ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีบท2πของGromovและThurstonระบุเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการเติม Dehnบน3-manifold ไฮเปอร์โบลิก แบบมีจุดยอดแหลม เพื่อให้ได้ 3-manifold ที่มีความโค้งเป็น ลบ

ให้Mเป็น 3-แมนิโฟลด์ไฮเปอร์โบลิกที่มีจุดยอดแหลม สามารถเลือกบริเวณใกล้เคียงแบบ horoball ที่ไม่ทับซ้อนกัน ของแต่ละจุดยอดแหลมได้ ขอบเขตของบริเวณใกล้เคียงเหล่านี้เป็นผลหารของ horosphere และดังนั้นจึงมีเมตริกแบบยุคลิด ดังนั้น ความชัน กล่าวคือ ชั้นไอโซโทปีที่ไม่กำหนดทิศทางของเส้นโค้งปิดแบบง่ายบนขอบเขตเหล่านี้ จึงมีความยาวที่กำหนดไว้อย่างดีโดยการหาความยาวแบบยุคลิดที่น้อยที่สุดเหนือเส้นโค้งทั้งหมดในชั้นไอโซโทปีทฤษฎีบท 2πกล่าวว่า การเติมแบบ Dehn ของM โดยที่ความชัน ของการเติมแต่ละครั้งมากกว่า2πจะส่งผลให้ได้ 3-แมนิโฟลด์ที่มีเมตริกสมบูรณ์ที่มีความโค้งภาคตัดขวางเป็นลบ ในความเป็นจริง เมตริกนี้สามารถเลือกให้เหมือนกับเมตริกไฮเปอร์โบลิกเดิมภายนอกบริเวณใกล้เคียงแบบ horoball ได้

แนวคิดพื้นฐานของการพิสูจน์คือการสร้างเมตริกที่มีความโค้งเป็นลบอย่างชัดเจนภายในบริเวณรอบๆ ทรงกลมโฮโรบอลแต่ละแห่ง ซึ่งตรงกับเมตริกที่อยู่ใกล้ขอบเขตทรงกลมโฮโรบอล การสร้างนี้โดยใช้พิกัดทรงกระบอกจะใช้ได้ผลเมื่อความชันของการเติมมีค่ามากกว่า  2πดูรายละเอียดทั้งหมดได้ ใน Bleiler & Hodgson (1996)

ตามสมมติฐานการสร้างรูปทรงเรขาคณิต 3-แมนิโฟลด์ที่มีความโค้งเชิงลบเหล่านี้จะต้องมีเมตริกไฮเปอร์โบลิกที่สมบูรณ์ การให้เหตุผลแบบ horoball packing ของ Thurston แสดงให้เห็นว่ามีค่าความชันที่ต้องหลีกเลี่ยงอย่างมากที่สุด 48 ค่าในแต่ละจุดยอดแหลมเพื่อให้ได้ 3-แมนิโฟลด์ไฮเปอร์โบลิก สำหรับ 3-แมนิโฟลด์ไฮเปอร์โบลิกที่มีจุดยอดแหลมเพียงจุดเดียว การปรับปรุงโดยColin Adamsทำให้มีค่าความชันพิเศษ 24 ค่า

ผลลัพธ์นี้ได้รับการปรับปรุงในภายหลังโดยอิสระโดยIan Agol  ( 2000 ) และMarc Lackenby  ( 2000 ) ด้วยทฤษฎีบท 6ทฤษฎีบท 6 ระบุว่าการเติม Dehn ตามความชันที่มีความยาวมากกว่า 6 จะส่งผลให้เกิด3-manifold ที่คล้ายไฮเปอร์โบ ลิก กล่าวคือ 3-manifold ที่ไม่สามารถลดทอน ได้ เป็นแบบ อะโทรอยดัลไม่ใช่แบบSeifert-fiberedและมีกลุ่มพื้นฐานไฮเปอร์โบลิกคำ อนันต์ และหากสมมติ สมมติฐานการทำให้เป็นเรขาคณิตอีกครั้งmanifold เหล่านี้จะมีเมตริกไฮเปอร์โบลิกที่สมบูรณ์ ข้อโต้แย้งของ Agol แสดงให้เห็นว่ามีความชันพิเศษอย่างมากที่สุด 12 ความชัน