สมการผลต่างเมทริกซ์

Q: ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ สมการผลต่างเมทริกซ์

สมการผลต่างเมทริกซ์คือสมการผลต่างที่ค่าของเวกเตอร์ (หรือบางครั้งอาจเป็นเมทริกซ์) ของตัวแปร ณ จุดเวลาหนึ่งมีความสัมพันธ์กับค่าของตัวแปรนั้นเอง ณ จุดเวลาก่อนหน้าหนึ่งจุดหรือมากกว่า..

Q: วิธีแก้ปัญหากรณีอันดับแรก

สมมติว่าสมการอยู่ในรูปเอกพันธุ์ y t = Ay t −1 แล้ว เราสามารถวนซ้ำและแทนค่าซ้ำๆ จาก เงื่อนไขเริ่มต้น y 0 ซึ่งเป็นค่าเริ่มต้นของเวกเตอร์ y และต้องทราบค่านี้เพื่อหาคำตอบ:

สมการผลต่างเมทริกซ์คือสมการผลต่างที่ค่าของเวกเตอร์ (หรือบางครั้งอาจเป็นเมทริกซ์) ของตัวแปร ณ จุดเวลาหนึ่งมีความสัมพันธ์กับค่าของตัวแปรนั้นเอง ณ จุดเวลาก่อนหน้าหนึ่งจุดหรือมากกว่า โดยใช้เมทริกซ์ [ ^{1 ] [}^{2 ] ลำดับ}ของสมการคือช่องว่างเวลาสูงสุดระหว่างค่าสองค่าใดๆ ของเวกเตอร์ตัวแปรที่ระบุ ตัวอย่างเช่น

\mathbf {x} _{t}=\mathbf {Ax} _{t-1}+\mathbf {Bx} _{t-2}

เป็นตัวอย่างของสมการผลต่างเมทริกซ์อันดับสอง โดยที่ $x$ เป็นเวกเตอร์ตัวแปรขนาด $n \times 1 และ$ $A$ กับ $B$ เป็น เมทริกซ์ขนาด $n \times n$ สมการนี้เป็นสมการเอกพันธุ์ เนื่องจากไม่มีพจน์คงที่ที่เป็น เวกเตอร์ เพิ่มเข้ามาที่ท้ายสมการ สมการเดียวกันนี้อาจเขียนได้อีกแบบว่า

\mathbf {x} _{t+2}=\mathbf {Ax} _{t+1}+\mathbf {Bx} _{t}

หรือเช่น

\mathbf {x} _{n}=\mathbf {Ax} _{n-1}+\mathbf {Bx} _{n-2}

สมการผลต่างเมทริกซ์ที่พบได้บ่อยที่สุดคือสมการอันดับหนึ่ง

กรณีอันดับแรกที่ไม่เป็นเอกพันธ์และสภาวะคงที่

ตัวอย่างหนึ่งของสมการผลต่างเมทริกซ์อันดับหนึ่งแบบไม่เอกพันธุ์คือ

\mathbf {x} _{t}=\mathbf {Ax} _{t-1}+\mathbf {b}

โดยมีเวกเตอร์ค่าคงที่บวก $b$ สถานะสมดุลของระบบนี้คือค่า $x *$ ของเวกเตอร์ $x$ ซึ่งหากถึงค่านี้แล้ว จะไม่เบี่ยงเบนไปจากนั้นอีกสามารถหา $ค่า x * ได้โดยการกำหนดให้$ $xt = xt - 1 = x *$ ในสมการผลต่างและแก้หาค่า $x *$ เพื่อให้ $ได้$

\mathbf {x} ^{*}=[\mathbf {I} -\mathbf {A} ]^{-1}\mathbf {b}

โดยที่ $I$ คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ ขนาด $n \times n$ และถือว่า $[$ $I$ $-$ $A$ $]$ สามารถ หาเมทริกซ์ ผกผันได้จากนั้นสมการไม่เอกพันธุ์สามารถเขียนใหม่ในรูปแบบเอกพันธุ์ได้ในแง่ของการเบี่ยงเบนจากสภาวะสมดุล:

\left[\mathbf {x} _{t}-\mathbf {x} ^{*}\right]=\mathbf {A} \left[\mathbf {x} _{t-1}-\mathbf {x} ^{*}\right]

เสถียรภาพของกรณีอันดับแรก

สมการผลต่างเมทริกซ์อันดับแรก $[x t - x *] = A [x t -1 - x *]$ มีเสถียรภาพ —นั่นคือ $x t$ ลู่เข้าสู่สถานะคงที่ $x *$ ในเชิงอะซิมโทติก —ก็ต่อเมื่อค่าไอเกน ทั้งหมด ของเมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะ $A$ (ไม่ว่าจะเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน) มีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่า 1 (กล่าวคือรัศมีสเปกตรัมน้อยกว่า 1)

วิธีแก้ปัญหากรณีอันดับแรก

สมมติว่าสมการอยู่ในรูปเอกพันธุ์ $y t = Ay t -1$ แล้ว เราสามารถวนซ้ำและแทนค่าซ้ำๆ จากเงื่อนไขเริ่มต้น $y 0$ ซึ่งเป็นค่าเริ่มต้นของเวกเตอร์ $y$ และต้องทราบค่านี้เพื่อหาคำตอบ:

{\begin{aligned}\mathbf {y} _{1}&=\mathbf {Ay} _{0}\\\mathbf {y} _{2}&=\mathbf {Ay} _{1}=\mathbf {A} ^{2}\mathbf {y} _{0}\\\mathbf {y} _{3}&=\mathbf {Ay} _{2}=\mathbf {A} ^{3}\mathbf {y} _{0}\end{aligned}}

และอื่นๆ ต่อไปเรื่อยๆ ดังนั้นโดยการอุปมานทางคณิตศาสตร์คำตอบในรูปของ $t$ คือ

\mathbf {y} _{t}=\mathbf {A} ^{t}\mathbf {y} _{0}

นอกจากนี้ หาก เมทริกซ์ $A$ สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ เราสามารถเขียนเมทริกซ์ $A$ ใหม่ ในรูปของค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะซึ่งจะให้คำตอบดังนี้

\mathbf {y} _{t}=\mathbf {PD} ^{t}\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {y} _{0},

โดยที่ $P$ คือ เมทริกซ์ $n \times n$ ที่มีคอลัมน์เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของ $A$ (โดยสมมติว่าค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดแตกต่างกัน) และ $D$ คือเมทริกซ์แนวทแยง $n \times n$ ที่มีองค์ประกอบแนวทแยงเป็นค่าลักษณะเฉพาะของ $A$ วิธีแก้ปัญหานี้เป็นแรงบันดาลใจให้เกิดผลลัพธ์ด้านเสถียรภาพข้างต้น: $A$ $t$ จะหดตัวลงเป็นเมทริกซ์ศูนย์เมื่อเวลาผ่านไปก็ต่อเมื่อค่าลักษณะเฉพาะของ $A$ ทั้งหมดมีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าหนึ่ง

การแยกพลวัตของตัวแปรสเกลาร์เดี่ยวออกจากระบบเมทริกซ์อันดับหนึ่ง

เริ่มต้นจาก ระบบ $n$ มิติ $y t = Ay t -1$ เราสามารถแยกพลวัตของตัวแปรสถานะตัวใดตัวหนึ่งออกมาได้ เช่น $y 1$ สมการคำตอบข้างต้นสำหรับ $y t$ แสดงให้เห็นว่าคำตอบสำหรับ $y 1, t$ อยู่ในรูปของ ค่าลักษณะเฉพาะ $n$ ตัวของ $A$ ดังนั้นสมการที่อธิบายวิวัฒนาการของ $y 1$ เองจะต้องมีคำตอบที่เกี่ยวข้องกับค่าลักษณะเฉพาะเหล่านั้น คำอธิบายนี้กระตุ้นให้เกิดสมการวิวัฒนาการของ $y 1$ อย่างเป็นธรรมชาติ ซึ่งก็คือ

y_{1,t}=a_{1}y_{1,t-1}+a_{2}y_{1,t-2}+\dots +a_{n}y_{1,t-n}

โดยที่พารามิเตอร์ $a i$ มาจากสมการลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ $A$ :

\lambda ^{n}-a_{1}\lambda ^{n-1}-a_{2}\lambda ^{n-2}-\dots -a_{n}\lambda ^{0}=0.

ดังนั้น ตัวแปรสเกลาร์แต่ละตัวของระบบเชิงเส้นอันดับหนึ่งแบบ $n$ มิติ จะวิวัฒนาการไปตามสมการผลต่างดีกรี $n$ แบบเอกตัวแปร ซึ่งมีคุณสมบัติความเสถียร (เสถียรหรือไม่เสถียร) เช่นเดียวกับสมการผลต่างเมทริกซ์

วิธีแก้ปัญหาและความเสถียรของกรณีลำดับสูง

สมการผลต่างเมทริกซ์อันดับสูง—กล่าวคือ สมการที่มีช่วงเวลาหน่วงนานกว่าหนึ่งคาบ—สามารถหาคำตอบและวิเคราะห์เสถียรภาพได้โดยการแปลงให้อยู่ในรูปแบบอันดับแรกโดยใช้เมทริกซ์บล็อก (เมทริกซ์ของเมทริกซ์) ตัวอย่างเช่น สมมติว่าเรามีสมการอันดับสอง

\mathbf {x} _{t}=\mathbf {Ax} _{t-1}+\mathbf {Bx} _{t-2}

โดยที่เวกเตอร์ตัวแปร $x$ มีขนาด $n \times 1$ และ $A$ กับ $B$ มีขนาด $n \times n$ สามารถเรียงซ้อนกันได้ในรูปแบบ

{\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{t}\\\mathbf {x} _{t-1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {I} &\mathbf {0} \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{t-1}\\\mathbf {x} _{t-2}\end{bmatrix}}

โดยที่ $I$ คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ $ขนาด n \times n$ และ $0$ คือเมทริกซ์ศูนย์ขนาด $n$ $\times$ $n$ จากนั้นกำหนดให้ เวกเตอร์เรียงซ้อนขนาด $2n$ $\times 1$ ของตัวแปรปัจจุบันและตัวแปรที่ล่าช้าไปหนึ่งครั้งเป็น $zt$ และ เมทริกซ์บล็อก $ขนาด$ $2n$ $\times 2n$ $เป็น$ L $เรา$ จะได้คำตอบเช่นเดียวกับก่อน $หน้า$ $นี้$

\mathbf {z} _{t}=\mathbf {L} ^{t}\mathbf {z} _{0}

เช่นเดียวกับที่กล่าวมาแล้ว สมการแบบเรียงซ้อนนี้ และด้วยเหตุนี้สมการอันดับสองดั้งเดิม จึงมีเสถียรภาพก็ต่อเมื่อค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของเมทริกซ์ $L$ มีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าหนึ่ง เท่านั้น

สมการผลต่างเมทริกซ์ไม่เชิงเส้น: สมการริคคาติ

ในการควบคุมแบบเชิงเส้น-กำลังสอง-เกาส์เซียนจะเกิดสมการเมทริกซ์ไม่เชิงเส้นสำหรับการวิวัฒนาการย้อนกลับของเมทริกซ์ ต้นทุนปัจจุบันและอนาคต ซึ่งต่อไปนี้จะใช้ สัญลักษณ์ $H$ สมการนี้เรียกว่าสมการริคคาติ แบบไดนามิกแบบไม่ต่อเนื่อง และเกิดขึ้นเมื่อเวกเตอร์ตัวแปรที่วิวัฒนาการตามสมการผลต่างเมทริกซ์เชิงเส้นถูกควบคุมโดยการจัดการ เวกเตอร์ ภายนอกเพื่อเพิ่มประสิทธิภาพฟังก์ชันต้นทุน กำลังสอง สม การริคคาตินี้จะมีรูปแบบดังต่อไปนี้ หรือรูปแบบที่คล้ายคลึงกัน:

\mathbf {H} _{t-1}=\mathbf {K} +\mathbf {A} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {A} -\mathbf {A} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {C} \left[\mathbf {C} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {C} +\mathbf {R} \right]^{-1}\mathbf {C} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {A}

โดยที่ $H$ , $K$ และ $A$ เป็นเมท ริกซ์ $ขนาด n \times n$ , $C$ เป็น เมทริกซ์ $ขนาด n \times k$ , $R$ เป็น เมทริกซ์ $ขนาด k \times k$ , $n$ คือจำนวนองค์ประกอบในเวกเตอร์ที่จะถูกควบคุม และ $k$ คือจำนวนองค์ประกอบในเวกเตอร์ควบคุม เมทริกซ์พารามิเตอร์ $A$ และ $C$ มาจากสมการเชิงเส้นและเมทริกซ์พารามิเตอร์ $K$ และ $R$ มาจากฟังก์ชันต้นทุนกำลังสอง ดูรายละเอียดเพิ่มเติม ได้ที่นี่

โดยทั่วไปสมการนี้ไม่สามารถแก้ได้ด้วยวิธีวิเคราะห์สำหรับ $H t$ ในรูปของ $t$ ; แต่ลำดับของค่าสำหรับ $H t$ จะพบได้โดยการวนซ้ำสมการ Riccati อย่างไรก็ตาม มีการแสดงให้เห็นแล้ว^{[ 3 ]}ว่าสมการ Riccati นี้สามารถแก้ได้ด้วยวิธีวิเคราะห์หาก $R = 0$ และ $n = k + 1$ โดยการลดรูปเป็นสมการผลต่างเชิงตรรกะแบบ สเกลาร์ ยิ่งไปกว่านั้น สำหรับ $k$ และ $n$ ใดๆ หากเมทริกซ์การเปลี่ยนผ่าน $A$ ไม่เป็นเอกฐาน สมการ Riccati สามารถแก้ได้ด้วยวิธีวิเคราะห์ในรูปของค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ แม้ว่าอาจจำเป็นต้องหาค่าเหล่านี้ด้วยวิธีเชิงตัวเลข^{[ 4 ]}

ในบริบทส่วนใหญ่ วิวัฒนาการของ $H$ ย้อนกลับไปตามเวลาจะมีเสถียรภาพ หมายความว่า $H$ จะลู่เข้าสู่เมทริกซ์ $H *$ ที่กำหนดไว้ ซึ่งอาจเป็นเมทริกซ์อตรรกยะได้ แม้ว่าเมทริกซ์อื่นๆ ทั้งหมดจะเป็นเมทริกซ์ตรรกยะก็ตาม ดูเพิ่มเติมที่การควบคุมแบบสุ่ม § เวลาแบบไม่ต่อเนื่อง

สมการ Riccati ที่เกี่ยวข้อง^{[ 5 ]}คือ

\mathbf {X} _{t+1}=-\left[\mathbf {E} +\mathbf {B} \mathbf {X} _{t}\right]\left[\mathbf {C} +\mathbf {A} \mathbf {X} _{t}\right]^{-1}

โดยที่เมทริกซ์ $X, A, B, C, E$ ทั้งหมดเป็นเมท ริก $ซ์ n \times n$ สมการนี้สามารถหาคำตอบได้อย่างชัดเจน สมมติว่าซึ่งเป็นจริงอย่างแน่นอนสำหรับ $t$ $= 0$ โดยที่ $N$ $0$ $=$ $X$ $0$ และ $D$ $0$ $=$ $I$ จากนั้นใช้สิ่งนี้ในสมการผลต่างจะได้ $\mathbf {X} _{t}=\mathbf {N} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1},$

{\begin{aligned}\mathbf {X} _{t+1}&=-\left[\mathbf {E} +\mathbf {BN} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\right]\mathbf {D} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\left[\mathbf {C} +\mathbf {AN} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\right]^{-1}\\&=-\left[\mathbf {ED} _{t}+\mathbf {BN} _{t}\right]\left[\left[\mathbf {C} +\mathbf {AN} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\right]\mathbf {D} _{t}\right]^{-1}\\&=-\left[\mathbf {ED} _{t}+\mathbf {BN} _{t}\right]\left[\mathbf {CD} _{t}+\mathbf {AN} _{t}\right]^{-1}\\&=\mathbf {N} _{t+1}\mathbf {D} _{t+1}^{-1}\end{aligned}}

ดังนั้นโดยการอุปมาน รูปแบบนี้จึงใช้ได้กับทุกค่า $t$ จากนั้นวิวัฒนาการของ $N$ และ $D$ สามารถเขียนได้ดังนี้ $\mathbf {X} _{t}=\mathbf {N} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}$

{\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t+1}\\\mathbf {D} _{t+1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\mathbf {B} &-\mathbf {E} \\\mathbf {A} &\mathbf {C} \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t}\\\mathbf {D} _{t}\end{bmatrix}}\equiv \mathbf {J} {\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t}\\\mathbf {D} _{t}\end{bmatrix}}

ดังนั้นโดยการเหนี่ยวนำ

{\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t}\\\mathbf {D} _{t}\end{bmatrix}}=\mathbf {J} ^{t}{\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{0}\\\mathbf {D} _{0}\end{bmatrix}}

ดูเพิ่มเติม

1 ] [

2 ] ลำดับ

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]