ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในพีชคณิตเชิง เส้น แผนที่เชิงเส้น (หรือการแปลงเชิงเส้น ) คือ ฟังก์ชันชนิดหนึ่งระหว่างปริภูมิเวกเตอร์ซึ่งเคารพการดำเนินการพื้นฐานของการบวกเวกเตอร์และการคูณด้วยสเกลาร์ตัวอย่างมาตรฐานของแผนที่เชิงเส้นคือเมทริกซ์ ซึ่งแปลงเวกเตอร์ในมิติ n ไปเป็นเวกเตอร์ในมิติ n ในลักษณะที่เข้ากันได้กับการบวกเวกเตอร์และการคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ ${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$

แผนที่เชิงเส้นคือโฮโมมอร์ฟิซึมของปริภูมิเวกเตอร์^{[ 1 ]}ดังนั้น แผนที่เชิงเส้นจึงสอดคล้องกับ⁠ ⁠โดยที่และเป็นสเกลาร์ และและเป็นเวกเตอร์ (องค์ประกอบของปริภูมิเวกเตอร์⁠ ⁠ ) แผนที่เชิงเส้นจะแมปจุดกำเนิดของไปยังจุดกำเนิดของ⁠ ⁠ เสมอ และแมปปริภูมิย่อยเชิงเส้นของไปยังปริภูมิย่อยเชิงเส้นใน(อาจมีมิติ ที่ต่ำกว่า ) ^{[ 2 ]}ตัวอย่างเช่น จะแมประนาบที่ผ่านจุดกำเนิดในไปยังระนาบที่ผ่านจุดกำเนิดใน⁠ ⁠เส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดใน⁠ ⁠หรือจุดกำเนิดใน⁠ ⁠แผนที่เชิงเส้นมักจะสามารถแสดงเป็นเมทริกซ์ได้และตัวอย่างง่ายๆ ได้แก่ การหมุนและการสะท้อนการแปลง เชิง เส้น${\displaystyle T:V\to W}$${\displaystyle T(ax+by)=aTx+bTy}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$

ให้และ เป็นปริภูมิเวกเตอร์ เหนือฟิลด์เดียวกันเช่น จำนวน จริงหรือจำนวนเชิงซ้อนฟังก์ชันจะเรียกว่าเป็นแผนที่เชิงเส้นถ้าสำหรับเวกเตอร์สองตัวใดๆและสเกลาร์ใดๆเงื่อนไขสองข้อต่อไปนี้เป็นจริง: ${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle K}$${\displaystyle f:V\to W}$${\textstyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \ใน V}$${\displaystyle c\in K}$

• คุณสมบัติการบวก / การดำเนินการบวก$${\displaystyle f(\mathbf {u} +\mathbf {v} )=f(\mathbf {u} )+f(\mathbf {v} )}$$
• ความเป็นเอกพันธุ์ระดับ 1 / การดำเนินการคูณสเกลาร์$${\displaystyle f(c\mathbf {u} )=cf(\mathbf {u} )}$$

ดังนั้น การแปลงเชิงเส้นจึงกล่าวได้ว่าเป็นการแปลงที่รักษาการดำเนินการไว้กล่าวคือ ไม่สำคัญว่าการแปลงเชิงเส้นจะถูกนำไปใช้ก่อน (ด้านขวาของตัวอย่างข้างต้น) หรือหลัง (ด้านซ้ายของตัวอย่าง) การดำเนินการบวกและการคูณด้วยสเกลาร์

โดยคุณสมบัติการสลับที่ของการดำเนินการบวกซึ่งแสดงด้วย + สำหรับเวกเตอร์และสเกลาร์ใด ๆ ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็น จริง : ^{[ 3 ] [ 4 ]} ดังนั้น แผนที่เชิงเส้นคือแผนที่ที่รักษาการรวมเชิงเส้น ${\textstyle \mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{n}\in V}$${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}\in K}$$${\displaystyle f(c_{1}\mathbf {u} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {u} _{n})=c_{1}f(\mathbf {u} _{1})+\cdots +c_{n}f(\mathbf {u} _{n}).}$$

โดยกำหนดให้ และ เป็น องค์ประกอบศูนย์ของปริภูมิเวกเตอร์และตามลำดับ จะได้ว่า⁠ ⁠ . ให้และในสมการสำหรับความเป็นเอกพันธุ์ระดับ 1: ${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\textstyle \mathbf {0} _{V}}$${\textstyle \mathbf {0} _{W}}$${\displaystyle f(\mathbf {0} _{V})=\mathbf {0} _{W}}$${\displaystyle c=0}$${\textstyle \mathbf {v} \in V}$$${\displaystyle f(\mathbf {0} _{V})=f(0\mathbf {v} )=0f(\mathbf {v} )=\mathbf {0} _{W}.}$$

แผนที่เชิงเส้นที่มองว่าเป็นปริภูมิเวกเตอร์หนึ่งมิติเหนือตัวมันเองเรียกว่าฟังก์ชันเชิงเส้น^{[ 5 ]}${\displaystyle V\to K}$${\displaystyle K}$

ข้อความเหล่านี้สามารถขยายไปใช้กับโมดูลซ้ายใดๆบนริงโดยไม่ต้องแก้ไข และใช้กับโมดูลขวาใดๆ ได้เมื่อกลับการคูณสเกลาร์ ${\textstyle {}_{R}M}$${\displaystyle R}$

• แผนผังรูปแบบเฉพาะนี้เป็นแบบเส้นตรง${\displaystyle T:\{{\vec {0}}\}\to \{{\vec {0}}\}}$
• ตัวอย่างต้นแบบที่ทำให้แผนที่เชิงเส้นได้รับชื่อนี้คือฟังก์ชันซึ่งกราฟ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :x\mapsto cx}$ของฟังก์ชัน นี้ เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิด^{[ 6 ]}

  

• โดยทั่วไปแล้วการแปลงแบบโฮโมเทตี ใดๆ ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดของปริภูมิเวกเตอร์ จะเป็นการแปลงเชิงเส้น (ในที่นี้cคือค่าสเกลาร์)${\textstyle \mathbf {v} \mapsto c\mathbf {v} }$
• การแปลงศูนย์ ระหว่างปริภูมิเวกเตอร์สองปริภูมิ (บน ฟิลด์เดียวกัน) เป็นการแปลงเชิงเส้น${\textstyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {0} }$
• แผนที่เอกลักษณ์บนโมดูลใดๆ ก็ตามคือตัวดำเนินการเชิงเส้น
• สำหรับจำนวนจริง แผนภาพจะไม่เป็นเส้นตรง${\textstyle x\mapsto x^{2}}$
• สำหรับจำนวนจริง การแปลงนี้ไม่ใช่เชิงเส้น (แต่เป็นการแปลงแบบแอฟฟิน )${\textstyle x\mapsto x+1}$
• ถ้าเป็นเมทริกซ์จริงจะกำหนดแผนที่เชิงเส้นจากไปยังโดยการส่งเวกเตอร์คอลัมน์ไปยังเวกเตอร์คอลัมน์ใน ทางกลับ กันแผนที่เชิงเส้นใดๆ ระหว่าง ปริภูมิเวกเตอร์ มิติจำกัดสามารถแสดงได้ในลักษณะนี้ ดูหัวข้อ § เมทริกซ์ด้านล่าง${\displaystyle A}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle A\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{m}}$
• ถ้าเป็นไอโซเมตรีระหว่างปริภูมิบรรทัดฐาน จริง โดยที่จะเป็นแผนที่เชิงเส้น ผลลัพธ์นี้ไม่จำเป็นต้องเป็นจริงสำหรับปริภูมิบรรทัดฐานเชิงซ้อน^{[ 7 ]}${\textstyle f:V\to W}$${\textstyle f(0)=0}$${\displaystyle f}$
• การหาอนุพันธ์นิยามแผนที่เชิงเส้นจากปริภูมิของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ทั้งหมดไปยังปริภูมิของฟังก์ชันทั้งหมด นอกจากนี้ยังนิยามตัวดำเนินการเชิงเส้นบนปริภูมิของฟังก์ชันเรียบ ทั้งหมด (ตัวดำเนินการเชิงเส้นคือ เอนโดมอร์ฟิซึมเชิงเส้นกล่าวคือ แผนที่เชิงเส้นที่มีโดเมนและโคโดเมน เดียวกัน ) แท้จริงแล้ว$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(af(x)+bg(x)\right)=a{\frac {df(x)}{dx}}+b{\frac {dg(x)}{dx}}.}$$
• อินทิกรั ลจำกัด บนช่วงI ใดๆ คือการแปลงเชิงเส้นจากปริภูมิของฟังก์ชันที่หาอินทิกรัลได้ทั้งหมดที่มีค่าเป็นจำนวนจริงบนIไป ยัง ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$อันที่จริง$${\displaystyle \int _{u}^{v}\left(af(x)+bg(x)\right)dx=a\int _{u}^{v}f(x)dx+b\int _{u}^{v}g(x)dx.}$$
• อินทิกรัลไม่จำกัด(หรือปฏิอนุพันธ์ ) ที่มีจุดเริ่มต้นการอินทิเกรตคงที่ กำหนดแผนที่เชิงเส้นจากปริภูมิของฟังก์ชันที่อินทิเกรตได้ทั้งหมดที่มีค่าเป็นจำนวนจริง ไปยังปริภูมิของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ทั้งหมดที่มีค่าเป็นจำนวนจริงหากไม่มีจุดเริ่มต้นคงที่ ปฏิอนุพันธ์จะแปลงปริภูมิของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ไปยังปริภูมิผลหารของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้โดยปริภูมิเชิงเส้นของฟังก์ชันคงที่${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• ถ้าและเป็นปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดเหนือฟิลด์Fซึ่งมีมิติmและnตามลำดับ ฟังก์ชันที่แปลงแผนที่เชิงเส้นเป็น เมทริกซ์ n × mในลักษณะที่อธิบายไว้ใน§ เมทริกซ์ (ด้านล่าง) จะเป็นแผนที่เชิงเส้น และยังเป็นไอโซมอร์ฟิซึมเชิงเส้น อีก ด้วย${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\textstyle f:V\to W}$
• ค่าคาดหวังของตัวแปรสุ่มเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของตัวแปรสุ่ม: สำหรับตัวแปรสุ่มและเราจะได้และ⁠ ⁠ค่าคาดหวังแบบมีเงื่อนไขก็คือเช่นกัน แต่ความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มไม่ใช่เชิงเส้น เพราะตัวอย่างเช่น⁠ ⁠ .${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle E[X+Y]=E[X]+E[Y]}$${\displaystyle E[aX]=aE[X]}$${\displaystyle {\text{Var}}(aX)=a^{2}{\text{Var}}(X)}$

• 
  ฟังก์ชัน ` with` เป็นการแปลงเชิงเส้น ฟังก์ชันนี้จะปรับขนาดส่วนประกอบของเวกเตอร์ด้วยตัวประกอบ` \ n`${\textstyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$${\textstyle x}$${\displaystyle 2}$
• 
  ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันบวก: ไม่ว่าเวกเตอร์จะถูกบวกก่อนแล้วค่อยแปลง หรือจะถูกแปลงก่อนแล้วค่อยบวกกัน ก็ไม่มีผลอะไร:${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$${\textstyle f(\mathbf {a} +\mathbf {b} )=f(\mathbf {a} )+f(\mathbf {b} )}$
• 
  ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันเอกพันธุ์: ไม่ว่าเวกเตอร์จะถูกปรับขนาดก่อนแล้วจึงแปลงเป็นแผนที่ หรือแปลงเป็นแผนที่ก่อนแล้วจึงปรับขนาด ก็ไม่มีผลอะไร:${\textstyle f(x,y)=(2x,y)}$${\textstyle f(\lambda \mathbf {a} )=\lambda f(\mathbf {a} )}$

ถ้าแผนที่เชิงเส้นเป็นการ จับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง ทั่วถึง (bijection)แล้วแผนที่นั้นเรียกว่า...ไอโซมอร์ฟิซึมเชิงเส้นในกรณีที่⁠⁠${\displaystyle V=W}$แผนที่เชิงเส้นเรียกว่าเอนโดมอร์ฟิซึมเชิงเส้นบางครั้งคำว่าตัวดำเนินการเชิงเส้นหมายถึงกรณีนี้ ^{[ 8 ]}แต่คำว่า "ตัวดำเนินการเชิงเส้น" อาจมีความหมายที่แตกต่างกันไปตามข้อตกลงที่แตกต่างกัน

โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันเชิงเส้นจะถูกสร้างขึ้นโดยการกำหนดฟังก์ชันนั้นบนเซตย่อยของปริภูมิเวกเตอร์ แล้วจึง...ขยายโดยใช้ความเป็นเชิงเส้นไปยังช่วงเชิงเส้นของโดเมน สมมติว่าและเป็นปริภูมิเวกเตอร์ และเป็นฟังก์ชันที่กำหนดบนเซตย่อยบางเซต⁠⁠แล้ว a${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:S\to Y}$${\displaystyle S\subseteq X}$การขยายเชิงเส้นของไปยัง${\displaystyle f}$${\displaystyle X,}$ถ้ามีอยู่ จะเป็นแผนที่เชิงเส้นที่กำหนดบนซึ่งขยาย ^{[หมายเหตุ 1 ]} (หมายความว่าสำหรับทุก⁠⁠) และรับค่าจากโคโดเมนของ⁠⁠[ ^{9 ] เมื่อ} เซตย่อยเป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์ของแล้ว การขยายเชิงเส้น (⁠⁠) ของไปยังทั้งหมดของจะรับประกันว่ามีอยู่ก็ต่อเมื่อ (และเฉพาะเมื่อ)เป็นแผนที่เชิงเส้น ^{[ 9 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้ามีการขยายเชิงเส้นไปยังจะ มีการขยายเชิงเส้นไปยังทั้งหมดของ⁠⁠${\displaystyle F:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle F(s)=f(s)}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:S\to Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \operatorname {span} S,}$${\displaystyle X}$

แผนที่สามารถขยายเป็นแผนที่เชิงเส้นได้ก็ต่อเมื่อเมื่อใดก็ตามที่เป็นจำนวนเต็มเป็นสเกลาร์ และเป็นเวกเตอร์ที่⁠ ⁠แล้วจำเป็นต้อง⁠ ⁠ ^{[ 10 ]} ถ้ามีการขยายเชิงเส้นของอยู่แล้ว การขยายเชิงเส้นนั้นจะเป็นเอกลักษณ์และ ใช้ได้กับทุก⁠ ⁠และเช่นเดียวกับข้างต้น^{[ 10 ]} ถ้าเป็นอิสระเชิงเส้นแล้ว ฟังก์ชันทุกฟังก์ชันในปริภูมิเวกเตอร์ใดๆ จะมีการขยายเชิงเส้นไปยังแผนที่ (เชิงเส้น) (และในทางกลับกันก็เป็นจริงเช่นกัน) ${\displaystyle f:S\to Y}$${\displaystyle F:\operatorname {span} S\to Y}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}}$${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}\in S}$${\displaystyle 0=c_{1}s_{1}+\cdots +c_{n}s_{n}}$${\displaystyle 0=c_{1}f\left(s_{1}\right)+\cdots +c_{n}f\left(s_{n}\right)}$${\displaystyle f:S\to Y}$${\displaystyle F:\operatorname {span} S\to Y}$$${\displaystyle F\left(c_{1}s_{1}+\cdots c_{n}s_{n}\right)=c_{1}f\left(s_{1}\right)+\cdots +c_{n}f\left(s_{n}\right)}$$${\displaystyle n,c_{1},\ldots ,c_{n}}$${\displaystyle s_{1},\ldots ,s_{n}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f:S\to Y}$${\displaystyle \operatorname {span} S\to Y}$

ตัวอย่างเช่น ถ้าและจากนั้นการกำหนดค่าและสามารถขยายเชิงเส้นจากเซตของเวกเตอร์ที่เป็นอิสระเชิงเส้นไปยังแผนที่เชิงเส้นบน⁠ ⁠ได้ การขยายเชิงเส้นที่ไม่ซ้ำกันคือแผนที่ที่ส่งไปยัง ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle Y=\mathbb {R} }$${\displaystyle (1,0)\to -1}$${\displaystyle (0,1)\to 2}$${\displaystyle S:=\{(1,0),(0,1)\}}$${\displaystyle \operatorname {span} \{(1,0),(0,1)\}=\mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle (x,y)=x(1,0)+y(0,1)\in \mathbb {R} ^{2}}$$${\displaystyle F(x,y)=x(-1)+y(2)=-x+2y.}$$

ฟังก์ชันเชิงเส้น (ที่มีค่าเป็นสเกลาร์) ทุกตัวที่นิยามบนปริภูมิย่อยเวกเตอร์ของปริภูมิเวกเตอร์จริงหรือเชิงซ้อนจะมีการขยายเชิงเส้นไปยังทุก ๆ ของ⁠ ⁠ อันที่จริง ทฤษฎีบทการขยายที่ถูกครอบงำของ Hahn–Banachยังรับประกันด้วยว่า เมื่อฟังก์ชันเชิงเส้นนี้ถูกครอบงำโดยเซมินอร์ม ที่กำหนด (หมายความว่าเป็นจริงสำหรับทุก ๆในโดเมนของ⁠ ⁠ ) แล้วจะมีการขยายเชิงเส้นไปยัง ที่ถูกครอบงำโดย⁠ ⁠ เช่น กัน ${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle |f(m)|\leq p(m)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$

ถ้าและเป็น ปริภูมิเวกเตอร์ มิติจำกัดและ มีการกำหนด ฐานสำหรับแต่ละปริภูมิเวกเตอร์ แผนที่เชิงเส้นทุกแผนที่จากไปสามารถแสดงได้ด้วยเมทริกซ์^{[ 11 ]}ซึ่งมีประโยชน์เพราะช่วยให้สามารถคำนวณได้อย่างเป็นรูปธรรม เมทริกซ์ให้ตัวอย่างของแผนที่เชิงเส้น: ถ้าเป็นเมทริกซ์จริง แล้วจะอธิบายแผนที่เชิงเส้น(ดูปริภูมิยุคลิด ) ${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle A}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle f(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$

ให้เป็นฐานสำหรับ⁠ ⁠แล้วเวกเตอร์ทุกตัวจะถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันโดยสัมประสิทธิ์ในฟิลด์⁠ ⁠ : ${\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$$${\displaystyle \mathbf {v} =c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}.}$$

ถ้าเป็นการแมปเชิงเส้น ${\textstyle f:V\to W}$$${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f(c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n})=c_{1}f(\mathbf {v} _{1})+\cdots +c_{n}f\left(\mathbf {v} _{n}\right),}$$

ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันfถูกกำหนดโดยเวกเตอร์ทั้งหมด⁠ ⁠${\displaystyle f(\mathbf {v} _{1}),\ldots ,f(\mathbf {v} _{n})}$ทีนี้ให้เป็นฐานสำหรับ⁠ ⁠จากนั้นเราสามารถแทนเวกเตอร์แต่ละตัวได้ดังนี้ ${\displaystyle \{\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}\}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$$${\displaystyle f\left(\mathbf {v} _{j}\right)=a_{1j}\mathbf {w} _{1}+\cdots +a_{mj}\mathbf {w} _{m}.}$$

ดังนั้น ฟังก์ชันจึงถูกกำหนดโดยค่าของ⁠ ⁠ อย่างสมบูรณ์ หากเราใส่ค่าเหล่านี้ลงในเมทริกซ์⁠ ⁠แล้วเราสามารถใช้เมทริกซ์นั้นในการคำนวณเวกเตอร์เอาต์พุตของสำหรับเวกเตอร์ใดๆ ใน⁠ ⁠ ได้อย่างสะดวก เพื่อให้ได้⁠ ⁠แต่ละคอลัมน์ของคือเวกเตอร์ ที่สอดคล้องกับตามที่กำหนดไว้ข้างต้น เพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น สำหรับบางคอลัมน์ที่สอดคล้องกับการแมป⁠ ⁠โดย ที่คือเมทริกซ์ของ⁠ ⁠กล่าวอีกนัยหนึ่ง ทุกคอลัมน์มีเวกเตอร์ที่สอดคล้องกันซึ่งพิกัดเป็นองค์ประกอบของคอลัมน์⁠ ⁠การแมปเชิงเส้นเดียวอาจถูกแทนด้วยเมทริกซ์หลายเมทริกซ์ เนื่องจากค่าขององค์ประกอบของเมทริกซ์ขึ้นอยู่กับฐานที่เลือก ${\displaystyle f}$${\displaystyle a_{ij}}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f}$${\displaystyle V}$${\displaystyle M}$${\displaystyle j}$${\displaystyle M}$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1j}\\\vdots \\a_{mj}\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$${\displaystyle j}$${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$$${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{pmatrix}\ \cdots &a_{1j}&\cdots \ \\&\vdots &\\&a_{mj}&\end{pmatrix}}}$$${\displaystyle M}$${\displaystyle f}$${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})}$${\displaystyle a_{1j},\cdots ,a_{mj}}$${\displaystyle j}$

เมทริกซ์ของการแปลงเชิงเส้นสามารถแสดงได้ด้วยภาพ:

1. เมทริกซ์สำหรับสัมพันธ์กับ⁠ ⁠ :${\textstyle T}$${\displaystyle B}$${\textstyle A}$
2. เมทริกซ์สำหรับสัมพันธ์กับ⁠ ⁠ :${\textstyle T}$${\displaystyle B'}$${\textstyle A'}$
3. เมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะจากเป็น⁠ ⁠ :${\textstyle B'}$${\displaystyle B}$${\textstyle P}$
4. เมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะจากเป็น⁠ ⁠ :${\textstyle B}$${\displaystyle B'}$${\textstyle P^{-1}}$

โดยเริ่มจากมุมล่างซ้ายและมองหามุมล่างขวา⁠ ⁠เราจะคูณทางซ้าย—นั่นคือ⁠ ⁠วิธีที่เทียบเท่ากันคือวิธีที่ "ยาวกว่า" โดยวนตามเข็มนาฬิกาจากจุดเดียวกัน โดยคูณ ทางซ้ายด้วย⁠ ⁠หรือ⁠ ⁠${\textstyle \left[\mathbf {v} \right]_{B'}}$${\displaystyle \textstyle \left[T\left(\mathbf {v} \right)\right]_{B'}}$${\displaystyle \textstyle A'\left[\mathbf {v} \right]_{B'}=\left[T\left(\mathbf {v} \right)\right]_{B'}}$${\textstyle \left[\mathbf {v} \right]_{B'}}$${\displaystyle P^{-1}AP}$${\displaystyle \textstyle P^{-1}AP\left[\mathbf {v} \right]_{B'}=\left[T\left(\mathbf {v} \right)\right]_{B'}}$

ในปริภูมิ สอง มิติR² แผนที่เชิงเส้นจะ ^ถูกอธิบายด้วยเมทริกซ์ 2 × 2 ตัวอย่างบางส่วนมีดังนี้:

• การหมุน
  • หมุนทวนเข็มนาฬิกา 90 องศา:$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}}$$
  • โดยทำมุมθทวนเข็มนาฬิกา:$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}}$$
• การสะท้อน
  • ผ่าน แกน x :$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$$
  • ผ่าน แกน y :$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$$
  • ลากเส้นตรงที่ทำมุมθกับจุดกำเนิด:$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \end{pmatrix}}}$$
• ปรับขนาดด้วย 2 ในทุกทิศทาง:$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}}=2\mathbf {I} }$$
• การทำแผนที่แรงเฉือนแนวนอน :$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&m\\0&1\end{pmatrix}}}$$
• การเบี่ยงเบนของ แกน yด้วยมุมθ :$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}1&-\sin \theta \\0&\cos \theta \end{pmatrix}}}$$
• การทำแผนที่แบบบีบอัด :$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}k&0\\0&{\frac {1}{k}}\end{pmatrix}}}$$
• การฉายภาพลงบน แกน y :$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}.}$$

ถ้าแผนที่เชิงเส้นประกอบด้วยการหมุน การสะท้อน และ/หรือการปรับขนาดอย่างสม่ำเสมอเท่านั้น แผนที่เชิงเส้นนั้นจะเป็นการแปลงเชิงเส้นแบบคอนฟอร์มอล

การประกอบกันของแผนที่เชิงเส้นเป็นเชิงเส้น: ถ้าและเป็นเชิงเส้นแล้วการประกอบกัน ของพวกมันก็เป็น เชิง เส้น เช่น กัน จากนี้จึงสรุปได้ว่ากลุ่มของปริภูมิเวกเตอร์ทั้งหมดเหนือฟิลด์K ที่กำหนดให้ พร้อมกับแผนที่เชิงเส้นในฐานะมอร์ฟิซึม จะก่อให้เกิดหมวด หมู่${\displaystyle f:V\to W}$${\textstyle g:W\to Z}$${\displaystyle g\circ f:V\to Z}$

เมื่อกำหนดนิยามแล้ว ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเชิงเส้นก็จะเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นอีกครั้ง

ถ้าและเป็นเชิงเส้น ผลรวมแบบ จุดต่อจุด ของทั้งสองก็จะเป็น เชิงเส้น เช่น กันซึ่งกำหนดโดย${\textstyle f_{1}:V\to W}$${\textstyle f_{2}:V\to W}$${\displaystyle f_{1}+f_{2}}$${\displaystyle (f_{1}+f_{2})(\mathbf {x} )=f_{1}(\mathbf {x} )+f_{2}(\mathbf {x} )}$

ถ้าเป็นเชิงเส้นและเป็นองค์ประกอบของฟิลด์พื้นฐานแผนที่ที่กำหนดโดยก็เป็นเชิง เส้นเช่นกัน${\textstyle f:V\to W}$${\textstyle \alpha }$${\displaystyle K}$${\displaystyle \alpha f}$${\displaystyle (\alpha f)(\mathbf {x} )=\alpha (f(\mathbf {x} ))}$

ดังนั้นเซตของแผนที่เชิงเส้นจากไปยัง ตัวมันเอง ^จึงก่อให้เกิดปริภูมิเวกเตอร์เหนือ⁠ ⁠ [ ^{12 ]}บางครั้งเรียกว่า⁠ ⁠ [ ^{13 ]ยิ่ง}ไปกว่านั้น ในกรณีที่⁠ ⁠ปริภูมิเวกเตอร์นี้ ซึ่งเรียกว่า⁠ ⁠จะเป็นพีชคณิตแบบสมาคมภายใต้การประกอบแผนที่เนื่องจากการประกอบแผนที่เชิงเส้นสองแผนที่ยังคงเป็นแผนที่เชิงเส้น และการประกอบแผนที่นั้นเป็นแบบสมาคมเสมอ กรณีนี้จะกล่าวถึงรายละเอียดเพิ่มเติมด้านล่าง ${\textstyle {\mathcal {L}}(V,W)}$${\textstyle V}$${\textstyle W}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)}$${\displaystyle V=W}$${\displaystyle \operatorname {End} (V)}$

เมื่อพิจารณากรณีที่มีมิติจำกัดอีกครั้ง หากมีการเลือกฐานแล้ว การประกอบกันของแผนที่เชิงเส้นจะสอดคล้องกับการคูณเมทริกซ์การบวกแผนที่เชิงเส้นจะสอดคล้องกับการบวกเมทริกซ์และการคูณแผนที่เชิงเส้นกับสเกลาร์จะสอดคล้องกับการคูณเมทริกซ์กับสเกลาร์

การแปลงเชิงเส้นคือเอนโดมอร์ฟิซึมของ; เซตของเอนโดมอร์ฟิซึมดังกล่าวทั้งหมด รวมกับผลบวก การประกอบ และการคูณสเกลาร์ตามที่นิยามไว้ข้างต้น จะก่อให้เกิดพีชคณิตแบบสมาคมที่มีเอกลักษณ์เหนือฟิลด์(และโดยเฉพาะอย่างยิ่งวงแหวน )เอกลักษณ์การคูณของพีชคณิตนี้คือแผนที่เอกลักษณ์⁠ ⁠${\textstyle f:V\to V}$${\textstyle V}$${\textstyle \operatorname {End} (V)}$${\textstyle K}$${\displaystyle \operatorname {id} :V\to V}$

เอนโดมอร์ฟิซึมของ ที่เป็น ไอโซมอร์ฟิซึมด้วยเรียกว่าออโตมอร์ฟิซึมของ⁠ ⁠การประกอบกันของออโตมอร์ฟิซึมสองตัวก็จะได้ออโตมอร์ฟิซึมอีกตัวหนึ่ง และเซตของออโตมอร์ฟิซึมทั้งหมดของ ⁠ ⁠ ก่อให้เกิดกลุ่ม ซึ่ง กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของ⁠ ⁠ จะใช้สัญลักษณ์หรือ⁠ ⁠แทน เนื่องจากออโตมอร์ฟิซึมคือเอนโดมอร์ฟิซึมที่มีอินเวอร์สภายใต้การประกอบกัน ดังนั้น ⁠ ⁠ จึง เป็นกลุ่มของหน่วยในริง⁠ ⁠${\textstyle V}$${\displaystyle V}$${\textstyle V}$${\textstyle V}$${\textstyle \operatorname {Aut} (V)}$${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$${\textstyle \operatorname {Aut} (V)}$${\displaystyle \operatorname {End} (V)}$

ถ้ามีมิติจำกัด⁠ ⁠แล้วจะสม isomorphicกับพีชคณิตสมาคมของเมทริกซ์ทั้งหมดที่มีสมาชิกอยู่ใน⁠ ⁠กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของจะสม isomorphicกับ กลุ่มเชิงเส้นทั่วไปของเมทริกซ์ผกผันทั้งหมด ที่มีสมาชิก อยู่ ใน⁠ ⁠${\textstyle V}$${\displaystyle n}$${\textstyle \operatorname {End} (V)}$${\textstyle n\times n}$${\displaystyle K}$${\textstyle V}$${\textstyle \operatorname {GL} (n,K)}$${\textstyle n\times n}$${\displaystyle K}$

ถ้าเป็นเชิงเส้น เราจะกำหนดเคอร์เนลและภาพหรือช่วงของโดย ${\textstyle f:V\to W}$${\textstyle f}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\ker(f)&=\{\,\mathbf {x} \in V:f(\mathbf {x} )=\mathbf {0} \,\}\\\operatorname {im} (f)&=\{\,\mathbf {w} \in W:\mathbf {w} =f(\mathbf {x} ),\mathbf {x} \in V\,\}\end{aligned}}}$$

${\textstyle \ker(f)}$เป็นปริภูมิย่อยของและ เป็น ปริภูมิย่อยของสูตรมิติต่อไปนี้เรียกว่าทฤษฎีบทอันดับ-มิติว่าง : ^{[ 14 ]}${\textstyle V}$${\textstyle \operatorname {im} (f)}$${\displaystyle W}$$${\displaystyle \dim(\ker(f))+\dim(\operatorname {im} (f))=\dim(V).}$$

จำนวนนี้ยังเรียกว่าอันดับของและเขียนเป็น⁠ ⁠หรือบางครั้ง⁠ ⁠ ; ^{[ 15 ] [ 16 ]}จำนวนนี้เรียกว่ามิติศูนย์ของและเขียนเป็นหรือ⁠ ⁠ . ^{[ 15 ] [ 16 ]}ถ้าและเป็นเมทริกซ์มิติจำกัด เลือกฐาน และแทนด้วยเมทริกซ์⁠ ⁠แล้ว อันดับและมิติศูนย์ของจะเท่ากับอันดับและมิติศูนย์ของเมทริกซ์ ⁠ ⁠ตามลำดับ ${\textstyle \dim(\operatorname {im} (f))}$${\textstyle f}$${\displaystyle \operatorname {rank} (f)}$${\displaystyle \rho (f)}$${\textstyle \dim(\ker(f))}$${\textstyle f}$${\textstyle \operatorname {null} (f)}$${\displaystyle \nu (f)}$${\textstyle V}$${\textstyle W}$${\textstyle f}$${\displaystyle A}$${\textstyle f}$${\displaystyle A}$

ตัวแปรคงที่ที่ละเอียดอ่อนกว่าของการแปลงเชิงเส้นคือโคเคอร์เนลซึ่งกำหนดโดย ${\textstyle f:V\to W}$$${\displaystyle \operatorname {coker} (f):=W/f(V)=W/\operatorname {im} (f).}$$

นี่คือ แนวคิด คู่ขนานของเคอร์เนล: เช่นเดียวกับที่เคอร์เนลเป็นปริภูมิย่อยของโดเมนโคเคอร์เนลก็เป็นปริภูมิผลหารของเป้าหมายในทางรูปธรรม เราจะได้ลำดับที่แน่นอน$${\displaystyle 0\to \ker(f)\to V\to W\to \operatorname {coker} (f)\to 0.}$$

สามารถตีความได้ดังนี้: กำหนดสมการเชิงเส้นf ( v ) = wที่ต้องแก้

• เคอร์เนลคือปริภูมิของคำตอบของสมการเอกพันธุ์f ( v ) = 0และมิติของมันคือจำนวนองศาอิสระในปริภูมิของคำตอบ หากปริภูมินั้นไม่ว่างเปล่า
• โคเคอร์เนลคือปริภูมิของข้อจำกัดที่คำตอบต้องเป็นไปตามนั้น และมิติของมันคือจำนวนสูงสุดของข้อจำกัดอิสระ

มิติของโคเคอร์เนลและมิติของภาพ (อันดับ) รวมกันแล้วเท่ากับมิติของปริภูมิเป้าหมาย สำหรับมิติที่จำกัด นั่นหมายความว่ามิติของปริภูมิผลหารW / f ( V )คือมิติของปริภูมิเป้าหมายลบด้วยมิติของภาพ

ยกตัวอย่างง่ายๆ ลองพิจารณาแผนที่f  : R ² → R ²ที่กำหนดโดยf ( x , y ) = (0, y )แล้วสำหรับสมการf ( x , y ) = ( a , b )ที่จะมีคำตอบได้ เราต้องมีa = 0 (ข้อจำกัดหนึ่งข้อ) และในกรณีนั้น พื้นที่คำตอบคือ( x , b )หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ (0, b ) + ( x , 0) (ระดับความเป็นอิสระหนึ่งระดับ) เคอร์เนลอาจแสดงได้เป็นพื้นที่ย่อย( x , 0) < V : ค่าของx คือระดับ ความ เป็นอิสระในคำ ตอบ – ในขณะที่โคเคอร์เนลอาจแสดงได้ผ่านแผนที่W → R : เมื่อกำหนดเวกเตอร์( a , b )ค่าของaคืออุปสรรคต่อการมีคำตอบ ${\displaystyle (a,b)\mapsto (a)}$

ตัวอย่างที่แสดงให้เห็นกรณีมิติอนันต์คือแผนที่f  : R ^∞ → R ^∞โดยที่b ₁ = 0และb _{n + 1} = a _nสำหรับn > 0ภาพของแผนที่นี้ประกอบด้วยลำดับทั้งหมดที่มีองค์ประกอบแรกเป็น 0ดังนั้นโคเคอร์เนลของแผนที่นี้จึงประกอบด้วยคลาสของลำดับที่มีองค์ประกอบแรกเหมือนกัน ดังนั้น ในขณะที่เคอร์เนลมีมิติ 0 (มันแมปเฉพาะลำดับศูนย์ไปยังลำดับศูนย์) โคเคอร์เนลของแผนที่นี้จะมีมิติ 1 เนื่องจากโดเมนและปริภูมิเป้าหมายเหมือนกัน อันดับและมิติของเคอร์เนลจึงรวมกันได้เท่ากับอันดับและมิติของโคเคอร์เนล ( ⁠ ⁠ ) แต่ในกรณีมิติอนันต์นั้น ไม่สามารถอนุมานได้ว่าเคอร์เนลและโคเคอร์เนลของเอนโดมอร์ฟิซึมมีมิติเดียวกัน ( 0 ≠ 1 ) สถานการณ์ตรงกันข้ามเกิดขึ้นกับแผนที่h  : R ^∞ → R ^∞โดยที่c _n = a _{n + 1}ภาพของแผนที่นี้คือปริภูมิเป้าหมายทั้งหมด ดังนั้นโคเคอร์เนลของมันจึงมีมิติเป็น 0 แต่เนื่องจากมันแมปซีเควนซ์ทั้งหมดที่มีเพียงองค์ประกอบแรกเท่านั้นที่ไม่เป็นศูนย์ไปยังซีเควนซ์ศูนย์ เคอร์เนลของมันจึงมีมิติเป็น 1 ${\textstyle \left\{a_{n}\right\}\mapsto \left\{b_{n}\right\}}$${\displaystyle \aleph _{0}+0=\aleph _{0}+1}$${\textstyle \left\{a_{n}\right\}\mapsto \left\{c_{n}\right\}}$

สำหรับตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีเคอร์เนลและโคเคอร์เนลที่มีมิติจำกัด เราอาจกำหนดดัชนีได้ดังนี้ คือ จำนวนองศาอิสระลบด้วยจำนวนข้อจำกัด $${\displaystyle \operatorname {ind} (f):=\dim(\ker(f))-\dim(\operatorname {coker} (f)),}$$

สำหรับการแปลงระหว่างปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัด ผลลัพธ์ที่ได้คือผลต่าง dim( V ) − dim( W ) โดยอาศัยอันดับ-มิติศูนย์ ซึ่งบ่งชี้ว่ามีคำตอบหรือข้อจำกัดกี่ข้อ: ถ้าเป็นการแมปจากปริภูมิที่ใหญ่กว่าไปยังปริภูมิที่เล็กกว่า การแมปอาจเป็นแบบทั่วถึง และดังนั้นจะมีระดับความเป็นอิสระแม้ไม่มีข้อจำกัด ในทางกลับกัน ถ้าเป็นการแมปจากปริภูมิที่เล็กกว่าไปยังปริภูมิที่ใหญ่กว่า การแมปจะไม่สามารถเป็นแบบทั่วถึงได้ และดังนั้นจะมีข้อจำกัดแม้ไม่มีระดับความเป็นอิสระ

ดัชนีของตัวดำเนินการคือลักษณะเฉพาะของออยเลอร์ของคอมเพล็กซ์ 2 เทอม0 → V → W → 0 อย่างแม่นยำ ในทฤษฎีตัวดำเนินการดัชนีของตัวดำเนินการเฟรดโฮล์มเป็นวัตถุของการศึกษา โดยมีผลลัพธ์ที่สำคัญคือ ทฤษฎีบทดัชนี ของAtiyah–Singer ^{[ 17 ]}

ไม่มีการจำแนกประเภทของแผนที่เชิงเส้นใดที่จะครอบคลุมได้อย่างครบถ้วน รายการต่อไปนี้เป็นเพียงตัวอย่างการจำแนกประเภทที่สำคัญบางส่วน ซึ่งไม่จำเป็นต้องมีโครงสร้างเพิ่มเติมใดๆ บนปริภูมิเวกเตอร์

ให้VและWแทนปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์Fและให้T  : V → Wเป็นแผนที่เชิงเส้น

กล่าวได้ว่าT เป็น ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injective)หรือฟังก์ชันเอกพันธุ์ (monomorphism)ถ้าเงื่อนไขที่เทียบเท่ากันต่อไปนี้ข้อใดข้อหนึ่งเป็นจริง:

1. Tเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเซต
2. ker T = {0 _V }
3. dim(ker T ) = 0
4. Tเป็นฟังก์ชันเอกลักษณ์หรือสามารถตัดทอนทางซ้ายได้ กล่าวคือ สำหรับปริภูมิเวกเตอร์U ใดๆ และคู่ของแผนที่เชิงเส้นR : U → VและS  : U → V ใดๆ สมการTR = TSจะหมายความว่าR = S
5. Tเป็นเมทริกซ์ผกผันซ้ายซึ่งหมายความว่ามีแผนที่เชิงเส้นS  : W → Vอยู่จริง โดยที่STเป็นแผนที่เอกลักษณ์บนV

กล่าวได้ว่าT เป็น ฟังก์ชันทั่วถึง (surjective)หรือฟังก์ชันเอพิโมฟิซึม (epimorphism)ถ้าเงื่อนไขที่เทียบเท่ากันต่อไปนี้ข้อใดข้อหนึ่งเป็นจริง:

1. Tเป็น แผนที่แบบ ทั่วถึงของเซต
2. โค้กเกอร์T = {0 _W }
3. Tเป็นปริภูมิเอกหรือปริภูมิที่สามารถยกเลิกได้ทางขวา กล่าวคือ สำหรับปริภูมิเวกเตอร์U ใดๆ และคู่ของแผนที่เชิงเส้นR  : W → UและS  : W → U ใดๆ สมการRT = STจะหมายความว่าR = S
4. Tเป็นเมทริกซ์ผกผันขวาได้ซึ่งหมายความว่ามีแผนที่เชิงเส้นS  : W → Vอยู่จริง โดยที่TSเป็นแผนที่เอกลักษณ์บนW

กล่าวได้ว่า Tเป็นไอโซมอร์ฟิซึมก็ต่อเมื่อมันผกผันได้ทั้งทางซ้ายและขวา ซึ่งเทียบเท่ากับการที่Tเป็นทั้งฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง ( ฟังก์ชัน หนึ่งต่อหนึ่ง ของเซต) หรือเทียบเท่ากับการที่Tเป็นทั้งเอพิแกรมและโมนิก และดังนั้นจึงเป็นไบมอร์ฟิซึม

ถ้าT  : V → Vเป็นเอนโดมอร์ฟิซึมแล้ว:

• ถ้าสำหรับจำนวนเต็มบวกn ใดๆ การทำซ้ำครั้ง ที่nของT , T ⁿ , มีค่าเป็นศูนย์โดยสมบูรณ์แล้วTจะถูกเรียกว่าเป็นเมทริกซ์นิลโพเทนต์
• ถ้าT ² = Tแล้วTจะเรียกว่าเป็นตัวประกอบเอกลักษณ์ (idempotent)
• ถ้าT = kIโดยที่kเป็นค่าสเกลาร์บางค่า แล้วTจะถูกเรียกว่าเป็นการแปลงแบบปรับขนาด หรือแผนที่การคูณสเกลาร์ ดูที่เมทริกซ์สเกลาร์

กำหนดให้แผนที่เชิงเส้นซึ่งเป็นเอนโดมอร์ฟิซึมที่มีเมทริกซ์AในฐานBของปริภูมิ มันจะแปลงพิกัดเวกเตอร์[ u ]เป็น[ v ] = A [ u ]เนื่องจากเวกเตอร์เปลี่ยนแปลงไปตามอินเวอร์สของB (พิกัดเวกเตอร์เป็นแบบคอนทราแวเรียนต์ ) การแปลงผกผันของมันจึงเป็น[ v ] = B [ v ′ ]

เมื่อแทนค่านี้ลงในนิพจน์แรก จะได้ดังนี้ $${\displaystyle B\left[v'\right]=AB\left[u'\right]}$$$${\displaystyle \left[v'\right]=B^{-1}AB\left[u'\right]=A'\left[u'\right].}$$

ดังนั้น เมทริกซ์ในฐานใหม่คือA ′ = B ⁻¹ ABโดยที่B คือ เมทริกซ์ของฐานที่กำหนดให้

ดังนั้น แผนที่เชิงเส้นจึงถูกเรียกว่าเป็นวัตถุ 1-co- 1-contra- variantหรือเทนเซอร์ประเภท (1, 1 )

การแปลงเชิงเส้นระหว่างปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี เช่นปริภูมิบรรทัดฐานอาจมีความต่อเนื่องหากโดเมนและโคโดเมนเหมือนกัน ก็จะเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นต่อเนื่อง ตัวดำเนินการเชิงเส้นบนปริภูมิเชิงเส้นบรรทัดฐานจะมีความต่อเนื่องก็ต่อเมื่อมีขอบเขตเช่น เมื่อโดเมนมีมิติจำกัด^{[ 18 ]}โดเมนที่มีมิติอนันต์อาจมีตัวดำเนินการเชิงเส้นที่ไม่ต่อเนื่อง

ตัวอย่างของการแปลงเชิงเส้นที่ไม่จำกัดขอบเขต ซึ่งไม่ต่อเนื่อง คือ การหาอนุพันธ์บนปริภูมิของฟังก์ชันเรียบที่มาพร้อมกับนอร์มสูงสุด (ฟังก์ชันที่มีค่าเล็กน้อยสามารถมีอนุพันธ์ที่มีค่ามาก ในขณะที่อนุพันธ์ของ0คือ0 ) สำหรับตัวอย่างเฉพาะเจาะจงsin( nx )/ nลู่เข้าสู่0แต่อนุพันธ์cos( nx )ไม่ลู่เข้า ดังนั้นการหาอนุพันธ์จึงไม่ต่อเนื่องที่0 (และโดยการเปลี่ยนแปลงข้อโต้แย้งนี้ การหาอนุพันธ์จึงไม่ต่อเนื่องที่ใดเลย)

การประยุกต์ใช้แผนที่เชิงเส้นเฉพาะอย่างหนึ่งคือการแปลงทางเรขาคณิตเช่น การแปลงที่ใช้ในกราฟิกคอมพิวเตอร์ซึ่งการเลื่อน การหมุน และการปรับขนาดของวัตถุ 2 มิติหรือ 3 มิติ จะดำเนินการโดยใช้เมทริกซ์การแปลงแผนที่เชิงเส้นยังใช้เป็นกลไกในการอธิบายการเปลี่ยนแปลง ตัวอย่างเช่น ในแคลคูลัสจะสอดคล้องกับอนุพันธ์ หรือในทฤษฎีสัมพัทธภาพ ใช้เป็นเครื่องมือในการติดตามการแปลงเฉพาะที่ของกรอบอ้างอิง

อีกหนึ่งการประยุกต์ใช้ของการแปลงเหล่านี้คือการเพิ่มประสิทธิภาพของคอมไพเลอร์สำหรับโค้ดลูปซ้อน และการทำให้เทคนิค การคอมไพล์ทำงานแบบขนาน

เว็บไซต์ Wikibooks มีหนังสือเกี่ยวกับหัวข้อ: พีชคณิตเชิงเส้น/การแปลงเชิงเส้น

• แผนที่แบบบวก  – โฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูล Z
• แผนที่แอนติลิเนียร์  – แผนที่บวกแบบเอกพันธุ์คู่ควบ
• ฟังก์ชันเบนท์  – ฟังก์ชันบูลีนชนิดพิเศษ
• ตัวดำเนินการแบบมีขอบเขต  – การแปลงเชิงเส้นชนิดหนึ่ง
• สมการเชิงฟังก์ชันของโคชี  – สมการเชิงฟังก์ชัน
• ตัวดำเนินการเชิงเส้นต่อเนื่อง  – ฟังก์ชันระหว่างปริภูมิเวกเตอร์เชิงโทโพโลยี
• ฟังก์ชันเชิงเส้น  – การแปลงเชิงเส้นจากปริภูมิเวกเตอร์ไปยังฟิลด์สเกลาร์Pages displaying short descriptions of redirect targets
• ไอโซเมตรีเชิงเส้น  – การแปลงทางคณิตศาสตร์ที่รักษาระยะทางPages displaying short descriptions of redirect targets
• ประเภทของเมทริกซ์
• การทำให้เป็นเส้นตรงกึ่ง

• Axler, Sheldon Jay (2015). พีชคณิตเชิงเส้นที่ถูกต้อง (ฉบับที่ 3). Springer . ISBN 978-3-319-11079-0.
• Bronshtein, IN; Semendyayev, KA (2004). คู่มือคณิตศาสตร์ (ฉบับที่ 4). นิวยอร์ก: Springer-Verlag. ISBN 3-540-43491-7.
• Halmos, Paul Richard (1974) [1958]. ปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัด (ฉบับที่ 2). Springer . ISBN 0-387-90093-4.
• ฮอร์น, โรเจอร์ เอ.; จอห์นสัน, ชาร์ลส์ อาร์. (2013). การวิเคราะห์เมทริกซ์ (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . ISBN 978-0-521-83940-2.
• Katznelson, ยิตซัค ; แคทซ์เนลสัน, โยนาทัน อาร์. (2008) A (Terse) รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับพีชคณิตเชิงเส้นสมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน . ไอเอสบีเอ็น 978-0-8218-4419-9.
• คูบรัสลี, คาร์ลอส (2001). องค์ประกอบของทฤษฎีตัวดำเนินการ . บอสตัน: เบิร์คเฮาเซอร์. ISBN 978-1-4757-3328-0. OCLC  754555941 .
• Lang, Serge (1987), พีชคณิตเชิงเส้น (ฉบับที่ 3), นิวยอร์ก: Springer-Verlag , ISBN 0-387-96412-6
• รูดิน, วอลเตอร์ (1973). การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน . ชุดนานาชาติในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์. เล่มที่ 25 (ฉบับพิมพ์ครั้งแรก). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: แมคกรอว์-ฮิลล์ วิทยาศาสตร์/วิศวกรรม/คณิตศาสตร์ . ISBN 9780070542259.
• รูดิน, วอลเตอร์ (1976). หลักการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ . ชุดหนังสือสำหรับนักศึกษา วอลเตอร์ รูดิน ในวิชาคณิตศาสตร์ขั้นสูง (ฉบับที่ 3). นิวยอร์ก: แมคกรอว์-ฮิลล์. ISBN 978-0-07-054235-8.
• รูดิน, วอลเตอร์ (1991). การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน . ชุดนานาชาติในคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ เล่มที่ 8 (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: แมคกรอว์-ฮิลล์ วิทยาศาสตร์/วิศวกรรม/คณิตศาสตร์ . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอ โล ยีGTMเล่ม 8 (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์ Springer New York. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Schechter, Eric (1996). คู่มือการวิเคราะห์และรากฐาน . ซานดิเอโก, แคลิฟอร์เนีย: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365 .
• Swartz, Charles (1992). บทนำสู่การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน . นิวยอร์ก: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC  24909067 .
• Tu, Loring W. (2011). บทนำเกี่ยวกับแมนิโฟลด์ (ฉบับที่ 2). Springer . ISBN 978-0-8218-4419-9.
• วิลานสกี, อัลเบิร์ต (2013). วิธีการสมัยใหม่ในปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี . ไมเนโอลา, นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์โดเวอร์ อิงค์. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114 .