ในทางคณิตศาสตร์คำว่าฟังก์ชันเชิงเส้นหมายถึงแนวคิดสองอย่างที่แตกต่างกันแต่เกี่ยวข้องกัน: ^{[ 1 ]}

• ในแคลคูลัสและสาขาที่เกี่ยวข้องฟังก์ชันเชิงเส้นคือฟังก์ชันที่มีกราฟเป็นเส้นตรงนั่นคือฟังก์ชันพหุนามดีกรีศูนย์ (พหุนามคงที่) หรือหนึ่ง (พหุนามเชิงเส้น) ^{[ 2 ]}เพื่อแยกแยะฟังก์ชันเชิงเส้นดังกล่าวออกจากแนวคิดอื่นมักใช้ คำ ว่าฟังก์ชันเชิง เส้น ^{[ 3 ]}
• ในพีชคณิตเชิงเส้นการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์^{[ 4 ]}และการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันฟังก์ชันเชิงเส้นเป็นฟังก์ชันชนิดหนึ่งระหว่างปริภูมิเวกเตอร์^{[ 5 ]}

ในแคลคูลัสเรขาคณิตวิเคราะห์และสาขาที่เกี่ยวข้อง ฟังก์ชันเชิงเส้นคือพหุนามที่มีดีกรีหนึ่งหรือน้อยกว่า รวมถึงพหุนามศูนย์ (พหุนามศูนย์คือพหุนามที่ไม่มีพจน์ และไม่ถือว่ามีดีกรีเป็นศูนย์)

เมื่อฟังก์ชันมีตัวแปร เพียงตัวเดียว ฟังก์ชันจะมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle f(x)=ax+b,}$

โดยที่aและbเป็นค่าคงที่ซึ่งมักเป็นจำนวนจริงกราฟของฟังก์ชันตัวแปรเดียวดังกล่าวจะเป็นเส้นตรงที่ไม่เป็นแนวตั้งa มักถูกเรียกว่าความชันของเส้นตรง และbเรียกว่าจุดตัดแกน

ถ้าa > 0แสดงว่าค่าความชันเป็นบวก และกราฟจะมีลักษณะลาดขึ้น

ถ้าa < 0แสดงว่าค่าความชันเป็นลบ และกราฟจะลาดลง

สำหรับฟังก์ชันที่มีตัวแปรจำนวนจำกัดใดๆ สูตรทั่วไปคือ ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{k})}$

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{k})=b+a_{1}x_{1}+\cdots +a_{k}x_{k},}$

และ กราฟนั้นเป็นไฮเปอร์เพลนที่มีมิติk

ในบริบทนี้ ฟังก์ชันคงที่ก็ถือว่าเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นเช่นกัน เนื่องจากเป็นพหุนามดีกรีศูนย์ หรือพหุนามศูนย์ กราฟของฟังก์ชันนี้ เมื่อมีตัวแปรเพียงตัวเดียว จะเป็นเส้นตรงแนวนอน

ในบริบทนี้ ฟังก์ชันที่เป็นแผนที่เชิงเส้น (ความหมายอีกอย่างหนึ่งของฟังก์ชันเชิงเส้น ดูด้านล่าง) อาจเรียกว่า ฟังก์ชันเชิงเส้น เอกพันธุ์หรือรูปแบบเชิงเส้น ในบริบทของพีชคณิตเชิงเส้น ฟังก์ชันพหุนามดีกรี 0 หรือ 1 คือ แผนที่เชิงเส้นแบบแอฟฟินที่มีค่าเป็นสเกลาร์

ในพีชคณิตเชิงเส้น ฟังก์ชันเชิงเส้นคือแผนที่จากปริภูมิเวกเตอร์หนึ่งไปยังปริภูมิเวกเตอร์อีกปริภูมิหนึ่ง(ปริภูมิทั้งสองไม่จำเป็นต้องแตกต่างกัน) บนฟิลด์K เดียวกัน โดยที่ ${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbf {V} }$${\displaystyle \mathbf {W} }$

${\displaystyle f(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=f(\mathbf {x} )+f(\mathbf {y} )}$

${\displaystyle f(a\mathbf {x} )=af(\mathbf {x} ).}$

ในที่นี้aแทนค่าคงที่ที่อยู่ในฟิลด์Kของสเกลาร์ (ตัวอย่างเช่นจำนวนจริง ) และxกับyเป็นสมาชิกของa ซึ่งอาจเป็นKเองก็ได้ แม้ว่าจะใช้สัญลักษณ์เดียวกัน การดำเนินการบวกระหว่างxและy (ซึ่งอยู่ใน a ) ก็ไม่จำเป็นต้องเหมือนกับการดำเนินการบวกระหว่าง a และ y (ซึ่งอยู่ใน K ) ${\displaystyle \mathbf {V} }$${\displaystyle +}$${\displaystyle \mathbf {V} }$${\displaystyle f\left(\mathbf {x} \right)}$${\displaystyle f\left(\mathbf {y} \right)}$${\displaystyle \mathbf {W} }$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันเชิงเส้นจะรักษาคุณสมบัติการบวกเวกเตอร์และการคูณสเกลาร์ไว้

ผู้เขียนบางคนใช้คำว่า "ฟังก์ชันเชิงเส้น" เฉพาะกับแผนที่เชิงเส้นที่รับค่าในฟิลด์สเกลาร์^{[ 6 ]}ซึ่งโดยทั่วไปเรียกว่ารูปแบบเชิงเส้น

ฟังก์ชันเชิงเส้นในแคลคูลัสจัดเป็น "แผนที่เชิงเส้น" ก็ต่อเมื่อ (และเฉพาะเมื่อ) f (0, ..., 0) = 0หรือเทียบเท่ากับเมื่อค่าคงที่bเท่ากับศูนย์ในพหุนามดีกรีหนึ่งข้างต้น ในทางเรขาคณิต กราฟของฟังก์ชันต้องผ่านจุดกำเนิด

• ฟังก์ชันเอกพันธุ์
• ระบบไม่เชิงเส้น
• ฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแบ่งช่วง
• การประมาณเชิงเส้น
• การประมาณค่าเชิงเส้น
• แผนที่เชิงเส้นที่ไม่ต่อเนื่อง
• กำลังสองน้อยที่สุดเชิงเส้น