ในทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของเวฟเล็ตเวฟเล็ตแบบสปลายน์คือเวฟเล็ตที่สร้างขึ้นโดยใช้ฟังก์ชันสปลายน์ [ ^{1 ] มี}เวฟเล็ตแบบสปลายน์หลายประเภท เวฟเล็ตแบบสปลายน์แบบแทรกสอดที่แนะนำโดย CK Chui และ JZ Wang นั้นอิงตามสูตรการแทรกสอดแบบสปลายน์ บางอย่าง ^{[ 2 ]}แม้ว่าเวฟเล็ตเหล่านี้จะตั้งฉากกันแต่ก็ไม่มีส่วนรองรับที่กระชับมีเวฟเล็ตบางประเภทที่มีเอกลักษณ์ในบางแง่ สร้างขึ้นโดยใช้B-splineและมีส่วนรองรับที่กระชับ แม้ว่าเวฟเล็ตเหล่านี้จะไม่ตั้งฉากกัน แต่ก็มีคุณสมบัติพิเศษบางอย่างที่ทำให้ได้รับความนิยมอย่างมาก^{[ 3 ]} บางครั้งมีการใช้ คำว่าเวฟเล็ตแบบสปลายน์เพื่ออ้างถึงเวฟเล็ตในกลุ่มเวฟเล็ตแบบสปลายน์นี้ เวฟเล็ตพิเศษเหล่านี้ยังเรียกว่าเวฟเล็ต B-splineและเวฟเล็ต B-spline แบบคาร์ดินัล [ ^{4 ] เวฟ}เล็ต Battle-Lemarie ก็เป็นเวฟเล็ตที่สร้างขึ้นโดยใช้ฟังก์ชันสปลายน์เช่นกัน^{[ 5 ]}

ให้n เป็น จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบที่กำหนด ไว้ ให้C ⁿแทนเซตของฟังก์ชันค่าจริง ทั้งหมด ที่นิยามบนเซตของ จำนวนจริงโดยที่แต่ละฟังก์ชันในเซตนี้ รวมทั้งอนุพันธ์n อันดับแรกของฟังก์ชันนั้น มีความต่อเนื่องทุกที่ลำดับอนันต์สองด้าน . . . x ₋₂ , x ₋₁ , x ₀ , x ₁ , x ₂ , . . . โดยที่x _r < x _{r +1}สำหรับทุกrและโดยที่x _rเข้าใกล้ ±∞ เมื่อ r เข้าใกล้ ±∞ เรียกว่ากำหนดเซตของปม สปลายน์อันดับn ที่มีเซตของปม { x _r } คือฟังก์ชันS ( x ) ในC ⁿโดยที่สำหรับแต่ละrการจำกัดของS ( x ) บนช่วง [ x _r , x _{r +1} ) ตรงกับพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์จริงดีกรีไม่เกินnในx

ถ้าระยะห่างx _{r +1} - x _rโดยที่rเป็นจำนวนเต็มใดๆ ระหว่างปมที่อยู่ติดกันในชุดของปมมีค่าคงที่ สปลายนั้นเรียกว่าสปลายเชิงคาร์ดินัลชุดของจำนวนเต็มZ = {. . ., -2, -1, 0, 1, 2, . . .} เป็นตัวเลือกมาตรฐานสำหรับชุดของปมของสปลายเชิงคาร์ดินัล เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น โดยทั่วไปจะถือว่าชุดของปมคือชุดของจำนวนเต็ม

สปลายบีเชิงคาร์ดินัลเป็นสปลายเชิงคาร์ดินัลชนิดพิเศษ สำหรับจำนวนเต็มบวกm ใดๆ สปลายบีเชิงคาร์ดินัลอันดับmซึ่งเขียนแทนด้วยN _m ( x ) จะถูกนิยามแบบเวียนเกิดดังต่อไปนี้

${\displaystyle N_{1}(x)={\begin{cases}1&0\leq x<1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

${\displaystyle N_{m}(x)=\int _{0}^{1}N_{m-1}(xt)dt}$, สำหรับ.${\displaystyle m>1}$

ในบทความนี้จะกล่าวถึงสูตรที่เป็นรูปธรรมสำหรับ B-spline หลักทุกอันดับจนถึง 5 และกราฟของ B-spline เหล่านั้นในภายหลัง

1. ช่วงรองรับของคือช่วงปิด${\displaystyle N_{m}(x)}$${\displaystyle [0,m]}$
2. ฟังก์ชันนี้มีค่าไม่เป็นลบ นั่นคือสำหรับ${\displaystyle N_{m}(x)}$${\displaystyle N_{m}(x)>0}$${\displaystyle 0<x<m}$
3. ${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }N_{m}(x-k)=1}$สำหรับทุกคน${\displaystyle x}$
4. สปลายบีเชิงคาร์ดินัลลำดับmและm-1มีความสัมพันธ์กันโดยเอกลักษณ์: .${\displaystyle N_{m}(x)={\frac {x}{m}}N_{m-1}(x)+{\frac {m+1-x}{m}}N_{m-1}(x-1)}$
5. ฟังก์ชันนี้มีความสมมาตรเกี่ยวกับนั่นคือ.${\displaystyle N_{m}(x)}$${\displaystyle x={\frac {m}{2}}}$${\displaystyle N_{m}\left({\frac {m}{2}}-x\right)=N_{m}\left({\frac {m}{2}}+x\right)}$
6. อนุพันธ์ของหาได้จาก.${\displaystyle N_{m}(x)}$${\displaystyle N_{m}^{\prime }(x)=N_{m-1}(x)-N_{m-1}(x-1)}$
7. ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }N_{m}(x)\,dx=1}$

สปลายบีเชิงคาร์ดินัลลำดับmสอดคล้องกับความสัมพันธ์สองระดับต่อไปนี้:

${\displaystyle N_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m}2^{-m+1}{m \choose k}N_{m}(2x-k)}$.

สปลายบีเชิงคาร์ดินัลอันดับmมีคุณสมบัติต่อไปนี้ ซึ่งรู้จักกันในชื่อคุณสมบัติของรีซ: มีจำนวนจริงบวกสองจำนวนและอยู่จริง โดยที่สำหรับลำดับสองด้านที่หาผลรวมกำลังสองได้และสำหรับx ใด ๆ ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \{c_{k}\}_{k=-\infty }^{\infty }}$

${\displaystyle A\left\Vert \{c_{k}\}\right\Vert ^{2}\leq \left\Vert \sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}N_{m}(x-k)\right\Vert ^{2}\leq B\left\Vert \{c_{k}\}\right\Vert ^{2}}$

บรรทัดฐานในปริภูมิ ^ℓ² อยู่ ที่ไหน${\displaystyle \Vert \cdot \Vert }$

สปลายบีเชิงคาร์ดินัลถูกกำหนดแบบเวียนซ้ำโดยเริ่มจากสปลายบีอันดับ 1 นั่นคือซึ่งมีค่าเป็น 1 ในช่วง [0, 1) และ 0 ในบริเวณอื่น ๆ อาจต้องใช้ระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์เพื่อหาค่าที่ชัดเจนสำหรับสปลายบีเชิงคาร์ดินัลอันดับสูงกว่า ค่าที่ชัดเจนสำหรับสปลายบีเชิงคาร์ดินัลทุกอันดับจนถึง 6 แสดงไว้ด้านล่าง นอกจากนี้ยังแสดงกราฟของสปลายบีเชิงคาร์ดินัลอันดับจนถึง 4 ด้วย ในภาพยังแสดงกราฟของพจน์ที่ส่งผลต่อความสัมพันธ์แบบสองระดับที่สอดคล้องกัน จุดสองจุดในแต่ละภาพแสดงถึงปลายของช่วงที่รองรับสปลายบี ${\displaystyle N_{1}(x)}$

บีสปลายลำดับที่ 1 ซึ่งก็คือ บีสปลายคงที่ ถูกกำหนดโดย ${\displaystyle N_{1}(x)}$

${\displaystyle N_{1}(x)={\begin{cases}1&0\leq x<1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

ความสัมพันธ์แบบสองระดับสำหรับ B-spline นี้คือ

${\displaystyle N_{1}(x)=N_{1}(2x)+N_{1}(2x-1)}$

สปลายบีคงที่${\displaystyle N_{1}(x)}$

บีสปลายลำดับที่ 2 ซึ่งก็คือ บีสปลายเชิงเส้น มีค่าดังนี้ ${\displaystyle N_{2}(x)}$

${\displaystyle N_{2}(x)={\begin{cases}x&0\leq x<1\\-x+2&1\leq x<2\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

ความสัมพันธ์แบบสองระดับสำหรับเวฟเล็ตนี้คือ

${\displaystyle N_{2}(x)={\frac {1}{2}}N_{2}(2x)+N_{2}(2x-1)+{\frac {1}{2}}N_{2}(2x-2)}$

สปลายบีเชิงเส้น${\displaystyle N_{2}(x)}$

บีสปลายลำดับที่ 3 ซึ่งก็คือ บีสปลายกำลังสอง มีค่าดังนี้ ${\displaystyle N_{3}(x)}$

${\displaystyle N_{3}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}x^{2}&0\leq x<1\\-x^{2}+3x-{\frac {3}{2}}&1\leq x<2\\{\frac {1}{2}}x^{2}-3x+{\frac {9}{2}}&2\leq x<3\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

ความสัมพันธ์แบบสองระดับสำหรับเวฟเล็ตนี้คือ

${\displaystyle N_{3}(x)={\frac {1}{4}}N_{3}(2x)+{\frac {3}{4}}N_{3}(2x-1)+{\frac {3}{4}}N_{3}(2x-2)+{\frac {1}{4}}N_{3}(2x-3)}$

สปลายบีแบบกำลังสอง${\displaystyle N_{3}(x)}$

บีสปลายลูกบาศก์คือบีสปลายหลักอันดับ 4 ซึ่งใช้สัญลักษณ์ โดยกำหนดโดยนิพจน์ต่อไปนี้: ${\displaystyle N_{4}(x)}$

${\displaystyle N_{4}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{6}}x^{3}&0\leq x<1\\-{\frac {1}{2}}x^{3}+2x^{2}-2x+{\frac {2}{3}}&1\leq x<2\\{\frac {1}{2}}x^{3}-4x^{2}+10x-{\frac {22}{3}}&2\leq x<3\\-{\frac {1}{6}}x^{3}+2x^{2}-8x+{\frac {32}{3}}&3\leq x<4\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

ความสัมพันธ์สองระดับสำหรับ B-spline ลูกบาศก์คือ

${\displaystyle N_{4}(x)={\frac {1}{8}}N_{4}(2x)+{\frac {1}{2}}N_{4}(2x-1)+{\frac {3}{4}}N_{4}(2x-2)+{\frac {1}{2}}N_{4}(2x-3)+{\frac {1}{8}}N_{4}(2x-4)}$

สปลายบีลูกบาศก์${\displaystyle N_{4}(x)}$

บีสปลายแบบไบควอดราติก คือ บีสปลายหลักลำดับที่ 5 ซึ่งแทนด้วย โดยกำหนดโดย ${\displaystyle N_{5}(x)}$

${\displaystyle N_{5}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{24}}x^{4}&0\leq x<1\\-{\frac {1}{6}}x^{4}+{\frac {5}{6}}x^{3}-{\frac {5}{4}}x^{2}+{\frac {5}{6}}x-{\frac {5}{24}}&1\leq x<2\\{\frac {1}{4}}x^{4}-{\frac {5}{2}}x^{3}+{\frac {35}{4}}x^{2}-{\frac {25}{2}}x+{\frac {155}{24}}&2\leq x<3\\-{\frac {1}{6}}x^{4}+{\frac {5}{2}}x^{3}-{\frac {55}{4}}x^{2}+{\frac {65}{2}}x-{\frac {655}{24}}&3\leq x<4\\{\frac {1}{24}}x^{4}-{\frac {5}{6}}x^{3}+{\frac {25}{4}}x^{2}-{\frac {125}{6}}x+{\frac {625}{24}}&4\leq x<5\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

ความสัมพันธ์แบบสองระดับคือ

${\displaystyle N_{5}(x)={\frac {1}{16}}N_{5}(2x)+{\frac {5}{16}}N_{5}(2x-1)+{\frac {10}{16}}N_{5}(2x-2)+{\frac {10}{16}}N_{5}(2x-3)+{\frac {5}{16}}N_{5}(2x-4)+{\frac {1}{16}}N_{5}(2x-5)}$

B-spline อันดับห้า คือ B-spline อันดับ 6 ที่มีสัญลักษณ์ โดยกำหนดโดย ${\displaystyle N_{6}(x)}$

${\displaystyle N_{6}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{120}}x^{5}&0\leq x<1\\-{\frac {1}{24}}x^{5}+{\frac {1}{4}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x^{3}+{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{4}}x+{\frac {1}{20}}&1\leq x<2\\{\frac {1}{12}}x^{5}-x^{4}+{\frac {9}{2}}x^{3}-{\frac {19}{2}}x^{2}+{\frac {39}{4}}x-{\frac {79}{20}}&2\leq x<3\\-{\frac {1}{12}}x^{5}+{\frac {3}{2}}x^{4}-{\frac {21}{2}}x^{3}+{\frac {71}{2}}x^{2}-{\frac {231}{4}}x+{\frac {731}{20}}&3\leq x<4\\{\frac {1}{24}}x^{5}-x^{4}+{\frac {19}{2}}x^{3}-{\frac {89}{2}}x^{2}+{\frac {409}{4}}x-{\frac {1829}{20}}&4\leq x<5\\-{\frac {1}{120}}x^{5}+{\frac {1}{4}}x^{4}-3x^{3}+18x^{2}-54x+{\frac {324}{5}}&5\leq x<6\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

สปลายบีเชิงคาร์ดินัลอันดับmสร้างการวิเคราะห์แบบหลายระดับความละเอียดอันที่จริง จากคุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันเหล่านี้ที่กล่าวไว้ข้างต้น จะเห็นได้ว่าฟังก์ชันนี้สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้และเป็นองค์ประกอบของปริภูมิของฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ ในการตั้งค่าการวิเคราะห์แบบหลายระดับความละเอียด จะใช้สัญลักษณ์ต่อไปนี้ ${\displaystyle N_{m}(x)}$${\displaystyle N_{m}(x)}$${\displaystyle L^{2}(R)}$

• สำหรับจำนวนเต็มใดๆให้กำหนดฟังก์ชัน.${\displaystyle k,j}$${\displaystyle N_{m,kj}(x)=N_{m}(2^{k}x-j)}$
• สำหรับจำนวนเต็มแต่ละจำนวนให้กำหนดปริภูมิย่อยของเป็นส่วนปิดของปริภูมิเชิงเส้นของเซต${\displaystyle k}$${\displaystyle V_{k}}$${\displaystyle L^{2}(R)}$${\displaystyle \{N_{m,kj}(x):j=\cdots ,-2,-1,0,1,2,\cdots \}}$

การที่สิ่งเหล่านี้กำหนดการวิเคราะห์แบบหลายระดับความละเอียดนั้น เป็นผลมาจากสิ่งต่อไปนี้:

1. พื้นที่เหล่านี้ตรงตามคุณสมบัติของที่พัก: .${\displaystyle V_{k}}$${\displaystyle \cdots \subset V_{-2}\subset V_{-1}\subset V_{0}\subset V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots }$
2. การปิดล้อมของการรวมกันของปริภูมิย่อยทั้งหมดคือปริภูมิทั้งหมด${\displaystyle L^{2}(R)}$${\displaystyle V_{k}}$${\displaystyle L^{2}(R)}$
3. จุดตัดของปริภูมิย่อยทั้งหมดคือเซตที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียว ซึ่งประกอบด้วยฟังก์ชันศูนย์เพียงฟังก์ชันเดียว${\displaystyle V_{k}}$
4. สำหรับจำนวนเต็มแต่ละชุดจะเป็นฐานที่ไม่มีเงื่อนไขสำหรับ(ลำดับ { x _n } ในปริภูมิ Banach Xเป็นฐานที่ไม่มีเงื่อนไขสำหรับปริภูมิXถ้าการเรียงสับเปลี่ยนทุกแบบของลำดับ { x _n } ก็เป็นฐานสำหรับปริภูมิX เดียวกัน ด้วย^{[ 6 ]} )${\displaystyle k}$${\displaystyle \{N_{m,kj}(x):j=\cdots ,-2,-1,0,1,2,\cdots \}}$${\displaystyle V_{k}}$

ให้mเป็นจำนวนเต็มบวกคงที่ และเป็น B-spline เชิงคาร์ดินัลลำดับmฟังก์ชันในเป็นเวฟเล็ตพื้นฐานที่สัมพันธ์กับฟังก์ชัน B-spline เชิงคาร์ดินัลถ้าการปิดในของช่วงเชิงเส้นของเซต(การปิดนี้แทนด้วย) คือส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉากของในตัวห้อยmในใช้เพื่อระบุว่าเป็นเวฟเล็ตพื้นฐานที่สัมพันธ์กับ B-spline เชิงคาร์ดินัลลำดับmไม่มีเวฟเล็ตพื้นฐานที่สัมพันธ์กับ B-spline เชิงคาร์ดินัล เพียงหนึ่งเดียว เวฟเล็ตพื้นฐาน บางส่วนเหล่านี้จะกล่าวถึงในส่วนต่อไป ${\displaystyle N_{m}(x)}$${\displaystyle \psi _{m}(x)}$${\displaystyle L^{2}(R)}$${\displaystyle N_{m}(x)}$${\displaystyle L^{2}(R)}$${\displaystyle \{\psi _{m}(x-j):j=\cdots ,-2,-1,0,1,2,\cdots \}}$${\displaystyle W_{0}}$${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle \psi _{m}(x)}$${\displaystyle \psi _{m}(x)}$${\displaystyle \psi _{m}(x)}$${\displaystyle N_{m}(x)}$

ให้mเป็นจำนวนเต็มบวกคงที่ และให้เป็น B-spline คาร์ดินัลลำดับmเมื่อกำหนดลำดับของจำนวนจริงมาให้ ปัญหาคือการหาลำดับของจำนวนจริงที่ทำให้ ${\displaystyle N_{m}(x)}$${\displaystyle \{f_{j}:j=\cdots ,-2,-1,0,1,2,\cdots \}}$${\displaystyle \{c_{m,k}:k=\cdots ,-2,-1,0,1,2,\cdots \}}$

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{m,k}N_{m}\left(j+{\frac {m}{2}}-k\right)=f_{j}}$สำหรับทุกคน${\displaystyle j}$

เป็นที่รู้จักกันในชื่อปัญหาการประมาณค่าแบบสปลายน์เชิงคาร์ดินัลกรณีพิเศษของปัญหานี้คือลำดับที่ โดย ที่คือฟังก์ชันเดลต้าโครเนกเกอร์ ที่กำหนดโดย ${\displaystyle \{f_{j}\}}$${\displaystyle \delta _{0j}}$${\displaystyle \delta _{ij}}$${\displaystyle \delta _{ij}}$

${\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}1,&{\text{ if }}i=j\\0,&{\text{ if }}i\neq j\end{cases}}}$,

คือปัญหาการแทรกสอดสปลายคาร์ดินัลพื้นฐานคำตอบของปัญหานี้จะให้สปลายแทรกสอดคาร์ดินัลพื้นฐานอันดับmสปลายนี้แสดงด้วยและกำหนดโดย ${\displaystyle L_{m}(x)}$

${\displaystyle L_{m}(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{m,k}N_{m}\left(x+{\frac {m}{2}}-k\right)}$

โดยที่ลำดับดังกล่าวเป็นคำตอบของระบบสมการต่อไปนี้: ${\displaystyle \{c_{m,k}\}}$

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{m,k}N_{m}\left(j+{\frac {m}{2}}-k\right)=\delta _{0j}}$

สามารถกำหนดเส้นโค้งสปลายการประมาณค่าหลักพื้นฐาน ได้โดยใช้ การแปลง Zโดยใช้สัญลักษณ์ต่อไปนี้ ${\displaystyle L_{m}(x)}$

${\displaystyle A(z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta _{k0}z^{k}=1,}$

${\displaystyle B_{m}(z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }N_{m}\left(k+{\frac {m}{2}}\right)z^{k},}$

${\displaystyle C_{m}(z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{m,k}z^{k},}$

จากสมการที่กำหนดลำดับ นั้น จะเห็นได้ ว่า${\displaystyle c_{m,k}}$

${\displaystyle B_{m}(z)C_{m}(z)=A(z)}$

ซึ่งเราได้รับจากสิ่งนั้น

${\displaystyle C_{m}(z)={\frac {1}{B_{m}(z)}}}$.

สิ่งนี้สามารถนำไปใช้เพื่อให้ได้สูตรที่เป็นรูปธรรมสำหรับ. ${\displaystyle c_{m,k}}$

ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมคืออาจมีการสอบสวนคดี คำจำกัดความของ สิ่งนี้ บ่งชี้ว่า ${\displaystyle L_{4}(x)}$${\displaystyle B_{m}(z)}$

${\displaystyle B_{4}(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }N_{4}(2+k)z^{k}}$

ค่าที่ไม่เป็นศูนย์เพียงค่าเดียวของคือค่าที่กำหนดโดยและค่าที่สอดคล้องกันคือ ${\displaystyle N_{4}(k+2)}$${\displaystyle k=-1,0,1}$

${\displaystyle N_{4}(1)={\frac {1}{6}},N_{4}(2)={\frac {4}{6}},N_{4}(3)={\frac {1}{6}}.}$

ดังนั้นจึงลดเหลือ ${\displaystyle B_{4}(z)}$

${\displaystyle B_{4}(z)={\frac {1}{6}}z^{-1}+{\frac {4}{6}}z^{0}+{\frac {1}{6}}z^{1}={\frac {1+4z+z^{2}}{6z}}}$

ซึ่งจะได้นิพจน์ต่อไปนี้สำหรับ. ${\displaystyle C_{4}(z)}$

${\displaystyle C_{4}(z)={\frac {6z}{1+4z+z^{2}}}}$

โดยการแยกนิพจน์นี้ออกเป็นเศษส่วนย่อยและขยายแต่ละพจน์ในรูปกำลังของzในบริเวณวงแหวน ค่าของสามารถคำนวณได้ จากนั้นจึงนำค่าเหล่านี้ไปแทนในนิพจน์สำหรับ เพื่อให้ได้ ${\displaystyle c_{4,k}}$${\displaystyle L_{4}(x)}$

${\displaystyle L_{4}(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}{\sqrt {3}}(2-{\sqrt {3}})^{|k|}N_{4}(x+2-k)}$

สำหรับจำนวนเต็มบวกmฟังก์ชันที่กำหนดโดย ${\displaystyle \psi _{m}(x)}$

${\displaystyle \psi _{I,m}(x)={\frac {d^{m}}{dx^{m}}}L_{2m}(2x-1)}$

เป็นเวฟเล็ตพื้นฐานที่สัมพันธ์กับบีสปไลน์หลักลำดับที่ n ตัว ห้อย Iในเวฟเล็ต นี้ ใช้เพื่อระบุว่าเวฟเล็ตนี้มีพื้นฐานมาจากสูตรสปไลน์แบบสอดแทรก เวฟเล็ตพื้นฐานนี้ไม่รองรับแบบกระชับ (compact-supported) ${\displaystyle N_{m}(x)}$${\displaystyle \psi _{I,m}}$

เวฟเล็ตลำดับที่ 2 โดยใช้สปลายแบบแทรกสอด มีค่าดังนี้

${\displaystyle \psi _{I,2}(x)={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}L_{4}(2x-1)}$

นิพจน์ในตอนนี้ให้ผลลัพธ์เป็นสูตรดังต่อไปนี้: ${\displaystyle L_{4}(x)}$

${\displaystyle \psi _{I,2}(x)={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}{\sqrt {3}}(2-{\sqrt {3}})^{|k|}N_{4}(2x+1-k)}$

ตอนนี้ การใช้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของในรูปของฟังก์ชันสามารถเขียนได้ในรูปแบบต่อไปนี้: ${\displaystyle N_{m}(x)}$${\displaystyle N_{m-1}(x)}$${\displaystyle \psi _{2}(x)}$

${\displaystyle \psi _{I,2}(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}4{\sqrt {3}}(2-{\sqrt {3}})^{|k|}{\Big (}(N_{2}(2x+k-1)-2N_{2}(2x+k-2)+N_{2}(2x+k-3){\Big )}}$

ฟังก์ชันเชิงเส้นแบบแบ่งช่วงต่อไปนี้คือค่าประมาณของ ที่ได้จากการนำพจน์ที่สอดคล้องกับในนิพจน์อนุกรมอนันต์สำหรับ มาบวก กัน ${\displaystyle \psi _{2}(x)}$${\displaystyle k=-3,\ldots ,3}$${\displaystyle \psi _{2}(x)}$

${\displaystyle \psi _{I,2}(x)\approx {\begin{cases}0.07142668x+0.17856670&-2.5<x\leq -2\\-0.48084803x-0.92598272&-2<x\leq -1.5\\2.0088293x+2.8085333&-1.5<x\leq -1\\-7.5684795x-6.7687755&-1<x\leq -0.5\\28.245949x+11.138439&-0.5<x\leq 0\\-57.415316x+11.138439&0<x\leq 0.5\\57.415316x-46.276878&0.5<x\leq 1\\-28.245949x+39.384388&1<x\leq 1.5\\7.5684795x-14.337255&1.5<x\leq 2\\-2.0088293x+4.8173625&2<x\leq 2.5\\0.48084803x-1.4068308&2.5<x\leq 3\\-0.07142668x+0.24999338&3<x\leq 3.5\\0&{otherwise}\end{cases}}}$

ความสัมพันธ์สองระดับสำหรับฟังก์ชันเวฟเล็ตกำหนดโดย ${\displaystyle \psi _{m}(x)}$

${\displaystyle \psi _{I,m}(x)=\sum _{-\infty }^{\infty }q_{n}N_{m}(2x-n)}$ที่ไหน${\displaystyle q_{n}=\sum _{j=0}^{m}(-1)^{j}{m \choose j}c_{m+n-j-1}.}$

เวฟเล็ตสปลายที่สร้างขึ้นโดยใช้เวฟเล็ตแบบแทรกสอดนั้นไม่ได้รองรับแบบกระชับ เวฟเล็ต B-spline ที่รองรับแบบกระชับถูกค้นพบโดย Charles K. Chui และ Jian-zhong Wang และตีพิมพ์ในปี 1991 ^{[ 3 ] [ 7 ]}เวฟเล็ต B-spline ที่รองรับแบบกระชับเมื่อเทียบกับ B-spline หลักลำดับmที่ค้นพบโดย Chui และ Wang และแสดงด้วยมีช่วงการรองรับเป็นเวฟเล็ตเหล่านี้มีความเป็นเอกลักษณ์ในแง่หนึ่งซึ่งจะอธิบายต่อไป ${\displaystyle N_{m}(x)}$${\displaystyle \psi _{C,m}(x)}$${\displaystyle [0,2m-1]}$

เวฟเล็ต B-spline ที่มีขอบเขตจำกัดของลำดับmกำหนดโดย

${\displaystyle \psi _{C,m}(x)={\frac {1}{2^{m-1}}}\sum _{j=0}^{2m-2}(-1)^{j}N_{2m}(j+1){\frac {d^{m}}{dx^{m}}}N_{2m}(2x-j)}$

นี่คือ สปลายลำดับที่ mในกรณีพิเศษ เวฟเล็ต B-spline ที่รองรับอย่างกะทัดรัดลำดับที่ 1 คือ

${\displaystyle \psi _{C,1}(x)=N_{2}(1){\frac {d}{dx}}N_{2}(2x)={\begin{cases}1&0\leq x<{\frac {1}{2}}\\-1&{\frac {1}{2}}\leq x<1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

ซึ่งก็คือ เวฟเล็ตฮาร์ (Haar wavelet ) ที่เป็นที่รู้จักกันดี

1. ช่วงรองรับของคือช่วงปิด${\displaystyle \psi _{C,m}(x)}$${\displaystyle [0,2m-1]}$
2. เวฟเล็ตเป็นเวฟเล็ตที่ไม่ซ้ำกันที่มีส่วนรองรับขั้นต่ำในความหมายต่อไปนี้: ถ้าสร้างและมีส่วนรองรับที่ไม่เกินความยาวแล้วสำหรับค่าคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์บางค่า และสำหรับจำนวนเต็ม บางค่า^{[ 8 ]}${\displaystyle \psi _{C,m}(x)}$${\displaystyle \eta (x)\in W_{0}}$${\displaystyle W_{0}}$${\displaystyle 2m-1}$${\displaystyle \eta (x)=c_{0}\psi _{C,m}(x-n_{0})}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle n_{0}}$
3. ${\displaystyle \psi _{C,m}(x)}$สมมาตรสำหรับค่าm ที่เป็นเลขคู่ และปฏิสมมาตรสำหรับค่าm ที่เป็นเลข คี่

${\displaystyle \psi _{m}(x)}$สอดคล้องกับความสัมพันธ์แบบสองระดับ:

${\displaystyle \psi _{C,m}(x)=\sum _{n=0}^{3m-2}q_{n}N_{m}(2x-n)}$ที่ไหน.${\displaystyle q_{n}={\frac {(-1)^{n}}{2^{m-1}}}\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}N_{2m}(n-j+1)}$

ความสัมพันธ์การแยกส่วนสำหรับเวฟเล็ต B-spline ที่รองรับอย่างกะทัดรัดมีรูปแบบดังต่อไปนี้:

${\displaystyle N_{m}(2x-l)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[a_{m,l-2k}N_{m}(x-k)+b_{m,l-2k}\psi _{C,m}(x-k)\right]}$

โดยที่สัมประสิทธิ์และกำหนดโดย ${\displaystyle a_{m,j}}$${\displaystyle b_{m,j}}$

${\displaystyle a_{m,j}=-{\frac {(-1)^{j}}{2}}\sum _{l=-\infty }^{\infty }q_{-j+2m-2l+1}c_{2m,l},}$

${\displaystyle b_{m,j}={\frac {(-1)^{j}}{2}}\sum _{l=-\infty }^{\infty }p_{-j+2m-2l+1}c_{2m,l}.}$

ในที่นี้ ลำดับดังกล่าวคือลำดับของสัมประสิทธิ์ในเวฟเล็ตสปลายน์เชิงการสอดแทรกแบบคาร์ดินัลพื้นฐานอันดับ m${\displaystyle c_{2m,l}}$

ความสัมพันธ์สองระดับสำหรับเวฟเล็ต B-spline ที่รองรับอย่างกะทัดรัดลำดับที่ 1 คือ

${\displaystyle \psi _{C,1}(x)=N_{1}(2x)-N_{1}(2x-1)}$

สูตรสำเร็จรูปสำหรับเวฟเล็ตบีสปลายที่มีขอบเขตจำกัดลำดับที่ 1 คือ

${\displaystyle \psi _{C,1}(x)={\begin{cases}1&0\leq x<{\frac {1}{2}}\\-1&{\frac {1}{2}}\leq x<1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

ความสัมพันธ์สองระดับสำหรับเวฟเล็ต B-spline ที่รองรับแบบกะทัดรัดลำดับที่ 2 คือ

${\displaystyle \psi _{C,2}(x)={\frac {1}{12}}\left(N_{2}(2x)-6N_{2}(2x-1)+10N_{2}(2x-2)-6N_{2}(2x-3)+N_{2}(2x-4)\right)}$

สูตรสำเร็จรูปสำหรับเวฟเล็ตบีสปลายที่มีขอบเขตจำกัดลำดับที่ 2 คือ

${\displaystyle \psi _{C,2}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{6}}x&0\leq x<{\frac {1}{2}}\\-{\frac {7}{6}}x+{\frac {2}{3}}&{\frac {1}{2}}\leq x<1\\{\frac {8}{3}}x-{\frac {19}{6}}&1\leq x<{\frac {3}{2}}\\-{\frac {8}{3}}x+{\frac {29}{6}}&{\frac {3}{2}}\leq x<2\\{\frac {7}{6}}x-{\frac {17}{6}}&2\leq x<{\frac {5}{2}}\\-{\frac {1}{6}}x+{\frac {1}{2}}&{\frac {5}{2}}\leq x<3\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

ความสัมพันธ์สองระดับสำหรับเวฟเล็ต B-spline ที่รองรับอย่างกะทัดรัดลำดับที่ 3 คือ

${\displaystyle \psi _{C,3}(x)={\frac {1}{480}}{\Big [}(N_{3}(2x)-29N_{3}(2x-1)+147N_{3}(2x-2)-303N_{3}(2x-3)+}$

${\displaystyle 303N_{3}(2x-4)-147N_{3}(2x-5)+29N_{3}(2x-6)-N_{3}(2x-7){\Big ]}}$

สูตรสำเร็จรูปสำหรับเวฟเล็ตบีสปลายที่มีขอบเขตจำกัดลำดับที่ 3 คือ

${\displaystyle \psi _{C,3}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{240}}x^{2}&0\leq x<{\frac {1}{2}}\\-{\frac {31}{240}}x^{2}+{\frac {2}{15}}x-{\frac {1}{30}}&{\frac {1}{2}}\leq x<1\\{\frac {103}{120}}x^{2}-{\frac {221}{120}}x+{\frac {229}{240}}&1\leq x<{\frac {3}{2}}\\-{\frac {313}{120}}x^{2}+{\frac {1027}{120}}x-{\frac {1643}{240}}&{\frac {3}{2}}\leq x<2\\{\frac {22}{5}}x^{2}-{\frac {779}{40}}x+{\frac {339}{16}}&2\leq x<{\frac {5}{2}}\\-{\frac {22}{5}}x^{2}+{\frac {981}{40}}x-{\frac {541}{16}}&{\frac {5}{2}}\leq x<3\\{\frac {313}{120}}x^{2}-{\frac {701}{40}}x+{\frac {2341}{80}}&3\leq x<{\frac {7}{2}}\\-{\frac {103}{120}}x^{2}+{\frac {809}{120}}x-{\frac {3169}{240}}&{\frac {7}{2}}\leq x<4\\{\frac {31}{240}}x^{2}-{\frac {139}{120}}x+{\frac {623}{240}}&4\leq x<{\frac {9}{2}}\\-{\frac {1}{240}}x^{2}+{\frac {1}{24}}x-{\frac {5}{48}}&{\frac {9}{2}}\leq x<5\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

ความสัมพันธ์สองระดับสำหรับเวฟเล็ต B-spline ที่รองรับอย่างกะทัดรัดลำดับที่ 4 คือ

${\displaystyle \psi _{C,4}(x)={\frac {1}{40320}}{\Big [}N_{4}(2x)-124N_{4}(2x-1)+1677N_{4}(2x-2)-7904N_{4}(2x-3)+18482N_{4}(2x-4)-}$

${\displaystyle 24264N_{4}(2x-5)+18482N_{4}(2x-6)-7904N_{4}(2x-7)+1677N_{4}(2x-8)-124N_{4}(2x-9)+N_{4}(2x-10){\Big ]}}$

สูตรสำเร็จรูปสำหรับเวฟเล็ตบีสปลายที่มีขอบเขตจำกัดลำดับที่ 4 คือ

${\displaystyle \psi _{C,4}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{30240}}x^{3}&0\leq x<{\frac {1}{2}}\\-{\frac {127}{30240}}x^{3}+{\frac {2}{315}}x^{2}-{\frac {1}{315}}x+{\frac {1}{1890}}&{\frac {1}{2}}\leq x<1\\{\frac {19}{280}}x^{3}-{\frac {47}{224}}x^{2}+{\frac {2147}{10080}}x-{\frac {103}{1440}}&1\leq x<{\frac {3}{2}}\\-{\frac {1109}{2520}}x^{3}+{\frac {465}{224}}x^{2}-{\frac {32413}{10080}}x+{\frac {16559}{10080}}&{\frac {3}{2}}\leq x<2\\{\frac {5261}{3360}}x^{3}-{\frac {33463}{3360}}x^{2}+{\frac {42043}{2016}}x-{\frac {145193}{10080}}&2\leq x<{\frac {5}{2}}\\-{\frac {35033}{10080}}x^{3}+{\frac {93577}{3360}}x^{2}-{\frac {148517}{2016}}x+{\frac {216269}{3360}}&{\frac {5}{2}}\leq x<3\\{\frac {4832}{945}}x^{3}-{\frac {27691}{560}}x^{2}+{\frac {113923}{720}}x-{\frac {28145}{168}}&3\leq x<{\frac {7}{2}}\\-{\frac {4832}{945}}x^{3}+{\frac {58393}{1008}}x^{2}-{\frac {52223}{240}}x+{\frac {2048227}{7560}}&{\frac {7}{2}}\leq x<4\\{\frac {35033}{10080}}x^{3}-{\frac {75827}{1680}}x^{2}+{\frac {981101}{5040}}x-{\frac {234149}{840}}&4\leq x<{\frac {9}{2}}\\-{\frac {5261}{3360}}x^{3}+{\frac {38509}{1680}}x^{2}-{\frac {112487}{1008}}x+{\frac {30347}{168}}&{\frac {9}{2}}\leq x<5\\{\frac {1109}{2520}}x^{3}-{\frac {24077}{3360}}x^{2}+{\frac {78311}{2016}}x-{\frac {141311}{2016}}&5\leq x<{\frac {11}{2}}\\-{\frac {19}{280}}x^{3}+{\frac {1361}{1120}}x^{2}-{\frac {14617}{2016}}x+{\frac {4151}{288}}&{\frac {11}{2}}\leq x<6\\{\frac {127}{30240}}x^{3}-{\frac {55}{672}}x^{2}+{\frac {5359}{10080}}x-{\frac {11603}{10080}}&6\leq x<{\frac {13}{2}}\\-{\frac {1}{30240}}x^{3}+{\frac {1}{1440}}x^{2}-{\frac {7}{1440}}x+{\frac {49}{4320}}&{\frac {13}{2}}\leq x<7\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

ความสัมพันธ์แบบสองระดับสำหรับเวฟเล็ต B-spline ที่รองรับอย่างกะทัดรัดลำดับที่ 5 คือ

${\displaystyle \psi _{C,5}(x)={\frac {1}{5806080}}{\Big [}N_{5}(2x)-507N_{5}(2x-1)+17128N_{5}(2x-2)-166304N_{5}(2x-3)+748465N_{5}(2x-4)}$

${\displaystyle -1900115N_{5}(2x-5)+2973560N_{5}(2x-6)-2973560N_{5}(2x-7)+1900115N_{5}(2x-8)}$

${\displaystyle -748465N_{5}(2x-9)+166304N_{5}(2x-10)-17128N_{5}(2x-11)+507N_{5}(2x-12)-N_{5}(2x-13){\Big ]}}$

สูตรสำเร็จรูปสำหรับเวฟเล็ตบีสปลายที่มีขอบเขตจำกัดลำดับที่ 5 คือ

${\displaystyle \psi _{C,5}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{8709120}}x^{4}&0\leq x<{\frac {1}{2}}\\-{\frac {73}{1244160}}x^{4}+{\frac {1}{8505}}x^{3}-{\frac {1}{11340}}x^{2}+{\frac {1}{34020}}x-{\frac {1}{272160}}&{\frac {1}{2}}\leq x<1\\{\frac {9581}{4354560}}x^{4}-{\frac {19417}{2177280}}x^{3}+{\frac {1303}{96768}}x^{2}-{\frac {19609}{2177280}}x+{\frac {6547}{2903040}}&1\leq x<{\frac {3}{2}}\\-{\frac {118931}{4354560}}x^{4}+{\frac {366119}{2177280}}x^{3}-{\frac {186253}{483840}}x^{2}+{\frac {121121}{311040}}x-{\frac {427181}{2903040}}&{\frac {3}{2}}\leq x<2\\{\frac {759239}{4354560}}x^{4}-{\frac {3146561}{2177280}}x^{3}+{\frac {6466601}{1451520}}x^{2}-{\frac {13202873}{2177280}}x+{\frac {26819897}{8709120}}&2\leq x<{\frac {5}{2}}\\-{\frac {2980409}{4354560}}x^{4}+{\frac {5183893}{725760}}x^{3}-{\frac {13426333}{483840}}x^{2}+{\frac {426589}{8960}}x-{\frac {12635243}{414720}}&{\frac {5}{2}}\leq x<3\\{\frac {7873577}{4354560}}x^{4}-{\frac {16524079}{725760}}x^{3}+{\frac {7385369}{69120}}x^{2}-{\frac {17868671}{80640}}x+{\frac {497668543}{2903040}}&3\leq x<{\frac {7}{2}}\\-{\frac {14714327}{4354560}}x^{4}+{\frac {108543091}{2177280}}x^{3}-{\frac {56901557}{207360}}x^{2}+{\frac {1454458651}{2177280}}x-{\frac {5286189059}{8709120}}&{\frac {7}{2}}\leq x<4\\{\frac {15619}{3402}}x^{4}-{\frac {33822017}{435456}}x^{3}+{\frac {15828929}{32256}}x^{2}-{\frac {597598433}{435456}}x+{\frac {277413649}{193536}}&4\leq x<{\frac {9}{2}}\\-{\frac {15619}{3402}}x^{4}+{\frac {38150335}{435456}}x^{3}-{\frac {20157247}{32256}}x^{2}+{\frac {859841695}{435456}}x-{\frac {64472345}{27648}}&{\frac {9}{2}}\leq x<5\\{\frac {14714327}{4354560}}x^{4}-{\frac {4466137}{62208}}x^{3}+{\frac {165651247}{290304}}x^{2}-{\frac {875490655}{435456}}x+{\frac {4614904015}{1741824}}&5\leq x<{\frac {11}{2}}\\-{\frac {7873577}{4354560}}x^{4}+{\frac {30717383}{725760}}x^{3}-{\frac {179437319}{483840}}x^{2}+{\frac {16606729}{11520}}x-{\frac {869722273}{414720}}&{\frac {11}{2}}\leq x<6\\{\frac {2980409}{4354560}}x^{4}-{\frac {12698561}{725760}}x^{3}+{\frac {16211669}{96768}}x^{2}-{\frac {19138891}{26880}}x+{\frac {3289787993}{2903040}}&6\leq x<{\frac {13}{2}}\\-{\frac {759239}{4354560}}x^{4}+{\frac {10519741}{2177280}}x^{3}-{\frac {10403603}{207360}}x^{2}+{\frac {71964499}{311040}}x-{\frac {3481646837}{8709120}}&{\frac {13}{2}}\leq x<7\\{\frac {118931}{4354560}}x^{4}-{\frac {1774639}{2177280}}x^{3}+{\frac {630259}{69120}}x^{2}-{\frac {14096161}{311040}}x+{\frac {245108501}{2903040}}&7\leq x<{\frac {15}{2}}\\-{\frac {9581}{4354560}}x^{4}+{\frac {21863}{311040}}x^{3}-{\frac {407387}{483840}}x^{2}+{\frac {9758873}{2177280}}x-{\frac {25971499}{2903040}}&{\frac {15}{2}}\leq x<8\\{\frac {73}{1244160}}x^{4}-{\frac {4343}{2177280}}x^{3}+{\frac {5273}{207360}}x^{2}-{\frac {313703}{2177280}}x+{\frac {380873}{1244160}}&8\leq x<{\frac {17}{2}}\\-{\frac {1}{8709120}}x^{4}+{\frac {1}{241920}}x^{3}-{\frac {1}{17920}}x^{2}+{\frac {3}{8960}}x-{\frac {27}{35840}}&{\frac {17}{2}}\leq x<9\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

เวฟเล็ตบีสปลายน์ลำดับที่ 1	เวฟเล็ตบีสปลายน์ลำดับที่ 2
เวฟเล็ตบีสปลายน์ลำดับที่ 3	เวฟเล็ตบีสปลายน์ลำดับที่ 4	เวฟเล็ตบีสปลายน์ลำดับที่ 5