การกำหนดรูปแบบอย่างอ่อน (Weak formulations)เป็นเครื่องมือสำหรับการวิเคราะห์สมการ ทางคณิตศาสตร์ ที่ช่วยให้สามารถถ่ายทอดแนวคิดของพีชคณิตเชิงเส้นไปใช้แก้ปัญหาในสาขาอื่น ๆ เช่นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยได้ในการกำหนดรูปแบบอย่างอ่อน สมการหรือเงื่อนไขไม่จำเป็นต้องเป็นจริงอย่างสมบูรณ์อีกต่อไป (และสิ่งนี้ก็ไม่ได้ถูกกำหนดไว้อย่างชัดเจนด้วยซ้ำ) แต่จะมีคำตอบอย่างอ่อนเฉพาะกับ "เวกเตอร์ทดสอบ" หรือ " ฟังก์ชันทดสอบ " บางอย่างเท่านั้น ในการกำหนดรูปแบบอย่างแข็ง (Strong formulation ) พื้นที่คำตอบถูกสร้างขึ้นมาโดยที่สมการหรือเงื่อนไขเหล่านั้นเป็นจริงอยู่แล้ว

ทฤษฎีบทLax–Milgramซึ่งตั้งชื่อตามPeter LaxและArthur Milgramผู้พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ในปี 1954 ให้รูปแบบที่อ่อนแอสำหรับระบบบางระบบบนปริภูมิฮิลเบิร์ต

ให้เป็นปริมาณเวกเตอร์แบบบานาคให้เป็นปริมาณเวกเตอร์คู่ของให้เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นและให้เวกเตอร์คือคำตอบของสมการ ${\displaystyle V}$${\displaystyle V'}$${\displaystyle V}$${\displaystyle A\โคลอน V\ถึง V'}$${\displaystyle f\in V'}$${\displaystyle u\in V}$

$${\displaystyle Au=f}$$

ถ้าและเฉพาะในกรณีที่สำหรับทั้งหมด ${\displaystyle v\in V}$

$${\displaystyle (Au)(v)=f(v).}$$

การเลือกค่าใดค่าหนึ่งโดยเฉพาะเรียกว่าเวกเตอร์ทดสอบ (โดยทั่วไป) หรือฟังก์ชันทดสอบ (ถ้าเป็นปริภูมิฟังก์ชัน) ${\displaystyle v}$${\displaystyle V}$

เพื่อให้สิ่งนี้อยู่ในรูปแบบทั่วไปของการกำหนดสูตรแบบอ่อน ให้หาค่าที่ทำให้ ${\displaystyle u\in V}$

$${\displaystyle a(u,v)=f(v)\quad \forall v\in V,}$$

โดยการกำหนดรูปแบบทวิเชิงเส้น

$${\displaystyle a(u,v):=(Au)(v).}$$

สมมติให้และเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นดังนั้น รูปแบบอ่อนของสมการคือ ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle A:V\to V}$

$${\displaystyle Au=f}$$

เกี่ยวข้องกับการค้นหาเพื่อให้สมการต่อไปนี้เป็นจริงสำหรับทุกกรณี: ${\displaystyle u\in V}$${\displaystyle v\in V}$

$${\displaystyle \langle Au,v\rangle =\langle f,v\rangle ,}$$

โดยที่หมายถึง ผล คูณ ภายใน${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

เนื่องจากเป็นการแมปเชิงเส้น จึงเพียงพอที่จะทดสอบด้วยเวกเตอร์ฐานและเราจะได้ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \langle Au,e_{i}\rangle =\langle f,e_{i}\rangle ,\quad i=1,\ldots ,n.}$$

อัน ที่จริง เมื่อขยายสมการเราจะได้ รูปแบบ เมทริกซ์ของสมการนั้น ${\displaystyle u=\sum _{j=1}^{n}u_{j}e_{j}}$

$${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {u} =\mathbf {f} ,}$$

ที่ไหนและ.${\displaystyle a_{ij}=\langle Ae_{j},e_{i}\rangle }$${\displaystyle f_{i}=\langle f,e_{i}\rangle }$

รูปแบบทวิเชิงเส้นที่เกี่ยวข้องกับการกำหนดสูตรแบบอ่อนนี้คือ

$${\displaystyle a(u,v)=\mathbf {v} ^{T}\mathbf {A} \mathbf {u} .}$$

เพื่อแก้สมการปัวซง

$${\displaystyle -\nabla ^{2}u=f,}$$

บนโดเมนที่มีขอบเขตและเพื่อระบุพื้นที่คำตอบในภายหลัง สามารถใช้ผลคูณสเกลาร์ ได้${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle u=0}$${\displaystyle V}$${\displaystyle L^{2}}$

$${\displaystyle \langle u,v\rangle =\int _{\Omega }uv\,dx}$$

เพื่อหาสูตรอ่อน จากนั้น การทดสอบด้วยฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ จะให้ผลลัพธ์ดังนี้ ${\displaystyle v}$

$${\displaystyle -\int _{\Omega }(\nabla ^{2}u)v\,dx=\int _{\Omega }fv\,dx.}$$

ด้านซ้ายของสมการนี้สามารถทำให้สมมาตรมากขึ้นได้โดยการอินทิเกรตโดยส่วนโดยใช้เอกลักษณ์ของกรีนและสมมติว่าบน:${\displaystyle v=0}$${\displaystyle \partial \Omega }$

$${\displaystyle \int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx=\int _{\Omega }fv\,dx.}$$

นี่คือสิ่งที่โดยทั่วไปเรียกว่าการกำหนดสมการปัวซงแบบอ่อน ฟังก์ชันใน ปริภูมิคำตอบต้องเป็นศูนย์ที่ขอบเขต และมีอนุพันธ์ ที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ ปริภูมิที่เหมาะสมที่จะตอบสนองความต้องการเหล่านี้คือปริภูมิโซโบเลฟของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์แบบอ่อนในและมีเงื่อนไขขอบเขตเป็นศูนย์ดังนั้น${\displaystyle V}$${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}$${\displaystyle L^{2}(\Omega )}$${\displaystyle V=H_{0}^{1}(\Omega )}$

รูปแบบทั่วไปได้มาจากการกำหนดค่า

$${\displaystyle a(u,v)=\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,dx}$$

และ

$${\displaystyle f(v)=\int _{\Omega }fv\,dx.}$$

นี่คือการกำหนดทฤษฎีบท Lax–Milgramซึ่งอาศัยคุณสมบัติของส่วนสมมาตรของรูปแบบทวิเชิงเส้นแต่ไม่ใช่รูปแบบที่ครอบคลุมที่สุด

ให้ เป็น ปริภูมิฮิลเบิร์ตจริงและเป็นรูปแบบทวิเชิงเส้นบนซึ่งคือ ${\displaystyle V}$${\displaystyle a(\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle V}$

1. มีขอบเขต : และ${\displaystyle |a(u,v)|\leq C\|u\|\|v\|\,;}$
2. บีบบังคับ :${\displaystyle a(u,u)\geq c\|u\|^{2}\,.}$

ดังนั้น สำหรับค่า ที่มีขอบเขตใดๆจะมีคำตอบเฉพาะตัวสำหรับสมการนี้ ${\displaystyle f\in V'}$${\displaystyle u\in V}$

$${\displaystyle a(u,v)=f(v)\quad \forall v\in V}$$

และมันยึดไว้

$${\displaystyle \|u\|\leq {\frac {1}{c}}\|f\|_{V'}\,.}$$

ในกรณีนี้ การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบท Lax–Milgram ให้ผลลัพธ์ที่หนักแน่นเกินความจำเป็น

• การมีขอบเขต: รูปแบบทวิเชิงเส้นทั้งหมดบนมีขอบเขต โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เรามี${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle |a(u,v)|\leq \|A\|\,\|u\|\,\|v\|}$$
• ความบังคับ (Coercivity): หมายความว่าส่วนจริงของค่าไอเกนของระบบต้องไม่น้อยกว่าเนื่องจากนั่นหมายความว่าไม่มีค่าไอเกนใดเป็นศูนย์ ดังนั้นระบบจึงสามารถหาคำตอบได้${\displaystyle A}$${\displaystyle c}$

นอกจากนี้ ยังให้ค่าประมาณ ที่เป็นส่วนจริงน้อยที่สุดของค่าลักษณะเฉพาะของ$${\displaystyle \|u\|\leq {\frac {1}{c}}\|f\|,}$$${\displaystyle c}$${\displaystyle A}$

ที่นี่ ให้เลือกตามมาตรฐาน ${\displaystyle V=H_{0}^{1}(\Omega )}$$${\displaystyle \|v\|_{V}:=\|\nabla v\|,}$$

โดยที่บรรทัดฐานทางด้านขวาคือ บรรทัดฐาน -บน(ซึ่งให้บรรทัดฐานที่แท้จริงบนโดยอสมการปวงกาเร ) แต่เราเห็นว่าและโดยอสมการโคชี-ชวาร์ซ .${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle V}$${\displaystyle |a(u,u)|=\|\nabla u\|^{2}}$${\displaystyle |a(u,v)|\leq \|\nabla u\|\,\|\nabla v\|}$

ดังนั้น สำหรับค่าใดๆ ก็ตามจะมีคำตอบเฉพาะของสมการปัวซงและเราจะได้ค่าประมาณ ${\displaystyle f\in [H_{0}^{1}(\Omega )]'}$${\displaystyle u\in V}$

$${\displaystyle \|\nabla u\|\leq \|f\|_{[H_{0}^{1}(\Omega )]'}.}$$

• ทฤษฎีบทบาบุชกา-แลกซ์-มิลแกรม
• ทฤษฎีบทของไลออนส์-แลกซ์-มิลแกรม

• หน้า MathWorld เกี่ยวกับทฤษฎีบท Lax–Milgram