ในการศึกษาสมการเชิงอนุพันธ์ปัญหาค่าขอบเขตคือสมการเชิงอนุพันธ์ที่อยู่ภายใต้ข้อจำกัดที่เรียกว่าเงื่อนไขขอบเขต^{[ 1 ]}คำตอบของปัญหาค่าขอบเขตคือคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขขอบเขตด้วย

ปัญหาค่าขอบเขตเกิดขึ้นในหลายสาขาของฟิสิกส์ เช่นเดียวกับสมการเชิงอนุพันธ์ทางฟิสิกส์ทุกสมการ ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับสมการคลื่นเช่น การหาโหมดปกติมักถูกระบุในรูปของปัญหาค่าขอบเขต ปัญหาค่าขอบเขตที่สำคัญกลุ่มหนึ่งคือปัญหา Sturm–Liouvilleการวิเคราะห์ปัญหาเหล่านี้ในกรณีเชิงเส้นเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันเฉพาะของ ตัวดำเนิน การ เชิงอนุพันธ์

เพื่อให้มีประโยชน์ในการใช้งาน ปัญหาค่าขอบเขตควรมีความพร้อมในการกำหนด (well-posed ) หมายความว่า เมื่อกำหนดอินพุตให้กับปัญหาแล้ว จะมีคำตอบที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียว ซึ่งขึ้นอยู่กับอินพุตอย่างต่อเนื่อง งานวิจัยเชิงทฤษฎีจำนวนมากในสาขาสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยทุ่มเทให้กับการพิสูจน์ว่าปัญหาค่าขอบเขตที่เกิดขึ้นจากงานทางวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมมีความพร้อมในการกำหนดอย่างแท้จริง

หนึ่งในปัญหาค่าขอบเขตที่เก่าแก่ที่สุดที่ได้รับการศึกษาคือปัญหาของดิริชเลต์ซึ่งเป็นการหาฟังก์ชันฮาร์มอนิก (คำตอบของสมการลาปลาส ) โดยคำตอบนั้นได้มาจากหลักการของดิริชเลต์

ปัญหาค่าขอบเขตคล้ายกับปัญหาค่าเริ่มต้นปัญหาค่าขอบเขตมีเงื่อนไขที่ระบุไว้ที่ค่าสุดขั้ว ("ขอบเขต") ของตัวแปรอิสระในสมการ ในขณะที่ปัญหาค่าเริ่มต้นมีเงื่อนไขทั้งหมดที่ระบุไว้ที่ค่าเดียวกันของตัวแปรอิสระ (และค่านั้นอยู่ที่ขอบเขตล่างของโดเมน ดังนั้นจึงเรียกว่า "ค่าเริ่มต้น") ค่าขอบเขตคือค่าข้อมูลที่สอดคล้องกับค่าอินพุต ค่าภายใน หรือค่าเอาต์พุตขั้นต่ำหรือสูงสุดที่ระบุไว้สำหรับระบบหรือส่วนประกอบ^{[ 2 ]}

ตัวอย่างเช่น หากตัวแปรอิสระคือเวลาในช่วง [0,1] ปัญหาค่าขอบเขตจะระบุค่าของที่ เวลาและในขณะที่ปัญหาค่าเริ่มต้นจะระบุค่าของและที่เวลา${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle t=1}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle y'(t)}$${\displaystyle t=0}$

การหาอุณหภูมิที่ทุกจุดของแท่งเหล็ก โดยที่ปลายด้านหนึ่งอยู่ที่ศูนย์สัมบูรณ์และปลายอีกด้านหนึ่งอยู่ที่จุดเยือกแข็งของน้ำ จะเป็นปัญหาค่าขอบเขต

หากปัญหานั้นขึ้นอยู่กับทั้งพื้นที่และเวลา เราสามารถระบุค่าของปัญหา ณ จุดใดจุดหนึ่งสำหรับทุกช่วงเวลา หรือ ณ เวลาใดเวลาหนึ่งสำหรับทุกพื้นที่ได้

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตัวอย่างของปัญหาค่าขอบเขต (ในมิติเชิงพื้นที่เดียว) คือ

${\displaystyle y''(x)+y(x)=0}$

เพื่อหาค่าฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่าพร้อมเงื่อนไขขอบเขต ${\displaystyle y(x)}$

${\displaystyle y(0)=0,\ y(\pi /2)=2.}$

หากไม่มีเงื่อนไขขอบเขต คำตอบทั่วไปของสมการนี้คือ

${\displaystyle y(x)=A\sin(x)+B\cos(x).}$

จากเงื่อนไขขอบเขตจะได้ว่า ${\displaystyle y(0)=0}$

${\displaystyle 0=A\cdot 0+B\cdot 1}$

ซึ่งหมายความว่าจากเงื่อนไขขอบเขตจะพบว่า ${\displaystyle B=0.}$${\displaystyle y(\pi /2)=2}$

${\displaystyle 2=A\cdot 1}$

ดังนั้นจะเห็นได้ว่า การกำหนดเงื่อนไขขอบเขตทำให้สามารถหาคำตอบที่ไม่ซ้ำกันได้ ซึ่งในกรณีนี้คือ ${\displaystyle A=2.}$

${\displaystyle y(x)=2\sin(x).}$

คลาสมาตรฐาน 3 คลาส^{[ 3 ]}ของเงื่อนไขคือ Dirichlet, Neumann และ Cauchy ^{[ 4 ]}หรือ Robin ^{[ 3 ]}รวมถึงขอบเขตแบบผสม^{[ 5 ]}เป็นอนันต์^{[ 6 ]}

สรุปเงื่อนไขขอบเขตสำหรับฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่า, ค่าคงที่และที่ระบุโดยเงื่อนไขขอบเขต และฟังก์ชันสเกลาร์ที่ทราบค่าและที่ระบุโดยเงื่อนไขขอบเขต ${\displaystyle y}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

ชื่อ	แบบฟอร์มบนส่วนแรกของขอบเขต	แบบฟอร์มบนส่วนที่ 2 ของขอบเขต
ดิริชเลต์	${\displaystyle y=f}$
นอยมันน์	${\displaystyle {\partial y \over \partial n}=f}$
โรบิน	${\displaystyle c_{0}y+c_{1}{\partial y \over \partial n}=f}$
คอชี่	ทั้งสองและ${\displaystyle y=f}$${\displaystyle {\partial y \over \partial n}=g}$
ผสม	${\displaystyle y=f}$	${\displaystyle c_{0}y+c_{1}{\partial y \over \partial n}=g}$

เงื่อนไขขอบเขตประเภทที่ 1 เงื่อนไขขอบเขต Dirichlet [ ^{7 ] ระบุ}ค่าของฟังก์ชันเอง ตัวอย่างเช่น หากปลายด้านหนึ่งของแท่งเหล็กถูกยึดไว้ที่ศูนย์สัมบูรณ์ ค่าของปัญหาจะทราบได้ ณ จุดนั้นในอวกาศ

เงื่อนไขขอบเขตประเภท 2 เงื่อนไขขอบเขต Neumann ^{[ 7 ]}ระบุค่าของอนุพันธ์ปกติของฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น หากมีฮีตเตอร์อยู่ที่ปลายด้านหนึ่งของแท่งเหล็ก พลังงานจะถูกเพิ่มในอัตราคงที่ แต่จะไม่ทราบอุณหภูมิที่แท้จริง

เงื่อนไขขอบเขตประเภทที่ 3 คือเงื่อนไข Robin ^{[ 7 ]}

ถ้าขอบเขตมีลักษณะเป็นเส้นโค้งหรือพื้นผิวที่ให้ค่าแก่ค่าอนุพันธ์ปกติและตัวแปรนั้นเอง ขอบเขตนั้นก็จะเป็นเงื่อนไขขอบเขตแบบโคชี

เงื่อนไขขอบเขตประเภท 0 ไม่มีขอบเขตทางกายภาพ^{[ 7 ]}

นอกเหนือจากเงื่อนไขขอบเขตแล้ว ปัญหาค่าขอบเขตยังถูกจำแนกตามประเภทของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ที่เกี่ยวข้องอีกด้วย สำหรับตัวดำเนินการเชิงวงรีจะกล่าวถึงปัญหาค่าขอบเขตเชิงวงรีสำหรับตัวดำเนินการเชิงไฮเปอร์โบลิกจะกล่าวถึงปัญหาค่าขอบเขตเชิงไฮเปอร์โบลิกหมวดหมู่เหล่านี้ยังแบ่งย่อยออกเป็น ประเภท เชิงเส้นและประเภทไม่เชิงเส้นต่างๆ อีกด้วย

ในวิชาไฟฟ้าสถิตปัญหาทั่วไปอย่างหนึ่งคือการหาฟังก์ชันที่อธิบายศักย์ไฟฟ้าของบริเวณที่กำหนด หากบริเวณนั้นไม่มีประจุ ศักย์ไฟฟ้าจะต้องเป็นคำตอบของสมการลาปลาส (เรียกว่าฟังก์ชันฮาร์มอนิก ) เงื่อนไขขอบเขตในกรณีนี้คือเงื่อนไขอินเตอร์เฟซสำหรับสนามแม่เหล็กไฟฟ้าหากไม่มีความหนาแน่นกระแสในบริเวณนั้น ก็สามารถกำหนดศักย์สเกลาร์แม่เหล็ก ได้ โดยใช้ขั้นตอนที่คล้ายกัน

• AD Polyanin และ VF Zaitsev, คู่มือวิธีแก้ปัญหาที่แม่นยำสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ (ฉบับที่ 2) , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2.
• AD Polyanin, คู่มือสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเชิงเส้นสำหรับวิศวกรและนักวิทยาศาสตร์ , Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9.

• "ปัญหาค่าขอบเขตในทฤษฎีศักย์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• "ปัญหาค่าขอบเขต วิธีตัวแปรเชิงซ้อน"สารานุกรมคณิตศาสตร์สำนักพิมพ์ EMS 2001 [1994]
• สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเชิงเส้น: คำตอบที่แน่นอนและปัญหาค่าขอบเขตที่ EqWorld: โลกแห่งสมการทางคณิตศาสตร์
• "ปัญหาค่าขอบเขต" . Scholarpedia .