ในฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์การประมาณค่า WKBหรือวิธีWKBเป็นเทคนิคสำหรับการหาคำตอบโดยประมาณของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์แปรผันตามตำแหน่ง โดยทั่วไปจะใช้สำหรับ การคำนวณ แบบกึ่งคลาสสิกในกลศาสตร์ควอนตัมซึ่งฟังก์ชันคลื่นจะถูกแปลงเป็นฟังก์ชันเอกซ์ponentialขยายแบบกึ่งคลาสสิก แล้วจึงถือว่าแอมพลิจูดหรือเฟสเปลี่ยนแปลงอย่างช้าๆ

ชื่อนี้เป็นตัวย่อของWentzel–Kramers–Brillouinหรือที่รู้จักกันในชื่อLGหรือวิธี Liouville–Green นอกจากนี้ยัง มีการใช้ตัวอักษรผสมอื่นๆ ที่ใช้กันบ่อย เช่นJWKBและWKBJโดยที่ "J" ย่อมาจาก Jeffreys

วิธีนี้ตั้งชื่อตามนักฟิสิกส์Gregor Wentzel , Hendrik Anthony KramersและLéon Brillouinซึ่งทั้งหมดได้พัฒนาวิธีนี้ขึ้นในปี 1926 ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}ในปี 1923 ^{[ 5 ]}นักคณิตศาสตร์Harold Jeffreysได้พัฒนาวิธีทั่วไปในการประมาณคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสอง ซึ่งเป็นประเภทที่รวมถึงสมการชโรดิงเกอร์สมการชโรดิงเกอร์เองนั้นยังไม่ได้รับการพัฒนาจนกระทั่งสองปีต่อมา และ Wentzel, Kramers และ Brillouin ดูเหมือนจะไม่ทราบถึงงานก่อนหน้านี้ ดังนั้น Jeffreys จึงมักถูกมองข้ามเครดิต ตำราในยุคแรกๆ ของกลศาสตร์ควอนตัมมีตัวอักษรย่อของพวกเขาหลายแบบรวมกัน รวมถึง WBK, BWK, WKBJ, JWKB และ BWKJ การอภิปรายที่น่าเชื่อถือและการสำรวจเชิงวิพากษ์ได้จัดทำโดย Robert B. Dingle ^{[ 6 ]}

วิธีการที่เทียบเท่ากันโดยพื้นฐานที่ปรากฏขึ้นก่อนหน้านี้ ได้แก่Francesco Carliniในปี 1817 ^{[ 7 ]} Joseph Liouvilleในปี 1837 ^{[ 8 ]} George Greenในปี 1837 ^{[ 9 ]} Lord Rayleighในปี 1912 ^{[ 10 ]}และRichard Gansในปี 1915 ^{[ 11 ]}อาจกล่าวได้ว่า Liouville และ Green เป็นผู้ก่อตั้งวิธีการนี้ในปี 1837 และโดยทั่วไปเรียกวิธีการนี้ว่า Liouville–Green หรือ LG ^{[ 12 ] [ 13 ]}

ผลงานสำคัญของ Jeffreys, Wentzel, Kramers และ Brillouin ในวิธีการนี้คือการรวมการพิจารณาจุดเปลี่ยนซึ่งเชื่อมต่อ คำตอบ ที่จางหายไปและ คำตอบ ที่แกว่งไป มา ที่ด้านใดด้านหนึ่งของจุดเปลี่ยน ตัวอย่างเช่น สิ่งนี้อาจเกิดขึ้นในสมการชโรดิงเกอร์ เนื่องมาจากเนิน พลังงานศักย์

วิธี WKB ประมาณค่าคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีอนุพันธ์สูงสุดคูณด้วยพารามิเตอร์ขนาดเล็กสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ให้สมมติว่าคำตอบอยู่ในรูปแบบของการขยายอนุกรมเชิงเส้นกำกับในลิมิตการปรับขนาดเชิงเส้นกำกับของในรูปของจะถูกกำหนดโดยสมการ ดูตัวอย่างด้านล่าง ${\displaystyle \varepsilon }$$${\displaystyle \varepsilon {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+a(x){\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+\cdots +k(x){\frac {dy}{dx}}+m(x)y=0,}$$$${\displaystyle y(x)\sim \exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right]}$$${\displaystyle \เดลต้า \rightarrow 0}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \varepsilon }$

การแทน สมมติฐานข้างต้นลงในสมการเชิงอนุพันธ์และตัดพจน์เลขชี้กำลังออก จะช่วยให้สามารถหาจำนวนพจน์ใดๆ ในการกระจายได้ ${\displaystyle S_{n}(x)}$

ทฤษฎี WKB เป็นกรณีพิเศษของการวิเคราะห์หลายระดับ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]}

ตัวอย่างนี้มาจากข้อความของCarl M. BenderและSteven Orszag [ ^{16 ] พิจารณา}สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นเอกพันธุ์อันดับสองโดยที่ การแทนค่า ส่งผลให้ได้สมการ ในลำดับนำของ ( โดยสมมติว่าในขณะนี้อนุกรมจะมีความสอดคล้องเชิงอะซิมโทติก) ข้างต้นสามารถประมาณได้เป็นในลิมิตสมดุลที่เด่นที่สุดจะได้รับโดยดังนั้นจึงเป็นสัดส่วนกับ การ กำหนดให้เท่ากันและเปรียบเทียบกำลังจะให้ซึ่งสามารถจดจำได้ว่าเป็นสมการไอโคนาลโดยมีคำตอบเมื่อพิจารณากำลังอันดับแรกของจะคงที่ซึ่งมีคำตอบเป็น โดย ที่ เป็นค่าคงที่ใดๆ $${\displaystyle \varepsilon ^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=Q(x)\,y,}$$${\displaystyle Q(x)\neq 0}$$${\displaystyle y(x)=\exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right]}$$$${\displaystyle \varepsilon ^{2}\left[{\frac {1}{\delta ^{2}}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}^{\prime }\right)^{2}+{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}^{\prime \prime }\right]=Q(x).}$$${\displaystyle \varepsilon }$$${\displaystyle {\frac {\varepsilon ^{2}}{\delta ^{2}}}{S_{0}^{\prime }}^{2}+{\frac {2\varepsilon ^{2}}{\delta }}S_{0}^{\prime }S_{1}^{\prime }+{\frac {\varepsilon ^{2}}{\delta }}S_{0}^{\prime \prime }=Q(x).}$$${\displaystyle \delta \rightarrow 0}$$${\displaystyle {\frac {\varepsilon ^{2}}{\delta ^{2}}}{S_{0}^{\prime }}^{2}\sim Q(x).}$$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \varepsilon }$$${\displaystyle \varepsilon ^{0}:\quad {S_{0}^{\prime }}^{2}=Q(x),}$$$${\displaystyle S_{0}(x)=\pm \int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(x')}}\,dx'.}$$${\displaystyle \varepsilon }$$${\displaystyle \varepsilon ^{1}:\quad 2S_{0}^{\prime }S_{1}^{\prime }+S_{0}^{\prime \prime }=0.}$$$${\displaystyle S_{1}(x)=-{\frac {1}{4}}\ln Q(x)+k_{1},}$$${\displaystyle k_{1}}$

ตอนนี้เราได้ค่าประมาณของระบบสองค่าแล้ว (เป็นคู่ เพราะสามารถมีเครื่องหมายได้สองแบบ) ค่าประมาณ WKB อันดับแรกจะเป็นผลรวมเชิงเส้นของทั้งสอง ค่านี้ พจน์อันดับสูงกว่าสามารถหาได้โดยการพิจารณาสมการสำหรับกำลังที่สูงกว่าของโดย เฉพาะอย่างยิ่งสำหรับ${\displaystyle S_{0}}$$${\displaystyle y(x)\approx c_{1}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left({\frac {1}{\varepsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}\,dt\right)+c_{2}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left(-{\frac {1}{\varepsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}\,dt\right).}$$${\displaystyle \delta }$$${\displaystyle 2S_{0}^{\prime }S_{n}^{\prime }+S_{n-1}^{\prime \prime }+\sum _{j=1}^{n-1}S_{j}^{\prime }S_{n-j}^{\prime }=0}$$${\displaystyle n\geq 2}$

อนุกรมเชิงเส้นกำกับสำหรับy ( x )มักจะเป็นอนุกรมลู่เข้าซึ่งพจน์ทั่วไปจะเริ่มเพิ่มขึ้นหลังจากค่าหนึ่งดังนั้น ข้อผิดพลาดที่น้อยที่สุดที่ได้จากวิธี WKB จึงมีค่าอยู่ในระดับเดียวกับพจน์สุดท้ายที่รวมอยู่ด้วยเท่านั้น ${\displaystyle \delta ^{n}S_{n}(x)}$${\displaystyle n=n_{\textrm {max}}}$

สำหรับสมการ ที่มีฟังก์ชันวิเคราะห์ค่าและขนาดของพจน์สุดท้ายสามารถประมาณได้ดังนี้: ^{[ 17 ]}โดยที่คือจุดที่ต้องประเมิน และคือจุดเปลี่ยน (เชิงซ้อน) ที่ ใกล้ เคียง ที่สุดกับ$${\displaystyle \varepsilon ^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=Q(x)y,}$$${\displaystyle Q(x)<0}$${\displaystyle n_{\max }}$$${\displaystyle n_{\max }\approx {\frac {2}{\varepsilon }}\left|\int _{x_{0}}^{x_{\ast }}{\sqrt {-Q(z)}}\,dz\right|,}$$$${\displaystyle \delta ^{n_{\max }}S_{n_{\max }}(x_{0})\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{n_{\max }}}}e^{-n_{\max }},}$$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle y(x_{0})}$${\displaystyle x_{\ast }}$${\displaystyle Q(x_{\ast })=0}$${\displaystyle x=x_{0}}$

ตัวเลขนี้สามารถตีความได้ว่าเป็นจำนวนการแกว่งระหว่างจุดเปลี่ยนกับจุดเปลี่ยนที่ใกล้ที่สุด ${\displaystyle n_{\max }}$${\displaystyle x_{0}}$

ถ้าเป็นฟังก์ชันที่เปลี่ยนแปลงช้า ตัวเลข จะมี ค่ามาก และค่าความคลาดเคลื่อนต่ำสุดของอนุกรมเชิงเส้นกำกับจะมีค่าน้อยมากในเชิงเลขชี้กำลัง ${\displaystyle \varepsilon ^{-1}Q(x)}$$${\displaystyle \varepsilon \left|{\frac {dQ}{dx}}\right|\ll Q^{2},^{{\text{[might be }}Q^{3/2}{\text{?]}}}}$$${\displaystyle n_{\max }}$

ตัวอย่างข้างต้นสามารถนำไปประยุกต์ใช้ได้โดยเฉพาะกับ สมการชโรดิงเกอร์แบบหนึ่งมิติที่ไม่ขึ้นกับเวลาซึ่งสามารถเขียนใหม่ได้เป็นการประมาณค่าห่างจากจุดเปลี่ยน $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi (x)=E\Psi (x),}$$$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\Psi (x).}$$

ฟังก์ชันคลื่นสามารถเขียนใหม่ได้ในรูปเลขชี้กำลังของฟังก์ชันอื่นS (ซึ่งมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการกระทำ ) ซึ่งอาจเป็นจำนวนเชิงซ้อนได้

$${\displaystyle \Psi (\mathbf {x} )=e^{iS(\mathbf {x} )/\hbar },}$$ดังนั้นการแทนที่ในสมการของชโรดิงเกอร์จึงให้ผลลัพธ์ดังนี้: ต่อไปจะใช้การประมาณแบบกึ่งคลาสสิก ซึ่งหมายความว่าแต่ละฟังก์ชันจะถูกขยายเป็นอนุกรมกำลังใน: เมื่อแทนค่าลงในสมการ และเก็บเฉพาะพจน์ที่มีลำดับไม่เกินอันดับแรกในจะได้ซึ่งให้ความสัมพันธ์สองประการต่อไปนี้: สิ่งเหล่านี้สามารถแก้ได้สำหรับระบบหนึ่งมิติ สมการแรกสามารถแก้ได้โดยและสมการที่สองที่คำนวณสำหรับค่าที่เป็นไปได้ของข้างต้น โดยทั่วไปจะแสดงเป็น: ดังนั้น ฟังก์ชันคลื่นที่ได้ในการประมาณ WKB อันดับแรกจึงแสดงเป็น^{[ 18 ] [ 19 ]}$${\displaystyle i\hbar \nabla ^{2}S(\mathbf {x} )-\left(\nabla S(\mathbf {x} )\right)^{2}=2m\left(V(\mathbf {x} )-E\right),}$$${\displaystyle \hbar }$$${\displaystyle S=S_{0}+\hbar S_{1}+\hbar ^{2}S_{2}+\cdots }$$${\displaystyle \hbar }$$${\displaystyle \left(\nabla S_{0}+\hbar \nabla S_{1}\right)^{2}-i\hbar \left(\nabla ^{2}S_{0}\right)=2m\left(E-V(\mathbf {x} )\right),}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\nabla S_{0}\right)^{2}=2m\left(E-V(\mathbf {x} )\right)&=\left(p(\mathbf {x} )\right)^{2}\\[1ex]2\nabla S_{0}\cdot \nabla S_{1}-i\nabla ^{2}S_{0}&=0.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle S_{0}(x)=\pm \int {\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=\pm \int p(x)\,dx,}$$$${\displaystyle \Psi (x)\approx C_{+}{\frac {e^{+{\frac {i}{\hbar }}\int p(x)\,dx}}{\sqrt {|p(x)|}}}+C_{-}{\frac {e^{-{\frac {i}{\hbar }}\int p(x)\,dx}}{\sqrt {|p(x)|}}}}$$

ในบริเวณที่อนุญาตตามหลักคลาสสิก กล่าวคือ บริเวณที่ตัวอินทิกรัลในเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจินตนาการ และฟังก์ชันคลื่นโดยประมาณเป็นแบบสั่น ในบริเวณที่ไม่อนุญาตตามหลักคลาสสิกคำตอบจะเพิ่มขึ้นหรือลดลง เห็นได้ชัดในตัวส่วนว่าคำตอบโดยประมาณทั้งสองนี้จะกลายเป็นค่าเอกฐานใกล้จุดเปลี่ยนทิศทาง ตามหลักคลาสสิก ซึ่งและ ไม่สามารถใช้ได้ (จุดเปลี่ยนทิศทางคือจุดที่อนุภาคคลาสสิกเปลี่ยนทิศทาง) ${\displaystyle V(x)<E}$${\displaystyle V(x)>E}$${\displaystyle E=V(x)}$

ดังนั้น เมื่อฟังก์ชันคลื่นสามารถเลือกให้แสดงได้ดังนี้: และสำหรับการอินทิเกรตในคำตอบนี้คำนวณระหว่างจุดเปลี่ยนแบบคลาสสิกและตำแหน่งที่กำหนด ${\displaystyle E>V(x)}$$${\displaystyle \Psi (x')\approx {\frac {1}{\sqrt {|p(x)|}}}\left[C\cos \left({\frac {1}{\hbar }}\int \left|p(x)\right|dx+\alpha \right)+D\sin \left(-{\frac {1}{\hbar }}\int \left|p(x)\right|dx+\alpha \right)\right]}$$${\displaystyle V(x)>E}$$${\displaystyle \Psi (x')\approx {\frac {C_{+}e^{-{\frac {1}{\hbar }}\int |p(x)|\,dx}}{\sqrt {|p(x)|}}}+{\frac {C_{-}e^{+{\frac {1}{\hbar }}\int |p(x)|\,dx}}{\sqrt {|p(x)|}}}.}$$${\displaystyle x'}$

จากเงื่อนไข:$${\displaystyle \left(S_{0}'(x)\right)^{2}-\left(p(x)\right)^{2}+\hbar \left(2S_{0}'(x)S_{1}'(x)-iS_{0}''(x)\right)=0}$$

ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า:${\textstyle \hbar \left|2S_{0}'(x)S_{1}'(x)\right|+\hbar \left|iS_{0}''(x)\right|\ll \left|(S_{0}'(x))^{2}\right|+\left|(p(x))^{2}\right|}$

ซึ่งอสมการสองข้อต่อไปนี้จะเทียบเท่ากัน เนื่องจากพจน์ในแต่ละด้านเทียบเท่ากัน ดังที่ใช้ในการประมาณค่า WKB:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\hbar \left|S_{0}''(x)\right|&\ll \left|(S_{0}'(x))^{2}\right|\\2\hbar \left|S_{0}'S_{1}'\right|&\ll \left|(p'(x))^{2}\right|\end{aligned}}}$$

อสมการแรกสามารถนำมาใช้แสดงสิ่งต่อไปนี้ได้:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\hbar \left|S_{0}''(x)\right|&\ll \left|p(x)\right|^{2}\\[6pt]{\frac {1}{2}}{\frac {\hbar }{|p(x)|}}\left|{\frac {dp^{2}}{dx}}\right|&\ll \left|p(x)\right|^{2}\\[6pt]\lambda \left|{\frac {dV}{dx}}\right|&\ll {\frac {\left|p\right|^{2}}{m}}\\\end{aligned}}}$$

โดยที่ใช้ และคือความยาวคลื่นเดอ บรอยล์ เฉพาะที่ ของฟังก์ชันคลื่น อสมการนี้บ่งชี้ว่าการเปลี่ยนแปลงของศักยภาพนั้นถือว่าเปลี่ยนแปลงอย่างช้าๆ^{[ 19 ] [ 20 ]}เงื่อนไขนี้สามารถกล่าวใหม่ได้ว่าการเปลี่ยนแปลงเศษส่วนของหรือของโมเมนตัมตลอดความยาวคลื่น นั้น มีค่า น้อยกว่า มาก^{[ 21 ]}${\textstyle |S_{0}'(x)|=|p(x)|}$${\textstyle \lambda (x)}$${\textstyle E-V(x)}$${\textstyle p(x)}$${\textstyle \lambda }$${\textstyle 1}$

ในทำนองเดียวกัน สามารถแสดงได้ว่ายังมีข้อจำกัดตามสมมติฐานพื้นฐานสำหรับการประมาณ WKB ซึ่งหมายความว่าความยาวคลื่นเดอ บรอยล์ของอนุภาคจะเปลี่ยนแปลงอย่างช้าๆ^{[ 20 ]}${\textstyle \lambda (x)}$$${\displaystyle \left|{\frac {d\lambda }{dx}}\right|\ll 1}$$

ตอนนี้เราจะพิจารณาพฤติกรรมของฟังก์ชันคลื่นใกล้จุดเปลี่ยน สำหรับเรื่องนี้ เราต้องการวิธีการที่แตกต่างออกไป ใกล้จุดเปลี่ยนแรกเทอมสามารถขยายเป็นอนุกรมกำลังได้^ในอันดับแรก จะพบว่าสมการเชิงอนุพันธ์นี้เรียกว่าสมการ Airyและคำตอบสามารถเขียนได้ในรูปของฟังก์ชัน Airy [ ^{22 ]}แม้ว่าสำหรับค่าคงที่ใดๆ ของฟังก์ชันคลื่นจะมีขอบเขตใกล้จุดเปลี่ยน แต่ฟังก์ชันคลื่นจะมีค่าสูงสุดที่นั่น ดังที่เห็นได้ในภาพด้านบน เมื่อมีค่าน้อยลง ความสูงของฟังก์ชันคลื่นที่จุดเปลี่ยนจะเพิ่มขึ้น นอกจากนี้ยังเป็นไปตามการประมาณนี้ว่า:${\displaystyle x_{1}}$${\textstyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}$$${\displaystyle {\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=U_{1}\cdot (x-x_{1})+U_{2}\cdot (x-x_{1})^{2}+\cdots \;.}$$$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\Psi (x)=U_{1}\cdot (x-x_{1})\cdot \Psi (x).}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi (x)&=C_{A}\operatorname {Ai} \left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}\cdot (x-x_{1})\right)+C_{B}\operatorname {Bi} \left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}\cdot (x-x_{1})\right)\\[6pt]&=C_{A}\operatorname {Ai} \left(u\right)+C_{B}\operatorname {Bi} \left(u\right).\end{aligned}}}$$${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle \hbar }$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\hbar }}\int p(x)\,dx&={\sqrt {U_{1}}}\int {\sqrt {x-a}}\,dx\\&={\frac {2}{3}}\left[{\sqrt[{3}]{U_{1}}}\left(x-a\right)\right]^{\frac {3}{2}}={\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}.\end{aligned}}}$$

ตอนนี้เหลือเพียงการสร้างคำตอบโดยประมาณแบบทั่วโลกสำหรับสมการชโรดิงเกอร์ เพื่อให้ฟังก์ชันคลื่นสามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ เราต้องเลือกเฉพาะคำตอบที่ลดลงแบบเอกซ์โปเนนเชียลในสองบริเวณที่ถูกห้ามในทางคลาสสิกเท่านั้น จากนั้นต้อง "เชื่อมต่อ" คำตอบเหล่านี้อย่างถูกต้องผ่านจุดเปลี่ยนไปยังบริเวณที่อนุญาตในทางคลาสสิก สำหรับค่าE ส่วนใหญ่ ขั้น ตอนการจับคู่แบบนี้จะใช้ไม่ได้ผล: ฟังก์ชันที่ได้จากการเชื่อมต่อคำตอบใกล้กับบริเวณที่อนุญาตในทางคลาสสิกจะไม่สอดคล้องกับฟังก์ชันที่ได้จากการเชื่อมต่อคำตอบใกล้กับบริเวณที่อนุญาตในทางคลาสสิก ข้อกำหนดที่ว่าฟังก์ชันทั้งสองต้องสอดคล้องกันนั้นกำหนดเงื่อนไขเกี่ยวกับพลังงานEซึ่งจะให้ค่าประมาณของระดับพลังงานควอนตัมที่แน่นอน${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$

สามารถคำนวณสัมประสิทธิ์ของฟังก์ชันคลื่นได้สำหรับปัญหาอย่างง่ายที่แสดงในรูป สมมติให้จุดเปลี่ยนแรก ซึ่งศักย์ลดลงตามค่า x เกิดขึ้นที่และจุดเปลี่ยนที่สอง ซึ่งศักย์เพิ่มขึ้นตามค่า x เกิดขึ้นที่เนื่องจากเราคาดว่าฟังก์ชันคลื่นจะมีรูปแบบดังต่อไปนี้ เราจึงสามารถคำนวณสัมประสิทธิ์ได้โดยการเชื่อมต่อบริเวณต่างๆ โดยใช้ฟังก์ชัน Airy และ Bairy ${\displaystyle x=x_{1}}$${\displaystyle x=x_{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{V>E}(x)&\approx u^{-{\frac {1}{4}}}\left[A\exp \left({\tfrac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}\right)+B\exp \left(-{\tfrac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}\right)\right]\\[6pt]\Psi _{E>V}(x)&\approx u^{-{\frac {1}{4}}}\left[C\cos \left({\tfrac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}-\alpha \right)+D\sin \left({\tfrac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}-\alpha \right)\right]\\\end{aligned}}}$$

เช่นเงื่อนไขศักยภาพที่ลดลง หรือในตัวอย่างที่แสดงในรูป เราต้องการให้ฟังก์ชันเลขชี้กำลังลดลงสำหรับค่าลบของ x เพื่อให้ฟังก์ชันคลื่นเข้าใกล้ศูนย์ เมื่อพิจารณาฟังก์ชัน Bairy เป็นสูตรการเชื่อมต่อที่ต้องการ เราจะได้: ^{[ 23 ]}${\displaystyle U_{1}<0}$${\displaystyle x=x_{1}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Bi} (u)&\to -{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{u}}}\sin \left({\frac {2}{3}}|u|^{\frac {3}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)&{\text{where}}\quad u\to -\infty \\[1ex]\operatorname {Bi} (u)&\to {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{u}}}\exp \left({\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}\right)&{\textrm {where}}\quad u\to +\infty \end{aligned}}}$$

เราไม่สามารถใช้ฟังก์ชัน Airy ได้ เนื่องจากฟังก์ชันนี้แสดงพฤติกรรมแบบเลขชี้กำลังที่เพิ่มขึ้นสำหรับค่า x ติดลบ เมื่อเปรียบเทียบกับวิธีแก้ปัญหาของ WKB และการจับคู่พฤติกรรมที่เราจึงสรุปได้ว่า: ${\displaystyle \pm \infty }$

${\displaystyle A=-D=N}$, และ. ${\displaystyle B=C=0}$${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{4}}}$

ดังนั้น เมื่อกำหนดให้ค่าคงที่การทำให้เป็นมาตรฐานบางค่า ฟังก์ชันคลื่นจะกำหนดสำหรับศักยภาพที่เพิ่มขึ้น (ด้วย x) ดังนี้: ^{[ 19 ]}${\displaystyle N}$

$${\displaystyle \Psi _{\text{WKB}}(x)={\frac {N}{\sqrt {|p(x)|}}}\cdot {\begin{cases}-\exp \left(-Q_{1}(x)\right)&{\text{if }}x<x_{1}\\\sin \left(Q_{1}(x)-{\frac {\pi }{4}}\right)&{\text{if }}x_{2}>x>x_{1}\\\end{cases}}}$$ที่ไหน. ${\textstyle Q_{1}(x)={\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{1}}|p(x')|\,dx'}$

เช่นเงื่อนไขศักยภาพที่เพิ่มขึ้นหรือในตัวอย่างที่แสดงในรูป เราต้องการให้ฟังก์ชันเลขชี้กำลังจะลดลงสำหรับค่าบวกของ x เพื่อให้ฟังก์ชันคลื่นเข้าใกล้ศูนย์ เมื่อพิจารณาฟังก์ชัน Airyเป็นสูตรการเชื่อมต่อที่ต้องการ เราจะได้: ^{[ 23 ]}${\displaystyle U_{1}>0}$${\displaystyle x=x_{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ai} (u)&\rightarrow {\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{u}}}e^{-{\frac {2}{3}}u^{\frac {3}{2}}}&{\textrm {where,}}\quad u\rightarrow +\infty \\\operatorname {Ai} (u)&\rightarrow {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{u}}}\cos {\left({\frac {2}{3}}|u|^{\frac {3}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)}&{\textrm {where,}}\quad u\rightarrow -\infty \\\end{aligned}}}$$

เราไม่สามารถใช้ฟังก์ชัน Airy อันดับสองได้ เนื่องจากมันแสดงพฤติกรรมแบบเลขชี้กำลังที่เพิ่มขึ้นสำหรับค่า x ที่เป็นบวก เมื่อเปรียบเทียบกับวิธีแก้ปัญหา WKB และการจับคู่พฤติกรรมที่เราจึงสรุปได้ว่า: ${\displaystyle \pm \infty }$

${\displaystyle 2B=C=N'}$, และ. ${\displaystyle D=A=0}$${\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{4}}}$

ดังนั้น เมื่อกำหนดให้ค่าคงที่การทำให้เป็นมาตรฐานบางค่า ฟังก์ชันคลื่นจะกำหนดสำหรับศักยภาพที่เพิ่มขึ้น (ด้วย x) ดังนี้: ^{[ 19 ]}${\displaystyle N'}$

$${\displaystyle \Psi _{\text{WKB}}(x)={\begin{cases}{\frac {N'}{\sqrt {|p(x)|}}}\cos \left(Q_{2}(x)-{\frac {\pi }{4}}\right)&{\text{if }}x_{1}<x<x_{2}\\{\frac {N'}{2{\sqrt {|p(x)|}}}}\exp \left(Q_{2}(x)\right)&{\text{if }}x>x_{2}\end{cases}}}$$ที่ไหน. ${\textstyle Q_{2}(x)={\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{2}}\left|p(x')\right|dx'}$

เมื่อจับคู่สองวิธีแก้ปัญหาสำหรับภูมิภาคแล้ว จำเป็นต้องให้ความแตกต่างระหว่างมุมในฟังก์ชันเหล่านี้อยู่ที่ความแตกต่างของเฟสซึ่งอธิบายถึงการเปลี่ยนโคไซน์เป็นไซน์สำหรับฟังก์ชันคลื่นและความแตกต่างเนื่องจากการกลับเครื่องหมายของฟังก์ชันสามารถเกิดขึ้นได้โดยการให้ดังนั้น: โดยที่nเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ เงื่อนไขนี้สามารถเขียนใหม่ได้ว่า: ${\displaystyle x_{1}<x<x_{2}}$${\displaystyle \pi (n+1/2)}$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle n\pi }$${\displaystyle N=(-1)^{n}N'}$$${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\pi \hbar ,}$$

พื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งพลังงานแบบคลาสสิกคือ.${\displaystyle 2\pi \hbar (n+1/2)}$

ไม่ว่าในกรณีใด เงื่อนไขเกี่ยวกับพลังงานเป็นเวอร์ชันของ เงื่อนไข การควอนตัมของ Bohr–Sommerfeldโดยมี " การแก้ไข Maslov " เท่ากับ 1/2 ^{[ 24 ]}

เป็นไปได้ที่จะแสดงให้เห็นว่าหลังจากประกอบการประมาณค่าในภูมิภาคต่างๆ เข้าด้วยกันแล้ว จะได้ค่าประมาณที่ดีสำหรับฟังก์ชันไอเกน จริง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พลังงาน Bohr–Sommerfeld ที่แก้ไขโดย Maslov เป็นค่าประมาณที่ดีสำหรับค่าไอเกนจริงของตัวดำเนินการ Schrödinger ^{[ 25 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ข้อผิดพลาดในพลังงานมีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับระยะห่างทั่วไปของระดับพลังงานควอนตัม ดังนั้น แม้ว่า "ทฤษฎีควอนตัมแบบเก่า" ของ Bohr และ Sommerfeld จะถูกแทนที่ด้วยสมการ Schrödinger ในที่สุด แต่ร่องรอยบางส่วนของทฤษฎีนั้นยังคงอยู่ ในรูปของค่าประมาณของค่าไอเกนของตัวดำเนินการ Schrödinger ที่เหมาะสม

ดังนั้น จากสองกรณีนี้จึงได้สูตรการเชื่อมต่อ ณ จุดเปลี่ยนคลาสสิก: ^{[ 20 ]}${\displaystyle x=a}$

$${\displaystyle {\frac {N}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{a}|p(x)|dx-{\frac {\pi }{4}}\right)}\Longrightarrow -{\frac {N}{\sqrt {|p(x)|}}}\exp {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{a}^{x}|p(x)|dx\right)}}$$

และ:

$${\displaystyle {\frac {N'}{\sqrt {|p(x)|}}}\cos {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{a}|p(x)|dx-{\frac {\pi }{4}}\right)}\Longleftarrow {\frac {N'}{2{\sqrt {|p(x)|}}}}\exp {\left(-{\frac {1}{\hbar }}\int _{a}^{x}|p(x)|dx\right)}}$$

ฟังก์ชันคลื่น WKB ณ จุดเปลี่ยนคลาสสิกที่ห่างออกไปจากจุดนั้น จะถูกประมาณด้วยฟังก์ชันไซน์หรือโคไซน์แบบสั่นในบริเวณที่อนุญาตตามหลักคลาสสิก ซึ่งแสดงไว้ทางด้านซ้าย และฟังก์ชันเอกซ์ponentialแบบเพิ่มขึ้นหรือลดลงในบริเวณที่ห้ามตามหลักคลาสสิก ซึ่งแสดงไว้ทางด้านขวา ข้อสรุปนี้เกิดขึ้นเนื่องจากการเพิ่มขึ้นอย่างเด่นชัดของฟังก์ชันเอกซ์ponentialเมื่อเทียบกับการลดลงอย่างลดลง ดังนั้น คำตอบของส่วนที่สั่นหรือส่วนเอกซ์ponentialของฟังก์ชันคลื่นจึงสามารถบ่งบอกถึงรูปแบบของฟังก์ชันคลื่นในบริเวณศักยภาพอื่นได้เช่นเดียวกับที่จุดเปลี่ยนที่เกี่ยวข้อง

จากนั้นจึงสามารถคำนวณความหนาแน่นของความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันคลื่นโดยประมาณได้ ความน่าจะเป็นที่อนุภาคควอนตัมจะพบในบริเวณที่ถูกห้ามในทางคลาสสิกนั้นมีขนาดเล็ก ในขณะเดียวกัน ในบริเวณที่อนุญาตในทางคลาสสิก ความน่าจะเป็นที่อนุภาคควอนตัมจะพบในช่วงเวลาที่กำหนดนั้นโดยประมาณเท่ากับเศษส่วนของเวลาที่อนุภาคคลาสสิกใช้ในช่วงเวลานั้นเมื่อเทียบกับการเคลื่อนที่หนึ่งรอบ^{[ 26 ]}เนื่องจากความเร็วของอนุภาคคลาสสิกเป็นศูนย์ที่จุดเปลี่ยนทิศทาง มันจึงใช้เวลาอยู่ใกล้จุดเปลี่ยนทิศทางมากกว่าในบริเวณที่อนุญาตในทางคลาสสิกอื่นๆ การสังเกตนี้อธิบายถึงจุดสูงสุดในฟังก์ชันคลื่น (และความหนาแน่นของความน่าจะเป็น) ใกล้จุดเปลี่ยนทิศทาง

งานวิจัยของ Müller-Kirsten กล่าวถึงการประยุกต์ใช้วิธี WKB กับสมการ Schrödinger ที่มีศักยภาพหลากหลายรูปแบบ และการเปรียบเทียบกับวิธีการรบกวนและปริพันธ์ตามเส้นทาง

แม้ว่าศักยภาพ WKB จะใช้ได้กับศักยภาพที่เปลี่ยนแปลงอย่างราบรื่นเท่านั้น^{[ 20 ]}ในตัวอย่างที่ผนังแข็งสร้างศักยภาพเป็นอนันต์ การประมาณ WKB ยังคงสามารถใช้เพื่อประมาณฟังก์ชันคลื่นในบริเวณที่มีศักยภาพเปลี่ยนแปลงอย่างราบรื่นได้ เนื่องจากผนังแข็งมีศักยภาพที่ไม่ต่อเนื่องสูง เงื่อนไขการเชื่อมต่อจึงไม่สามารถใช้ได้ ณ จุดเหล่านี้ และผลลัพธ์ที่ได้อาจแตกต่างจากการดำเนินการข้างต้น^{[ 19 ]}

ศักยภาพของระบบดังกล่าวสามารถแสดงได้ในรูปแบบดังนี้:

$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}V(x)&{\text{if }}x\geq x_{1}\\\infty &{\text{if }}x<x_{1}\\\end{cases}}}$$

ที่ไหน. ${\textstyle x_{1}<x_{2}}$

เมื่อค้นหาฟังก์ชันคลื่นในบริเวณที่ถูกจำกัด กล่าวคือ ภายในจุดเปลี่ยนแบบคลาสสิกและโดยพิจารณาการประมาณค่าที่อยู่ห่างจากและตามลำดับ เราจะได้สองคำตอบ: ${\textstyle x_{1}}$${\textstyle x_{2}}$${\textstyle x_{1}}$${\textstyle x_{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{\text{WKB}}(x)&={\frac {A}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{1}}|p(x)|dx+\alpha \right)}\\\Psi _{\text{WKB}}(x)&={\frac {B}{\sqrt {|p(x)|}}}\cos {\left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{2}}|p(x)|dx+\beta \right)}\end{aligned}}}$$

เนื่องจากฟังก์ชันคลื่นต้องเป็นศูนย์ใกล้เราจึงสรุปได้ว่าสำหรับฟังก์ชัน Airy ใกล้เราต้องการเราต้องการให้มุมภายในฟังก์ชันเหล่านี้มีผลต่างเฟสโดยที่ผลต่างเฟสนี้อธิบายถึงการเปลี่ยนไซน์เป็นโคไซน์และอนุญาตให้ ${\textstyle x_{1}}$${\textstyle \alpha =0}$${\textstyle x_{2}}$${\textstyle \beta =-{\frac {\pi }{4}}}$${\displaystyle \pi (n+1/2)}$${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle n\pi }$${\displaystyle B=(-1)^{n}A}$

$${\displaystyle {\frac {1}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x)|dx=\pi \left(n+{\frac {3}{4}}\right)}$$โดยที่nเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ^{[ 19 ]}โปรดทราบว่าด้านขวามือของสิ่งนี้จะเป็นเช่นนี้แทนหาก n อนุญาตให้เป็นจำนวนธรรมชาติที่ไม่เป็นศูนย์เท่านั้น ${\displaystyle \pi (n-1/4)}$

ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า สำหรับ ใน 3 มิติที่มีสมมาตรทรงกลม เงื่อนไขเดียวกันนี้ยังคงใช้ได้ โดยที่ตำแหน่ง x จะถูกแทนที่ด้วยระยะรัศมี r เนื่องจากมีความคล้ายคลึงกับปัญหานี้^{[ 27 ]}${\textstyle n=1,2,3,\cdots }$$${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=\left(n-{\frac {1}{4}}\right)\pi \hbar }$$

ศักยภาพของระบบดังกล่าวสามารถแสดงได้ในรูปแบบดังนี้:

$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}\infty &{\text{if }}x>x_{2}\\V(x)&{\text{if }}x_{2}\geq x\geq x_{1}\\\infty &{\text{if }}x<x_{1}\\\end{cases}}}$$

ที่ไหน. ${\textstyle x_{1}<x_{2}}$

สำหรับช่วงระหว่างและซึ่งถือเป็นจุดเปลี่ยนแบบคลาสสิก โดยพิจารณาจากการประมาณค่าที่อยู่ห่างจากและตามลำดับ เราจะได้สองคำตอบ: ${\textstyle E\geq V(x)}$${\textstyle x_{1}}$${\textstyle x_{2}}$${\textstyle x_{1}}$${\textstyle x_{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi _{\text{WKB}}(x)&={\frac {A}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin \left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{1}}|p(x)|dx\right)\\\Psi _{\text{WKB}}(x)&={\frac {B}{\sqrt {|p(x)|}}}\sin \left({\frac {1}{\hbar }}\int _{x}^{x_{2}}|p(x)|dx\right)\end{aligned}}}$$

เนื่องจากฟังก์ชันคลื่นต้องเป็นศูนย์ที่และที่นี่ ความแตกต่างของเฟสจำเป็นต้องพิจารณาเฉพาะซึ่งทำให้ดังนั้นเงื่อนไขจึงกลายเป็น: ${\textstyle x_{1}}$${\textstyle x_{2}}$${\displaystyle n\pi }$${\displaystyle B=(-1)^{n}A}$

$${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=n\pi \hbar }$$ โดย ที่ไม่เท่ากับศูนย์ เนื่องจากจะทำให้ฟังก์ชันคลื่นเป็นศูนย์ทุกที่^{[ 19 ]}${\textstyle n=1,2,3,\cdots }$

ลองพิจารณาปัจจัยต่อไปนี้ที่ลูกบอลที่กำลังกระดอนอาจได้รับ:

$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}mgx&{\text{if }}x\geq 0\\\infty &{\text{if }}x<0\end{cases}}}$$

สามารถหาคำตอบของฟังก์ชันคลื่นข้างต้นได้โดยใช้วิธี WKB โดยพิจารณาเฉพาะคำตอบที่มีพาริตีคี่ของศักยภาพทางเลือกเท่านั้นจุดเปลี่ยนแบบคลาสสิกถูกระบุและดังนั้น การใช้เงื่อนไขควอนตัมที่ได้จาก WKB: ${\displaystyle V(x)=mg|x|}$${\textstyle x_{1}=-{E \over mg}}$${\textstyle x_{2}={E \over mg}}$

$${\displaystyle \int _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}\,dx=(n_{\text{odd}}+1/2)\pi \hbar }$$

เมื่อกำหนดให้แก้หาโดยกำหนดให้เราจะได้พลังงานกลศาสตร์ ควอนตัม ของลูกบอลที่กระดอน: ^{[ 28 ]}${\textstyle n_{\text{odd}}=2n-1}$${\textstyle n=1,2,3,\cdots }$${\textstyle E}$${\displaystyle V(x)=mg|x|}$

$${\displaystyle E={\left(3\left(n-{\frac {1}{4}}\right)\pi \right)^{\frac {2}{3}} \over 2}(mg^{2}\hbar ^{2})^{\frac {1}{3}}.}$$

ผลลัพธ์นี้ยังสอดคล้องกับการใช้สมการจากสถานะผูกพันของผนังแข็งด้านหนึ่งโดยไม่จำเป็นต้องพิจารณาศักยภาพทางเลือกอื่น

ศักยภาพของระบบดังกล่าวสามารถแสดงได้ในรูปแบบดังนี้:

$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<x_{1}\\V(x)&{\text{if }}x_{2}\geq x\geq x_{1}\\0&{\text{if }}x>x_{2}\\\end{cases}}}$$

ที่ไหน. ${\textstyle x_{1}<x_{2}}$

คำตอบสำหรับคลื่นตกกระทบมีดังนี้

$${\displaystyle \psi (x)={\begin{cases}Ae^{ik_{0}x}+Be^{-ik_{0}x}&{\text{if }}x<x_{1}\\[1ex]{\frac {C}{\sqrt {|p(x)|}}}\exp \left(-{\frac {1}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x}|p(x)|dx\right)&{\text{if }}x_{2}\geq x\geq x_{1}\\[1ex]De^{ik_{0}x}&{\text{if }}x>x_{2}\end{cases}}}$$

โดยที่ฟังก์ชันคลื่นในบริเวณที่ถูกห้ามในทางคลาสสิกคือการประมาณค่า WKB แต่ละเลยการเติบโตแบบเลขชี้กำลัง นี่เป็นสมมติฐานที่เหมาะสมสำหรับกำแพงศักย์กว้างๆ ซึ่งไม่คาดว่าฟังก์ชันคลื่นจะเติบโตจนมีขนาดสูง ${\displaystyle k_{0}=p_{0}/\hbar }$

จากเงื่อนไขความต่อเนื่องของฟังก์ชันคลื่นและอนุพันธ์ของฟังก์ชันคลื่น สามารถแสดงความสัมพันธ์ต่อไปนี้ได้:$${\displaystyle {\frac {|D|^{2}}{|A|^{2}}}={\frac {4}{(1+{a_{1}^{2}}/{p_{0}^{2}})}}{\frac {a_{1}}{a_{2}}}\exp \left(-{\frac {2}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x')|dx'\right)}$$

ที่ไหนและ. ${\displaystyle a_{1}=|p(x_{1})|}$${\displaystyle a_{2}=|p(x_{2})|}$

โดยใช้รูปแบบนี้เราจะแสดงค่าโดยไม่มีเครื่องหมายดังนี้: ${\textstyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)={\frac {i\hbar }{2m}}\left(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*}\right)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\text{inc.}}&={\tfrac {\hbar }{2m}}\left({\tfrac {2p_{0}}{\hbar }}|A|^{2}\right)\\J_{\text{ref.}}&={\tfrac {\hbar }{2m}}\left({\tfrac {2p_{0}}{\hbar }}|B|^{2}\right)\\J_{\text{trans.}}&={\tfrac {\hbar }{2m}}\left({\tfrac {2p_{0}}{\hbar }}|D|^{2}\right)\end{aligned}}}$$

ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์การส่งผ่านจึงเป็นดังนี้:

$${\displaystyle T={\frac {|D|^{2}}{|A|^{2}}}={\frac {4}{\left(1+{a_{1}^{2}}/{p_{0}^{2}}\right)}}{\frac {a_{1}}{a_{2}}}\exp \left(-{\frac {2}{\hbar }}\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x')|dx'\right)}$$

โดยที่และผลลัพธ์สามารถระบุได้ดังนี้^โดยที่[ ^{19 ]}${\textstyle p(x)={\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}}}$${\displaystyle a_{1}=|p(x_{1})|}$${\displaystyle a_{2}=|p(x_{2})|}$${\textstyle T\sim ~e^{-2\gamma }}$${\textstyle \gamma =\int _{x_{1}}^{x_{2}}|p(x')|dx'}$

ทฤษฎีข้างต้นไม่เข้มงวดอย่างสมบูรณ์ เนื่องจากอนุกรมเชิงอะซิมโทติกมีการล divergence การปรับเปลี่ยนนี้เป็นไปได้ และอนุกรมลู่เข้าได้รับการสร้างขึ้น^{[ 29 ]}โดย Gérard และ Grigis โดยอิงจากงานก่อนหน้าของ Ecalle ^{[ 30 ]}และ Voros ^{[ 31 ]}การประยุกต์ใช้กับตัวดำเนินการ Dirac ที่ไม่สมมาตรตามมา^{[ 32 ]}และสิ่งนี้ทำให้สามารถพิสูจน์ได้อย่างเข้มงวดถึงการศึกษาเชิงอะซิมโทติกของพฤติกรรมกึ่งคลาสสิกของสมการ NLS ที่เกี่ยวข้อง^{[ 33 ] [ 34 ]}

• ฟิตซ์แพทริค, ริชาร์ด (2002). "การประมาณค่า WKB" .(การประยุกต์ใช้การประมาณค่า WKB กับการกระเจิงของคลื่นวิทยุจากชั้นบรรยากาศไอโอโนสเฟียร์)