ในวิธีไฟไนต์เอเลเมนต์สำหรับการแก้สม การเชิง อนุพันธ์ย่อย แบบวงรี ด้วยวิธีเชิงตัวเลข เมทริกซ์ความแข็งเกร็งเป็นเมทริกซ์ที่แสดงถึงระบบสมการเชิงเส้นที่ต้องได้รับการแก้ไขเพื่อให้ได้คำตอบโดยประมาณของสมการเชิงอนุพันธ์

เพื่อความง่าย เราจะพิจารณาปัญหาปัวซง ก่อน

${\displaystyle -\nabla ^{2}u=f}$

บนโดเมนΩ ใดๆ ภายใต้เงื่อนไขขอบเขตu = 0บนขอบเขตของΩในการทำให้สมการนี้เป็นแบบไม่ต่อเนื่องโดยวิธีไฟไนต์เอเลเมนต์เราเลือกชุดฟังก์ชันพื้นฐาน { φ ₁ , …, φ _n }ที่กำหนดบนΩซึ่งมีค่าเป็นศูนย์บนขอบเขตด้วย จากนั้นจึงประมาณค่า

${\displaystyle u\ประมาณ u^{h}=u_{1}\varphi _{1}+\cdots +u_{n}\varphi _{n}.}$

ค่าสัมประสิทธิ์u ₁ , u ₂ , …, u _nถูกกำหนดเพื่อให้ข้อผิดพลาดในการประมาณค่าตั้งฉากกับฟังก์ชันพื้นฐานφ _i แต่ละตัว :

${\displaystyle \int _{\Omega }\varphi _{i}\cdot f\,dx=-\int _{\Omega }\varphi _{i}\nabla ^{2}u^{h}\,dx=-\sum _{j}\left(\int _{\Omega }\varphi _{i}\nabla ^{2}\varphi _{j}\,dx\right)\,u_{j}=\sum _{j}\left(\int _{\Omega }\nabla \varphi _{i}\cdot \nabla \varphi _{j}\,dx\right)u_{j}.}$

เป็นผลมาจากเงื่อนไขขอบเขต Dirichlet ที่เป็นเนื้อเดียวกัน เมทริกซ์ความแข็งเกร็งคือเมทริกซ์จัตุรัสnองค์ประกอบAที่กำหนดโดย

${\displaystyle \mathbf {A} _{ij}=\int _{\Omega }\nabla \varphi _{i}\cdot \nabla \varphi _{j}\,dx.}$

โดยการกำหนดเวกเตอร์แรงFด้วยส่วนประกอบสัมประสิทธิ์u _iจะถูกกำหนดโดยระบบเชิงเส้นAu = Fเมทริกซ์ความแข็งเกร็งเป็นเมทริก ซ์สมมาตร กล่าว คือA _ij = A _ji ดังนั้น ค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดจึงเป็นจำนวนจริง ยิ่งไปกว่านั้น มันเป็นเมทริกซ์บวกแน่นอน อย่างเคร่งครัด ดังนั้นระบบAu = Fจึงมีคำตอบเดียวเสมอ (สำหรับปัญหาอื่นๆ คุณสมบัติที่ดีเหล่านี้จะหายไป) ${\textstyle \mathbf {F} _{i}=\int _{\Omega }\varphi _{i}f\,dx,}$

โปรดทราบว่าเมทริกซ์ความแข็งเกร็งจะแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับตารางคำนวณที่ใช้สำหรับโดเมนและประเภทขององค์ประกอบไฟไนต์ที่ใช้ ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ความแข็งเกร็งเมื่อใช้องค์ประกอบไฟไนต์แบบกำลังสองแบบแบ่งส่วนจะมีระดับความเป็นอิสระมากกว่าเมื่อใช้องค์ประกอบไฟไนต์แบบเชิงเส้นแบบแบ่งส่วน

การหาเมทริกซ์ความแข็งเกร็งสำหรับสมการอนุพันธ์ย่อยอื่นๆ นั้นโดยพื้นฐานแล้วมีขั้นตอนเดียวกัน แต่ขั้นตอนอาจซับซ้อนขึ้นได้เนื่องจากการเลือกเงื่อนไขขอบเขต ตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านั้นคือ สมการเชิงวงรี

${\displaystyle -\sum _{k,l}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\left(a^{kl}{\frac {\partial u}{\partial x_{l}}}\right)=f}$

โดยที่เป็นเมทริกซ์บวกกำหนด (positive-definite matrix) ที่กำหนดสำหรับแต่ละจุดxในโดเมน เรากำหนดเงื่อนไขขอบเขตแบบ Robin${\displaystyle \mathbf {A} (x)=a^{kl}(x)}$

${\displaystyle -\sum _{k,l}\nu _{k}a^{kl}{\frac {\partial u}{\partial x_{l}}}=c(ug),}$

โดยที่ν _kคือส่วนประกอบของเวกเตอร์ปกติ ภายนอกหน่วย νใน ทิศทางที่ kระบบที่จะต้องแก้ไขคือ

${\displaystyle \sum _{j}\left(\sum _{k,l}\int _{\Omega }a^{kl}{\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial \varphi _{j}}{\partial x_{l}}}dx+\int _{\partial \Omega }c\varphi _{i}\varphi _{j}\,ds\right)u_{j}=\int _{\Omega }\varphi _{i}f\,dx+\int _{\partial \Omega }c\varphi _{i}g\,ds,}$

ดังที่สามารถแสดงได้โดยใช้แบบจำลองของเอกลักษณ์ของกรีน สัมประสิทธิ์ u i _ยังคงหาได้จากการแก้ระบบสมการเชิงเส้น แต่เมทริกซ์ที่แสดงถึงระบบนั้นแตกต่างอย่างเห็นได้ชัดจากเมทริกซ์สำหรับปัญหาปัวซงทั่วไป

โดยทั่วไป สำหรับตัวดำเนินการเชิงวงรี แบบสเกลาร์ L แต่ละตัวที่ มีอันดับ2kจะมีรูปแบบทวิเชิงเส้นB ที่เกี่ยวข้อง บนปริภูมิโซโบเลฟ^Hkดังนั้นสูตรอ่อนของสมการLu = fคือ

${\displaystyle B[u,v]=(f,v)}$

สำหรับฟังก์ชัน vทั้งหมดในH ^kแล้วเมทริกซ์ความแข็งเกร็งสำหรับปัญหานี้คือ

${\displaystyle \mathbf {A} _{ij}=B[\varphi _{j},\varphi _{i}].}$

ในการนำวิธีไฟไนต์เอเลเมนต์ไปใช้ในคอมพิวเตอร์ จำเป็นต้องเลือกชุดฟังก์ชันพื้นฐานก่อน จากนั้นจึงคำนวณอินทิกรัลที่กำหนดเมทริกซ์ความแข็งเกร็ง โดยปกติแล้ว โดเมนΩจะถูกแบ่งออกเป็นส่วนย่อยด้วยวิธีการสร้างตาข่าย (mesh generation ) ซึ่งจะแบ่งออกเป็น รูปสามเหลี่ยมหรือรูปสี่เหลี่ยมที่ไม่ทับซ้อนกันซึ่งโดยทั่วไปเรียกว่าองค์ประกอบ (elements) จากนั้นจึงเลือกฟังก์ชันพื้นฐานให้เป็นพหุนามที่มีลำดับใดลำดับหนึ่งภายในแต่ละองค์ประกอบ และมีความต่อเนื่องข้ามขอบเขตขององค์ประกอบ ตัวเลือกที่ง่ายที่สุดคือ ฟังก์ชันเชิงเส้น แบบแบ่งส่วน (piecewise linear ) สำหรับองค์ประกอบรูปสามเหลี่ยม และฟังก์ชันเชิงเส้นสองส่วนแบบแบ่งส่วน (piecewise bilinear) สำหรับองค์ประกอบรูปสี่เหลี่ยมผืน

เมทริกซ์ความแข็งเกร็งขององค์ประกอบA ^{[ k ]}สำหรับองค์ประกอบT _kคือเมทริกซ์

${\displaystyle \mathbf {A} _{ij}^{[k]}=\int _{T_{k}}\nabla \varphi _{i}\cdot \nabla \varphi _{j}\,dx.}$

เมทริกซ์ความแข็งเกร็งขององค์ประกอบจะมีค่าเป็นศูนย์สำหรับค่าiและj ส่วนใหญ่ ซึ่งฟังก์ชันพื้นฐานที่สอดคล้องกันจะมีค่าเป็นศูนย์ภายในT _kเมทริกซ์ความแข็งเกร็งทั้งหมดAคือผลรวมของเมทริกซ์ความแข็งเกร็งขององค์ประกอบ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับฟังก์ชันพื้นฐานที่รองรับเฉพาะในระดับท้องถิ่น เมทริกซ์ความแข็งเกร็งจะมีค่าเบาบาง

สำหรับฟังก์ชันพื้นฐานมาตรฐานหลายๆ แบบ เช่น ฟังก์ชันพื้นฐานเชิงเส้นแบบแบ่งส่วนบนรูปสามเหลี่ยม จะมีสูตรอย่างง่ายสำหรับเมทริกซ์ความแข็งขององค์ประกอบ ตัวอย่างเช่น สำหรับองค์ประกอบเชิงเส้นแบบแบ่งส่วน ให้พิจารณารูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด_{( x₁ ,} y₁ ) _, ( x₂ , y₂ ) _, ( x₃ , y₃ )และกำหนด_เมทริกซ์ 2 × 3 ดังนี้

${\displaystyle \mathbf {D} =\left[{\begin{matrix}x_{3}-x_{2}&x_{1}-x_{3}&x_{2}-x_{1}\\y_{3}-y_{2}&y_{1}-y_{3}&y_{2}-y_{1}\end{matrix}}\right].}$

จากนั้นเมทริกซ์ความแข็งขององค์ประกอบคือ

${\displaystyle \mathbf {A} ^{[k]}={\frac {\mathbf {D} ^{\mathsf {T}}\mathbf {D} }{4\ชื่อผู้ดำเนินการ {area} (T)}}.}$

เมื่อสมการเชิงอนุพันธ์มีความซับซ้อนมากขึ้น เช่น มีสัมประสิทธิ์การแพร่ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน อินทิกรัลที่กำหนดเมทริกซ์ความแข็งขององค์ประกอบสามารถประเมินได้โดยใช้วิธีการหาปริพันธ์แบบเกาส์เซียน

ค่าสภาพของเมทริกซ์ความแข็งขึ้นอยู่กับคุณภาพของตารางเชิงตัวเลขอย่างมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สามเหลี่ยมที่มีมุมเล็กในตาข่ายองค์ประกอบจำกัดจะทำให้ค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ความแข็งมีขนาดใหญ่ ซึ่งจะทำให้คุณภาพของคำตอบลดลง