ในคณิตศาสตร์และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง^การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันตัวดำเนินการเลื่อนหรือที่รู้จักกันในชื่อตัวดำเนินการแปลคือตัวดำเนินการที่แปลงฟังก์ชันx ↦ f ( x ) ไปเป็นการแปลx ↦ f ( x + a ) [ ^{1 ]}ในการวิเคราะห์อนุกรมเวลาตัวดำเนินการเลื่อนเรียกว่าตัว ดำเนินการล่าช้า

ตัวดำเนินการเลื่อนเป็นตัวอย่างของตัวดำเนินการเชิงเส้นซึ่งมีความสำคัญเนื่องจากความเรียบง่ายและการเกิดขึ้นตามธรรมชาติ การกระทำของตัวดำเนินการเลื่อนบนฟังก์ชันของตัวแปรจริงมีบทบาทสำคัญในการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกตัวอย่างเช่น ปรากฏในคำจำกัดความของฟังก์ชันเกือบเป็นคาบฟังก์ชันบวกแน่นอนอนุพันธ์และการสังเคราะห์ [ ^{2 ] การ}เลื่อนของลำดับ (ฟังก์ชันของตัวแปรจำนวนเต็ม ) ปรากฏในหลากหลายสาขา เช่นพื้นที่ฮาร์ดีทฤษฎีของวาไรตี้อาเบลและทฤษฎีของพลศาสตร์เชิงสัญลักษณ์ซึ่งแผนที่ของเบเกอร์เป็นการแสดงที่ชัดเจน แนวคิดของหมวดหมู่สามเหลี่ยมเป็น อนาล็อก เชิงหมวดหมู่ของตัวดำเนินการเลื่อน

ตัวดำเนินการเลื่อนT ^t (โดยที่⁠ ⁠${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ) แปลงฟังก์ชันfบน⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$ไปเป็นการเลื่อนf _t ของ มัน

${\displaystyle T^{t}f(x)=f_{t}(x)=f(x+t)~.}$

ลากรองจ์ได้นำเสนอ การ แสดง แคลคูลัสเชิงปฏิบัติการที่ใช้งานได้จริงของตัวดำเนินการเชิงเส้นT ^tในรูปของอนุพันธ์ธรรมดา${\displaystyle {\tfrac {d}{dx}}}$

ซึ่งอาจตีความได้ในทางปฏิบัติผ่านการขยายอนุกรมเทย์เลอร์ อย่างเป็นทางการ ในtและการกระทำต่อเอกนามx ⁿเป็นที่ประจักษ์โดยทฤษฎีบททวินามและด้วยเหตุนี้จึงส่งผลต่ออนุกรมทั้งหมดในxและฟังก์ชันf ( x ) ทั้งหมด ดังที่กล่าวมาข้างต้น^{[ 3 ]}ดังนั้น นี่จึงเป็นการเข้ารหัสอย่างเป็นทางการของการขยายอนุกรมเทย์เลอร์ในแคลคูลัสของ Heaviside

ดังนั้น ผู้ดำเนินการจึงจัดเตรียมต้นแบบ^{[ 4 ]} สำหรับการไหลแบบพาความร้อนอันโด่งดังของ Lie สำหรับ กลุ่มอาเบเลียน

${\displaystyle \exp \left(t\beta (x){\frac {d}{dx}}\right)f(x)=\exp \left(t{\frac {d}{dh}}\right)F(h)=F(h+t)=f\left(h^{-1}(h(x)+t)\right),}$

โดยที่พิกัดเชิงแคนอนิกh ( ฟังก์ชันอาเบล ) ถูกกำหนดไว้ดังนี้

${\displaystyle h'(x)\equiv {\frac {1}{\beta (x)}}~,\qquad f(x)\equiv F(h(x)).}$

ตัวอย่างเช่น เป็นที่เข้าใจได้ง่ายว่า ผลผลิตนั้นมีการปรับขนาด ${\displaystyle \beta (x)=x}$

${\displaystyle \exp \left(tx{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f(e^{t}x),}$

ดังนั้น(ความเท่าเทียมกัน); ในทำนองเดียวกัน ผลผลิต^{[ 5 ]}${\displaystyle \exp \left(i\pi x{\tfrac {d}{dx}}\right)f(x)=f(-x)}$${\displaystyle \beta (x)=x^{2}}$

${\displaystyle \exp \left(tx^{2}{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f\left({\frac {x}{1-tx}}\right),}$

${\displaystyle \beta (x)={\tfrac {1}{x}}}$ผลผลิต

${\displaystyle \exp \left({\frac {t}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f\left({\sqrt {x^{2}+2t}}\right),}$

${\displaystyle \beta (x)=e^{x}}$ผลผลิต

${\displaystyle \exp \left(te^{x}{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f\left(\ln \left({\frac {1}{e^{-x}-t}}\right)\right),}$

เป็นต้น

เงื่อนไขเริ่มต้นของการไหลและคุณสมบัติของกลุ่มกำหนดการไหลของ Lie ทั้งหมดอย่างสมบูรณ์ โดยให้คำตอบสำหรับสมการฟังก์ชันการแปล^{[ 6 ]}

${\displaystyle f_{t}(f_{\tau }(x))=f_{t+\tau }(x).}$

ตัว ดำเนิน การเลื่อนซ้ายจะกระทำกับลำดับอนันต์ ด้านเดียว ของตัวเลขโดย

${\displaystyle S^{*}:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto (a_{2},a_{3},a_{4},\ldots )}$

และบนลำดับอนันต์สองด้านโดย

${\displaystyle T:(a_{k})_{k\,=\,-\infty }^{\infty }\mapsto (a_{k+1})_{k\,=\,-\infty }^{\infty }.}$

ตัว ดำเนิน การเลื่อนขวาจะกระทำกับลำดับอนันต์ ด้านเดียว ของตัวเลขโดย

${\displaystyle S:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto (0,a_{1},a_{2},\ldots )}$

และบนลำดับอนันต์สองด้านโดย

${\displaystyle T^{-1}:(a_{k})_{k\,=\,-\infty }^{\infty }\mapsto (a_{k-1})_{k\,=\,-\infty }^{\infty }.}$

ตัวดำเนินการเลื่อนขวาและซ้ายที่กระทำกับลำดับอนันต์สองด้านเรียกว่า การเลื่อนทวิภาคี เมทริกซ์ การเลื่อนเป็นตัวอย่างที่เทียบเคียงได้ในมิติจำกัด

โดยทั่วไป ดังที่แสดงไว้ข้างต้น หากFเป็นฟังก์ชันบนกลุ่มอาเบเลียนGและhเป็นองค์ประกอบของGตัวดำเนินการเลื่อนT ^gจะแมปFไปยัง^{[ 6 ] [ 7 ]}

${\displaystyle F_{g}(h)=F(h+g).}$

ตัวดำเนินการเลื่อนตำแหน่งที่กระทำกับฟังก์ชันหรือลำดับค่าจริงหรือค่าเชิงซ้อน เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นซึ่งรักษาค่ามาตรฐาน ส่วนใหญ่ ที่ปรากฏในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน ดังนั้น โดยทั่วไปจึงเป็นตัวดำเนินการต่อเนื่องที่มีค่ามาตรฐานเท่ากับหนึ่ง

ตัวดำเนินการเลื่อนที่กระทำกับลำดับสองด้านคือตัวดำเนินการเอกภาพบน ⁠ ⁠${\displaystyle \ell _{2}(\mathbb {Z} ).}$ตัวดำเนินการเลื่อนที่กระทำกับฟังก์ชันของตัวแปรจริงคือตัวดำเนินการเอกภาพบน⁠ ⁠${\displaystyle L_{2}(\mathbb {R} ).}$

ในทั้งสองกรณี ตัวดำเนินการเลื่อน (ซ้าย) จะสอดคล้องกับความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งต่อไปนี้กับการแปลงฟูริเยร์ : โดยที่M ^tคือตัวดำเนินการคูณด้วยexp( itx )ดังนั้น สเปกตรัมของT ^t จึง เป็นวงกลม หน่วย$${\displaystyle {\mathcal {F}}T^{t}=M^{t}{\mathcal {F}},}$$

การเลื่อนด้านเดียวSที่กระทำต่อ⁠ ⁠${\displaystyle \ell _{2}(\mathbb {N} )}$เป็นไอโซเมตรี ที่เหมาะสม โดยมีระยะเท่ากับเวกเตอร์ ทั้งหมด ที่หายไปในพิกัด แรก ตัวดำเนินการSเป็นการบีบอัดของT ⁻¹ในแง่ที่ว่า โดยที่yคือเวกเตอร์ใน⁠ ⁠โดยที่y _i = x _iสำหรับi ≥ 0และy _i = 0สำหรับi < 0ข้อสังเกตนี้เป็นหัวใจสำคัญของการสร้างการขยายเอกภาพของไอโซเมตรี จำนวนมาก$${\displaystyle T^{-1}y=Sx{\text{ for each }}x\in \ell ^{2}(\mathbb {N} ),}$$${\displaystyle \ell _{2}(\mathbb {Z} )}$

สเปกตรัมของSคือดิสก์หน่วยการเลื่อนSเป็นตัวอย่างหนึ่งของตัวดำเนินการเฟรดโฮล์ม โดยมีดัชนีเฟรดโฮล์ม เท่ากับ −1

Jean Delsarteได้นำเสนอแนวคิดของตัวดำเนินการเลื่อนทั่วไป (เรียกอีกอย่างว่าตัวดำเนินการการเคลื่อนย้ายทั่วไป ) ซึ่งได้รับการพัฒนาเพิ่มเติมโดยBoris Levitan ^{[ 2 ] [ 8 ] [ 9 ]}

กลุ่มของตัวดำเนินการ ที่ กระทำ${\displaystyle \{L^{x}\}_{x\in X}}$บนปริภูมิΦของฟังก์ชันจากเซตXไปยัง${\displaystyle \mathbb {C} }$เรียกว่ากลุ่มของตัวดำเนินการเลื่อนแบบทั่วไป ถ้าคุณสมบัติต่อไปนี้เป็นจริง :

1. คุณสมบัติการสลับที่ : ให้จากนั้น${\displaystyle (R^{y}f)(x)=(L^{x}f)(y).}$${\displaystyle L^{x}R^{y}=R^{y}L^{x}.}$
2. มีอยู่eในXที่ทำให้L ^eเป็น ตัวดำเนิน การเอกลักษณ์

ในกรณีนี้ เซตXเรียกว่าไฮเปอร์กรุป

• การเลื่อนเลขคณิต
• การเปลี่ยนแปลงเชิงตรรกะ
• เมทริกซ์นาฬิกาและการเลื่อน
• ผลต่างจำกัด
• ตัวดำเนินการการแปล (กลศาสตร์ควอนตัม)

• พาร์ทิงตัน, โจนาธาน อาร์. (15 มีนาคม 2547). ตัวดำเนินการเชิงเส้นและระบบเชิงเส้น . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. doi : 10.1017/cbo9780511616693 . ISBN 978-0-521-83734-7.
• Marvin Rosenblum และ James Rovnyak, Hardy Classes and Operator Theory (1985) สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด