่ไม่ได้อยู่ในช่วงเวลาพักตัวและได้ถึงระดับการกระตุ้นแล้ว ซึ่งจะได้ผลคูณทางด้านขวาของสมการแรกของแบบจำลอง (โดยสมมติว่าเทอมต่างๆ ไม่มีความสัมพันธ์กัน) สามารถใช้หลักการเดียวกันนี้กับเซลล์ยับยั้งได้เช่นกัน ซึ่งจะได้สมการที่สอง${\displaystyle E(t+\tau )}$${\displaystyle 1-\int _{tr}^{t}E(t')dt'}$${\displaystyle S_{e}(x(t))}$

เมื่อ ใช้แบบจำลอง แบบหยาบ ตามเวลา แบบจำลองจะง่ายขึ้น โดยสมการใหม่ของแบบจำลองจะเป็นดังนี้:

${\displaystyle \tau {\frac {d{\bar {E}}}{dt}}=-{\bar {E}}+(1-r{\bar {E}})S_{e}[kc_{1}{\bar {E}}(t)-kc_{2}{\bar {I}}(t)+kP(t)]}$

${\displaystyle \tau '{\frac {d{\bar {I}}}{dt}}=-{\bar {I}}+(1-r'{\bar {I}})S_{i}[k'c_{3}{\bar {E}}(t)-k'c_{4}{\bar {I}}(t)+k'Q(t)]}$

โดยที่เงื่อนไขของแท่งกราฟเป็นเวอร์ชันที่ปรับให้ละเอียดขึ้นตามเวลาจากเงื่อนไขดั้งเดิม

การเปลี่ยนจากสภาวะปกติของการทำงานของสมองไปสู่อาการชักจากโรคลมชักนั้นยังไม่ได้รับการกำหนดเป็นทฤษฎีจนกระทั่งปี 2551 เมื่อมีการกำหนดเส้นทางทฤษฎีจากสถานะพื้นฐานไปสู่การแกว่งตัวแบบยั่งยืนขนาดใหญ่ซึ่งกระจายออกไปอย่างสม่ำเสมอจากจุดกระตุ้นเป็นครั้งแรก^{[ 7 ]}

สถานะที่สมจริงของกิจกรรมทางสรีรวิทยาพื้นฐานได้รับการกำหนดโดยใช้คำจำกัดความสององค์ประกอบ ดังต่อไปนี้ : ^{[ 7 ]}

(1)ส่วนประกอบที่ไม่ขึ้นกับเวลาซึ่งแสดงโดยกิจกรรมกระตุ้นที่ต่ำกว่าเกณฑ์ E และกิจกรรมยับยั้งที่สูงกว่าเกณฑ์ I

(2)ส่วนประกอบที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาซึ่งอาจรวมถึงคลื่นพัลส์เดี่ยว คลื่นพัลส์หลายตัว หรือคลื่นเป็นคาบที่เกิดจากกิจกรรมของเซลล์ประสาทที่เกิดขึ้นเอง

สถานะพื้นฐานนี้แสดงถึงกิจกรรมของสมองในสภาวะผ่อนคลาย ซึ่งเซลล์ประสาทได้รับการกระตุ้นอย่างอ่อนๆ ในระดับหนึ่งจากสารฮอร์โมนประสาทที่มีความเข้มข้นเล็กน้อยตามธรรมชาติ ในผู้ใหญ่ที่ตื่นตัว สถานะนี้มักเกี่ยวข้องกับจังหวะอัลฟาในขณะที่จังหวะที่ช้ากว่า ( ธีตาและเดลต้า ) มักพบเห็นได้ในระหว่างการผ่อนคลายที่ลึกกว่าและการนอนหลับ เพื่ออธิบายการตั้งค่าทั่วไปนี้สามารถใช้แบบจำลอง Wilson–Cowan แบบคลาสสิกที่มีตัวแปร 3 ตัวที่ขึ้นอยู่กับตำแหน่งได้^{[ 10 ]}ภายใต้เงื่อนไขเริ่มต้นที่เหมาะสม^{[ 7 ]}ส่วนประกอบกระตุ้น u จะมีอิทธิพลเหนือส่วนประกอบยับยั้ง I และระบบสามตัวแปรจะลดลงเหลือแบบจำลองประเภท Pinto-Ermentrout สองตัวแปร^{[ 11 ]}${\displaystyle (u,I,v)}$

${\displaystyle {\partial u \over \partial t}=u-v+\int _{R^{2}}\omega (xx',yy')f(u-\theta )\,dxdy+\zeta (x,y,t),}$

${\displaystyle {\partial v \over \partial t}=\epsilon (\beta uv).}$

ตัวแปร v ควบคุมการฟื้นตัวของการกระตุ้น u และกำหนดอัตราการเปลี่ยนแปลงของการฟื้นตัว ฟังก์ชันการเชื่อมต่อเป็นบวก ต่อเนื่อง สมมาตร และมีรูปแบบทั่วไป[ ^{11 ] ใน}เอกสารอ้างอิง^{[ 7 ]}ฟังก์ชันอัตราการยิง ซึ่งโดยทั่วไปยอมรับกันว่ามีรูปร่างซิกมอยด์ที่เพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว จะถูกประมาณโดย โดยที่ H แทนฟังก์ชัน Heaviside; เป็นสิ่งเร้าในช่วงเวลาสั้น ๆระบบนี้ถูกนำไปใช้ประสบความสำเร็จในงานวิจัยทางประสาทวิทยาศาสตร์ที่หลากหลาย^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ระบบนี้ทำนายการมีอยู่ของคลื่นเกลียว ซึ่งสามารถเกิดขึ้นได้ในระหว่างการชัก การทำนายทางทฤษฎีนี้ได้รับการยืนยันในภายหลัง จาก}การทดลองโดยใช้การถ่ายภาพด้วยแสงของชิ้นส่วนจากเปลือกสมองของหนู^{[ 16 ]}${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \beta >0}$${\displaystyle \omega (x,y)}$${\displaystyle \omega =Ae^{-\lambda {\sqrt {-(x^{2}+y^{2})}}}}$${\displaystyle (A,\lambda )=(2.1,1).}$${\displaystyle f(u-\theta )=H(u-\theta )}$${\displaystyle \zeta (x,y,t)}$${\displaystyle (u,v)}$

การขยายตัวของบริเวณที่มีการซิงโครไนซ์สูงซึ่งแสดงการสั่นแบบกลุ่มที่มีแอมพลิจูดขนาดใหญ่และเสถียร เกิดขึ้นเมื่อการสั่นเหล่านั้นอยู่ร่วมกับสถานะหยุดนิ่งที่เสถียรเพื่อทำความเข้าใจกลไกที่รับผิดชอบต่อการขยายตัว จำเป็นต้องทำให้ระบบ เป็นเชิงเส้น โดยที่ ค่า คง ที่ ระบบเชิงเส้นจะแสดงการสั่นแบบลดลงต่ำกว่าเกณฑ์ ซึ่งความถี่จะเพิ่มขึ้นเมื่อค่าเพิ่มขึ้น ที่ค่าวิกฤตค่าหนึ่ง ซึ่งความถี่ของการสั่นสูงพอ ระบบจะเกิดภาวะสองเสถียรภาพ: คำตอบที่เป็นคาบและเสถียร (การสั่นแบบกลุ่ม) และสถานะหยุดนิ่งที่เสถียรจะอยู่ร่วมกันในช่วงพารามิเตอร์ที่ต่อเนื่องกัน เมื่อเกิดการแกว่งตัวจำนวนมาก^{[ 7 ]} "อัตราการขยายตัวของบริเวณไฮเปอร์ซิงโครไนเซชันถูกกำหนดโดยการทำงานร่วมกันระหว่างคุณสมบัติหลักสองประการ: (i) ความเร็วของคลื่นที่ก่อตัวและแพร่กระจายออกไปจากขอบของบริเวณ และ (ii) รูปร่างเว้าของกราฟของตัวแปรการกระตุ้นเมื่อมันเพิ่มขึ้นในแต่ละรอบการแกว่งตัวจำนวนมาก จากสถานะพักไปจนถึงเกณฑ์การกระตุ้น การทดลองเชิงตัวเลขแสดงให้เห็นว่าในระหว่างการเพิ่มขึ้น ไปสู่เกณฑ์ เมื่ออัตราการเพิ่มขึ้นในแนวดิ่งช้าลงในช่วงเวลาเนื่องจากส่วนประกอบเว้า คลื่นเดี่ยวที่เสถียรซึ่งแผ่ออกมาจากบริเวณทำให้บริเวณขยายตัวในเชิงพื้นที่ตามสัดส่วนของความเร็วคลื่น จากการสังเกตเบื้องต้นนี้ เป็นเรื่องปกติที่จะคาดหวังว่าค่าคงที่สัดส่วนควรเป็นเศษส่วนของเวลาที่คำตอบเป็นเว้าในระหว่างหนึ่งรอบ" ดังนั้น เมื่ออัตราการขยายตัวของบริเวณจะถูกประมาณโดย^{[ 7 ]}${\displaystyle (u,v)=(0,0)}$${\displaystyle (u,v)}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta ^{*}}$${\displaystyle (u,v)}$${\displaystyle \beta \geq \beta ^{*}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u=0}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \Delta t,}$${\displaystyle \mathrm {Rate} }$${\displaystyle \beta \geq \beta ^{*}}$

${\displaystyle \mathrm {Rate} =(\Delta t/T)c~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)}$

โดยที่คือความยาวของช่วงเวลาต่ำกว่าเกณฑ์คือคาบของคำตอบแบบคาบ และคือความเร็วของคลื่นที่แผ่ออกมาจากบริเวณไฮเปอร์ซิงโครไนเซชัน ค่าที่สมจริงของซึ่งได้มาจาก Wilson et al., ^{[ 17 ]}คือ${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle T}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c=22.4\,\mathrm {mm/s} }$

วิธีการประเมินอัตราส่วน${\displaystyle \Delta t/T?}$ในการกำหนดค่าจำเป็นต้องวิเคราะห์การสั่นสะเทือนโดยรวมที่สอดคล้องกับระบบที่ไม่ขึ้นกับตำแหน่งในอวกาศ${\displaystyle \Delta t/T}$

${\displaystyle {{du} \over {dt}}=u-v+H(u-\theta ),}$

${\displaystyle {{dv} \over {dt}}=\epsilon (\beta u-v).}$

ระบบนี้ได้มาจากการใช้ฟังก์ชันมาตรฐานและค่าพารามิเตอร์และ[ ^{7 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] การ}แกว่งตัวจำนวนมากเกิดขึ้นเมื่อเมื่อShusterman และ Troy วิเคราะห์การแกว่งตัวจำนวนมากและพบว่าซึ่งให้ช่วง${\displaystyle \omega =2.1e^{-\lambda {\sqrt {-(x^{2}+y^{2})}}}}$${\displaystyle \epsilon =0.1}$${\displaystyle \theta =0.1}$${\displaystyle \beta \geq \beta ^{*}=12.61}$${\displaystyle 12.61\leq \beta \leq 17}$${\displaystyle 0.136\leq \Delta t/T\leq 0.238}$

${\displaystyle 3.046\,\mathrm {mm/s} \leq \mathrm {Rate} \leq 5.331\,\mathrm {mm/s} ~~~~~~~~~~~~(2)}$

เนื่องจากสมการ (1) แสดงให้เห็นว่าการอพยพเป็นเศษส่วนของความเร็วคลื่นเดินทาง ซึ่งสอดคล้องกับการสังเกตเชิงทดลองและทางคลินิกเกี่ยวกับการแพร่กระจายอย่างช้าๆ ของกิจกรรมชัก^{[ 18 ]}กลไกการอพยพนี้ยังให้คำอธิบายที่สมเหตุสมผลสำหรับการแพร่กระจายและการคงอยู่ของกิจกรรมชักโดยไม่มีแหล่งกำเนิดที่ขับเคลื่อน ซึ่งแม้จะมีการศึกษาเชิงทดลองจำนวนมาก แต่ก็ไม่เคยมีการสังเกตมาก่อน^{[ 18 ]}${\displaystyle 0.136\leq \Delta t/T\leq 0.238}$${\displaystyle \mathrm {Rate} }$

อัตราการย้ายถิ่นของกิจกรรมไฮเปอร์ซิงโครนัสที่บันทึกไว้ในการทดลองระหว่างการชักในผู้ป่วยมนุษย์ โดยใช้อิเล็กโทรดใต้เยื่อดูราที่ฝังไว้เป็นเวลานานบนพื้นผิวของกลีบขมับ^{ซ้าย [} 8 ^{] ได้}รับการประมาณไว้ที่^{[ 7 ]}

${\displaystyle \mathrm {Rate} \approx 4\,\mathrm {mm/s} }$,

ซึ่งสอดคล้องกับช่วงที่คาดการณ์ตามทฤษฎีที่ระบุไว้ข้างต้นใน (2) อัตราส่วนในสูตร (1) แสดงให้เห็นว่าขอบนำของบริเวณที่มีกิจกรรมชักพร้อมกันเคลื่อนที่ช้ากว่ากิจกรรมคลื่นสมองปกติประมาณ 4–7 เท่า ซึ่งสอดคล้องกับข้อมูลการทดลองที่อธิบายไว้ข้างต้น^{[ 8 ]}${\displaystyle \mathrm {Rate} /c}$

โดยสรุปแล้ว การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์และการวิเคราะห์เชิงทฤษฎีของกิจกรรมทางไฟฟ้าสรีรวิทยาขนาดใหญ่ ให้เครื่องมือในการทำนายการแพร่กระจายและการเคลื่อนย้ายของกิจกรรมสมองที่เกิดขึ้นพร้อมกันอย่างมาก ซึ่งอาจเป็นประโยชน์สำหรับการประเมินวินิจฉัยและการจัดการผู้ป่วยโรคลมชัก นอกจากนี้ยังอาจเป็นประโยชน์ในการทำนายการเคลื่อนย้ายและการแพร่กระจายของกิจกรรมทางไฟฟ้าในบริเวณกว้างของสมองที่เกิดขึ้นระหว่างการนอนหลับลึก ( คลื่นเดลต้า ) กิจกรรมทางปัญญา และในสภาวะการทำงานอื่นๆ