ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในระบบพลวัตเงื่อนไขเริ่มต้นคือค่าเริ่มต้น (มักจะเป็นเวลา t₀ ) ของสมการเชิง อนุพันธ์ สมการเชิงผลต่างหรือสมการอื่นๆ ที่ขึ้นอยู่กับ "เวลา" ซึ่งเปลี่ยนแปลงไปตามเวลา กรณีพื้นฐานที่สุดคือสมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับk (จำนวนอนุพันธ์ในสมการ) โดยทั่วไปแล้วต้องใช้ เงื่อนไขเริ่มต้น kเงื่อนไขเพื่อติดตามการเปลี่ยนแปลงของสมการไปตามเวลา ในบริบทอื่นๆ คำนี้อาจหมายถึงค่าเริ่มต้นของความสัมพันธ์เวียนเกิดระบบพลวัตแบบไม่ต่อเนื่องสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบไฮเปอร์โบลิกหรือแม้แต่ค่าเริ่มต้นของตัวสร้างเลขสุ่มเทียมณ "เวลาศูนย์" ซึ่งเพียงพอแล้วที่จะทำให้ระบบโดยรวมสามารถเปลี่ยนแปลงไปตาม "เวลา" ซึ่งอาจเป็นแบบไม่ต่อเนื่องหรือต่อเนื่องก็ได้ ปัญหาของการกำหนดการเปลี่ยนแปลงของระบบจากเงื่อนไขเริ่มต้นเรียกว่าปัญหาค่าเริ่มต้น ${\displaystyle t=0}$

สมการผลต่างเมทริกซ์เชิงเส้นในรูปแบบเอกพันธุ์ (ไม่มีพจน์คงที่) มีคำตอบในรูปแบบปิดที่ขึ้นอยู่กับเวกเตอร์เงื่อนไขเริ่มต้นของตัวแปรแต่ละตัวที่เรียงซ้อนกันเป็นเวกเตอร์เวกเตอร์เงื่อนไขเริ่มต้นนี้เรียกว่าเวกเตอร์เงื่อนไขเริ่มต้น หรือเรียกง่ายๆ ว่าเงื่อนไขเริ่มต้น และประกอบด้วยข้อมูลnk ชิ้น โดยที่ nคือมิติของเวกเตอร์Xและk  = 1 คือจำนวนช่วงเวลาหน่วงในระบบ เงื่อนไขเริ่มต้นในระบบเชิงเส้นนี้ไม่มีผลต่อลักษณะเชิงคุณภาพของพฤติกรรมในอนาคตของตัวแปรสถานะXพฤติกรรมนั้นจะเสถียรหรือไม่เสถียรขึ้นอยู่กับค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์Aแต่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้น ${\displaystyle X_{t+1}=AX_{t}}$${\displaystyle X_{t}=A^{t}X_{0}}$${\displaystyle X_{0}}$${\displaystyle X_{0}}$

อีกทางเลือกหนึ่งคือ กระบวนการไดนามิกในตัวแปรเดียวxที่มีช่วงเวลาหน่วงหลายช่วง

${\displaystyle x_{t}=a_{1}x_{t-1}+a_{2}x_{t-2}+\cdots +a_{k}x_{tk}.}$

ในที่นี้ มิติคือn  = 1 และลำดับคือkดังนั้นจำนวนเงื่อนไขเริ่มต้นที่จำเป็นในการติดตามระบบผ่านกาลเวลา ไม่ว่าจะโดยวิธีวนซ้ำหรือโดยวิธีแก้สมการแบบปิด คือnk  =  kอีกครั้ง เงื่อนไขเริ่มต้นไม่มีผลต่อลักษณะเชิงคุณภาพของการเปลี่ยนแปลงระยะยาวของตัวแปร คำตอบของสมการนี้หาได้โดยใช้สมการลักษณะเฉพาะ เพื่อหา คำตอบ kค่า ซึ่งเป็นค่าลักษณะเฉพาะที่จะใช้ในสมการคำตอบ ${\displaystyle \lambda ^{k}-a_{1}\lambda ^{k-1}-a_{2}\lambda ^{k-2}-\cdots -a_{k-1}\lambda -a_{k}=0}$${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{k},}$

${\displaystyle x_{t}=c_{1}\lambda _{1}^{t}+\cdots +c_{k}\lambda _{k}^{t}.}$

ในที่นี้ ค่าคงที่ต่างๆ ได้มาจากการแก้ระบบสม การ kสมการที่แตกต่างกัน โดยแต่ละสมการใช้ค่าt ที่แตกต่างกัน k ค่า ซึ่งทราบ เงื่อนไขเริ่มต้นที่เฉพาะเจาะจงแล้ว${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{k}}$${\displaystyle x_{t}}$

ระบบสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งที่มี ตัวแปร nตัวเรียงกันในเวกเตอร์Xคือ

${\displaystyle {\frac {dX}{dt}}=AX.}$

พฤติกรรมของระบบเมื่อเวลาผ่านไปสามารถติดตามได้ด้วยคำตอบในรูปแบบปิดที่ขึ้นอยู่กับเวกเตอร์เงื่อนไขเริ่มต้นจำนวนข้อมูลเริ่มต้นที่ต้องการคือมิติnของระบบคูณด้วยลำดับk  = 1 ของระบบ หรือnเงื่อนไขเริ่มต้นไม่มีผลต่อพฤติกรรมเชิงคุณภาพ (เสถียรหรือไม่เสถียร) ของระบบ ${\displaystyle X_{0}}$

^{สมการเชิงเส้นอันดับ ที่}kตัวแปรเดียวxคือ

${\displaystyle {\frac {d^{k}x}{dt^{k}}}+a_{k-1}{\frac {d^{k-1}x}{dt^{k-1}}}+\cdots +a_{1}{\frac {dx}{dt}}+a_{0}x=0.}$

ในที่นี้ จำนวนเงื่อนไขเริ่มต้นที่จำเป็นสำหรับการได้มาซึ่งคำตอบในรูปแบบปิดคือ มิติn  = 1 คูณด้วยอันดับkหรือเรียกง่ายๆ ว่าkในกรณีนี้ ข้อมูลเริ่มต้น kส่วนมักจะไม่ใช่ค่าที่แตกต่างกันของตัวแปรxณ จุดเวลาต่างๆ แต่จะเป็นค่าของxและ อนุพันธ์ k  – 1 ตัวแรกของมันทั้งหมด ณ จุดเวลาใดจุดหนึ่ง เช่น เวลาศูนย์ เงื่อนไขเริ่มต้นไม่มีผลต่อลักษณะเชิงคุณภาพของพฤติกรรมของระบบ สมการลักษณะเฉพาะของสมการพลวัตนี้คือซึ่งคำตอบคือค่าลักษณะเฉพาะที่ใช้ในสมการคำตอบ ${\displaystyle \lambda ^{k}+a_{k-1}\lambda ^{k-1}+\cdots +a_{1}\lambda +a_{0}=0,}$${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{k};}$

${\displaystyle x(t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}+\cdots +c_{k}e^{\lambda _{k}t}.}$

สมการนี้และ อนุพันธ์ k – 1 อันดับแรกของมันก่อให้เกิดระบบ สมการ kสมการ ซึ่งสามารถหาคำตอบสำหรับพารามิเตอร์k ตัว ได้ โดยกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้นที่ทราบแล้วสำหรับxและ ค่าของอนุพันธ์ k – 1 อันดับแรกของมัน ณ เวลาt ใด ๆ ${\displaystyle c_{1},\dots ,c_{k},}$

ระบบไม่เชิงเส้นสามารถแสดงพฤติกรรมที่หลากหลายกว่าระบบเชิงเส้นได้มาก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เงื่อนไขเริ่มต้นสามารถส่งผลต่อว่าระบบจะลู่เข้าสู่ค่าอนันต์หรือลู่เข้า สู่ตัว ดึงดูด (attractor) ตัวใดตัวหนึ่งของระบบ ตัวดึงดูดแต่ละตัว ซึ่งเป็นบริเวณของค่า (อาจไม่เชื่อมต่อกัน) ที่เส้นทางการเปลี่ยนแปลงบางเส้นทางเข้าใกล้แต่ไม่เคยออกจากบริเวณนั้น จะมีแอ่งดึงดูด (อาจไม่เชื่อมต่อกัน) เช่นกัน โดยที่ตัวแปรสถานะที่มีเงื่อนไขเริ่มต้นอยู่ในแอ่งดึงดูดนั้น (และที่อื่น ๆ) จะวิวัฒนาการไปสู่ตัวดึงดูดนั้น แม้แต่เงื่อนไขเริ่มต้นที่อยู่ใกล้เคียงกันก็อาจอยู่ในแอ่งดึงดูดของตัวดึงดูดที่แตกต่างกันได้ (ดูตัวอย่างเช่นวิธีของนิวตัน#แอ่งดึงดูด )

ยิ่งไปกว่านั้น ในระบบไม่เชิงเส้นที่แสดงพฤติกรรมอลวนการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรจะแสดงความขึ้นอยู่กับเงื่อนไขเริ่มต้นอย่างมาก กล่าวคือ ค่าที่วนซ้ำของจุดสองจุดที่อยู่ใกล้กันมากบนตัวดึงดูดประหลาด เดียวกันนั้น แม้ว่าแต่ละจุดจะยังคงอยู่บนตัวดึงดูด แต่จะเบี่ยงเบนออกจากกันเมื่อเวลาผ่านไป ดังนั้น แม้แต่บนตัวดึงดูดเดียว ค่าที่แม่นยำของเงื่อนไขเริ่มต้นก็สร้างความแตกต่างอย่างมากต่อตำแหน่งในอนาคตของค่าที่วนซ้ำ คุณลักษณะนี้ทำให้การจำลองค่าในอนาคตอย่างแม่นยำทำได้ยาก และเป็นไปไม่ได้ในระยะยาว เนื่องจากแทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะระบุเงื่อนไขเริ่มต้นด้วยความแม่นยำที่แน่นอน และเนื่องจากข้อผิดพลาดจากการปัดเศษเป็นสิ่งที่หลีกเลี่ยงไม่ได้แม้หลังจากวนซ้ำเพียงไม่กี่ครั้งจากเงื่อนไขเริ่มต้นที่แม่นยำ

กฎเชิงประจักษ์ทุกข้อมีลักษณะที่น่ากังวลคือเราไม่รู้ข้อจำกัดของมัน เราได้เห็นแล้วว่ามีรูปแบบความสม่ำเสมอในเหตุการณ์ต่างๆ ในโลกรอบตัวเราซึ่งสามารถกำหนดเป็นแนวคิดทางคณิตศาสตร์ได้อย่างแม่นยำอย่างน่าอัศจรรย์ ในทางกลับกัน มีแง่มุมของโลกที่เราไม่เชื่อว่ามีรูปแบบความสม่ำเสมอที่แม่นยำใดๆ เราเรียกสิ่งเหล่านี้ว่าเงื่อนไขเริ่มต้น^{[ 1 ]}

• เงื่อนไขขอบเขต
• เวกเตอร์เริ่มต้นในด้านการเข้ารหัส

• คำคมที่เกี่ยวข้องกับเงื่อนไขเริ่มต้นใน Wikiquote