ปัญหาของยามาเบะหมายถึงข้อสันนิษฐานในสาขาคณิตศาสตร์เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ซึ่งได้รับการแก้ไขในช่วงทศวรรษ 1980 เป็นข้อความเกี่ยวกับความโค้งสเกลาร์ของแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ :

ให้( M , g )เป็นแมนิโฟลด์รีมันน์แบบปิดและเรียบ แล้วจะมีฟังก์ชันf ที่เป็นบวกและเรียบอยู่ บนMซึ่งทำให้เมตริกรีมันน์fgมีความโค้งสเกลาร์คงที่

โดยการคำนวณสูตรแสดงความสัมพันธ์ระหว่างความโค้งสเกลาร์ของfgกับgเราสามารถเรียบเรียงข้อความนี้ใหม่ได้ในรูปแบบต่อไปนี้:

ให้( M , g )เป็นแมนิโฟลด์รีมันน์แบบปิดและเรียบ แล้วจะมีฟังก์ชันφ ที่เป็นบวกและเรียบอยู่ บนMและจำนวนcอยู่ เช่นนั้น

${\displaystyle {\frac {4(n-1)}{n-2}}\Delta ^{g}\varphi +R^{g}\varphi +c\varphi ^{(n+2)/(n-2)}=0.}$

ในที่นี้nแทนขนาดของM , R ^gแทนความโค้งสเกลาร์ของgและ∆ ^gแทนตัวดำเนินการลาปลาส-เบลทรามีของg

นักคณิตศาสตร์ฮิเดฮิโกะ ยามาเบะในบทความยามาเบะ (1960)ได้นำเสนอข้อความข้างต้นเป็นทฤษฎีบทและได้แสดงวิธีพิสูจน์ไว้ อย่างไรก็ตามทรูดิงเกอร์ (1968)ได้ค้นพบข้อผิดพลาดในวิธีพิสูจน์ของเขา ปัญหาในการทำความเข้าใจว่าข้อความข้างต้นเป็นจริงหรือเท็จจึงเป็นที่รู้จักกันในชื่อปัญหาของยามาเบะ ผลงานร่วมกันของยามาเบะ ทรูดิงเกอร์ เธียร์รี อูบินและริชาร์ด โชเอนได้ให้คำตอบที่เป็นบวกต่อปัญหานี้ในปี 1984

ปัจจุบัน ปัญหานี้ได้รับการยกย่องว่าเป็นปัญหาคลาสสิกในเรขาคณิตวิเคราะห์โดยการพิสูจน์ต้องใช้วิธีการใหม่ในสาขาเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยจุดสำคัญในการแก้ปัญหาของ Schoen ในที่สุดคือการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทพลังงาน บวก ของ ทฤษฎี สัมพัทธภาพทั่วไปซึ่งเป็นทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์เชิงเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ล้วนๆ ที่ได้รับการพิสูจน์ครั้งแรก (ในบริบทชั่วคราว) ในปี 1979 โดย Schoen และShing-Tung Yau

งานวิจัยล่าสุดโดยSimon Brendle , Marcus Khuri, Fernando Codá Marquesและ Schoen เกี่ยวข้องกับการรวบรวมฟังก์ชันf ที่เป็นบวกและเรียบทั้งหมด โดยที่สำหรับแมนิโฟลด์แบบรีมันน์( M , g ) ที่กำหนดให้ เมตริกfgจะมีค่าความโค้งสเกลาร์คงที่ นอกจากนี้ ปัญหาของ Yamabe ที่เกิดขึ้นในบริบทที่คล้ายกัน เช่น สำหรับแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ที่ไม่กระชับสมบูรณ์ ยังไม่เป็นที่เข้าใจอย่างถ่องแท้

ในที่นี้ เราอ้างถึง "คำตอบของปัญหา Yamabe" บนแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ว่าเป็นเมตริกแบบรีมันน์gบนMซึ่งมีฟังก์ชันเรียบบวกที่มี${\displaystyle (M,{\overline {g}})}$${\displaystyle \varphi :M\to \mathbb {R} ,}$${\displaystyle g=\varphi ^{-2}{\overline {g}}.}$

ให้เป็นแมนิโฟลด์รีมันน์เรียบ พิจารณาฟังก์ชันเรียบบวกโดยที่เป็นองค์ประกอบใดๆ ของคลาสคอนฟอร์มอลเรียบของการคำนวณมาตรฐานแสดงให้เห็นว่า ${\displaystyle (M,{\overline {g}})}$${\displaystyle \varphi :M\to \mathbb {R} ,}$${\displaystyle g=\varphi ^{-2}{\overline {g}}}$${\displaystyle {\overline {g}}.}$

${\displaystyle {\overline {R}__{ij}-{\frac {1}{n}}{\overline {R}}{\overline {g}__{ij}=R_{ij}-{\frac {1}{n}}Rg_{ij}+{\frac {n-2}{\varphi }}{\Big (}\nabla _{i}\nabla _{j}\varphi +{\frac {1}{n}}g_{ij}\เดลต้า \varphi {\ใหญ่ )}.}$

การนำผลคูณภายในg มาใช้จะได้ ผลลัพธ์ดังนี้ ${\displaystyle \textstyle \varphi (\ชื่อผู้ดำเนินการ {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg)}$

${\displaystyle \varphi \left\langle {\overline {\operatorname {Ric} }}-{\frac {1}{n}}{\overline {R}}{\overline {g}},\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg\right\rangle _{g}=\varphi {\Big |}\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg{\Big |}_{g}^{2}+(n-2){\Big (}{\big \langle }\operatorname {Ric} ,\operatorname {Hess} \varphi {\big \rangle }_{g}-{\frac {1}{n}}R\Delta \varphi {\Big )}.}$

ถ้าสมมติว่าเป็นเมทริกซ์ไอน์สไตน์ ด้านซ้ายมือจะหายไป ถ้าสมมติว่าเป็นเมทริกซ์ปิด เราสามารถทำการอินทิเกรตโดยใช้การแยกส่วนโดยระลึกถึงเอกลักษณ์ของเบียนคีเพื่อดูว่า ${\displaystyle {\overline {g}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \textstyle \operatorname {div} \operatorname {Ric} ={\frac {1}{2}}\nabla R,}$

${\displaystyle \int _{M}\varphi {\Big |}\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg{\Big |}^{2}\,d\mu _{g}=(n-2){\Big (}{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{n}}{\Big )}\int _{M}\langle \nabla R,\nabla \varphi \rangle \,d\mu _{g}.}$

ถ้าgมีความโค้งสเกลาร์คงที่ ด้านขวามือจะเป็นศูนย์ การที่ด้านซ้ายมือเป็นศูนย์ตามมานั้นพิสูจน์ข้อเท็จจริงต่อไปนี้ ซึ่งได้มาจาก Obata (1971):

ทุกคำตอบของปัญหา Yamabe บนแมนิโฟลด์ Einstein แบบปิด ล้วนเป็นคำตอบของ Einstein

จากนั้น โอบาตะได้พิสูจน์ว่า ยกเว้นในกรณีของทรงกลมมาตรฐานที่มีเมตริกความโค้งภาคตัดขวางคงที่ตามปกติ เมตริกความโค้งสเกลาร์คงที่เพียงอย่างเดียวในกลุ่มคอนฟอร์มอลของเมตริกไอน์สไตน์ (บนแมนิโฟลด์ปิด ) คือค่าคงที่คูณกับเมตริกที่กำหนดให้ การพิสูจน์ดำเนินไปโดยการแสดงให้เห็นว่าเกรเดียนต์ของตัวประกอบคอนฟอร์มอลนั้นแท้จริงแล้วคือฟิลด์คิลลิงคอนฟอร์มอล หากตัวประกอบคอนฟอร์มอลไม่คงที่ การติดตามเส้นทางการไหลของฟิลด์เกรเดียนต์นี้ โดยเริ่มต้นที่จุดต่ำสุดของตัวประกอบคอนฟอร์มอล จะช่วยให้สามารถแสดงได้ว่าแมนิโฟลด์นั้นมีความสัมพันธ์แบบคอนฟอร์มอลกับทรงกระบอกและด้วยเหตุนี้จึงมีความโค้งเวล์เป็น ศูนย์${\displaystyle S^{n-1}\times \mathbb {R} }$

คำถามที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดคือสิ่งที่เรียกว่า "ปัญหา Yamabe ที่ไม่กระชับ" ซึ่งถามว่า: เป็นความจริงหรือไม่ที่บนแมนิโฟลด์รีมันน์ เรียบสมบูรณ์ทุกตัว ( M , g )ที่ไม่กระชับ จะมีเมตริกที่สอดคล้องกับgมีความโค้งสเกลาร์คงที่ และสมบูรณ์ด้วยหรือไม่? คำตอบคือไม่ เนื่องจากมีตัวอย่างค้านที่Jin (1988) ให้ไว้ มีเกณฑ์เพิ่มเติมต่างๆ ที่สามารถแสดงให้เห็นว่ามีคำตอบสำหรับปัญหา Yamabe สำหรับแมนิโฟลด์ที่ไม่กระชับอยู่ (ตัวอย่างเช่นAviles & McOwen (1988) ) อย่างไรก็ตาม การทำความเข้าใจอย่างถ่องแท้ว่าเมื่อใดจึงจะสามารถแก้ปัญหาได้ในกรณีที่ไม่กระชับยังคงเป็นหัวข้อของการวิจัย

• กระแสยามาเบะ
• ตัวแปรยามาเบะ