ปัญหาการนำทางของเซอร์เมโล

Q: ประวัติศาสตร์

ในบทความปี 1931 ของเขา [ 1 ] Ernst Zermelo ได้กำหนดปัญหาดังต่อไปนี้:

ใน การหาค่าเหมาะสม ที่สุดทางคณิตศาสตร์ปัญหาการนำทางของ Zermelo ซึ่งเสนอโดย Ernst Zermeloในปี 1931 เป็น ปัญหา การควบคุมที่เหมาะสมที่สุด แบบคลาสสิก ที่เกี่ยวข้องกับการเดินเรือของเรือในแหล่งน้ำ โดยเริ่มต้นจากจุดหนึ่งไปยังจุดหมายปลายทางเรือสามารถทำความเร็วสูงสุดได้ระดับหนึ่ง และเป้าหมายคือการหาการควบคุมที่ดีที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้เพื่อให้ไปถึงจุดหมายปลายทางในเวลาที่น้อยที่สุด $A$ $B$ $B$

หากไม่พิจารณาแรงภายนอก เช่น กระแสน้ำและลม การควบคุมที่เหมาะสมที่สุดคือให้เรือมุ่งหน้าไปยังจุด เสมอเส้นทางของเรือจะเป็นเส้นตรงจากไปยัง ซึ่งเป็นการควบคุมที่เหมาะสมที่สุดอย่างเห็นได้ชัด แต่หากพิจารณาถึงกระแสน้ำและลม และแรงรวมที่กระทำต่อเรือไม่เป็นศูนย์ การควบคุมในกรณีที่ไม่มีกระแสน้ำและลมจะไม่ให้เส้นทางที่เหมาะสมที่สุด $B$ $A$ $B$

ประวัติศาสตร์

ในบทความปี 1931 ของเขา^{[ 1 ]} Ernst Zermelo ได้กำหนดปัญหาดังต่อไปนี้:

ในระนาบไร้ขอบเขตซึ่งการกระจายตัวของลมกำหนดโดยสนามเวกเตอร์ที่เป็นฟังก์ชันของตำแหน่งและเวลา เรือลำหนึ่งเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่เมื่อเทียบกับมวลอากาศโดยรอบ เรือจะต้องถูกบังคับทิศทางอย่างไรจึงจะเดินทางจากจุดเริ่มต้นไปยังจุดหมายปลายทางที่กำหนดได้ในเวลาที่สั้นที่สุด?

นี่เป็นการต่อยอดจากปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบคลาสสิกสำหรับเส้นทางที่สั้นที่สุด – คือการลดความยาวของเส้นโค้ง ที่เชื่อมจุด และโดยเพิ่มความซับซ้อนด้วยการพิจารณาความเร็วลม แม้ว่าโดยทั่วไปแล้วจะเป็นไปไม่ได้ที่จะหาคำตอบที่แน่นอนในกรณีส่วนใหญ่ แต่กรณีทั่วไปนั้นได้รับการแก้ไขโดย Zermelo เองในรูปแบบของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยซึ่งรู้จักกันในชื่อสมการของ Zermelo ซึ่งสามารถแก้ได้ด้วยวิธีเชิงตัวเลข $I[c]=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+y'^{2}}}\,dx$ $A$ $B$

ปัญหาการนำทางเรือเหาะซึ่งถูกล้อมรอบด้วยอากาศ ถูกนำเสนอครั้งแรกในปี พ.ศ. 2462 ในการประชุมโดย Ernst Zermelo ซึ่งได้รับแรงบันดาลใจจากการเดินทางรอบโลกของGraf Zeppelinในปี พ.ศ. 2462-2471 นักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ได้ตอบรับความท้าทายนี้ในช่วงหลายปีต่อมา เทคนิคที่โดดเด่นในการแก้สมการคือแคลคูลัสของการแปรผัน^{[ 2 ]}

ตัวเรือนแบบไขลานต่อเนื่อง

กรณีลมคงที่สามารถแก้ได้อย่างแม่นยำ^{[ 3 ]} ให้และสมมติว่าเพื่อลดเวลาเดินทางให้น้อยที่สุด เรือจะเดินทางด้วยความเร็วสูงสุดคงที่ดังนั้นตำแหน่งของเรือ ณ เวลาคือให้เป็นเวลาที่มาถึงที่ดังนั้นการหาผล คูณดอทของสิ่งนี้กับและ ตามลำดับ จะได้ และการกำจัดและการเขียนระบบนี้เป็นสมการกำลังสองใน จะได้เมื่อแก้สมการนี้แล้ว การหาค่ารากที่สองที่เป็นบวก เนื่องจากเป็นค่าบวก เราจะได้ $\mathbf {d} ={\vec {AB}}$ $V$ $t$ $\mathbf {x} =t(\mathbf {v} +\mathbf {w} )$ $T$ $B$ $\mathbf {d} =T(\mathbf {v} +\mathbf {w} )$ $\mathbf {w}$ $\mathbf {d}$ ${\vec {d}}\cdot {\vec {w}}=T(\mathbf {v} \cdot {\vec {w}}+\mathbf {w} ^{2})$ $d^{2}=T^{2}(v^{2}+2{\vec {v}}\cdot \mathbf {w} +\mathbf {w} ^{2})$ ${\vec {v}}\cdot {\vec {w}}$ $T$ $({\vec {v}}^{2}-{\vec {w}}^{2})T^{2}+2(\mathbf {d} \cdot \mathbf {w} )T-\mathbf {d} ^{2}=0$ $T$

{\begin{aligned}T[\mathbf {d} ]&={\frac {-2(\mathbf {d} \cdot \mathbf {w} )\pm {\sqrt {4(\mathbf {d} \cdot \mathbf {w} )^{2}+4\mathbf {d} ^{2}(\mathbf {v} ^{2}-\mathbf {w} ^{2})}}}{2(\mathbf {v} ^{2}-\mathbf {w} ^{2})}}\\[8pt]&={\sqrt {{\frac {\mathbf {d} ^{2}}{\mathbf {v} ^{2}-{\vec {w}}^{2}}}+{\frac {(\mathbf {d} \cdot \mathbf {w} )^{2}}{({\vec {v}}^{2}-{\vec {w}}^{2})^{2}}}}}-{\frac {\mathbf {d} \cdot \mathbf {w} }{\mathbf {v} ^{2}-\mathbf {w} ^{2}}}\end{aligned}}

ข้ออ้าง: นี่เป็นการกำหนดตัวชี้วัดบนโดยมีเงื่อนไขว่า $\mathbb {R} ^{2}$ $|\mathbf {v} |>|\mathbf {w} |$

การพิสูจน์

ตามสมมติฐานของเรา เห็นได้ชัดว่ามีความเท่าเทียมกันก็ต่อเมื่อ เท่านั้นเห็นได้ชัดว่าถ้าเราจะได้เหลือเพียงแสดงว่าสอดคล้องกับอสมการสามเหลี่ยม $T[\mathbf {d} ]\geq 0$ $\mathbf {d} =0$ ${\tilde {\mathbf {d} }}={\vec {BA}}$ $T[\mathbf {d} ]=T[{\tilde {\mathbf {d} }}]$ $T$ $T[\mathbf {d} _{1}+\mathbf {d} _{2}]\leq T[\mathbf {d} _{1}]+T[\mathbf {d} _{2}].$

อันที่จริง เมื่อกำหนดให้เราจะสังเกตได้ว่าสิ่งนี้จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ $c^{2}:=\mathbf {v} ^{2}-\mathbf {w} ^{2}$

{\begin{aligned}&{\sqrt {{\frac {(\mathbf {d} _{1}+\mathbf {d} _{2})^{2}}{c^{2}}}+{\frac {(({\vec {d}__{1}+{\vec {d}__{2})\cdot {\vec {w}})^{2}}{c^{4}}}}}-{\frac {(\mathbf {d} _{1}+\mathbf {d} _{2})\cdot \mathbf {w} }{c^{2}}}\\[8pt]\leq {}&{\sqrt {{\frac {\mathbf {d} _{1}^{2}}{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {d} _{1}\cdot \mathbf {w} )^{2}}{c^{4}}}-{\frac {\mathbf {d} _{2}\cdot \mathbf {w} }{c^{2}}}}}+{\sqrt {{\frac {\mathbf {d} _{2}^{2}}{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {d} _{2}\cdot \mathbf {w} )^{2}}{c^{4}}}}}-{\frac {\mathbf {d} _{2}\cdot \mathbf {w} }{c^{2}}}\end{aligned}}

ก็ต่อเมื่อ

{\frac {\mathbf {d} _{1}\cdot \mathbf {d} _{2}}{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {d} _{1}\cdot \mathbf {w} )(\mathbf {d} _{2}\cdot \mathbf {w} )}{c^{4}}}\leq \left[{\frac {{\vec {d}__{1}^{2}}{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {d} _{1}\cdot \mathbf {w} )^{2}}{c^{4}}}\right]^{1/2}\left[{\frac {{\vec {d}__{2}^{2}}{c^{2}}}+{\frac {(\mathbf {d} _{2}\cdot \mathbf {w} )^{2}}{c^{4}}}\right]^{1/2},

ซึ่งจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ

{\frac {(\mathbf {d} _{1}\cdot \mathbf {d} _{2})^{2}}{c^{4}}}+{\frac {2(\mathbf {d} _{1}\cdot \mathbf {d} _{2})(\mathbf {d} _{1}\cdot \mathbf {w} )(\mathbf {d} _{2}\cdot \mathbf {w} )}{c^{6}}}\leq {\frac {\mathbf {d} _{1}^{2}\cdot \mathbf {d} _{2}^{2}}{c^{4}}}+{\frac {\mathbf {d} _{1}^{2}(\mathbf {d} _{2}\cdot \mathbf {w} )^{2}+\mathbf {d} _{2}^{2}(\mathbf {d} _{1}\cdot \mathbf {w} )^{2}}{c^{6}}}

โดยใช้ความไม่เท่าเทียมกันของโคชี-ชวาร์ซเราจะได้ว่ามีความเท่าเทียมกันก็ต่อเมื่อและเป็นตัวแปรอิสระที่ขึ้นต่อกันเชิงเส้น ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันจึงเป็นจริง $(\mathbf {d} _{1}\cdot \mathbf {d} _{2})^{2}\leq \mathbf {d} _{1}^{2}\cdot \mathbf {d} _{2}^{2}$ $\mathbf {d} _{1}$ $\mathbf {d} _{2}$ $\blacksquare$

หมายเหตุ: เนื่องจากนี่เป็นอสมการที่เข้มงวดหากและ ไม่ขึ้นต่อกันเชิงเส้น จึงสรุปได้ทันทีว่าเส้นตรงจากไปจะเป็นเส้นทางที่เร็วกว่าเส้นทางอื่นใดที่ประกอบด้วยส่วนของเส้นตรงเสมอ เราใช้การพิสูจน์โดยใช้การอนุมานเพื่อพิสูจน์ว่าสิ่งนี้เป็นจริงสำหรับเส้นโค้งใดๆ $\mathbf {d} _{1}$ $\mathbf {d} _{2}$ $A$ $B$

วิธีแก้ปัญหาทั่วไป

ลองพิจารณาตัวอย่างทั่วไปของเรือที่แล่นต้านลมที่เปลี่ยนแปลงได้เมื่อเขียนเป็นส่วนประกอบ เราจะได้การเคลื่อนตัวในแกน x เป็นและการเคลื่อนตัวในแกน y เป็นดังนั้นสำหรับเรือที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วสูงสุดในทิศทางที่เปลี่ยนแปลงได้เราจะได้ ${\vec {w}}(x,y)$ $x$ $u(x,y)$ $y$ $v(x,y)$ $V$ $\theta$

{\begin{aligned}{\dot {x}}&=V\cos \theta +u(x,y)\\{\dot {y}}&=V\sin \theta +v(x,y)\end{aligned}}

ดังนั้นแฮมิลโทเนียนของระบบจึงเป็นดังนี้

H=\lambda _{x}(V\cos \theta +u)+\lambda _{y}(V\sin \theta +v)+1

เมื่อใช้สมการออยเลอร์-ลากรางจ์เราจะได้

{\begin{aligned}{\dot {\lambda }}_{x}&=-{\frac {\partial H}{\partial x}}=-\lambda _{x}{\frac {\partial u}{\partial x}}-\lambda _{y}{\frac {\partial v}{\partial x}}\\{\dot {\lambda }}_{y}&=-{\frac {\partial H}{\partial y}}=-\lambda _{x}{\frac {\partial u}{\partial y}}-\lambda _{y}{\frac {\partial v}{\partial y}}\\0&={\frac {\partial H}{\partial \theta }}=V(-\lambda _{x}\sin \theta +\lambda _{y}\cos \theta )\end{aligned}}

สมการสุดท้ายบ่งชี้ว่า. เราสังเกตว่าระบบเป็นแบบอัตโนมัติ แฮมิลโทเนียนไม่ขึ้นอยู่กับเวลาดังนั้น= ค่าคงที่ แต่เนื่องจากเรากำลังลดเวลาให้น้อยที่สุด ค่าคงที่จึงเท่ากับ 0 ดังนั้นเราสามารถแก้สมการพร้อมกันข้างต้นเพื่อให้ได้^[⁴^] $\tan \theta =\lambda _{y}/\lambda _{x}$ $t$ $H$

{\begin{aligned}\lambda _{x}&={\frac {-\cos \theta }{V+u\cos \theta +v\sin \theta }}\\[6pt]\lambda _{y}&={\frac {-\sin \theta }{V+u\cos \theta +v\sin \theta }}\end{aligned}}

เมื่อแทนค่าเหล่านี้ลงในสมการ EL ของเรา จะได้สมการเชิงอนุพันธ์ดังนี้

{\frac {d\theta }{dt}}=\sin ^{2}\theta {\frac {\partial v}{\partial x}}+\sin \theta \cos \theta \left({\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)-\cos ^{2}\theta {\frac {\partial u}{\partial y}}

ผลลัพธ์นี้เรียกว่าสมการของ Zermelo การแก้สมการนี้ด้วยระบบของเราทำให้เราสามารถค้นหาเส้นทางที่เหมาะสมที่สุดโดยทั่วไปได้

ตัวอย่างการพิจารณาเรื่องลมคงที่อีกครั้ง

ถ้าเราย้อนกลับไปพิจารณาปัญหาลมคงที่ตลอดเวลา เราจะได้ว่า $\mathbf {w}$

{\frac {\partial v}{\partial y}}={\frac {\partial v}{\partial x}}={\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial u}{\partial y}}=0

ดังนั้น วิธีแก้ปัญหาทั่วไปของเราจึงบ่งชี้ว่า ดังนั้นจึงเป็นค่าคงที่ กล่าวคือ เส้นทางที่เหมาะสมที่สุดคือเส้นตรง ดังที่เราได้มาก่อนหน้านี้ด้วยการให้เหตุผลทางพีชคณิต ${\frac {d\theta }{dt}}=0$ $\theta$

ดูเพิ่มเติม

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[