ใน สาขา คณิตศาสตร์ของการวิเคราะห์เชิงตัวเลขการประมาณค่าแบบสปลายน์เป็นรูปแบบหนึ่งของการประมาณ ค่า โดยที่ตัวประมาณค่าคือ พหุนามแบบแบ่งส่วน ชนิดพิเศษที่เรียกว่าสปลายน์กล่าวคือ แทนที่จะใช้พหุนามดีกรีสูงตัวเดียวมาปรับให้เข้ากับค่าทั้งหมดในคราวเดียว การประมาณค่าแบบสปลายน์จะใช้พหุนามดีกรีต่ำมาปรับให้เข้ากับชุดย่อยเล็กๆ ของค่า ตัวอย่างเช่น การใช้พหุนามกำลังสามเก้าตัวมาปรับให้เข้ากับจุดแต่ละคู่จากทั้งหมดสิบจุด แทนที่จะใช้พหุนามดีกรีเก้าตัวเดียวมาปรับให้เข้ากับจุดทั้งหมด การประมาณค่าแบบสปลายน์มักเป็นที่นิยมมากกว่าการประมาณค่าแบบพหุนามเนื่องจากข้อผิดพลาดในการประมาณค่าสามารถทำให้มีขนาดเล็กได้แม้จะใช้พหุนามดีกรีต่ำสำหรับสปลายน์^{[ 1 ]}การประมาณค่าแบบสปลายน์ยังช่วยหลีกเลี่ยงปัญหาของปรากฏการณ์รันเกซึ่งอาจเกิดการแกว่งระหว่างจุดเมื่อทำการประมาณค่าโดยใช้พหุนามดีกรีสูง

เดิมที คำว่า "สปลายน์" (spline)หมายถึงไม้บรรทัดยืดหยุ่นที่ดัดงอให้ผ่านจุดหรือปม ที่กำหนดไว้ล่วงหน้าจำนวนหนึ่ง ซึ่งใช้ในการเขียนแบบทางเทคนิคสำหรับการต่อเรือและการก่อสร้างด้วยมือ ดังแสดงในรูป

เราต้องการสร้างแบบจำลองเส้นโค้งประเภทเดียวกันโดยใช้ชุดสมการทางคณิตศาสตร์ สมมติว่าเรามีลำดับของปมตั้งแต่ ถึง โดยจะมีพหุนามกำลังสามระหว่างปมแต่ละคู่ที่อยู่ติดกันและเชื่อมต่อปมทั้งสองเข้าด้วยกัน โดยที่ดังนั้นจะมีพหุนามจำนวน พหุนาม โดยพหุนามแรกเริ่มต้นที่และพหุนามสุดท้ายสิ้นสุดที่ ${\displaystyle n+1}$${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$${\displaystyle q_{i}(x)=y}$${\displaystyle (x_{i-1},y_{i-1})}$${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$${\displaystyle i=1,2,\dots ,n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$

ความโค้งของเส้นโค้งใดๆถูกกำหนดโดย ${\displaystyle y=y(x)}$

${\displaystyle \kappa ={\frac {y''}{(1+y'^{2})^{3/2}}},}$

โดยที่และคืออนุพันธ์อันดับที่หนึ่งและอันดับที่สองของเทียบกับ ตามลำดับเพื่อให้เส้นโค้งสปลายน์มีรูปร่างที่ลดการโค้งงอให้น้อยที่สุด (ภายใต้เงื่อนไขที่ต้องผ่านจุดเชื่อมต่อทั้งหมด) เราจะกำหนดให้และมีความต่อเนื่องทุกที่ รวมถึงที่จุดเชื่อมต่อด้วย พหุนามแต่ละตัวที่ต่อเนื่องกันจะต้องมีค่าเท่ากัน (ซึ่งเท่ากับค่า y ของจุดข้อมูลที่สอดคล้องกัน) อนุพันธ์ และอนุพันธ์อันดับที่จุดเชื่อมต่อ ซึ่งหมายความว่า ${\displaystyle y'}$${\displaystyle y''}$${\displaystyle y(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y'}$${\displaystyle y''}$

${\displaystyle {\begin{cases}q_{i}(x_{i})=q_{i+1}(x_{i})=y_{i}\\q'_{i}(x_{i})=q'_{i+1}(x_{i})\\q''_{i}(x_{i})=q''_{i+1}(x_{i})\end{cases}}\qquad 1\leq i\leq n-1.}$

วิธีนี้จะทำได้ก็ต่อเมื่อใช้พหุนามดีกรี 3 (พหุนามกำลังสาม) หรือสูงกว่าเท่านั้น วิธีการแบบดั้งเดิมคือการใช้พหุนามดีกรี 3 พอดี ซึ่งก็คือส ปลายกำลังสาม

นอกเหนือจากเงื่อนไขทั้งสามข้างต้นแล้วสปลายลูกบาศก์ธรรมชาติยังมีเงื่อนไขเพิ่มเติมอีกว่า ${\displaystyle q''_{1}(x_{0})=q''_{n}(x_{n})=0}$

นอกเหนือจากเงื่อนไขหลักสามข้อข้างต้นแล้วสปลายลูกบาศก์แบบยึดแน่นยังมีเงื่อนไขเพิ่มเติมคือและโดยที่คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันที่แทรกเข้าไป ${\displaystyle q'_{1}(x_{0})=f'(x_{0})}$${\displaystyle q'_{n}(x_{n})=f'(x_{n})}$${\displaystyle f'(x)}$

นอกเหนือจากเงื่อนไขหลักสามประการข้างต้นแล้วสปลายที่ไม่ใช่ปมยังมีเงื่อนไขที่และ^{[ 2 ]}${\displaystyle q'''_{1}(x_{1})=q'''_{2}(x_{1})}$${\displaystyle q'''_{n-1}(x_{n-1})=q'''_{n}(x_{n-1})}$

เราต้องการหาพหุนามแต่ละตัวที่กำหนดให้โดยจุดต่างๆ ที่ผ่าน จุด เพื่อทำเช่นนี้ เราจะพิจารณาเพียงส่วนหนึ่งของเส้นโค้งซึ่งจะประมาณค่าจากจุด ไปยังจุด ส่วนนี้จะมีค่าความชันและที่จุดปลาย หรือกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นคือ ${\displaystyle q_{i}(x)}$${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$${\displaystyle q(x)}$${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$${\displaystyle k_{1}}$${\displaystyle k_{2}}$

${\displaystyle q(x_{1})=y_{1},}$

${\displaystyle q(x_{2})=y_{2},}$

${\displaystyle q'(x_{1})=k_{1},}$

${\displaystyle q'(x_{2})=k_{2}.}$

สมการฉบับเต็มสามารถเขียนในรูปแบบสมมาตรได้ ${\displaystyle q(x)}$

${\displaystyle q(x)={\big (}1-t(x){\big )}\,y_{1}+t(x)\,y_{2}+t(x){\big (}1-t(x){\big )}{\Big (}{\big (}1-t(x){\big )}\,a+t(x)\,b{\Big )},}$

1

ที่ไหน

${\displaystyle t(x)={\frac {x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}},}$

2

${\displaystyle a=k_{1}(x_{2}-x_{1})-(y_{2}-y_{1}),}$

3

${\displaystyle b=-k_{2}(x_{2}-x_{1})+(y_{2}-y_{1}).}$

4

แต่และ คืออะไร ? ในการหาค่าวิกฤตเหล่านี้ เราต้องพิจารณาว่า ${\displaystyle k_{1}}$${\displaystyle k_{2}}$

${\displaystyle q'={\frac {dq}{dx}}={\frac {dq}{dt}}{\frac {dt}{dx}}={\frac {dq}{dt}}{\frac {1}{x_{2}-x_{1}}}.}$

ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า

${\displaystyle q'={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}+(1-2t){\frac {a(1-t)+bt}{x_{2}-x_{1}}}+t(1-t){\frac {b-a}{x_{2}-x_{1}}},}$

5

${\displaystyle q''=2{\frac {b-2a+(a-b)3t}{{(x_{2}-x_{1})}^{2}}}.}$

6

เมื่อกำหนดt = 0และt = 1ตามลำดับในสมการ ( 5 ) และ ( 6 ) จะได้จาก ( 2 ) ว่าอนุพันธ์อันดับแรกq′ ( x ₁ ) = k ₁และq′ ( x ₂ ) = k ₂และอนุพันธ์อันดับสองด้วย

${\displaystyle q''(x_{1})=2{\frac {b-2a}{{(x_{2}-x_{1})}^{2}}},}$

7

${\displaystyle q''(x_{2})=2{\frac {a-2b}{{(x_{2}-x_{1})}^{2}}}.}$

8

ถ้าตอนนี้( x _i , y _i ), i = 0, 1, ..., nเป็น จุด n + 1จุด และ

${\displaystyle q_{i}=(1-t)\,y_{i-1}+t\,y_{i}+t(1-t){\big (}(1-t)\,a_{i}+t\,b_{i}{\big )},}$

9

โดยที่i = 1, 2, ..., nและเป็นพหุนามดีกรีสามจำนวนn ตัวที่ประมาณค่า yในช่วงx _{i −1} ≤ x ≤ x _iสำหรับi = 1, ..., nโดยที่q′ _i ( x _i ) = q′ _{i +1} ( x _i )สำหรับi = 1, ..., n  − 1 แล้ว พหุนามทั้ง n ตัวนี้ จะรวมกันเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ในช่วงx ₀ ≤ x ≤ x _nและ ${\displaystyle t={\tfrac {x-x_{i-1}}{x_{i}-x_{i-1}}}}$

${\displaystyle a_{i}=k_{i-1}(x_{i}-x_{i-1})-(y_{i}-y_{i-1}),}$

10

${\displaystyle b_{i}=-k_{i}(x_{i}-x_{i-1})+(y_{i}-y_{i-1})}$

11

สำหรับi = 1, ..., nโดยที่

${\displaystyle k_{0}=q_{1}'(x_{0}),}$

12

${\displaystyle k_{i}=q_{i}'(x_{i})=q_{i+1}'(x_{i}),\qquad i=1,\dots ,n-1,}$

13

${\displaystyle k_{n}=q_{n}'(x_{n}).}$

14

ถ้าลำดับk ₀ , k ₁ , ..., k _nเป็นเช่นนั้น และนอกจากนี้q′′ _i ( x _i ) = q′′ _{i +1} ( x _i )เป็นจริงสำหรับi = 1, ..., n  − 1 แล้ว ฟังก์ชันที่ได้จะมีอนุพันธ์อันดับสองต่อเนื่องด้วย

จาก ( 7 ), ( 8 ), ( 10 ) และ ( 11 ) สรุปได้ว่ากรณีนี้เกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ

${\displaystyle {\frac {k_{i-1}}{x_{i}-x_{i-1}}}+\left({\frac {1}{x_{i}-x_{i-1}}}+{\frac {1}{x_{i+1}-x_{i}}}\right)2k_{i}+{\frac {k_{i+1}}{x_{i+1}-x_{i}}}=3\left({\frac {y_{i}-y_{i-1}}{{(x_{i}-x_{i-1})}^{2}}}+{\frac {y_{i+1}-y_{i}}{{(x_{i+1}-x_{i})}^{2}}}\right)}$

15

สำหรับi = 1, ..., n −  1 ความสัมพันธ์ ( 15 ) เป็น สมการเชิงเส้น n − 1สำหรับ ค่า k ₀ , k ₁ , ..., k _n จำนวน n + 1ค่า

สำหรับไม้บรรทัดยืดหยุ่นซึ่งเป็นแบบจำลองสำหรับการแทรกสอดสปลายน์ พบว่าทางด้านซ้ายของ "ปม" ซ้ายสุดและทางด้านขวาของ "ปม" ขวาสุด ไม้บรรทัดสามารถเคลื่อนที่ได้อย่างอิสระและจะมีรูปร่างเป็นเส้นตรงที่มีq′′ = 0เนื่องจากq′′ควรเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องของxดังนั้น "สปลายน์ธรรมชาติ" นอกเหนือจาก สมการเชิงเส้น n − 1 ( 15 ) ควรมี

${\displaystyle q''_{1}(x_{0})=2{\frac {3(y_{1}-y_{0})-(k_{1}+2k_{0})(x_{1}-x_{0})}{{(x_{1}-x_{0})}^{2}}}=0,}$

${\displaystyle q''_{n}(x_{n})=-2{\frac {3(y_{n}-y_{n-1})-(2k_{n}+k_{n-1})(x_{n}-x_{n-1})}{{(x_{n}-x_{n-1})}^{2}}}=0,}$

เช่นว่า

${\displaystyle {\frac {2}{x_{1}-x_{0}}}k_{0}+{\frac {1}{x_{1}-x_{0}}}k_{1}=3{\frac {y_{1}-y_{0}}{(x_{1}-x_{0})^{2}}},}$

16

${\displaystyle {\frac {1}{x_{n}-x_{n-1}}}k_{n-1}+{\frac {2}{x_{n}-x_{n-1}}}k_{n}=3{\frac {y_{n}-y_{n-1}}{(x_{n}-x_{n-1})^{2}}}.}$

17

ในที่สุด ( 15 ) ร่วมกับ ( 16 ) และ ( 17 ) จะประกอบเป็น สมการเชิงเส้น n + 1 สมการที่กำหนดพารามิเตอร์k 0 _, k ₁ , ..., k n _ได้ อย่างเฉพาะ เจาะจง

นอกจากนี้ยังมีเงื่อนไขปลายอื่นๆ อีก ได้แก่ "สปลายแบบยึดแน่น" (clamped spline) ซึ่งระบุความชันที่ปลายของสปลาย และ "สปลายแบบไม่มีปม" (not-a-knot spline) ซึ่งกำหนดให้ค่าอนุพันธ์อันดับสามต้องต่อเนื่องที่ จุด x ₁และx _{n −1}ด้วย สำหรับสปลายแบบ "ไม่มีปม" สมการเพิ่มเติมจะเป็นดังนี้:

${\displaystyle q'''_{1}(x_{1})=q'''_{2}(x_{1})\Rightarrow {\frac {1}{\Delta x_{1}^{2}}}k_{0}+\left({\frac {1}{\Delta x_{1}^{2}}}-{\frac {1}{\Delta x_{2}^{2}}}\right)k_{1}-{\frac {1}{\Delta x_{2}^{2}}}k_{2}=2\left({\frac {\Delta y_{1}}{\Delta x_{1}^{3}}}-{\frac {\Delta y_{2}}{\Delta x_{2}^{3}}}\right),}$

${\displaystyle q'''_{n-1}(x_{n-1})=q'''_{n}(x_{n-1})\Rightarrow {\frac {1}{\Delta x_{n-1}^{2}}}k_{n-2}+\left({\frac {1}{\Delta x_{n-1}^{2}}}-{\frac {1}{\Delta x_{n}^{2}}}\right)k_{n-1}-{\frac {1}{\Delta x_{n}^{2}}}k_{n}=2\left({\frac {\Delta y_{n-1}}{\Delta x_{n-1}^{3}}}-{\frac {\Delta y_{n}}{\Delta x_{n}^{3}}}\right),}$

ที่ไหน. ${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1},\ \Delta y_{i}=y_{i}-y_{i-1}}$

ในกรณีที่มีจุดสามจุด ค่าของจะหาได้จากการแก้ระบบสมการเชิงเส้นสามแถว${\displaystyle k_{0},k_{1},k_{2}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&0\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\0&a_{32}&a_{33}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}k_{0}\\k_{1}\\k_{2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\\end{bmatrix}}}$

กับ

${\displaystyle a_{11}={\frac {2}{x_{1}-x_{0}}},}$

${\displaystyle a_{12}={\frac {1}{x_{1}-x_{0}}},}$

${\displaystyle a_{21}={\frac {1}{x_{1}-x_{0}}},}$

${\displaystyle a_{22}=2\left({\frac {1}{x_{1}-x_{0}}}+{\frac {1}{x_{2}-x_{1}}}\right),}$

${\displaystyle a_{23}={\frac {1}{x_{2}-x_{1}}},}$

${\displaystyle a_{32}={\frac {1}{x_{2}-x_{1}}},}$

${\displaystyle a_{33}={\frac {2}{x_{2}-x_{1}}},}$

${\displaystyle b_{1}=3{\frac {y_{1}-y_{0}}{(x_{1}-x_{0})^{2}}},}$

${\displaystyle b_{2}=3\left({\frac {y_{1}-y_{0}}{{(x_{1}-x_{0})}^{2}}}+{\frac {y_{2}-y_{1}}{{(x_{2}-x_{1})}^{2}}}\right),}$

${\displaystyle b_{3}=3{\frac {y_{2}-y_{1}}{(x_{2}-x_{1})^{2}}}.}$

สำหรับสามแต้ม

${\displaystyle (-1,0.5),\ (0,0),\ (3,3),}$

เข้าใจแล้ว

${\displaystyle k_{0}=-0.6875,\ k_{1}=-0.1250,\ k_{2}=1.5625,}$

และจาก ( 10 ) และ ( 11 ) ว่า

${\displaystyle a_{1}=k_{0}(x_{1}-x_{0})-(y_{1}-y_{0})=-0.1875,}$

${\displaystyle b_{1}=-k_{1}(x_{1}-x_{0})+(y_{1}-y_{0})=-0.3750,}$

${\displaystyle a_{2}=k_{1}(x_{2}-x_{1})-(y_{2}-y_{1})=-3.3750,}$

${\displaystyle b_{2}=-k_{2}(x_{2}-x_{1})+(y_{2}-y_{1})=-1.6875.}$

ในรูป ฟังก์ชันสปลายน์ที่ประกอบด้วยพหุนามลูกบาศก์สองตัวและกำหนดโดย ( 9 ) จะแสดงอยู่ ${\displaystyle q_{1}(x)}$${\displaystyle q_{2}(x)}$

• อะคิมา สไปลน์
• การแทรกสอดแบบวงกลม
• สปลายเฮอร์ไมต์ลูกบาศก์
• สปลายแคทมุล-รอมแบบเข้าสู่ศูนย์กลาง
• การประมาณค่าแบบสปลายน์แบบไม่ต่อเนื่อง
• การแทรกสอดลูกบาศก์แบบโมโนโทน
• สปลายบีเชิงตรรกะที่ไม่สม่ำเสมอ
• การประมาณค่าแบบหลายตัวแปร
• การประมาณค่าพหุนาม
• สปลายเรียบ
• เวฟเล็ตสปลายน์
• ร่องสไปลน์แผ่นบาง
• สปลายโพลีฮาร์มอนิก

• Schoenberg, Isaac J. (1946). "การมีส่วนร่วมในปัญหาการประมาณข้อมูลที่มีระยะห่างเท่ากันโดยใช้ฟังก์ชันวิเคราะห์: ตอนที่ A.—เกี่ยวกับปัญหาการปรับเรียบหรือการไล่ระดับ สูตรการประมาณเชิงวิเคราะห์ชั้นแรก"วารสารคณิตศาสตร์ประยุกต์ 4 ( 2): 45– 99. doi : 10.1090/qam/15914 .
• Schoenberg, Isaac J. (1946). "การมีส่วนร่วมในปัญหาการประมาณค่าข้อมูลที่มีระยะห่างเท่ากันโดยใช้ฟังก์ชันวิเคราะห์: ตอนที่ B.—เกี่ยวกับปัญหาการสอดแทรกแบบ Osculatory สูตรการประมาณค่าเชิงวิเคราะห์ประเภทที่สอง"วารสารคณิตศาสตร์ประยุกต์ 4 ( 2): 112– 141. doi : 10.1090/qam/16705 .

• เครื่องมือคำนวณและแสดงผลการประมาณค่าแบบ Cubic Spline ออนไลน์ (พร้อมซอร์สโค้ด JavaScript)
• "การแทรกสอดแบบสปลายน์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• เส้นโค้งลูกบาศก์แบบไดนามิกด้วย JSXGraph
• การบรรยายเกี่ยวกับทฤษฎีและการปฏิบัติของการประมาณค่าแบบสปลายน์
• เอกสารที่อธิบายขั้นตอนการประมาณค่าแบบเส้นโค้งลูกบาศก์ (cubic spline interpolation) อย่างละเอียด แต่ใช้ได้เฉพาะกับจุดเชื่อมต่อที่มีระยะห่างเท่ากันเท่านั้น
• สูตรคำนวณเชิงตัวเลขในภาษาซี ไปที่บทที่ 3 ส่วนที่ 3-3
• หมายเหตุเกี่ยวกับเส้นโค้งลูกบาศก์
• ข้อมูลเกี่ยวกับการประมาณค่าแบบสปลายน์ (รวมถึงโค้ดในภาษา Fortran 77)
• TinySpline: ไลบรารี C แบบโอเพนซอร์สสำหรับสปลายน์ ซึ่งใช้การประมาณค่าแบบสปลายน์ลูกบาศก์
• SciPy Spline Interpolation: แพ็กเกจ Python ที่ใช้การประมาณค่าแบบแทรกสอด (interpolation)
• การประมาณค่าแบบลูกบาศก์: ไลบรารีโอเพนซอร์ส C# สำหรับการประมาณค่าแบบเส้นโค้งลูกบาศก์