ในทางคณิตศาสตร์เคอร์เนลของแผนที่เชิงเส้น หรือ ที่รู้จักกันในชื่อปริภูมิว่างหรือปริภูมิว่างคือส่วนของโดเมนที่ถูกแมปไปยังเวกเตอร์ศูนย์ของโคโดเมนเคอร์เนลเป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้นของโดเมน เสมอ ^{[ 1 ]}นั่นคือ เมื่อกำหนดแผนที่เชิงเส้นL  : V → Wระหว่างปริภูมิเวกเตอร์ สองปริภูมิ VและWเคอร์เนลของL คือปริภูมิเวกเตอร์ขององค์ประกอบ vทั้งหมดของVที่L ( v ) = 0โดยที่0หมายถึงเวกเตอร์ศูนย์ในW [ ^{2 ]}หรือในเชิงสัญลักษณ์มากขึ้น ^:$${\displaystyle \ker(L)=\left\{\mathbf {v} \in V\mid L(\mathbf {v} )=\mathbf {0} \right\}=L^{-1}(\mathbf {0} ).}$$

เคอร์เนลของLเป็นปริภูมิย่อยเชิงเส้นของโดเมนV ^{[ 3 ] [ 2 ]}

ในแผนที่เชิงเส้นสมาชิกสองตัวของV จะมี ภาพเดียวกันในW ก็ต่อเมื่อผลต่างของสมาชิกทั้งสองอยู่ในเคอร์เนลของLนั่นคือ ${\displaystyle L:V\to W,}$

$${\displaystyle L\left(\mathbf {v} _{1}\right)=L\left(\mathbf {v} _{2}\right)\quad \iff \quad L\left(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}\right)=\mathbf {0} .}$$

จากสิ่งนี้ จึงสรุปได้ว่า ตามทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมข้อแรกภาพของL นั้น เป็นไอโซมอร์ฟิกกับผลหารของVโดยเคอร์เนล: $${\displaystyle \operatorname {im} (L)\cong V/\ker(L).}$$ในกรณีที่Vมีมิติจำกัดสิ่งนี้บ่งชี้ถึงทฤษฎีบทอันดับ-มิติว่าง : โดยที่เทอม$${\displaystyle \dim(\ker L)+\dim(\operatorname {im} L)=\dim(V).}$$อันดับ (rank)หมายถึงมิติของภาพของLในขณะที่${\displaystyle \dim(\operatorname {im} L),}$nullityหมายถึงมิติของเคอร์เนลของL[^{4 ]} นั่นคือ ทฤษฎีบทอันดับ-nullity สามารถกล่าวใหม่ได้ ^{ดังนี้}${\displaystyle \dim(\ker L).}$$${\displaystyle \operatorname {Rank} (L)=\dim(\operatorname {im} L)\qquad {\text{ and }}\qquad \operatorname {Nullity} (L)=\dim(\ker L),}$$$${\displaystyle \operatorname {Rank} (L)+\operatorname {Nullity} (L)=\dim \left(\operatorname {domain} L\right).}$$

เมื่อVเป็นปริภูมิผลคูณภายใน ผลหารสามารถระบุได้กับส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉากในVของซึ่งเป็นการขยายความทั่วไปไปยังตัวดำเนินการเชิงเส้นของปริภูมิแถวหรือภาพร่วมของเมทริกซ์ ${\displaystyle V/\ker(L)}$${\displaystyle \ker(L)}$

แนวคิดเรื่องเคอร์เนลยังมีความหมายสำหรับโฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูลซึ่งเป็นการขยายความของปริภูมิเวกเตอร์ โดยที่สเกลาร์เป็นสมาชิกของริงแทนที่จะ เป็น ฟิลด์โดเมนของการแมปคือโมดูล โดยที่เคอร์เนลประกอบเป็นซับโมดูลในกรณีนี้ แนวคิดเรื่องอันดับและความเป็นศูนย์ไม่จำเป็นต้องนำมาใช้เสมอไป

ถ้าVและWเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีโดย ที่Wมีมิติจำกัด ตัวดำเนินการเชิงเส้นL : V → Wจะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อเคอร์เนลของLเป็น ปริภูมิย่อย ปิดของV

พิจารณาแผนที่เชิงเส้นที่แสดงด้วยเมทริกซ์A ขนาด m × nที่มีสัมประสิทธิ์ในฟิลด์K (โดยทั่วไปคือหรือ) ซึ่งทำงานกับเวกเตอร์คอลัมน์xที่มีnส่วนประกอบเหนือKเคอร์เนลของแผนที่เชิงเส้นนี้คือเซตของคำตอบของสมการA x = 0โดยที่0หมายถึงเวกเตอร์ศูนย์มิติของเคอร์เนลของAเรียกว่ามิติศูนย์ของ A ในสัญกรณ์การสร้างเซต สมการ เมทริกซ์เทียบเท่ากับระบบสมการเชิงเส้นเอก พันธุ์ : ดังนั้น เคอร์เนลของAจึงเหมือนกับเซตคำตอบของสมการเอกพันธุ์ข้างต้น ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$$${\displaystyle \operatorname {N} (A)=\operatorname {Null} (A)=\operatorname {ker} (A)=\left\{\mathbf {x} \in K^{n}\mid A\mathbf {x} =\mathbf {0} \right\}.}$$$${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} \;\;\Leftrightarrow \;\;{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\&&&&&&&&&&\vdots \ \;&&&\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&0{\text{.}}\\\end{alignedat}}}$$

เคอร์เนลของเมทริกซ์A ขนาด m × nบนฟิลด์Kคือปริภูมิย่อยเชิงเส้นของK ⁿนั่นคือ เคอร์เนลของAซึ่งก็คือเซตNull( A )มีคุณสมบัติสามประการดังต่อไปนี้:

1. Null( A )จะมีเวกเตอร์ศูนย์ อยู่เสมอ เนื่องจากA 0 = 0
2. ถ้าx ∈ Null( A )และy ∈ Null( A )แล้วx + y ∈ Null( A )ซึ่งเป็นผลมาจากคุณสมบัติการกระจายตัวของการคูณเมทริกซ์เหนือการบวก
3. ถ้าx ∈ Null( A )และ c เป็นสเกลาร์c ∈ Kแล้วc x ∈ Null( A )เนื่องจากA ( c x ) = c ( A x ) = c 0 = 0

ผลคูณA xสามารถเขียนในรูปผลคูณดอทของเวกเตอร์ได้ดังนี้: $${\displaystyle A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {a} _{m}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}}.}$$

ในที่นี้a₁ _, ..., aᵢแทนแถวของเมทริกซ์Aดังนั้นxจะอยู่ในเคอร์เนลของAก็ต่อเมื่อxตั้งฉาก (หรือตั้งฉาก) กับเวกเตอร์แถวแต่ละตัวของA ( _{เนื่องจาก}ความเป็นตั้งฉากถูกกำหนดให้มีผลคูณดอทเป็น 0)

ปริภูมิแถวหรือ โคอิมเมจ ของเมทริกซ์Aคือปริภูมิที่เกิดจากการรวมเวกเตอร์แถวของAด้วยเหตุผลข้างต้น เคอร์เนลของAจึงเป็นส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉากของปริภูมิแถว กล่าวคือ เวกเตอร์xอยู่ในเคอร์เนลของAก็ต่อเมื่อมันตั้งฉากกับทุกเวกเตอร์ในปริภูมิแถวของ A

มิติของปริภูมิแถวของAเรียกว่าอันดับของAและมิติของเคอร์เนลของAเรียกว่าความเป็นศูนย์ของAปริมาณเหล่านี้มีความสัมพันธ์กันโดยทฤษฎีบทอันดับ-ความเป็นศูนย์^{[ 4 ]}$${\displaystyle \operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n.}$$

ปริภูมิว่างด้านซ้ายหรือโคเคอร์เนลของเมทริกซ์Aประกอบด้วยเวกเตอร์คอลัมน์x ทั้งหมด โดยที่x ∈ ^T A = 0 ∈ ^Tโดยที่ T แทนการสลับแถวและคอลัมน์ของเมทริกซ์ ปริภูมิว่างด้านซ้ายของAเหมือนกับเคอร์เนลของA ∈ ^Tปริภูมิว่างด้านซ้ายของAเป็นส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉากของปริภูมิคอลัมน์ของAและเป็นคู่ตรงข้ามกับโคเคอร์เนลของการแปลงเชิงเส้นที่เกี่ยวข้อง เคอร์เนล ปริภูมิแถว ปริภูมิคอลัมน์ และปริภูมิว่างด้านซ้ายของAเป็นปริภูมิ ย่อยพื้นฐานสี่ปริภูมิที่เกี่ยวข้องกับเมทริกซ์A

เคอร์เนลยังมีบทบาทในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่เอกพันธุ์ด้วย: ถ้าuและvเป็นสองคำตอบที่เป็นไปได้ของสมการข้างต้น ดังนั้น ผลต่างของสองคำตอบใดๆ ของสมการA x = b จะอยู่ในเคอร์เนลของA$${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} \quad {\text{or}}\quad {\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{2}\\&&&&&&&&&&\vdots \ \;&&&\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&b_{m}\\\end{alignedat}}}$$$${\displaystyle A(\mathbf {u} -\mathbf {v} )=A\mathbf {u} -A\mathbf {v} =\mathbf {b} -\mathbf {b} =\mathbf {0} }$$

ดังนั้น ผลเฉลยใดๆ ของสมการA x = bสามารถแสดงได้ในรูปผลรวมของผลเฉลยคงที่vและองค์ประกอบใดๆ ของเคอร์เนล นั่นคือ เซตผลเฉลยของสมการA x = bคือ ในทางเรขาคณิต สิ่งนี้กล่าวว่า เซตผลเฉลยของA x = bคือการเลื่อนของเคอร์เนลของAโดยเวกเตอร์vดูเพิ่มเติมที่ทางเลือกของเฟรดโฮล์มและระนาบ (เรขาคณิต ) $${\displaystyle \left\{\mathbf {v} +\mathbf {x} \mid A\mathbf {v} =\mathbf {b} \land \mathbf {x} \in \operatorname {Null} (A)\right\},}$$

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างง่ายๆ ของการคำนวณเคอร์เนลของเมทริกซ์ (ดูหัวข้อ§ การคำนวณโดยวิธีกำจัดแบบเกาส์เซียนด้านล่าง สำหรับวิธีการที่เหมาะสมกว่าสำหรับการคำนวณที่ซับซ้อนกว่า) ตัวอย่างนี้ยังกล่าวถึงปริภูมิแถวและความสัมพันธ์กับเคอร์เนลด้วย

พิจารณาเมทริก ซ์ เคอร์เนลของเมทริกซ์นี้ประกอบด้วยเวกเตอร์ทั้งหมด( x , y , z ) ∈ R ³ซึ่ง สามารถแสดงได้ในรูปของระบบสมการเชิงเส้นเอก พันธุ์ ที่เกี่ยวข้องกับx , yและz : $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}.}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}2x+3y+5z&=0,\\-4x+2y+3z&=0.\end{aligned}}}$$

สมการเชิงเส้นเดียวกันนี้สามารถเขียนในรูปแบบเมทริกซ์ได้ดังนี้: $${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}2&3&5&0\\-4&2&3&0\end{array}}\right].}$$

โดยใช้การกำจัดแบบเกาส์-จอร์แดนเมทริกซ์สามารถลดรูปได้ดังนี้: $${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&1/16&0\\0&1&13/8&0\end{array}}\right].}$$

การเขียนเมทริกซ์ใหม่ให้อยู่ในรูปสมการจะได้: $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=-{\frac {1}{16}}z\\y&=-{\frac {13}{8}}z.\end{aligned}}}$$

องค์ประกอบของเคอร์เนลสามารถแสดงเพิ่มเติมได้ในรูปแบบเวกเตอร์พาราเมตริกดังต่อไปนี้: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1/16\\-13/8\\1\end{bmatrix}}\quad ({\text{where }}c\in \mathbb {R} )}$$

เนื่องจากcเป็นตัวแปรอิสระที่ครอบคลุมจำนวนจริงทั้งหมด จึงสามารถแสดงได้เช่นเดียวกันว่า: ^{เคอร์เนล} ของAคือเซตคำตอบของสมการเหล่านี้ (ในกรณีนี้คือเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดในR³ ) ในที่นี้ เวกเตอร์(−1,−26,16) ^Tเป็นฐานของเคอร์เนลของA ดังนั้น ค่าศูนย์ของAจึงเท่ากับ 1 เนื่องจาก A ถูกสร้างขึ้นโดยเวกเตอร์เพียงตัวเดียว $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}.}$$

ผลคูณดอทต่อไปนี้เป็นศูนย์ ซึ่งแสดงให้เห็นว่าเวกเตอร์ในเคอร์เนลของAตั้งฉากกับเวกเตอร์แถวแต่ละตัวของ A$${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&3&5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0\quad \mathrm {and} \quad {\begin{bmatrix}-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0,}$$

เวก เตอร์ แถวสองตัวนี้ (ซึ่งเป็นอิสระเชิงเส้น) ครอบคลุมปริภูมิแถวของAซึ่งเป็นระนาบตั้งฉากกับเวกเตอร์(−1,−26,16) ^T

ด้วยอันดับ 2 ของA , ค่าศูนย์ 1 ของAและมิติ 3 ของAเราจึงได้ตัวอย่างประกอบของทฤษฎีบทอันดับ-ค่าศูนย์

• ถ้าL : R ^m → R ⁿแล้ว เคอร์เนลของLคือเซตคำตอบของระบบสมการเชิงเส้นเอก พันธุ์ ดังตัวอย่างข้างต้น ถ้าLเป็นตัวดำเนินการ: แล้ว เคอร์เนลของLคือเซตคำตอบของสมการ$${\displaystyle L(x_{1},x_{2},x_{3})=(2x_{1}+3x_{2}+5x_{3},\;-4x_{1}+2x_{2}+3x_{3})}$$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{7}2x_{1}&\;+\;&3x_{2}&\;+\;&5x_{3}&\;=\;&0\\-4x_{1}&\;+\;&2x_{2}&\;+\;&3x_{3}&\;=\;&0\end{alignedat}}}$$
• ให้C [0,1]แทนปริมาณเวกเตอร์ของฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่องทั้งหมดบนช่วง [0,1] และกำหนดL : C [0,1] → Rโดยใช้กฎจากนั้นเคอร์เนลของLประกอบด้วยฟังก์ชันf ∈ C [0,1] ทั้งหมด ซึ่งf (0.3) = 0$${\displaystyle L(f)=f(0.3).}$$
• ให้C ^∞ ( R )เป็นปริมาณเวกเตอร์ของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อนันต์ครั้งทั้งหมดR → Rและให้D : C ^∞ ( R ) → C ^∞ ( R )เป็นตัวดำเนินการหาอนุพันธ์ : แล้วเคอร์เนลของDประกอบด้วยฟังก์ชันทั้งหมดในC ^∞ ( R )ที่มีอนุพันธ์เป็นศูนย์ กล่าวคือ เซตของฟังก์ชันคงที่ทั้งหมด$${\displaystyle D(f)={\frac {df}{dx}}.}$$
• ให้R ^∞เป็นผลคูณโดยตรงของR จำนวนอนันต์ชุด และให้s : R ^∞ → R ^∞เป็นตัวดำเนินการเลื่อน จากนั้นเคอร์เนลของsคือปริภูมิย่อยหนึ่งมิติที่ประกอบด้วยเวกเตอร์ทั้งหมด( x ₁ , 0, 0, 0, ... )$${\displaystyle s(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots )=(x_{2},x_{3},x_{4},\ldots ).}$$
• ถ้าVเป็นปริภูมิผลคูณภายในและWเป็นปริภูมิย่อย เคอร์เนลของ การ ฉายภาพเชิงตั้งฉากV → Wคือส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉากของWในV

ฐาน ของ เคอร์เนลของเมทริกซ์สามารถคำนวณได้โดยใช้วิธีการกำจัดแบบเกาส์เซียน

เพื่อจุดประสงค์นี้ เมื่อกำหนดเมทริกซ์Aขนาด m × n เราจะสร้าง เมทริกซ์เสริมแถวก่อนโดยที่Iคือเมทริกซ์เอกลักษณ์ขนาดn × n${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}},}$

เมื่อคำนวณรูปแบบขั้นบันไดคอลัมน์โดยใช้การกำจัดแบบเกาส์ (หรือวิธีการอื่นใดที่เหมาะสม) เราจะได้เมทริกซ์A โดยฐานของเคอร์เนลของAประกอบด้วยคอลัมน์ที่ไม่เป็นศูนย์ของCซึ่งคอลัมน์ที่สอดคล้องกันของBเป็นคอลัมน์ ศูนย์${\displaystyle {\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}.}$

อันที่จริง การคำนวณอาจหยุดลงได้ทันทีที่เมทริกซ์ด้านบนอยู่ในรูปแบบขั้นบันไดคอลัมน์: ส่วนที่เหลือของการคำนวณประกอบด้วยการเปลี่ยนฐานของปริภูมิเวกเตอร์ที่สร้างขึ้นโดยคอลัมน์ที่มีส่วนบนเป็นศูนย์

ตัวอย่างเช่น สมมติว่า จาก นั้น $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\end{bmatrix}}.}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$$

การจัดส่วนบนให้อยู่ในรูปแบบขั้นบันไดคอลัมน์โดยใช้การดำเนินการคอลัมน์กับเมทริกซ์ทั้งหมดจะได้ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&3&-2&8\\0&1&0&-5&1&-4\\0&0&0&1&0&0\\0&0&1&0&-7&9\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$$

สามคอลัมน์สุดท้ายของB เป็นคอลัมน์ศูนย์ ดังนั้น เวกเตอร์สามตัวสุดท้ายของCจึง เป็นฐานของเคอร์เนลของA$${\displaystyle \left[\!\!{\begin{array}{r}3\\-5\\1\\0\\0\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}-2\\1\\0\\-7\\1\\0\end{array}}\right],\;\left[\!\!{\begin{array}{r}8\\-4\\0\\9\\0\\1\end{array}}\right]}$$

พิสูจน์ว่าวิธีการนี้คำนวณเคอร์เนลได้: เนื่องจากการดำเนินการคอลัมน์สอดคล้องกับการคูณภายหลังด้วยเมทริกซ์ผกผันได้ ข้อเท็จจริงที่ว่าลดลงเหลือหมายความว่ามีเมทริกซ์ผกผันได้ อยู่เช่นนั้น โดยที่อยู่ในรูปแบบขั้นบันไดคอลัมน์ ดังนั้น, , และเวกเตอร์คอลัมน์ เป็นส่วน หนึ่งของเคอร์เนลของ(นั่นคือ) ก็ต่อเมื่อ โดยที่เนื่องจากอยู่ในรูปแบบขั้นบันไดคอลัมน์ดังนั้นก็ต่อเมื่อรายการที่ไม่เป็นศูนย์ของสอดคล้องกับคอลัมน์ที่เป็นศูนย์ของโดยการคูณด้วยเราอาจสรุปได้ว่ากรณีนี้เกิดขึ้นก็ต่อเมื่อเป็นผลรวมเชิงเส้นของคอลัมน์ที่สอดคล้องกันของ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}A\\\hline I\end{bmatrix}}P={\begin{bmatrix}B\\\hline C\end{bmatrix}},}$${\displaystyle B}$${\displaystyle AP=B}$${\displaystyle IP=C}$${\displaystyle AC=B}$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle A\mathbf {v} =\mathbf {0} }$${\displaystyle B\mathbf {w} =\mathbf {0} ,}$${\displaystyle \mathbf {w} =P^{-1}\mathbf {v} =C^{-1}\mathbf {v} }$${\displaystyle B}$${\displaystyle B\mathbf {w} =\mathbf {0} }$${\displaystyle \mathbf {w} }$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \mathbf {v} =C\mathbf {w} }$${\displaystyle C}$

ปัญหาของการคำนวณเคอร์เนลบนคอมพิวเตอร์นั้นขึ้นอยู่กับลักษณะของสัมประสิทธิ์

หากสัมประสิทธิ์ของเมทริกซ์เป็นตัวเลขที่กำหนดให้แน่นอนการคำนวณ เมท ริกซ์ในรูปแบบขั้นบันได คอลัมน์ด้วย อัลกอริทึมของ Bareiss อาจมีประสิทธิภาพมากกว่าการกำจัดแบบเกาส์เซียน ยิ่งไปกว่านั้น การใช้ เลขคณิตแบบมอดูลาร์และทฤษฎีบทเศษเหลือของจีนจะมีประสิทธิภาพมากยิ่งขึ้นเพราะจะลดปัญหาให้เหลือเพียงปัญหาที่คล้ายกันหลายๆ ปัญหาในฟิลด์จำกัด (ซึ่งหลีกเลี่ยงภาระที่เกิดจากความไม่เป็นเชิงเส้นของความซับซ้อนในการคำนวณของการคูณจำนวนเต็ม)

สำหรับสัมประสิทธิ์ในฟิลด์จำกัด วิธีการกำจัดแบบเกาส์เซียนทำงานได้ดี แต่สำหรับเมทริกซ์ขนาดใหญ่ที่เกิดขึ้นในด้านการเข้ารหัสและ การคำนวณ ฐานกรุบเนอร์มีอัลกอริทึมที่ดีกว่าซึ่งมีความซับซ้อนในการคำนวณใกล้ เคียงกัน แต่เร็วกว่าและทำงานได้ดีกว่ากับฮาร์ดแวร์คอมพิวเตอร์สมัยใหม่

สำหรับเมทริกซ์ที่มีสมาชิกเป็นจำนวนจุดลอยตัวปัญหาการคำนวณเคอร์เนลจะมีความหมายเฉพาะสำหรับเมทริกซ์ที่มีจำนวนแถวเท่ากับอันดับของเมทริกซ์เท่านั้น เนื่องจากข้อผิดพลาดในการปัดเศษเมทริกซ์จุดลอยตัวจึงมักมีอันดับเต็ม เสมอ แม้ว่าจะเป็นการประมาณค่าของเมทริกซ์ที่มีอันดับต่ำกว่ามากก็ตาม แม้แต่เมทริกซ์ที่มีอันดับเต็ม ก็สามารถคำนวณเคอร์เนลได้ก็ต่อเมื่อเมทริกซ์นั้นมีสภาพดีกล่าวคือ มีค่าสภาพต่ำ^{[ 5 ]}

แม้แต่เมทริกซ์ที่มีอันดับเต็มและมีเงื่อนไขที่ดี การกำจัดแบบเกาส์ก็ยังทำงานไม่ถูกต้อง: มันทำให้เกิดข้อผิดพลาดจากการปัดเศษที่มากเกินไปจนทำให้ได้ผลลัพธ์ที่ไม่น่าเชื่อถือ เนื่องจากการคำนวณเคอร์เนลของเมทริกซ์เป็นกรณีพิเศษของการแก้ระบบสมการเชิงเส้นเอกพันธุ์ เคอร์เนลจึงสามารถคำนวณได้ด้วยอัลกอริธึมต่างๆ ที่ออกแบบมาเพื่อแก้ระบบสมการเอกพันธุ์ ซอฟต์แวร์ที่ทันสมัยที่สุดสำหรับจุดประสงค์นี้คือไลบรารี Lapack

เว็บไซต์ Wikibooks มีหนังสือเกี่ยวกับหัวข้อ: พีชคณิตเชิงเส้น/ปริภูมิว่าง

• "แกนกลางของเมทริกซ์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• Khan Academy , บทนำเกี่ยวกับปริภูมิว่างของเมทริกซ์