สมการเชิงอนุพันธ์คือสมการทางคณิตศาสตร์สำหรับฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่าของตัวแปรหนึ่งตัวหรือหลายตัว ซึ่งเชื่อมโยงค่าของฟังก์ชันนั้นเองและอนุพันธ์ของฟังก์ชันในลำดับต่างๆ สมการเชิงอนุพันธ์เมทริกซ์ประกอบด้วยฟังก์ชันมากกว่าหนึ่งฟังก์ชันที่เรียงซ้อนกันในรูปแบบเวกเตอร์ โดยมีเมทริกซ์ที่เชื่อมโยงฟังก์ชันเหล่านั้นกับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ตัวอย่างเช่น สมการเชิงอนุพันธ์สามัญเมทริกซ์ อันดับหนึ่ง คือ

${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {A} (t)\mathbf {x} (t)}$

โดยที่เป็นเวกเตอร์ของฟังก์ชันของตัวแปรพื้นฐานเป็นเวกเตอร์ของอนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชันเหล่านี้ และเป็นเมทริกซ์ของสัมประสิทธิ์ ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$${\displaystyle n\times 1}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)}$${\displaystyle \mathbf {A} (t)}$${\displaystyle n\times n}$

ในกรณีที่มีค่าคงที่และมีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่เป็นอิสระเชิงเส้นจำนวนn ตัว สมการเชิงอนุพันธ์นี้จะมีคำตอบทั่วไปดังต่อไปนี้ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}\mathbf {u} _{1}+c_{2}e^{\lambda _{2}t}\mathbf {u} _{2}+\cdots +c_{n}e^{\lambda _{n}t}\mathbf {u} _{n}~,}$

โดยที่λ ₁ , λ ₂ , …, λ _nคือค่าลักษณะเฉพาะของ เมทริก ซ์ A ; u ₁ , u ₂ , …, u _n คือ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของ เมทริก ซ์ A ตามลำดับ ; และc ₁ , c ₂ , …, c _nคือค่าคงที่

โดยทั่วไปแล้ว ถ้าการสลับที่กับการอินทิกรัลของมันการขยายของแม็กนัสจะลดลงเหลืออันดับนำ และคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์คือ ${\displaystyle \mathbf {A} (t)}$${\displaystyle \int _{a}^{t}\mathbf {A} (s)ds}$

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=e^{\int _{a}^{t}\mathbf {A} (s)ds}\mathbf {c} ~,}$

โดยที่เป็นเวกเตอร์คงที่ ${\displaystyle \mathbf {c} }$${\displaystyle n\times 1}$

โดยใช้ทฤษฎีบท Cayley–Hamiltonและเมทริกซ์ประเภท Vandermonde วิธีแก้ปัญหา เมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียลอย่างเป็นทางการนี้สามารถลดรูปให้เป็นรูปแบบที่เรียบง่ายได้^{[ 1 ]}ด้านล่างนี้ วิธีแก้ปัญหานี้แสดงอยู่ในรูปของอัลกอริทึมของ Putzer ^{[ 2 ]}

เมื่อความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งนี้ไม่เป็นไปตามเงื่อนไข คำตอบทั่วไปจะมาจากเลขชี้กำลังเรียงลำดับแทน

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\operatorname {OE} [\mathbf {A} ](t)\mathbf {c} ={\mathcal {T}}\left\{e^{\int _{0}^{t}\mathbf {A} (s)ds}\right\}\mathbf {c} ~.}$

สมการเมทริกซ์

${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {Ax} (t)+\mathbf {b} }$

เวกเตอร์คงที่b ที่ มี พารามิเตอร์ขนาด n × 1 จะมีเสถียรภาพก็ต่อเมื่อค่าลักษณะ เฉพาะทั้งหมด ของเมทริกซ์คงที่Aมีส่วนจริงเป็นลบ

สถานะคงที่x*ที่ลู่เข้าหากมีเสถียรภาพนั้นหาได้จากการกำหนดค่า

${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} ^{*}(t)=\mathbf {0} ~,}$

จึงทำให้ได้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}=-\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} ~,}$

โดยสมมติว่าเมทริกซ์Aสามารถหาเมทริกซ์ผกผันได้

ดังนั้น สมการดั้งเดิมจึงสามารถเขียนในรูปแบบเอกพันธุ์ได้ โดยพิจารณาจากความเบี่ยงเบนจากสภาวะสมดุล

${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {A} [\mathbf {x} (t)-\mathbf {x} ^{*}]~.}$

อีกวิธีหนึ่งที่เทียบเท่ากันในการแสดงสิ่งนี้คือx*เป็นคำตอบเฉพาะของสมการไม่เอกพันธุ์ ในขณะที่คำตอบทั้งหมดอยู่ในรูปแบบ

${\displaystyle \mathbf {x} _{h}+\mathbf {x} ^{*}~,}$

โดยมีคำตอบสำหรับสมการเอกพันธุ์ ( b = 0 ) ${\displaystyle \mathbf {x} _{h}}$

ใน กรณี n = 2 (ที่มีตัวแปรสถานะสองตัว) เงื่อนไขเสถียรภาพที่ว่าค่าลักษณะเฉพาะทั้งสองของเมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะAแต่ละค่ามีส่วนจริงเป็นลบนั้น เทียบเท่ากับเงื่อนไขที่ว่าร่องรอยของA เป็นลบและดี เทอร์มิแนนต์ของ A เป็นบวก

คำตอบอย่างเป็นทางการของสมการ ดังกล่าว มีรูปแบบ เมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียล${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {A} [\mathbf {x} (t)-\mathbf {x} ^{*}]}$

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {x} ^{*}+e^{\mathbf {A} t}[\mathbf {x} (0)-\mathbf {x} ^{*}]~,}$

ประเมินโดยใช้วิธีการต่างๆ มากมาย

กำหนดให้เมทริกซ์A ที่มีค่าไอเกน, ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}}$

${\displaystyle e^{\mathbf {A} t}=\sum _{j=0}^{n-1}r_{j+1}{\left(t\right)}\mathbf {P} _{j}}$

ที่ไหน

${\displaystyle \mathbf {P} _{0}=\mathbf {I} }$

${\displaystyle \mathbf {P} _{j}=\prod _{k=1}^{j}\left(\mathbf {A} -\lambda _{k}\mathbf {I} \right)=\mathbf {P} _{j-1}\left(\mathbf {A} -\lambda _{j}\mathbf {I} \right),\qquad เจ=1,2,\จุด ,n-1}$

${\displaystyle {\dot {r}}_{1}=\lambda _{1}r_{1}}$

${\displaystyle r_{1}{\left(0\right)}=1}$

${\displaystyle {\dot {r}}_{j}=\lambda _{j}r_{j}+r_{j-1},\qquad j=2,3,\dots ,n}$

${\displaystyle r_{j}{\left(0\right)}=0,\qquad j=2,3,\dots ,n}$

สมการสำหรับเป็นสมการเชิงอนุพันธ์สามัญไม่เอกพันธุ์อันดับหนึ่งแบบง่ายๆ ${\displaystyle r_{i}(t)}$

โปรดทราบว่าอัลกอริทึมนี้ไม่จำเป็นต้องให้เมทริกซ์A สามารถทำให้ เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้และหลีกเลี่ยงความซับซ้อนของรูปแบบมาตรฐานจอร์แดนที่ใช้กันโดยทั่วไป

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญเมทริกซ์เอกพันธุ์อันดับหนึ่งในสองฟังก์ชันx ( t ) และy ( t ) เมื่อนำออกจากรูปแบบเมทริกซ์ จะมีรูปแบบดังต่อไปนี้:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=a_{1}x+b_{1}y,\quad {\frac {dy}{dt}}=a_{2}x+b_{2}y}$

โดยที่, , , และอาจเป็นค่าคงที่ใดๆ ก็ได้ ${\displaystyle a_{1}}$${\displaystyle a_{2}}$${\displaystyle b_{1}}$${\displaystyle b_{2}}$

สมการเชิงอนุพันธ์สามัญเมทริกซ์อันดับสูงอาจมีรูปแบบที่ซับซ้อนกว่ามาก

กระบวนการแก้สมการข้างต้นและค้นหาฟังก์ชันที่ต้องการในลำดับและรูปแบบเฉพาะนี้ประกอบด้วย 3 ขั้นตอนหลัก คำอธิบายโดยย่อของแต่ละขั้นตอนมีดังต่อไปนี้:

• การหาค่าไอเกน
• การหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ
• การค้นหาฟังก์ชันที่ต้องการ

ขั้นตอนสุดท้าย ซึ่งเป็นขั้นตอนที่สาม ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ประเภทนี้ มักจะทำได้โดยการแทนค่าที่คำนวณได้ในสองขั้นตอนก่อนหน้านี้ลงในสมการรูปแบบทั่วไปเฉพาะ ซึ่งจะกล่าวถึงในภายหลังในบทความนี้

เพื่อแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญเมทริกซ์ตามสามขั้นตอนที่กล่าวไว้ข้างต้น โดยใช้เมทริกซ์อย่างง่ายในกระบวนการนี้ สมมติว่าเราหาฟังก์ชันxและฟังก์ชันyในรูปของตัวแปรอิสระตัวเดียวtในสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นเอกพันธุ์อันดับหนึ่ง ต่อไปนี้

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=3x-4y,\quad {\frac {dy}{dt}}=4x-7y~.}$

ในการแก้ระบบ สมการเชิงอนุพันธ์สามัญเฉพาะนี้ในบางจุดของกระบวนการแก้ปัญหา เราจะต้องมีชุดค่าเริ่มต้น สองค่า (ซึ่งสอดคล้องกับตัวแปรสถานะสองตัว ณ จุดเริ่มต้น) ในกรณีนี้ ให้เราเลือกx (0) = y (0) = 1

ขั้นตอนแรก ซึ่งได้กล่าวไว้ข้างต้นแล้ว คือการหาค่าไอเกนของ เมทริกซ์ Aใน

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&-4\\4&-7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}~.}$

สัญลักษณ์อนุพันธ์x ′ เป็นต้น ที่ปรากฏในเวกเตอร์ตัวหนึ่งข้างต้น เรียกว่า สัญลักษณ์ของลากรองจ์ (ซึ่งโจเซฟ หลุยส์ ลากรองจ์ เป็นผู้ริเริ่มใช้เป็นครั้งแรก สัญลักษณ์ นี้เทียบเท่ากับสัญลักษณ์อนุพันธ์dx/dtที่ใช้ในสมการก่อนหน้านี้ ซึ่งเรียกว่าสัญลักษณ์ของไลบ์นิซเพื่อเป็นเกียรติแก่ชื่อของก็อตฟรีด ไลบ์นิซ )

เมื่อเขียนสัมประสิทธิ์ ของตัวแปรทั้งสองใน รูปแบบเมทริกซ์Aที่แสดงไว้ข้างต้นแล้ว เราสามารถประเมินค่าไอเกนได้ โดยการหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่ได้จาก การลบ เมทริกซ์เอกลักษณ์ , , คูณด้วยค่าคงที่ λออกจากเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ ข้างต้น เพื่อให้ได้พหุนามลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์นั้น ${\displaystyle I_{n}}$

${\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}3&-4\\4&-7\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right)~,}$

และหาค่าศูนย์ของมัน

เมื่อนำการลดรูปเพิ่มเติมและกฎพื้นฐานของการบวกเมทริกซ์มา ใช้ จะได้ ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}3-\lambda &-4\\4&-7-\lambda \end{bmatrix}}~.}$

เมื่อใช้กฎการหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 2×2 ตัวเดียว จะได้สมการกำลังสอง พื้นฐาน ดัง ต่อไปนี้

${\displaystyle \det {\begin{bmatrix}3-\lambda &-4\\4&-7-\lambda \end{bmatrix}}=0}$

${\displaystyle -21-3\lambda +7\lambda +\lambda ^{2}+16=0\,\!}$

ซึ่งสามารถลดทอนลงได้อีกเพื่อให้ได้เวอร์ชันที่ง่ายกว่าข้างต้น

${\displaystyle \lambda ^{2}+4\lambda -5=0~.}$

เมื่อหาค่ารากทั้งสอง ของสมการกำลังสอง ที่กำหนดให้ โดยใช้วิธี การแยกตัวประกอบ จะได้${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$

${\displaystyle \lambda ^{2}+5\lambda -\lambda -5=0}$

${\displaystyle \lambda (\lambda +5)-1(\lambda +5)=0}$

${\displaystyle (\lambda -1)(\lambda +5)=0}$

${\displaystyle \lambda =1,-5~.}$

ค่าและที่คำนวณไว้ข้างต้น คือค่าไอเกน ที่ต้องการ ของ เมทริกซ์ Aในบางกรณี เช่น สมการเชิงอนุพันธ์สามัญของเมทริกซ์อื่นๆค่าไอเกนอาจเป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่งในกรณีนี้ ขั้นตอนต่อไปของกระบวนการแก้ปัญหา ตลอดจนรูปแบบสุดท้ายและคำตอบ อาจเปลี่ยนแปลงไปอย่างมาก ${\displaystyle \lambda _{1}=1}$${\displaystyle \lambda _{2}=-5}$

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น ขั้นตอนนี้เกี่ยวข้องกับการหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ของ เมทริกซ์ Aจากข้อมูลที่ให้มาในตอนแรก

สำหรับ ค่าไอเกนแต่ละ ค่า ที่คำนวณได้ เราจะมีเวกเตอร์ไอเกน เฉพาะตัว สำหรับ ค่าไอเกนแรกซึ่งก็คือเราจะได้ ${\displaystyle \lambda _{1}=1}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}3&-4\\4&-7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\alpha \\\beta \end{bmatrix}}=1{\begin{bmatrix}\alpha \\\beta \end{bmatrix}}.}$

เมื่อลดรูปนิพจน์ข้างต้นโดยใช้กฎ การคูณเมทริกซ์ พื้นฐานจะได้

${\displaystyle 3\alpha -4\beta =\alpha }$

${\displaystyle \alpha =2\beta ~.}$

การคำนวณทั้งหมดนี้ทำขึ้นเพื่อให้ได้นิพจน์สุดท้าย ซึ่งในกรณีของเราคือα = 2β ทีนี้ลองเลือกค่าใดค่าหนึ่งโดยพลการ ซึ่งอาจเป็นค่าเล็กน้อยที่ไม่สำคัญนัก เพราะง่ายต่อการใช้งาน สำหรับαหรือβ (ในกรณีส่วนใหญ่ไม่สำคัญเท่าไหร่) แล้วแทนค่าลงในα = 2β การทำเช่นนั้นจะได้เวกเตอร์อย่างง่าย ซึ่งเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่ต้องการสำหรับค่าลักษณะเฉพาะนี้ ในกรณีของเรา เราเลือกα = 2ซึ่งจะทำให้β = 1 และเมื่อใช้สัญลักษณ์เวกเตอร์ มาตรฐาน เวกเตอร์ของเราจะมีลักษณะดังนี้

${\displaystyle \mathbf {\hat {v}} _{1}={\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}.}$

เมื่อทำการคำนวณแบบเดียวกันโดยใช้ค่าลักษณะเฉพาะ ที่สอง ที่เราคำนวณได้ ซึ่งก็คือเราจะได้เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอง กระบวนการคำนวณเวกเตอร์ นี้ ไม่ได้แสดงไว้ แต่ผลลัพธ์สุดท้ายคือ ${\displaystyle \lambda =-5}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {v}} _{2}={\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}.}$

ขั้นตอนสุดท้ายนี้จะค้นหาฟังก์ชันที่ต้องการซึ่ง 'ซ่อนอยู่' เบื้องหลังอนุพันธ์ที่เราได้รับมาในตอนแรก มีฟังก์ชันสองฟังก์ชัน เนื่องจากสมการเชิงอนุพันธ์ของเราเกี่ยวข้องกับตัวแปรสองตัว

สมการที่ประกอบด้วยข้อมูลทั้งหมดที่เราค้นพบก่อนหน้านี้ มีรูปแบบดังต่อไปนี้:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=Ae^{\lambda _{1}t}\mathbf {\hat {v}} _{1}+Be^{\lambda _{2}t}\mathbf {\hat {v}} _{2}.}$

เมื่อแทนค่าของค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะ เฉพาะลงไปจะได้

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=Ae^{t}{\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}+Be^{-5t}{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}.}$

เมื่อทำการลดความซับซ้อนลงอีก

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}Ae^{t}\\Be^{-5t}\end{bmatrix}}.}$

เมื่อทำให้ง่ายขึ้นอีกและเขียนสมการสำหรับฟังก์ชันxและyแยกกัน

${\displaystyle x=2Ae^{t}+Be^{-5t}}$

${\displaystyle y=Ae^{t}+2Be^{-5t}.}$

สมการข้างต้นนั้น แท้จริงแล้วคือฟังก์ชันทั่วไปที่เราต้องการหา แต่เป็นฟังก์ชันในรูปแบบทั่วไป (โดยที่ค่าAและB ยังไม่ระบุ ) ในขณะที่เราต้องการหารูปแบบและคำตอบที่แน่นอนของฟังก์ชันเหล่านั้น ดังนั้น ตอนนี้เรามาพิจารณาเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนดให้ (ปัญหาที่รวมเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนดให้เรียกว่าปัญหาค่าเริ่มต้น ) สมมติว่าเราได้รับค่าซึ่งทำหน้าที่เป็นจุดเริ่มต้นสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญของเรา การประยุกต์ใช้เงื่อนไขเหล่านี้จะระบุค่าคงที่AและBดังที่เราเห็นจากเงื่อนไข เมื่อt = 0ด้านซ้ายของสมการข้างต้นจะมีค่าเท่ากับ 1 ดังนั้นเราจึงสามารถสร้างระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้ ได้${\displaystyle x(0)=y(0)=1}$${\displaystyle x(0)=y(0)=1}$

${\displaystyle 1=2A+B}$

${\displaystyle 1=A+2B~.}$

เมื่อแก้สมการเหล่านี้ เราพบว่าค่าคงที่AและB ทั้งสอง เท่ากับ 1/3 ดังนั้น การแทนค่าเหล่านี้ลงในรูปแบบทั่วไปของฟังก์ชันทั้งสอง จะระบุรูปแบบที่แน่นอนของฟังก์ชันทั้ง สอง ซึ่งก็คือฟังก์ชันที่เราต้องการหา $${\displaystyle x={\tfrac {2}{3}}e^{t}+{\tfrac {1}{3}}e^{-5t}}$$$${\displaystyle y={\tfrac {1}{3}}e^{t}+{\tfrac {2}{3}}e^{-5t}~,}$$

ปัญหาข้างต้นสามารถแก้ไขได้โดยตรงด้วยการใช้เมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียลนั่นคือ เราสามารถกล่าวได้ว่า

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x(t)\\y(t)\end{bmatrix}}=\exp \left({\begin{bmatrix}3&-4\\4&-7\end{bmatrix}}t\right){\begin{bmatrix}x_{0}(t)\\y_{0}(t)\end{bmatrix}}}$

เนื่องจาก (ซึ่งสามารถคำนวณได้โดยใช้เครื่องมือที่เหมาะสมใดๆ เช่น เครื่องมือ ของMATLABexpmหรือโดยการทำการหาค่าเฉพาะของเมทริกซ์และใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติที่ว่าค่าเอกซ์โพเนนเชียลของเมทริกซ์แนวทแยงจะเหมือนกับค่าเอกซ์โพเนนเชียลของแต่ละองค์ประกอบ)

${\displaystyle \exp \left({\begin{bmatrix}3&-4\\4&-7\end{bmatrix}}t\right)={\begin{bmatrix}4e^{t}/3-e^{-5t}/3&2e^{-5t}/3-2e^{t}/3\\2e^{t}/3-2e^{-5t}/3&4e^{-5t}/3-e^{t}/3\end{bmatrix}}}$

ผลลัพธ์สุดท้ายคือ

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x(t)\\y(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4e^{t}/3-e^{-5t}/3&2e^{-5t}/3-2e^{t}/3\\2e^{t}/3-2e^{-5t}/3&4e^{-5t}/3-e^{t}/3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x(t)\\y(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e^{-5t}/3+2e^{t}/3\\e^{t}/3+2e^{-5t}/3\end{bmatrix}}}$

วิธีนี้เหมือนกับวิธีการใช้เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่แสดงไว้ก่อนหน้านี้

• สมการไม่เอกพันธุ์
• สมการผลต่างเมทริกซ์
• กฎการเย็นตัวของนิวตัน
• ลำดับฟิโบนาชชี
• สมการเชิงอนุพันธ์
• สมการคลื่น
• ระบบอัตโนมัติ (คณิตศาสตร์)