ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแบ่งส่วนหรือฟังก์ชันแบ่งส่วนคือฟังก์ชันค่าจริงของตัวแปรจริง ซึ่งกราฟประกอบด้วยส่วนของเส้นตรง^{[ 1 ]}

ฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแบ่งช่วง (piecewise linear function) คือฟังก์ชันที่กำหนดบนช่วงของจำนวนจริง (ซึ่งอาจไม่มีขอบเขต) โดยที่แต่ละช่วงนั้นฟังก์ชันดังกล่าวเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นตรง (affine function ) (ดังนั้น "ฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแบ่งช่วง" จึงมีความหมายที่แท้จริงว่า " ฟังก์ชันเชิง เส้นตรงแบบแบ่งช่วง ") ถ้าโดเมนของฟังก์ชันเป็นโดเมนกระชับ (compact domain) จะต้องมีช่วงดังกล่าวจำนวนจำกัด ถ้าโดเมนไม่กระชับ อาจจำเป็นต้องเป็นโดเมนจำกัดหรือเป็นโดเมนจำกัดเฉพาะที่ในจำนวนจริง

ฟังก์ชันที่กำหนดโดย

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-x-3&{\text{ถ้า }}x\leq -3\\x+3&{\text{ถ้า }}-3<x<0\\-2x+3&{\text{ถ้า }}0\leq x<3\\0.5x-4.5&{\text{ถ้า }}x\geq 3\end{cases}}}$

เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแบ่งช่วงที่มีสี่ช่วง กราฟของฟังก์ชันนี้แสดงอยู่ทางด้านขวา เนื่องจากกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแอฟฟิน (*) เป็นเส้นตรงกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแบ่งช่วงจึงประกอบด้วยส่วนของเส้นตรงและรังสีค่าx (ในตัวอย่างข้างต้นคือ −3, 0 และ 3) ที่ความชันเปลี่ยนแปลงมักเรียกว่าจุดเปลี่ยน จุดหักเห ค่าเกณฑ์ หรือปม เช่นเดียวกับการใช้งานหลายๆ อย่าง ฟังก์ชันนี้ยังมีความต่อเนื่องด้วย กราฟของฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแบ่งช่วงที่ต่อเนื่องบนช่วงกระชับคือโซ่ รูปหลายเหลี่ยม

(*) ฟังก์ชันเชิงเส้นเป็นไปตามนิยามและโดยเฉพาะอย่างยิ่งฟังก์ชันที่มีกราฟเป็นเส้นตรงเรียก ว่า ฟังก์ชัน แอฟฟิน ไม่ใช่ฟังก์ชันเชิงเส้น ${\displaystyle f(\lambda x)=\lambda f(x)}$${\displaystyle f(0)=0}$

นอกจากนี้ยังมีตัวอย่างอื่นๆ ของฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแบ่งช่วงอีกด้วย:

• ค่าสัมบูรณ์^{[ 2 ]}
• ฟังก์ชันฟันเลื่อย
• ฟังก์ชันพื้น
• ฟังก์ชันขั้นบันได (Step function ) คือฟังก์ชันที่ประกอบด้วยฟังก์ชันย่อยคงที่ จึงเรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันคงที่แบบเป็นช่วง (Piecewise constant function)
  • ฟังก์ชันตู้รถไฟบรรทุกสินค้า
  • ฟังก์ชันขั้นบันได Heaviside ^{[ 2 ]}
  • ฟังก์ชันการลงชื่อ
• ฟังก์ชันสามเหลี่ยม

สามารถหาค่าประมาณของเส้นโค้งที่ทราบได้โดยการสุ่มตัวอย่างเส้นโค้งและทำการประมาณค่าเชิงเส้นระหว่างจุดต่างๆ อัลกอริทึมสำหรับการคำนวณจุดที่มีนัยสำคัญที่สุดภายใต้ความคลาดเคลื่อนที่ยอมรับได้ที่กำหนดไว้ได้รับการเผยแพร่แล้ว^{[ 3 ]}

หากทราบพาร์ติชันและจุดเปลี่ยนแล้วการถดถอยเชิงเส้นสามารถดำเนินการได้อย่างอิสระบนพาร์ติชันเหล่านี้ อย่างไรก็ตาม ในกรณีดังกล่าว ความต่อเนื่องจะไม่ได้รับการรักษาไว้ และยังไม่มีแบบจำลองอ้างอิงที่ไม่ซ้ำกันซึ่งรองรับข้อมูลที่สังเกตได้ อัลกอริทึมที่เสถียรสำหรับกรณีนี้ได้รับการพัฒนาแล้ว^{[ 4 ]}

หากไม่ทราบพาร์ติชันสามารถใช้ผลรวมกำลังสองของส่วนเหลือ เพื่อเลือกจุดแยกที่เหมาะสมที่สุดได้ ^{[ 5 ]}อย่างไรก็ตาม การคำนวณที่มีประสิทธิภาพและการประมาณค่าร่วมกันของพารามิเตอร์โมเดลทั้งหมด (รวมถึงจุดเปลี่ยน) สามารถทำได้โดยกระบวนการวนซ้ำ^{[ 6 ]}ซึ่งปัจจุบันถูกนำไปใช้ในแพ็คเกจsegmented^{[ 7 ]}สำหรับภาษา R

รูปแบบหนึ่งของการเรียนรู้ต้นไม้ตัดสินใจที่เรียกว่าต้นไม้แบบจำลองจะเรียนรู้ฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแบ่งส่วน^{[ 8 ]}

แนวคิดของฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแบ่งช่วงมีความหมายในบริบทต่างๆ กัน ฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแบ่งช่วงอาจถูกกำหนดบนปริภูมิยุคลิดมิติn หรือโดยทั่วไป บน ปริภูมิเวกเตอร์หรือ ปริภูมิเชิงเส้นแบบ แอฟฟินตลอดจนบน แม นิโฟลด์เชิงเส้นแบบแบ่งช่วงและคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียล (ดูแผนที่เชิงซิมพลิเชียล ) ในแต่ละกรณี ฟังก์ชันอาจมี ค่าเป็นจำนวน จริงหรืออาจมีค่าจากปริภูมิเวกเตอร์ ปริภูมิเชิงเส้นแบบแอฟฟิน แมนิโฟลด์เชิงเส้นแบบแบ่งช่วง หรือคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียล (ในบริบทเหล่านี้ คำว่า "เชิงเส้น" ไม่ได้หมายถึงเฉพาะการแปลงเชิงเส้น เท่านั้น แต่หมายถึงฟังก์ชัน เชิงเส้นแบบแอ ฟฟิน ทั่วไปด้วย)

ในมิติที่มากกว่าหนึ่ง มักจะกำหนดให้โดเมนของแต่ละส่วนเป็นรูปหลายเหลี่ยมหรือรูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งจะรับประกันได้ว่ากราฟของฟังก์ชันจะประกอบด้วยส่วนที่เป็นรูปหลายเหลี่ยมหรือรูปทรงหลายเหลี่ยม

สปลายน์เป็นการขยายฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแบ่งช่วงไปสู่พหุนามอันดับสูงกว่า ซึ่งจัดอยู่ในประเภทของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้แบบแบ่งช่วง(PDIFF )

กลุ่มย่อยที่สำคัญของฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแบ่งช่วง ได้แก่ ฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแบ่ง ช่วงต่อเนื่องและ ฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแบ่ง ช่วงนูนโดยทั่วไป สำหรับฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแบ่งช่วงต่อเนื่องทุกฟังก์ชันในมิติnจะมี ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \Pi \in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n+1}))}$

โดยที่

${\displaystyle f({\vec {x}})=\min _{\Sigma \in \Pi }\max _{({\vec {a}},b)\in \Sigma }{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}+b.}$^{[ 9 ]}

ถ้าเป็นฟังก์ชันนูนและต่อเนื่อง ก็จะมี ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \Sigma \in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n+1})}$

โดยที่

${\displaystyle f({\vec {x}})=\max _{({\vec {a}},b)\in \Sigma }{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}+b.}$

ในด้านการเกษตรการวิเคราะห์การถดถอยแบบแบ่งช่วงของข้อมูลที่วัดได้ถูกนำมาใช้เพื่อตรวจหาช่วงที่ปัจจัยการเจริญเติบโตส่งผลต่อผลผลิต และช่วงที่พืชไม่ไวต่อการเปลี่ยนแปลงของปัจจัยเหล่านี้

ภาพด้านซ้ายแสดงให้เห็นว่าที่ระดับน้ำใต้ดิน ตื้น ผลผลิตจะลดลง ในขณะที่ที่ระดับน้ำใต้ดินลึก (> 7 เดซิเมตร) ผลผลิตจะไม่ได้รับผลกระทบ กราฟนี้สร้างขึ้นโดยใช้วิธีการกำลังสองน้อยที่สุดเพื่อหาเส้นสองเส้นที่มีความเหมาะสมที่สุด

กราฟทางด้านขวาแสดงให้เห็นว่าผลผลิตพืชสามารถทนต่อความเค็มของดิน ได้ ถึง ECe = 8 dS/m (ECe คือค่าการนำไฟฟ้าของสารสกัดจากตัวอย่างดินอิ่มตัว) ในขณะที่ผลผลิตจะลดลงเมื่อเกินค่านี้ กราฟนี้สร้างขึ้นโดยใช้วิธีการถดถอยแบบบางส่วนเพื่อหาช่วงที่ยาวที่สุดที่ "ไม่มีผลกระทบ" กล่าวคือช่วงที่เส้นเป็นแนวนอน ส่วนทั้งสองไม่จำเป็นต้องตัดกันที่จุดเดียวกัน ใช้วิธีการกำลังสองน้อยที่สุดเฉพาะกับส่วนที่สองเท่านั้น

• การประมาณค่าเชิงเส้น
• การประมาณค่าแบบสปลายน์
• เรขาคณิตเขตร้อน
• โซ่รูปหลายเหลี่ยม

• Apps, P., Long, N., & Rees, R. (2014). การ เก็บภาษีรายได้เชิงเส้นแบบแบ่งส่วนที่เหมาะสมที่สุดวารสารทฤษฎีเศรษฐศาสตร์สาธารณะ 16 ( 4), 523–545