พลังงานของระบบไฮโดรเจนสามารถคำนวณได้อย่างแม่นยำด้วยวิธีวิเคราะห์ดังต่อไปนี้:${\displaystyle \mathbf {E} _{1s}={\frac {\langle \psi _{1s}|\mathbf {\hat {H}} _{e}|\psi _{1s}\rangle }{\langle \psi _{1s}|\psi _{1s}\rangle }}}$, ที่ไหน${\displaystyle \mathbf {\langle \psi _{1s}|\psi _{1s}\rangle } =1}$${\displaystyle \mathbf {E} _{1s}=\langle \psi _{1s}|\mathbf {-} {\frac {\nabla ^{2}}{2}}-{\frac {\mathbf {Z} }{r}}|\psi _{1s}\rangle }$${\displaystyle \mathbf {E} _{1s}=\langle \psi _{1s}|\mathbf {-} {\frac {\nabla ^{2}}{2}}|\psi _{1s}\rangle +\langle \psi _{1s}|-{\frac {\mathbf {Z} }{r}}|\psi _{1s}\rangle }$${\displaystyle \mathbf {E} _{1s}=\langle \psi _{1s}|\mathbf {-} {\frac {1}{2r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)|\psi _{1s}\rangle +\langle \psi _{1s}|-{\frac {\mathbf {Z} }{r}}|\psi _{1s}\rangle }$.

โดยใช้สูตรสำหรับวงโคจรของสเลเตอร์${\displaystyle \mathbf {\psi } _{1s}=\left({\frac {\zeta ^{3}}{\pi }}\right)^{0.50}e^{-\zeta r}}$สามารถหาคำตอบของอินทิกรัลได้อย่างแม่นยำ ดังนั้น${\displaystyle \mathbf {E} _{1s}=\left\langle \left({\frac {\zeta ^{3}}{\pi }}\right)^{0.50}e^{-\zeta r}\right|\left.-\left({\frac {\zeta ^{3}}{\pi }}\right)^{0.50}e^{-\zeta r}\left[{\frac {-2r\zeta +r^{2}\zeta ^{2}}{2r^{2}}}\right]\right\rangle +\langle \psi _{1s}|-{\frac {\mathbf {Z} }{r}}|\psi _{1s}\rangle }$${\displaystyle \mathbf {E} _{1s}={\frac {\zeta ^{2}}{2}}-\zeta \mathbf {Z} .}$

ค่าที่เหมาะสมที่สุดสำหรับ${\displaystyle \mathbf {\zeta } }$ได้มาจากการหาค่าเท่ากันของอนุพันธ์ของพลังงานเทียบกับ${\displaystyle \mathbf {\zeta } }$เป็นศูนย์${\displaystyle {\frac {d\mathbf {E} _{1s}}{d\zeta }}=\zeta -\mathbf {Z} =0}$. ดังนั้น${\displaystyle \mathbf {\zeta } =\mathbf {Z} .}$

ดังนั้น ค่าพลังงานต่อไปนี้จึงคำนวณได้โดยใช้สูตรสำหรับพลังงานและสำหรับเลขชี้กำลังของสเลเตอร์

ไฮโดรเจน: H${\displaystyle \mathbf {Z} =1}$และ${\displaystyle \mathbf {\zeta } =1}$${\displaystyle \mathbf {E} _{1s}=}$−0.5 E ${\displaystyle \mathbf {E} _{1s}=}$−13.60569850 eV${\displaystyle \mathbf {E} _{1s}=}$−313.75450000 กิโลแคลอรี/โมล

ทองคำ: Au(78+)${\displaystyle \mathbf {Z} =79}$และ${\displaystyle \mathbf {\zeta } =79}$${\displaystyle \mathbf {E} _{1s}=}$−3120.5 E ${\displaystyle \mathbf {E} _{1s}=}$−84913.16433850 eV${\displaystyle \mathbf {E} _{1s}=}$−1958141.8345 กิโลแคลอรี/โมล

ระบบอะตอมไฮโดรเจนเป็นแบบจำลองที่เหมาะสมสำหรับการสาธิตผลกระทบเชิงสัมพัทธภาพในระบบอะตอมอย่างง่าย ๆ ค่าคาดหวังของพลังงานสามารถคำนวณได้โดยใช้ออร์บิทัลสเลเตอร์ โดยพิจารณาหรือไม่พิจารณาการแก้ไขเชิงสัมพัทธภาพสำหรับเลขชี้กำลังสเลเตอร์${\displaystyle \mathbf {\zeta } }$เลขชี้กำลังสเลเตอร์ที่แก้ไขตามทฤษฎีสัมพัทธภาพ${\displaystyle \mathbf {\zeta } _{rel}}$กำหนดให้เป็น${\displaystyle \mathbf {\zeta } _{rel}={\frac {\mathbf {Z} }{\sqrt {1-\mathbf {Z} ^{2}/c^{2}}}}}$พลังงานสั มพัทธภาพของอิเล็กตรอนในวงโคจร 1s ของระบบอะตอมไฮโดรเจนิกได้มาจากการแก้สมการของดิแรก${\displaystyle \mathbf {E} _{1s}^{rel}=-(c^{2}+\mathbf {Z} \zeta )+{\sqrt {c^{4}+\mathbf {Z} ^{2}\zeta ^{2}}}}$ตารางต่อไปนี้แสดงการแก้ไขเชิงสั มพัทธภาพในด้านพลังงาน และจะเห็นได้ว่าการแก้ไขเชิงสัมพัทธภาพแปรผันตามเลขอะตอมของระบบอย่างไร

ระบบอะตอม	${\displaystyle \mathbf {Z} }$	${\displaystyle \mathbf {\zeta } _{nonrel}}$	${\displaystyle \mathbf {\zeta } _{rel}}$	${\displaystyle \mathbf {E} _{1s}^{nonrel}}$	${\displaystyle \mathbf {E} _{1s}^{rel}}$โดยใช้${\displaystyle \mathbf {\zeta } _{nonrel}}$	${\displaystyle \mathbf {E} _{1s}^{rel}}$โดยใช้${\displaystyle \mathbf {\zeta } _{rel}}$
ชม	1	1.00000000	1.00002663	−0.50000000 E	−0.50000666 E	−0.50000666 E
				−13.60569850 eV	−13.60587963 eV	−13.60587964 eV
				−313.75450000 กิโลแคลอรี/โมล	−313.75867685 กิโลแคลอรี/โมล	−313.75867708 กิโลแคลอรี/โมล
Au(78+)	79	79.00000000	96.68296596	−3120.50000000 E	−3343.96438929 E	−3434.58676969 E
				−84913.16433850 eV	−90993.94255075 eV	−93459.90412098 eV
				−1958141.83450000 กิโลแคลอรี/โมล	−2098367.74995699 กิโลแคลอรี/โมล	−2155234.10926142 กิโลแคลอรี/โมล