ในทางคณิตศาสตร์สมการเชิงเส้นคือสมการที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูป โดยที่คือตัวแปร (หรือตัวไม่ทราบค่า ) และคือสัมประสิทธิ์ซึ่งมักจะเป็นจำนวนจริงสัมประสิทธิ์อาจถือได้ว่าเป็นพารามิเตอร์ของสมการและอาจเป็นนิพจน์ ใดๆ ก็ได้ ตราบใดที่ไม่มีตัวแปรใดๆ อยู่ในนั้น เพื่อให้ได้สมการที่มีความหมาย สัมประสิทธิ์จะต้องไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด ${\displaystyle a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}+b=0,}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle b,a_{1},\ldots ,a_{n}}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$

อีกวิธีหนึ่งคือ สามารถสร้างสมการเชิงเส้นได้โดยการกำหนดให้พหุนามเชิงเส้นบนฟิลด์ บางฟิลด์เท่ากับศูนย์ โดยที่สัมประสิทธิ์ของพหุนามนั้นได้มาจากฟิลด์ดังกล่าว

คำตอบของสมการดังกล่าว คือค่าที่เมื่อนำไปแทนในตัวแปรที่ไม่ทราบค่าแล้ว ทำให้สมการนั้นเป็นจริง

ในกรณีที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว จะมีคำตอบเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น (โดยมีเงื่อนไขว่า) บ่อยครั้งที่คำว่าสมการเชิงเส้นหมายถึงกรณีนี้โดยปริยาย ซึ่งในกรณีนี้ตัวแปรจะถูกเรียกว่าตัวแปร ที่ ไม่ ทราบค่า อย่างเหมาะสม${\displaystyle a_{1}\neq 0}$

ในกรณีที่มีตัวแปรสองตัว แต่ละคำตอบสามารถตีความได้ว่าเป็นพิกัดคาร์ทีเซียนของจุดบนระนาบยูคลิดคำตอบของสมการเชิงเส้นก่อให้เกิดเส้นตรงในระนาบยูคลิด และในทางกลับกัน ทุกเส้นตรงสามารถมองได้ว่าเป็นเซตของคำตอบทั้งหมดของสมการเชิงเส้นในตัวแปรสองตัว นี่คือที่มาของคำว่า"เชิงเส้น"ที่ใช้ในการอธิบายสมการประเภทนี้ โดยทั่วไปแล้ว คำตอบของสมการเชิงเส้นใน ตัวแปร nตัวจะก่อให้เกิดระนาบหลายมิติ (ปริภูมิย่อยที่มีมิติn − 1 ) ในปริภูมิยูคลิดที่ มีมิติn

สมการเชิงเส้นปรากฏบ่อยครั้งในคณิตศาสตร์ทุกแขนง รวมถึงการประยุกต์ใช้ในฟิสิกส์และวิศวกรรมศาสตร์ส่วนหนึ่งเป็นเพราะระบบที่ไม่เป็นเชิงเส้นมักสามารถประมาณค่าได้ดีด้วยสมการเชิงเส้น

บทความนี้พิจารณากรณีของสมการเดี่ยวที่มีสัมประสิทธิ์จากฟิลด์ของจำนวนจริงซึ่งศึกษาคำตอบที่เป็นจำนวนจริง เนื้อหาทั้งหมดใช้ได้กับ คำตอบที่ เป็นจำนวนเชิงซ้อน และโดยทั่วไปแล้วใช้ได้กับสมการเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์และคำตอบใน ฟิลด์ใดๆสำหรับกรณีของสมการเชิงเส้นหลายสมการพร้อมกัน โปรดดูที่ระบบสมการเชิงเส้น

สมการเชิงเส้นในตัวแปรเดียวxสามารถเขียนได้เป็นโดยที่. ${\displaystyle ax+b=0,}$${\displaystyle a\neq 0}$

คำตอบคือ. ${\displaystyle x=-{\frac {b}{a}}}$

สมการเชิงเส้นในสองตัวแปรxและyสามารถเขียนได้ดังนี้ โดยที่aและ bไม่เป็น0 ทั้ง คู่^{[ 1 ]}${\displaystyle ax+by+c=0,}$

ถ้าaและbเป็นจำนวนจริง จะมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน

ถ้าb ≠ 0สมการจะเป็นดังนี้

${\displaystyle ax+by+c=0}$

เป็นสมการเชิงเส้นในตัวแปรเดียวyสำหรับทุกค่าของxดังนั้นจึงมีคำตอบเฉพาะสำหรับyซึ่งกำหนดโดย

${\displaystyle y=-{\frac {a}{b}}x-{\frac {c}{b}}.}$

นี่คือนิยามของฟังก์ชัน กราฟของฟังก์ชันนี้เป็นเส้นตรงที่มีความชันและจุดตัดแกนyโดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันที่มีกราฟเป็นเส้นตรงจะเรียกว่าฟังก์ชันเชิงเส้นในบริบทของแคลคูลัสอย่างไรก็ตาม ในพีชคณิตเชิงเส้นฟังก์ชันเชิงเส้นคือฟังก์ชันที่แปลงผลรวมไปเป็นผลรวมของภาพของพจน์ที่นำมาบวกกัน ดังนั้น สำหรับนิยามนี้ ฟังก์ชันข้างต้นจะเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นก็ต่อเมื่อc = 0 เท่านั้น นั่นคือเมื่อเส้นตรงผ่านจุดกำเนิด เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสน ฟังก์ชันที่มีกราฟเป็นเส้นตรงใดๆ มักเรียกว่าฟังก์ชันแอฟฟินและฟังก์ชันเชิงเส้นที่c = 0มักเรียกว่าแผนที่เชิงเส้น ${\displaystyle -{\frac {a}{b}}}$${\displaystyle -{\frac {c}{b}}.}$

แต่ละคำตอบ( x , y )ของสมการเชิงเส้น

${\displaystyle ax+by+c=0}$

อาจมองได้ว่าเป็นพิกัดคาร์ทีเซียนของจุดในระนาบยูคลิดด้วยการตีความนี้ ผลเฉลยทั้งหมดของสมการจะประกอบกันเป็นเส้นตรงโดยมีเงื่อนไขว่าaและbจะต้องไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน ในทางกลับกัน เส้นตรงทุกเส้นคือเซตของผลเฉลยทั้งหมดของสมการเชิงเส้น

วลี "สมการเชิงเส้น" มีที่มาจากความสัมพันธ์ระหว่างเส้นตรงและสมการ กล่าวคือสมการเชิงเส้นในสองตัวแปร คือสมการที่คำตอบของมันเรียงตัวเป็นเส้นตรง

ถ้าb ≠ 0เส้นตรงนั้นจะเป็นกราฟของฟังก์ชันของxที่ได้นิยามไว้ในส่วนก่อนหน้า แต่ถ้าb = 0เส้นตรงนั้นจะเป็นเส้นตรงแนวตั้ง (กล่าวคือ เส้นตรงที่ขนานกับ แกน y ) ซึ่งมีสมการที่ ไม่ใช่กราฟของฟังก์ชันของx${\displaystyle x=-{\frac {c}{a}},}$

ในทำนองเดียวกัน ถ้าa ≠ 0เส้นนั้นจะเป็นกราฟของฟังก์ชันของyและถ้าa = 0จะได้เส้นแนวนอนที่มีสมการ${\displaystyle y=-{\frac {c}{b}}.}$

มีหลายวิธีในการกำหนดเส้นตรง ในหัวข้อย่อยต่อไปนี้ จะแสดงสมการเชิงเส้นของเส้นตรงในแต่ละกรณี

เส้นตรงที่ไม่เป็นเส้นตรงแนวตั้งสามารถกำหนดได้ด้วยความชันmและจุดตัดแกนy y₀ ₍พิกัดyของจุดตัดกับ แกน y ) ในกรณีนี้สมการเชิงเส้นของเส้นตรงสามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle y=mx+y_{0}.}$

นอกจากนี้ หากเส้นตรงไม่ใช่เส้นแนวนอน เส้นตรงนั้นสามารถกำหนดได้ด้วยความชันและจุดตัดแกนx คือ x₀ในกรณีนี้ สมการของเส้นตรงนั้นสามารถเขียนได้ _{ดังนี้}

${\displaystyle y=m(x-x_{0}),}$

หรือเทียบเท่ากัน

${\displaystyle y=mx-mx_{0}.}$

รูปแบบเหล่านี้อาศัยนิสัยในการพิจารณาเส้นที่ไม่เป็นแนวตั้งว่าเป็นกราฟของฟังก์ชัน^{[ 2 ]}สำหรับเส้นที่กำหนดโดยสมการ

${\displaystyle ax+by+c=0,}$

รูปแบบเหล่านี้สามารถอนุมานได้ง่ายจากความสัมพันธ์เหล่านั้น

${\displaystyle {\begin{aligned}m&=-{\frac {a}{b}},\\x_{0}&=-{\frac {c}{a}},\\y_{0}&=-{\frac {c}{b}}.\end{aligned}}}$

เส้นตรงที่ไม่เป็นเส้นตรงแนวตั้งสามารถกำหนดได้ด้วยความชันmและพิกัดของจุดใดๆ บนเส้นตรงนั้น ในกรณีนี้ สมการเชิงเส้นของเส้นตรงคือ ${\displaystyle x_{1},y_{1}}$

${\displaystyle y=y_{1}+m(x-x_{1}),}$

หรือ

${\displaystyle y=mx+y_{1}-mx_{1}.}$

สมการนี้สามารถเขียนได้อีกแบบหนึ่งว่า

${\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})}$

เพื่อเน้นย้ำว่าสามารถคำนวณความชันของเส้นตรงได้จากพิกัดของจุดสองจุดใดๆ

เส้นตรงที่ไม่ขนานกับแกนและไม่ผ่านจุดกำเนิดจะตัดแกนที่จุดสองจุดที่แตกต่างกัน ค่าจุดตัดแกนx ₀และy ₀ของจุดทั้งสองนี้ไม่เป็นศูนย์ และสมการของเส้นตรงคือ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\frac {x}{x_{0}}}+{\frac {y}{y_{0}}}=1.}$

(สามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่าเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการนี้มี ค่าจุดตัดแกน x _{เป็น 0}และy เป็น ₀ )

กำหนดให้จุดสองจุดที่แตกต่างกันคือ ( x₁ _, y₁ )และ( x₂ , y₂ ) จะมีเส้นตรงเพียงเส้นเดียวที่ผ่านจุด _{ทั้งสองนี้}และมีหลายวิธีในการเขียนสมการเชิงเส้นของเส้นตรงนี้

ถ้าx ₁ ≠ x ₂ความชันของเส้นคือดังนั้น รูปแบบจุด-ความชันคือ^{[ 3 ]}${\displaystyle {\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}$

${\displaystyle y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1}).}$

โดยการกำจัดตัวส่วนจะได้สมการ

${\displaystyle (x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0,}$

ซึ่งใช้ได้เช่นกันเมื่อx ₁ = x ₂ (ในการตรวจสอบเรื่องนี้ เพียงแค่ตรวจสอบว่าจุดสองจุดที่กำหนดให้สอดคล้องกับสมการก็เพียงพอแล้ว)

รูปแบบนี้ไม่สมมาตรในสองจุดที่กำหนด แต่สามารถสร้างรูปแบบสมมาตรได้โดยการจัดกลุ่มพจน์คงที่ใหม่:

${\displaystyle (y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0}$

(การสลับจุดทั้งสองจะเปลี่ยนเครื่องหมายของด้านซ้ายของสมการ)

สมการเส้นตรงในรูปแบบสองจุดสามารถแสดงได้อย่างง่าย ๆ ในรูปของดีเทอร์มิแนนต์ซึ่งมีสองวิธีที่นิยมใช้กัน

สมการดังกล่าวเป็นผลมาจากการขยายดีเทอร์มิแนนต์ในสมการ ${\displaystyle (x_{2}-x_{1})(y-y_{1})-(y_{2}-y_{1})(x-x_{1})=0}$

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\end{vmatrix}}=0.}$

สมการดังกล่าวได้มาจากการกระจายดีเทอร์มิแนนต์ในสมการโดยเทียบกับแถวแรกของมัน ${\displaystyle (y_{1}-y_{2})x+(x_{2}-x_{1})y+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0}$

${\displaystyle {\begin{vmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}=0.}$

นอกจากจะเรียบง่ายและจำง่ายแล้ว รูปแบบนี้ยังมีข้อดีคือเป็นกรณีพิเศษของสมการทั่วไปของระนาบหลายมิติที่ผ่าน จุด nจุดในปริภูมิที่มีมิติn − 1สมการเหล่านี้อาศัยเงื่อนไขของการพึ่งพาเชิงเส้นของจุดในปริภูมิเชิงฉาย

สมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรมากกว่าสองตัวสามารถสมมติให้มีรูปแบบได้เสมอดังนี้

${\displaystyle a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}+b=0.}$

สัมประสิทธิ์bซึ่งมักจะเขียนแทนด้วยa ₀เรียกว่าพจน์คงที่ (บางครั้ง เรียก ว่า พจน์สัมบูรณ์ในหนังสือเก่าๆ^{[ 4 ] [ 5 ]} ) ขึ้นอยู่กับบริบท คำว่าสัมประสิทธิ์อาจสงวนไว้สำหรับa _iโดยที่i > 0

ในการจัดการกับตัวแปร มักจะใช้ ` and` แทนตัวแปรที่มีดัชนี ${\displaystyle n=3}$${\displaystyle x,\;y}$${\displaystyle z}$

คำตอบของสมการดังกล่าวคือทู เปิล nตัว ซึ่งเมื่อแทนที่แต่ละองค์ประกอบของทูเปิลด้วยตัวแปรที่สอดคล้องกัน จะทำให้สมการกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริง

เพื่อให้สมการมีความหมาย สัมประสิทธิ์ของตัวแปรอย่างน้อยหนึ่งตัวต้องไม่เป็นศูนย์ หากสัมประสิทธิ์ของตัวแปรทุกตัวเป็นศูนย์แล้ว ดังที่กล่าวไว้สำหรับตัวแปรเดียว สมการนั้นจะเป็นสมการที่ไม่สอดคล้องกัน (เนื่องจากb ≠ 0 ) กล่าวคือไม่มีคำตอบ หรือn -tuple ทั้งหมด เป็นคำตอบ

n - tuple ที่เป็นคำตอบของสมการเชิงเส้นในตัวแปรn ตัว คือพิกัดคาร์ทีเซียนของจุดบนระนาบ ไฮเปอร์ มิติ( n − 1)ในปริภูมิยูคลิดnมิติ (หรือปริภูมิแอฟฟินถ้าสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนหรืออยู่ในฟิลด์ใดๆ) ในกรณีที่มีตัวแปรสามตัว ระนาบไฮเปอร์นี้คือ ระนาบ

ถ้ากำหนดสมการเชิงเส้นโดยที่j ≠ 0แล้ว สมการนั้นสามารถแก้หาค่าx _j ได้ โดยจะได้ผลลัพธ์ _{ดังนี้}

${\displaystyle x_{j}=-{\frac {b}{a_{j}}}-\sum _{i\in \{1,\ldots ,n\},i\neq j}{\frac {a_{i}}{a_{j}}}x_{i}.}$

ถ้าสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงฟังก์ชันนี้จะสร้าง ฟังก์ชัน ค่าจริงของตัวแปรจริงnตัว

• สมการเชิงเส้นบนวงแหวน
• สมการพีชคณิต
• พิกัดเส้น
• อสมการเชิงเส้น
• สมการไม่เชิงเส้น

• "สมการเชิงเส้น" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]