ในทางคณิตศาสตร์สมการเชิงอนุพันธ์นามธรรมคือสมการเชิงอนุพันธ์ที่ฟังก์ชัน ที่ไม่ทราบค่า และอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นมีค่าอยู่ในปริภูมิเชิงนามธรรมทั่วไป (เช่นปริภูมิฮิลเบิร์ตปริภูมิบานาคเป็นต้น) สมการประเภทนี้เกิดขึ้น เช่น ในการศึกษาสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย : ถ้ากำหนดตำแหน่งพิเศษให้กับตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง (เช่น เวลา ใน สมการ ความร้อนหรือ สมการ คลื่น ) และนำตัวแปรอื่นๆ มารวมกัน จะได้สมการเชิงอนุพันธ์ธรรมดาเทียบกับตัวแปรที่ถูกกำหนดตำแหน่งพิเศษนั้น การเพิ่มเงื่อนไขขอบเขตมักสามารถแปลได้เป็นการพิจารณาคำตอบในปริภูมิฟังก์ชันที่เหมาะสมบางอย่าง

สมการเชิงอนุพันธ์นามธรรมแบบคลาสสิกที่พบได้บ่อยที่สุดคือสมการ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=Au+f}$

โดยที่ฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่าอยู่ในปริภูมิฟังก์ชัน บางอย่าง และเป็นตัวดำเนินการ (โดยปกติจะเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้น) ที่กระทำบนปริภูมินี้ ทฤษฎีของเซมิกรุป C0 ให้การวิเคราะห์อย่างละเอียดถี่ถ้วนในกรณีเอกพันธุ์ ( ₎ที่มีตัวดำเนินการคงที่บ่อยครั้งที่การศึกษาสมการเชิงอนุพันธ์นามธรรมอื่นๆ เทียบเท่ากับการศึกษาสมการนี้ (เช่น โดยการลดรูปเป็นชุดสมการอันดับแรก) ${\displaystyle u=u(t)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle 0\leq t\leq T\leq \infty }$${\displaystyle A:X\to X}$${\displaystyle f=0}$

ทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์นามธรรมได้รับการวางรากฐานโดยEinar HilleในเอกสารหลายฉบับและในหนังสือFunctional Analysis and Semi-Groups ของเขา ผู้มีส่วนร่วมหลักอื่นๆ ได้แก่^{[ 2 ]} Kōsaku Yosida , Ralph Phillips , Isao Miyadera และ Selim Grigorievich Krein ^{[ 3 ]}

ให้และเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้น สองตัว โดยมีโดเมนและที่ทำงานในพื้นที่ Banach [ ^{4 ] [ 5 ] [ 6 ] ฟังก์ชัน}จะเรียกว่ามีอนุพันธ์ที่แข็งแกร่ง (หรือสามารถหาอนุพันธ์แบบ Frechet ได้หรือเพียงแค่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ) ที่จุดถ้ามีองค์ประกอบ อยู่เช่นนั้น ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle D(A)}$${\displaystyle D(B)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle u(t):[0,T]\to X}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle y\in X}$

${\displaystyle \lim _{h\to 0}\left\|{\frac {u(t_{0}+h)-u(t_{0})}{h}}-y\right\|=0}$

และอนุพันธ์ของมันคือ. ${\displaystyle u'(t_{0})=y}$

คำตอบของสมการ

${\displaystyle B{\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=Au}$

เป็นฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติดังนี้: ${\displaystyle u(t):[0,\infty )\to D(A)\cap D(B)}$

• ${\displaystyle (Bu)(t)\in C([0,\infty );X),}$
• อนุพันธ์ที่แข็งแกร่งมีอยู่จริงและสำหรับสิ่งดังกล่าวใดๆและ${\displaystyle u'(t)}$${\displaystyle \forall t\in [0,\infty )}$${\displaystyle u'(t)\in D(B)}$${\displaystyle t}$
• ความเท่าเทียมกันก่อนหน้านี้ยังคงใช้ได้อยู่${\displaystyle \forall t\in [0,\infty )}$

ปัญหาโคชีคือการหาคำตอบของสมการที่สอดคล้องกับเงื่อนไขเริ่มต้น ${\displaystyle u(0)=u_{0}\in D(A)\cap D(B)}$

ตามนิยามของปัญหาที่มีคำตอบที่ชัดเจน (well-posed problem)โดยHadamardปัญหาของ Cauchy จะถือว่ามีคำตอบที่ชัดเจน (หรือถูกต้อง ) ก็ต่อเมื่อ: ${\displaystyle [0,\infty )}$

• สำหรับแต่ละกรณีมันมีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะตัว และ${\displaystyle u_{0}\in D(A)\cap D(B)}$
• วิธีแก้ปัญหานี้ขึ้นอยู่กับข้อมูลเริ่มต้นอย่างต่อเนื่องในแง่ที่ว่า ถ้า( ) แล้วสำหรับวิธีแก้ปัญหาที่สอดคล้องกันในทุกๆ${\displaystyle u_{n}(0)\to 0}$${\displaystyle u_{n}(0)\in D(A)\cap D(B)}$${\displaystyle u_{n}(t)\to 0}$${\displaystyle t\in [0,\infty ).}$

กล่าวได้ว่าปัญหาโคชีที่มีรูปแบบที่ดีนั้นมีรูปแบบที่ดีอย่างสม่ำเสมอหากหมายความว่ามี รูปแบบที่ดี อย่างสม่ำเสมอในแต่ละช่วงจำกัด${\displaystyle u_{n}(0)\to 0}$${\displaystyle u_{n}(t)\to 0}$${\displaystyle t}$${\displaystyle [0,T]}$

สำหรับปัญหาโคชีเชิงนามธรรม เราสามารถเชื่อมโยงเซมิกรุปของตัวดำเนินการได้กล่าวคือ ตระกูลของตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขตซึ่งขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์( ) เช่นนั้น ${\displaystyle U(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle 0<t<\infty }$

${\displaystyle U(t_{1}+t_{2})=U(t_{1})U(t_{2})\quad (0<t_{1},t_{2}<\infty ).}$

พิจารณาตัวดำเนินการ ที่กำหนด ค่าของคำตอบของปัญหาโคชี ( ) ให้กับองค์ประกอบณ เวลาt หากปัญหาโคชีมีคำตอบที่ชัดเจน ตัวดำเนินการจะถูกกำหนดบนและก่อให้เกิดเซมิกรุป ${\displaystyle U(t)}$${\displaystyle u_{n}(0)\in D(A)\cap D(B)}$${\displaystyle u(t)}$${\displaystyle u(0)=u_{0}}$${\displaystyle t>0}$${\displaystyle U(t)}$${\displaystyle D(A)\cap D(B)}$

นอกจากนี้ ถ้าเป็นเซตหนาแน่นในตัวดำเนินการสามารถขยายไปเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบมีขอบเขตที่กำหนดบนปริภูมิทั้งหมดได้ในกรณีนี้ เราสามารถเชื่อมโยง กับฟังก์ชัน ใดๆ ก็ได้ สำหรับใดๆ ก็ได้ฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่าผลเฉลยทั่วไปของปัญหาโคชี ${\displaystyle D(A)\cap D(B)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U(t)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x_{0}\in X}$${\displaystyle U(t)x_{0}}$${\displaystyle t>0}$

ถ้าเป็นเซตหนาแน่นในและปัญหาโคชีมีคำตอบที่ชัดเจนสม่ำเสมอแล้ว เซมิกรุปที่เกี่ยวข้องจะ เป็นเซมิกรุปC ₀ใน${\displaystyle D(A)\cap D(B)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U(t)}$${\displaystyle X}$

ในทางกลับกัน ถ้าเป็นตัวสร้างอนันต์เล็ก ของ เซมิกรุปC ₀แล้ว ปัญหาโคชี ${\displaystyle A}$${\displaystyle U(t)}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=Au\quad u(0)=u_{0}\in D(A)}$

เป็นปัญหาที่มีคำตอบสม่ำเสมอ และคำตอบนั้นกำหนดโดย

${\displaystyle u(t)=U(t)u_{0}.}$

ปัญหาของคอชี

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=Au+f\quad u(0)=u_{0}\in D(A)}$

โดยที่เรียกว่าไม่เป็นเอกพันธุ์เมื่อทฤษฎีบทต่อไปนี้ให้เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการมีอยู่ของคำตอบ: ${\displaystyle f:[0,\infty )\to X}$${\displaystyle f(t)\neq 0}$

ทฤษฎีบท.ถ้าเป็นตัวกำเนิดอนันต์ของเซมิกรุป_C₀และสามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง แล้วฟังก์ชัน ${\displaystyle A}$${\displaystyle T(t)}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle u(t)=T(t)u_{0}+\int _{0}^{t}T(ts)f(s)\,ds,\quad t\geq 0}$

เป็นคำตอบเฉพาะของปัญหาโคชีแบบไม่เอกพันธุ์ (เชิงนามธรรม)

อินทิกรั ล ทางด้านขวามือนั้นตั้งใจให้เป็นอินทิกรัลของ Bochner

ปัญหา^{[ 7 ]}ของการหาวิธีแก้ปัญหาค่าเริ่มต้น

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=A(t)u+f\quad u(0)=u_{0}\in D(A),}$

โดยที่ตัวแปรที่ไม่ทราบค่าคือฟังก์ชันซึ่งกำหนดให้ และสำหรับแต่ละเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบปิด ที่กำหนดให้ใน ที่มีโดเมนเป็นอิสระจากและหนาแน่นในเรียกว่าปัญหาโคชี แบบขึ้นอยู่กับเวลา${\displaystyle u:[0,T]\to X}$${\displaystyle f:[0,T]\to X}$${\displaystyle t\in [0,T]}$${\displaystyle A(t)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle D[A(t)]=D}$${\displaystyle t}$${\displaystyle X}$

ฟังก์ชันที่มีค่าเป็นตัวดำเนินการซึ่งมีค่าอยู่ใน(ปริมาณของตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขต ทั้งหมด จากถึง) ซึ่งกำหนดและต่อเนื่องอย่างเข้มแข็งร่วมกันในสำหรับเรียกว่าเป็นคำตอบพื้นฐานของปัญหาที่ขึ้นอยู่กับเวลา ถ้า: ${\displaystyle U(t,\tau )}$${\displaystyle B(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle t,\tau }$${\displaystyle 0\leq \tau \leq t\leq T}$

• อนุพันธ์ย่อยมีอยู่ในโทโพโลยีที่แข็งแกร่งของ, อยู่ในสำหรับ, และมีความต่อเนื่องอย่างแข็งแกร่งในสำหรับ;${\displaystyle {\frac {\mathrm {\delta } U(t,\tau )}{\mathrm {\delta } t}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B(X)}$${\displaystyle 0\leq \tau \leq t\leq T}$${\displaystyle t}$${\displaystyle 0\leq \tau \leq t\leq T}$
• ช่วงของอยู่ใน;${\displaystyle U(t,\tau )}$${\displaystyle D}$
• ${\displaystyle {\frac {\mathrm {\delta } U(t,\tau )}{\mathrm {\delta } t}}+A(t)U(t,\tau )=0,\quad 0\leq \tau \leq t\leq T,}$และ
• ${\displaystyle U(\tau ,\tau )=I}$.

${\displaystyle U(\tau ,\tau )}$เรียกอีกอย่างว่า ตัวดำเนินการวิวัฒนาการ ตัวแพร่กระจาย ตัวดำเนินการหาคำตอบ หรือฟังก์ชันกรีน

ฟังก์ชันจะเรียกว่าเป็นคำตอบอ่อนของปัญหาที่ขึ้นอยู่กับเวลา หากฟังก์ชันนั้นยอมรับการแสดงในรูปอินทิกรัล ${\displaystyle u:[0,T]\to X}$

${\displaystyle u(t)=U(t,0)u_{0}+\int _{0}^{t}U(t,s)f(s)\,ds,\quad t\geq 0.}$

มีเงื่อนไขเพียงพอที่ทราบกันดีหลายประการสำหรับการมีอยู่ของตัวดำเนินการวิวัฒนาการ ในทางปฏิบัติเกือบทุกกรณีที่พิจารณาในวรรณกรรมนั้นถือว่าเป็นตัวสร้างอนันต์ของเซมิกรุป C₀ _บนโดยคร่าวๆ แล้ว ถ้าเป็นตัวสร้างอนันต์ของเซมิกรุปหดตัว สมการนั้นจะเรียกว่าเป็นแบบไฮเปอร์โบลิกถ้าเป็นตัวสร้างอนันต์ของเซมิกรุปวิเคราะห์สมการนั้นจะเรียกว่าเป็นแบบพาราโบลิก ${\displaystyle U(t,\tau )}$${\displaystyle -A(t)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle -A(t)}$${\displaystyle -A(t)}$

ปัญหา^{[ 7 ]}ของการหาวิธีแก้ปัญหาให้กับทั้งสองอย่าง

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=f(t,u)\quad u(0)=u_{0}\in X}$

โดยที่กำหนดให้ หรือ ${\displaystyle f:[0,T]\times X\to X}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} t}}=A(t)u\quad u(0)=u_{0}\in D(A)}$

โดยที่เป็นตัวดำเนินการไม่เชิงเส้นที่มีโดเมนเรียกว่าปัญหาโคชีไม่เชิงเส้น ${\displaystyle A}$${\displaystyle D(A)\in X}$

• ปัญหาคอชี
• เซมิกรุป C0