ในทางคณิตศาสตร์สาขาการวิเคราะห์เชิงตัวเลขวิธีการของกาเลอร์กินเป็นกลุ่มวิธีการสำหรับการแปลงปัญหาตัวดำเนินการต่อเนื่อง เช่นสมการเชิงอนุพันธ์ซึ่งมักอยู่ในรูปแบบอ่อนให้เป็นปัญหาแบบไม่ต่อเนื่องโดยการใช้ข้อจำกัดเชิงเส้นที่กำหนดโดยชุดฟังก์ชันพื้นฐานจำนวนจำกัด วิธีการนี้ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวโซเวียตบอริส กาเลอร์กิน

บ่อยครั้งเมื่อกล่าวถึงวิธีการของ Galerkin มักจะมีการระบุชื่อวิธีการ พร้อมทั้งข้อสมมติฐานและวิธีการประมาณค่าที่ใช้โดยทั่วไปด้วย:

• วิธี Ritz–Galerkin (ตาม Walther Ritz ) โดยทั่วไปจะถือว่ารูปแบบทวิเชิงเส้นสมมาตรและเป็นบวกแน่นอน ในการกำหนดสูตรแบบอ่อนโดยที่สมการเชิงอนุพันธ์สำหรับระบบทางกายภาพสามารถกำหนดสูตรได้โดยการลดฟังก์ชันกำลังสองที่ แสดงถึง พลังงานของระบบและคำตอบโดยประมาณคือการรวมเชิงเส้นของชุดฟังก์ชันพื้นฐานที่กำหนด ^{[ 1 ]}
• วิธี Bubnov–Galerkin (ตั้งชื่อตามIvan Bubnov ) ไม่จำเป็นต้องให้รูปแบบทวิเชิงเส้นมีความสมมาตรและแทนที่การลดพลังงานด้วย ข้อจำกัด เชิงตั้งฉากที่กำหนดโดยฟังก์ชันพื้นฐานเดียวกันกับที่ใช้ในการประมาณค่าคำตอบ ในการกำหนดสมการเชิงอนุพันธ์ในรูปแบบตัว ดำเนินการ วิธี Bubnov–Galerkin สามารถมองได้ว่าเป็นการประยุกต์ใช้การฉายภาพเชิงตั้งฉากกับตัวดำเนินการ
• วิธี Petrov–Galerkin (ตาม Georgii I. Petrov ^{[ 2 ]} ) อนุญาตให้ใช้ฟังก์ชันพื้นฐานสำหรับข้อจำกัดเชิงตั้งฉาก (เรียกว่าฟังก์ชันพื้นฐานทดสอบ ) ที่แตกต่างจากฟังก์ชันพื้นฐานที่ใช้ในการประมาณคำตอบ วิธี Petrov–Galerkin สามารถมองได้ว่าเป็นส่วนขยายของวิธี Bubnov–Galerkin โดยใช้การฉายภาพที่ไม่จำเป็นต้องตั้งฉากในการกำหนดตัวดำเนินการของสมการเชิงอนุพันธ์

ตัวอย่างของวิธีการ Galerkin ได้แก่:

• วิธีGalerkin ของค่าตกค้างถ่วงน้ำหนัก^ซึ่งเป็นวิธีที่พบบ่อยที่สุดในการคำนวณเมทริกซ์ความแข็ง ทั่วโลก ในวิธีองค์ประกอบจำกัด [ ^{3 ] [ 4 ]}
• วิธีองค์ประกอบขอบเขตสำหรับการแก้สมการเชิงอินทิกรัล
• วิธีการของปริภูมิ ย่อยKrylov ^{[ 5 ]}

ขอแนะนำวิธีการของ Galerkin โดยใช้ปัญหาเชิงนามธรรมที่กำหนดในรูปแบบอ่อนบนปริภูมิฮิลเบิร์ต กล่าวคือ ${\displaystyle V}$

จงหาค่าที่ทำให้สำหรับทุกค่า${\displaystyle u\in V}$${\displaystyle v\in V:a(u,v)=f(v)}$

ในที่นี้เป็นรูปแบบทวิเชิงเส้น (ข้อกำหนดที่แน่นอนเกี่ยวกับจะระบุในภายหลัง) และเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นที่มีขอบเขตบน ${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle f}$${\displaystyle V}$

เลือกซับสเปซที่มีมิติnแล้วแก้ปัญหาที่ฉายออกมา: ${\displaystyle V_{n}\เซตย่อย V}$

จงหาค่าที่ทำให้สำหรับทุกค่า${\displaystyle u_{n}\in V_{n}}$${\displaystyle v_{n}\in V_{n},a(u_{n},v_{n})=f(v_{n})}$

เราเรียกสมการนี้ว่าสมการกาเลอร์กินสังเกตว่าสมการยังคงไม่เปลี่ยนแปลง มีเพียงปริภูมิเท่านั้นที่เปลี่ยนแปลง การลดปัญหาให้เหลือปริภูมิย่อยเวกเตอร์มิติจำกัดทำให้เราสามารถคำนวณค่าได้โดยใช้การรวมเชิงเส้นจำกัดของเวกเตอร์ฐานในปริภูมิย่อยนั้น ${\displaystyle u_{n}}$${\displaystyle V_{n}}$

คุณสมบัติสำคัญของวิธีการของ Galerkin คือ ข้อผิดพลาดนั้นตั้งฉากกับปริภูมิย่อยที่เลือกไว้ เนื่องจาก เราจึงสามารถใช้เป็นเวกเตอร์ทดสอบในสมการดั้งเดิมได้ เมื่อลบทั้งสอง เราจะได้ความสัมพันธ์เชิงตั้งฉากของ Galerkin สำหรับข้อผิดพลาดซึ่งก็คือข้อผิดพลาดระหว่างคำตอบของปัญหาดั้งเดิมและคำตอบของสมการ Galerkin${\displaystyle V_{n}\เซตย่อย V}$${\displaystyle v_{n}}$${\displaystyle \epsilon _{n}=u-u_{n}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u_{n}}$

${\displaystyle a(\epsilon _{n},v_{n})=a(u,v_{n})-a(u_{n},v_{n})=f(v_{n})-f(v_{n})=0.}$

เนื่องจากเป้าหมายของวิธีของกาเลอร์กินคือการสร้างระบบสมการเชิงเส้นเราจึงสร้างรูปแบบเมทริกซ์ของวิธีดังกล่าว ซึ่งสามารถนำมาใช้ในการคำนวณหาคำตอบโดยใช้อัลกอริทึมได้

ให้เป็นฐานสำหรับจากนั้นก็เพียงพอที่จะใช้ฐานเหล่านี้ทีละฐานเพื่อทดสอบสมการกาเลอร์กิน กล่าวคือ หาที่ทำให้ ${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}}$${\displaystyle V_{n}}$${\displaystyle u_{n}\in V_{n}}$

${\displaystyle a(u_{n},e_{i})=f(e_{i})\quad i=1,\ldots ,n.}$

เราขยายโดยใช้ฐานนี้แล้วแทนค่าลงในสมการข้างต้น เพื่อให้ได้ ${\displaystyle u_{n}}$${\displaystyle u_{n}=\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j}}$

${\displaystyle a\left(\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j},e_{i}\right)=\sum _{j=1}^{n}u_{j}a(e_{j},e_{i})=f(e_{i})\quad i=1,\ldots ,n.}$

สมการก่อนหน้านี้เป็นระบบสมการเชิงเส้นโดยที่ ${\displaystyle Au=f}$

${\displaystyle A_{ij}=a(e_{j},e_{i}),\quad f_{i}=f(e_{i}).}$

เนื่องจากนิยามของสมาชิกในเมทริกซ์ เมทริกซ์ของสมการกาเลอร์กินจะเป็นเมทริกซ์สมมาตรก็ต่อเมื่อรูปแบบทวิเชิงเส้นเป็นเมทริกซ์สมมาตร เท่านั้น${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$

ในที่นี้ เราจะจำกัดตัวเองอยู่เฉพาะรูปแบบทวิเชิงเส้นสมมาตรเท่านั้น นั่นคือ

${\displaystyle a(u,v)=a(v,u).}$

แม้ว่านี่จะไม่ใช่ข้อจำกัดที่แท้จริงของวิธีการกาเลอร์กิน แต่การประยุกต์ใช้ทฤษฎีมาตรฐานจะง่ายขึ้นมาก นอกจากนี้ อาจจำเป็นต้องใช้ วิธีการเปตรอฟ-กาเลอร์กินในกรณีที่ไม่สมมาตร

การวิเคราะห์วิธีการเหล่านี้ดำเนินการเป็นสองขั้นตอน ขั้นแรก เราจะแสดงให้เห็นว่าสมการกาเลอร์กินเป็นปัญหาที่มีคำตอบแน่นอนในความหมายของฮาดามาร์ดและดังนั้นจึงมีคำตอบเดียว ในขั้นตอนที่สอง เราจะศึกษาคุณภาพของการประมาณค่าของคำตอบกาเลอร์กิน ${\displaystyle u_{n}}$

การวิเคราะห์ส่วนใหญ่จะอาศัยคุณสมบัติสองประการของรูปแบบทวิเชิงเส้นได้แก่

• ขอบเขต: สำหรับทุกการยึดถือ ${\displaystyle u,v\in V}$

  ${\displaystyle a(u,v)\leq C\|u\|\,\|v\|}$สำหรับค่าคงที่บางค่า${\displaystyle C>0}$

• ความรี: สำหรับทุกการจับยึด ${\displaystyle u\in V}$

  ${\displaystyle a(u,u)\geq c\|u\|^{2}}$สำหรับค่าคงที่บางค่า${\displaystyle c>0.}$

ตามทฤษฎีบท Lax-Milgram (ดูการกำหนดรูปแบบอ่อน ) เงื่อนไขทั้งสองนี้บ่งชี้ถึงความถูกต้องของปัญหาดั้งเดิมในการกำหนดรูปแบบอ่อน บรรทัดฐานทั้งหมดในส่วนต่อไปนี้จะเป็นบรรทัดฐานที่ความไม่เท่าเทียมกันข้างต้นเป็นจริง (บรรทัดฐานเหล่านี้มักเรียกว่าบรรทัดฐานพลังงาน)

เนื่องจากความมีขอบเขตและความเป็นวงรีของรูปแบบทวิเชิงเส้นนั้นใช้ได้กับดังนั้น ความถูกต้องของปัญหา Galerkin จึงสืบทอดมาจากความถูกต้องของปัญหาดั้งเดิม ${\displaystyle V_{n}\เซตย่อย V}$${\displaystyle V_{n}}$

ข้อผิดพลาดระหว่างผลลัพธ์เดิมกับผลลัพธ์ของวิธี Galerkin ยอมรับการประมาณค่า ${\displaystyle u-u_{n}}$

${\displaystyle \|u-u_{n}\|\leq {\frac {C}{c}}\inf _{v_{n}\in V_{n}}\|u-v_{n}\|.}$

นั่นหมายความว่า เมื่อพิจารณาถึงค่าคงที่แล้ววิธีแก้ปัญหาแบบกาเลอร์กิน จะใกล้เคียงกับวิธีแก้ปัญหาดั้งเดิมมากที่สุดเท่ากับเวกเตอร์อื่นๆ ใน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การศึกษาการประมาณค่าโดยใช้ปริภูมิ จะเพียงพอแล้วโดยไม่จำเป็นต้องคำนึงถึงสมการที่กำลังแก้เลย ${\displaystyle C/c}$${\displaystyle u_{n}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle V_{n}}$${\displaystyle V_{n}}$

เนื่องจากบทพิสูจน์นั้นง่ายมากและเป็นหลักการพื้นฐานเบื้องหลังวิธีการของ Galerkin ทั้งหมด เราจึงรวมไว้ในที่นี้: โดยอาศัยความเป็นวงรีและความมีขอบเขตของรูปแบบทวิเชิงเส้น (อสมการ) และความตั้งฉากของ Galerkin (เครื่องหมายเท่ากับตรงกลาง) เราจะได้ว่า สำหรับค่าใดๆ: ${\displaystyle v_{n}\ใน V_{n}}$

${\displaystyle c\|u-u_{n}\|^{2}\leq a(u-u_{n},u-u_{n})=a(u-u_{n},u-v_{n})\leq C\|u-u_{n}\|\,\|u-v_{n}\|.}$

การหารด้วยและการหาค่าต่ำสุดเหนือค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมด จะได้บทพิสูจน์ย่อยนี้ ${\displaystyle c\|u-u_{n}\|}$${\displaystyle v_{n}}$

เพื่อความง่ายในการนำเสนอในส่วนด้านบน เราได้สมมติว่ารูปแบบทวิเชิงเส้นนั้นสมมาตรและเป็นบวกแน่นอน ซึ่งหมายความว่ามันเป็นผลคูณสเกลาร์และนิพจน์นั้นเป็นบรรทัดฐานเวกเตอร์ที่ถูกต้อง เรียกว่าบรรทัดฐานพลังงานภายใต้สมมติฐานเหล่านี้ เราสามารถพิสูจน์คุณสมบัติการประมาณค่าที่ดีที่สุดของกาเลอร์กินในบรรทัดฐานพลังงานได้อย่างง่ายดาย ${\displaystyle a(u,v)}$${\textstyle \|u\|_{a}={\sqrt {a(u,u)}}}$

โดยใช้คุณสมบัติการตั้งฉากแบบ Galerkin และอสมการ Cauchy–Schwarzสำหรับบรรทัดฐานพลังงาน เราจะได้

${\displaystyle \|u-u_{n}\|_{a}^{2}=a(u-u_{n},u-u_{n})=a(u-u_{n},u-v_{n})\leq \|u-u_{n}\|_{a}\,\|u-v_{n}\|_{a}.}$

การหารด้วยและการหาค่าต่ำสุดเหนือค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดพิสูจน์ได้ว่า การประมาณแบบกาเลอร์กินเป็นการประมาณที่ดีที่สุดในบรรทัดฐานพลังงานภายในปริภูมิย่อย กล่าวคือเป็นเพียงการฉายภาพเชิงตั้งฉากโดยสัมพันธ์กับผลคูณสเกลาร์ของคำตอบไปยังปริภูมิย่อย ${\displaystyle \|u-u_{n}\|_{a}}$${\displaystyle v_{n}\in V_{n}}$${\displaystyle u_{n}\in V_{n}}$${\displaystyle V_{n}\subset V}$${\displaystyle u_{n}\in V_{n}}$${\displaystyle a(u,v)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle V_{n}}$

I. Elishakof , M. Amato, A. Marzani, PA Arvan และ JN Reddy ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]} ศึกษาการประยุกต์ใช้วิธี Galerkin กับโครงสร้างแบบขั้นบันได พวกเขาแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันทั่วไป ได้แก่ ฟังก์ชันขั้นบันไดหน่วย ฟังก์ชันเดลต้าของ Dirac และฟังก์ชันคู่ จำเป็นสำหรับการได้ผลลัพธ์ที่แม่นยำ

โดยทั่วไปแล้ววิธีการนี้ได้รับการยกย่องให้แก่Boris Galerkin [ ^{10 ] [ 11 ] วิธี}การนี้ได้รับการอธิบายให้ผู้อ่านชาวตะวันตกเข้าใจโดย Hencky ^{[ 12 ]}และ Duncan ^{[ 13 ] [ 14 ]}เป็นต้น การลู่เข้าของวิธีการนี้ได้รับการศึกษาโดย Mikhlin ^{[ 15 ]}และ Leipholz ^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}ความสอดคล้องกับวิธีการ Fourier ได้รับการแสดงให้เห็นโดยElishakoff et al. ^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]}ความเท่าเทียมกันของวิธีการนี้กับวิธีการของ Ritz สำหรับปัญหาอนุรักษ์ได้รับการแสดงให้เห็นโดย Singer ^{[ 23 ]} Gander และ Wanner ^{[ 24 ]}แสดงให้เห็นว่าวิธีการของ Ritz และ Galerkin นำไปสู่วิธีการไฟไนต์เอเลเมนต์สมัยใหม่ได้อย่างไร Repin ได้กล่าวถึงการพัฒนาของวิธีการนี้มาเป็นเวลาหนึ่งร้อยปีแล้ว^{[ 25 ]} Elishakoff, Kaplunov และ Kaplunov ^{[ 26 ]}แสดงให้เห็นว่าวิธีการของ Galerkin ไม่ได้ถูกพัฒนาโดย Ritz ซึ่งขัดแย้งกับคำกล่าวของ Timoshenko

• วิธีริทซ์

• "วิธีของกาเลอร์กิน" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• วิธีการของ Galerkin จาก MathWorld