ในทางคณิตศาสตร์สปลายน์ (spline)คือฟังก์ชันที่กำหนดเป็นช่วงๆโดยใช้พหุ นาม ในปัญหาการประมาณค่าในช่วง สปลายน์มักเป็นที่นิยมมากกว่าการประมาณค่าในช่วงด้วยพหุนามเนื่องจากให้ผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกัน แม้จะใช้ พหุนาม ดีกรี ต่ำ ในขณะเดียวกันก็หลีกเลี่ยงปรากฏการณ์ของรันเก (Runge's phenomenon)สำหรับพหุนามดีกรีสูง

ในสาขาย่อยของวิทยาการคอมพิวเตอร์ เช่น การออกแบบโดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วย (CAD)และกราฟิกคอมพิวเตอร์คำว่าสปลายน์มักหมายถึงเส้นโค้ง พหุนามแบบแบ่งส่วน ( พาราเมตริก ) สปลายน์เป็นเส้นโค้งที่ได้รับความนิยมในสาขาย่อยเหล่านี้ เนื่องจากความเรียบง่ายในการสร้าง ความง่ายและความแม่นยำในการประเมิน และความสามารถในการประมาณรูปทรงที่ซับซ้อนผ่านการปรับเส้นโค้งและการออกแบบเส้นโค้งแบบโต้ตอบ

คำว่า สไปลน์ (spline) มาจาก อุปกรณ์ สไปลน์ แบบยืดหยุ่น ที่ช่างต่อเรือและนักเขียนแบบ ใช้ ในการวาดรูปทรงที่เรียบเนียน

คำว่า "สปลายน์" ใช้เพื่ออ้างถึงฟังก์ชันประเภทกว้างๆ ที่ใช้ในงานที่ต้องการการประมาณค่าและการปรับเรียบข้อมูล ข้อมูลอาจเป็นแบบหนึ่งมิติหรือหลายมิติ ฟังก์ชันสปลายน์สำหรับการประมาณค่ามักถูกกำหนดให้เป็นตัวลดค่าต่ำสุดของมาตรวัดความหยาบที่เหมาะสม (เช่น ค่าความโค้งกำลังสองแบบอินทิกรัล) ภายใต้ข้อจำกัดของการประมาณค่า สปลายน์สำหรับการปรับเรียบอาจมองได้ว่าเป็นส่วนขยายของสปลายน์สำหรับการประมาณค่า โดยที่ฟังก์ชันถูกกำหนดให้ลดค่าต่ำสุดของผลรวมถ่วงน้ำหนักของข้อผิดพลาดในการประมาณค่ากำลังสองเฉลี่ยเหนือข้อมูลที่สังเกตได้และมาตรวัดความหยาบ สำหรับคำจำกัดความที่มีความหมายหลายประการของมาตรวัดความหยาบ ฟังก์ชันสปลายน์พบว่ามีมิติจำกัด ซึ่งเป็นเหตุผลหลักที่ทำให้มีประโยชน์ในการคำนวณและการแสดงผล สำหรับส่วนที่เหลือของหัวข้อนี้ เราจะเน้นเฉพาะสปลายน์พหุนามแบบหนึ่งมิติ และใช้คำว่า "สปลายน์" ในความหมายที่จำกัดนี้

ตามที่ Gerald Farin กล่าวไว้B-splinesได้รับการสำรวจตั้งแต่ช่วงต้นศตวรรษที่ 19 โดยNikolai Lobachevskyที่มหาวิทยาลัย Kazanในรัสเซีย^{[ 1 ]}

ก่อนที่จะมีการใช้คอมพิวเตอร์ การคำนวณเชิงตัวเลขนั้นทำด้วยมือ แม้ว่าจะมีการใช้ฟังก์ชันที่กำหนดเป็นช่วงๆ เช่นฟังก์ชันเครื่องหมายหรือฟังก์ชันขั้นบันไดแต่โดยทั่วไปแล้วจะนิยมใช้พหุนามมากกว่าเพราะใช้งานง่ายกว่า เมื่อคอมพิวเตอร์เข้ามามีบทบาท สปลายน์ก็มีความสำคัญมากขึ้น ในตอนแรก สปลายน์ถูกนำมาใช้แทนพหุนามในการประมาณค่าในช่วง จากนั้นจึงถูกนำมาใช้เป็นเครื่องมือในการสร้างรูปทรงที่เรียบเนียนและยืดหยุ่นในกราฟิกคอมพิวเตอร์

เป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปว่า การอ้างอิงทางคณิตศาสตร์ครั้งแรกเกี่ยวกับสปลายน์คือบทความของSchoenberg ในปี 1946 ซึ่งน่าจะเป็นที่แรกที่มีการใช้คำว่า "สปลายน์" ในบริบทของการประมาณค่าพหุนามแบบเรียบและเป็นช่วงๆ อย่างไรก็ตาม แนวคิดนี้มีรากฐานมาจากอุตสาหกรรมการบินและการต่อเรือ ในคำนำของ (Bartels et al., 1987) Robin Forrestได้อธิบายถึง " การลอฟติ้ง " ซึ่งเป็นเทคนิคที่ใช้ในอุตสาหกรรมการบินของอังกฤษในช่วงสงครามโลกครั้งที่สองเพื่อสร้างแบบจำลองสำหรับเครื่องบินโดยการสอดแถบไม้บางๆ (เรียกว่า " สปลายน์ ") ผ่านจุดต่างๆ ที่วางไว้บนพื้นของห้องออกแบบขนาดใหญ่ ซึ่งเป็นเทคนิคที่ยืมมาจากการออกแบบตัวเรือ เป็นเวลาหลายปีที่การออกแบบเรือใช้แบบจำลองเพื่อออกแบบในขนาดเล็ก จากนั้นจึงนำแบบที่ออกแบบสำเร็จไปพล็อตบนกระดาษกราฟและนำจุดสำคัญของแบบที่พล็อตนั้นไปพล็อตใหม่บนกระดาษกราฟขนาดใหญ่ให้มีขนาดเต็ม แถบไม้บางๆ เหล่านั้นให้การประมาณค่าจุดสำคัญเหล่านั้นเป็นเส้นโค้งที่เรียบเนียน แผ่นโลหะเหล่านี้จะถูกยึดไว้ที่จุดต่างๆ (ฟอร์เรสต์เรียกว่า "จุดยึด" ส่วนโชเบิร์กใช้คำว่า "จุดยึด" หรือ "จุดยึด) และระหว่างจุดยึดเหล่านี้ แผ่นโลหะจะมีรูปร่างที่ใช้พลังงานความเครียดน้อยที่สุด ตามที่ฟอร์เรสต์กล่าว แรงผลักดันอย่างหนึ่งที่อาจทำให้เกิดแบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับกระบวนการนี้คือ ความเสี่ยงที่จะสูญเสียส่วนประกอบการออกแบบที่สำคัญของเครื่องบินทั้งลำ หากโครงสร้างถูกระเบิดของศัตรู สิ่งนี้ทำให้เกิด "การขึ้นรูปด้วยรูปทรงกรวย" ซึ่งใช้ภาคตัดกรวยในการจำลองตำแหน่งของเส้นโค้งระหว่างจุดยึด การขึ้นรูปด้วยรูปทรงกรวยถูกแทนที่ด้วยสิ่งที่เราเรียกว่า สปลายน์ ในช่วงต้นทศวรรษ 1960 โดยอิงจากงานของ เจ.ซี. เฟอร์กูสัน ที่โบอิ้งและ (ในเวลาต่อมา) โดย มัลคอล์ม เอ. ซาบิน ที่ บริติช แอร์คราฟ ต์ คอร์ปอเรชั่น

คำว่า "spline" เดิมทีเป็นคำในภาษาถิ่น อีสต์แองเกลีย

การใช้สปลายน์ในการสร้างแบบจำลองตัวถังรถยนต์ดูเหมือนจะมีจุดเริ่มต้นที่เป็นอิสระต่อกันหลายแห่ง มีการอ้างสิทธิ์ในผลงานของde Casteljauที่Citroën , Pierre Bézierที่RenaultและBirkhoff , Garabedianและde Boorที่General Motors (ดู Birkhoff และ de Boor, 1965) สำหรับผลงานที่เกิดขึ้นในช่วงต้นทศวรรษ 1960 หรือปลายทศวรรษ 1950 อย่างน้อยหนึ่งในบทความของ de Casteljau ได้รับการตีพิมพ์ในปี 1959 แต่ไม่แพร่หลาย งานของ de Boor ที่General Motorsส่งผลให้มีการตีพิมพ์บทความจำนวนมากในช่วงต้นทศวรรษ 1960 รวมถึงงานพื้นฐานบางส่วนเกี่ยวกับB-splinesด้วย

งานวิจัยยังดำเนินการอยู่ที่บริษัท Pratt & Whitney Aircraft โดยมีผู้เขียนสองคนจากหนังสือ (Ahlberg et al., 1967) ซึ่งเป็นหนังสือเล่มแรกที่กล่าวถึงเรื่องสปลายอย่างละเอียด และหนังสือDavid Taylor Model Basinโดย Feodor Theilheimer ทำงานอยู่ที่นั่น งานวิจัยที่General Motorsมีรายละเอียดอย่างดีใน (Birkhoff, 1990) และ (Young, 1997) Davis (1997) สรุปเนื้อหาบางส่วนนี้ไว้

เราเริ่มต้นด้วยการจำกัดการอภิปรายของเราไว้ที่พหุนามตัวแปรเดียวในกรณีนี้ สปลายน์เป็นฟังก์ชันพหุนามแบบแบ่ง ช่วง ฟังก์ชันนี้ เราเรียกว่าSรับค่าจากช่วง[ a , b ]และแมปค่าเหล่านั้นไปยังเซตของจำนวน จริง เราต้องการให้Sถูกกำหนดแบบแบ่งช่วง เพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้ ให้ช่วง[ a , b ]ถูกปกคลุมด้วย ช่วงย่อย k ช่วง ที่เรียงลำดับและไม่ทับซ้อน กัน${\displaystyle \mathbb {R} ,}$$${\displaystyle S:[a,b]\to \mathbb {R} .}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&[t_{i},t_{i+1}],\quad i=0,\ldots ,k-1\\[4pt]&[a,b]=[t_{0},t_{1})\cup [t_{1},t_{2})\cup \cdots \cup [t_{k-2},t_{k-1})\cup [t_{k-1},t_{k})\cup [t_{k}]\\[4pt]&a=t_{0}\leq t_{1}\leq \cdots \leq t_{k-1}\leq t_{k}=b\end{aligned}}}$$

ในแต่ละ"ส่วน" k ส่วนของ [ a , b ]เราต้องการกำหนดพหุนาม เรียกว่าP i _บน ช่วง ย่อยที่ iของ[ a , b ]นั้นSถูกกำหนดโดย P _i$${\displaystyle P_{i}:[t_{i},t_{i+1}]\to \mathbb {R} .}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}S(t)&=P_{0}(t),&&t_{0}\leq t<t_{1},\\[2pt]S(t)&=P_{1}(t),&&t_{1}\leq t<t_{2},\\&\vdots \\S(t)&=P_{k-1}(t),&&t_{k-1}\leq t\leq t_{k}.\end{aligned}}}$$

จุด k + 1จุดt _iที่กำหนดเรียกว่าจุดปมเวกเตอร์t = ( t ₀ , …, t _k )เรียกว่าเวกเตอร์จุดปมสำหรับสปลายน์ ถ้าจุดปมกระจายตัวอย่างเท่าๆ กันในช่วง[ a , b ]เรากล่าวว่าสปลายน์นั้นเป็นแบบสม่ำเสมอมิเช่นนั้นเราจะกล่าวว่ามันเป็นแบบไม่สม่ำเสมอ

ถ้าพหุนามส่วนย่อยP _iแต่ละส่วนมีดีกรีไม่เกินnแล้ว จะกล่าวได้ว่าสปลายนั้นมีดีกรี≤ n (หรือมีลำดับn + 1 )

ถ้าในบริเวณใกล้เคียงt _iแล้ว สปลายน์จะกล่าวได้ว่ามีความเรียบ (อย่างน้อย) ที่t _iนั่นคือ ที่t _iชิ้นส่วนพหุนามสองชิ้นP _{i –1}และP _iมีค่าอนุพันธ์ร่วมกันตั้งแต่ค่าอนุพันธ์อันดับ 0 (ค่าฟังก์ชัน) ไปจนถึงค่าอนุพันธ์อันดับr _i (กล่าวอีกนัยหนึ่ง ชิ้นส่วนพหุนามสองชิ้นที่อยู่ติดกันเชื่อมต่อกันโดยสูญเสียความเรียบไม่เกินn – r _i ) ${\displaystyle S\in C^{r_{i}}}$${\displaystyle C^{r_{i}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{i-1}^{(0)}(t_{i})&=P_{i}^{(0)}(t_{i}),\\[2pt]P_{i-1}^{(1)}(t_{i})&=P_{i}^{(1)}(t_{i}),\\\vdots &\\P_{i-1}^{(r_{i})}(t_{i})&=P_{i}^{(r_{i})}(t_{i}).\end{aligned}}}$$

เวกเตอร์r = ( r ₁ , …, r _{k –1} )ที่ทำให้สปลายมีความเรียบที่t _iสำหรับi = 1, …, k – 1เรียกว่าเวกเตอร์ความเรียบของสปลาย ${\displaystyle C^{r_{i}}}$

เมื่อกำหนดเวกเตอร์ปมt , ดีกรีnและเวกเตอร์ความเรียบ rสำหรับ tแล้ว เราสามารถพิจารณาเซตของสปลายทั้งหมดที่มีดีกรี≤ nซึ่งมีเวกเตอร์ปมtและเวกเตอร์ความเรียบ rโดยเมื่อรวมกับการดำเนินการบวกฟังก์ชันสองฟังก์ชัน (การบวกแบบจุดต่อจุด) และการคูณฟังก์ชันด้วยจำนวนจริง เซตนี้จะกลายเป็นปริภูมิเวกเตอร์จริงปริภูมิสปลาย นี้ มักจะถูกแทนด้วย${\displaystyle S_{n}^{\mathbf {r} }(\mathbf {t} ).}$

ในการศึกษาทางคณิตศาสตร์ของสปลายพหุนาม คำถามที่ว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อปมสองปม เช่นtiและti _{+ 1}เข้าใกล้กันและมาบรรจบกันนั้นมีคำตอบที่ง่าย ส่วนของพหุนาม_Pi (t) จะหาย_ไปและส่วนPi _{− 1} ( t )และPi _{+ 1} ( t )จะรวมกันด้วยผลรวมของการสูญเสียความเรียบสำหรับtiและti _{+ 1}นั่นคือ โดยที่j _i = n – ri สิ่งนี้จะนำไปสู่ความเข้าใจที่ครอบคลุมมากขึ้นเกี่ยวกับเวกเตอร์ป _มการสูญเสียความต่อเนื่อง ณ จุดใด ๆ สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นผลมาจาก ป _มหลายปมที่อยู่ ณ จุดนั้น และประเภทของสปลายสามารถระบุได้อย่างสมบูรณ์โดยดีกรีnและเวกเตอร์ปม ที่ขยายออกไป$${\displaystyle S(t)\in C^{n-j_{i}-j_{i+1}}[t_{i}=t_{i+1}],}$$

$${\displaystyle (t_{0},t_{1},\cdots ,t_{1},t_{2},\cdots ,t_{2},t_{3},\cdots ,t_{k-2},t_{k-1},\cdots ,t_{k-1},t_{k})}$$

โดยที่t _iจะถูกทำซ้ำj _iครั้ง สำหรับi = 1, …, k – 1

เส้นโค้งพาราเมตริกบนช่วง[ a , b ] จะเป็นเส้นโค้งสปลายน์ก็ต่อเมื่อทั้งXและYเป็นฟังก์ชันสปลายน์ที่มีดีกรีเดียวกันและมีเวกเตอร์ปมขยายเดียวกันบนช่วงนั้น $${\displaystyle G(t)={\bigl (}X(t),Y(t){\bigr )},\quad t\in [a,b]}$$

สมมติว่าช่วง[ a , b ]คือ[0, 3]และช่วงย่อยคือ[0, 1], [1, 2], [2, 3]สมมติว่าส่วนของพหุนามมีดีกรี 2 และส่วนบน[0, 1]และ[1, 2]ต้องเชื่อมต่อกันทั้งค่าและอนุพันธ์อันดับแรก (ที่t = 1 ) ในขณะที่ส่วนบน[1, 2]และ[2, 3]เชื่อมต่อกันเพียงแค่ค่า (ที่t = 2 ) สิ่งนี้จะกำหนดประเภทของสปลายS ( t )ซึ่ง

$${\displaystyle {\begin{aligned}S(t)&=P_{0}(t)=-1+4t-t^{2},&&0\leq t<1\\[2pt]S(t)&=P_{1}(t)=2t,&&1\leq t<2\\[2pt]S(t)&=P_{2}(t)=2-t+t^{2},&&2\leq t\leq 3\end{aligned}}}$$

จะเป็นสมาชิกประเภทนั้น และนอกจากนี้

$${\displaystyle {\begin{aligned}S(t)&=P_{0}(t)=-2-2t^{2},&&0\leq t<1\\[2pt]S(t)&=P_{1}(t)=1-6t+t^{2},&&1\leq t<2\\[2pt]S(t)&=P_{2}(t)=-1+t-2t^{2},&&2\leq t\leq 3\end{aligned}}}$$

จะเป็นสมาชิกของประเภทนั้น (หมายเหตุ: แม้ว่าส่วนพหุนาม2t จะไม่ใช่พหุนามกำลังสอง แต่ผลลัพธ์ยังคงเรียกว่าสปลายกำลังสอง ซึ่งแสดงให้เห็นว่าดีกรีของสปลายคือดีกรีสูงสุดของส่วนพหุนาม) เวกเตอร์ปมที่ขยายสำหรับสปลายประเภทนี้จะเป็น(0, 1, 2, 2, 3 )

สปลายที่ง่ายที่สุดมีดีกรี 0 เรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันขั้นบันไดสปลายที่ง่ายรองลงมามีดีกรี 1 เรียกอีกอย่างว่าสปลายเชิงเส้นสปลายเชิงเส้นแบบปิด (กล่าวคือ จุดเชื่อมต่อแรกและจุดเชื่อมต่อสุดท้ายเป็นจุดเดียวกัน) ในระนาบก็คือรูปหลายเหลี่ยม

สปลายน์ที่ใช้กันทั่วไปคือสปลายน์ลูกบาศก์ธรรมชาติสปลายน์ลูกบาศก์มีดีกรี 3 และมีความต่อเนื่องC₂ ^{กล่าว}คือ ค่าและอนุพันธ์อันดับที่หนึ่งและสองมีความต่อเนื่อง คำว่า "ธรรมชาติ" หมายความว่าอนุพันธ์อันดับที่สองของพหุนามสปลายน์เป็นศูนย์ที่จุดปลายของช่วงการประมาณค่า

$${\displaystyle S''(a)\,=S''(b)=0.}$$

ดังนั้น กราฟของสปลายน์จึงเป็นเส้นตรงที่อยู่นอกช่วง แต่ยังคงเรียบเนียนอยู่

อาจมีคนถามว่า การมีปมมากกว่าnปมในเวกเตอร์ปมนั้นมีความหมายอย่างไร เนื่องจากจะนำไปสู่ความต่อเนื่อง เช่น ที่ตำแหน่งที่มีจำนวนปมมาก ตามธรรมเนียมแล้ว สถานการณ์เช่นนี้บ่งชี้ถึงความไม่ต่อเนื่องอย่างง่ายระหว่างส่วนของพหุนามที่อยู่ติดกันสองส่วน นั่นหมายความว่า หากปมt _iปรากฏมากกว่าn + 1ครั้งในเวกเตอร์ปมที่ขยายออกไป เราสามารถลบปมที่เกินจำนวนครั้งที่( n + 1)ออกได้โดยไม่เปลี่ยนแปลงลักษณะของสปลายน์ เนื่องจากจำนวนปมn + 1 , n + 2 , n + 3ฯลฯ มีความหมายเหมือนกัน โดยทั่วไปแล้ว ถือว่าเวกเตอร์ปมใดๆ ที่กำหนดสปลายน์ประเภทใดๆ ก็ตาม ได้ถูกคัดกรองด้วยวิธีนี้แล้ว $${\displaystyle S(t)\in C^{-m},\quad m>0}$$

สปลายแบบคลาสสิกที่มีดีกรีnที่ใช้ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขนั้นมีความต่อเนื่อง ซึ่งหมายความว่าชิ้นส่วนพหุนามสองชิ้นที่อยู่ติดกันจะมาบรรจบกันในค่าและอนุพันธ์อันดับแรกn − 1ที่แต่ละจุดเชื่อมต่อ สปลายทางคณิตศาสตร์ที่จำลองสปลายแบบแบน ได้ใกล้เคียงที่สุด คือสปลายธรรมชาติแบบลูกบาศก์ ( n = 3 ⁾ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้สองครั้งอย่างต่อเนื่อง ( C2 ) ซึ่งเป็นสปลายแบบคลาสสิกนี้ โดย มีเงื่อนไขเพิ่มเติมที่กำหนดไว้ที่จุดปลายaและb$${\displaystyle S(t)\in \mathrm {C} ^{n-1}[a,b],}$$

สไปลน์อีกประเภทหนึ่งที่ใช้กันมากในงานกราฟิก เช่น ในโปรแกรมวาดภาพอย่างAdobe IllustratorจากAdobe Systems นั้นมีส่วนประกอบที่เป็นทรงลูกบาศก์ แต่มีความต่อเนื่องเพียงบางส่วนเท่านั้น สไปลน์ประเภทนี้ยังใช้ในPostScriptรวมถึงในการกำหนดแบบอักษรคอมพิวเตอร์บางประเภทด้วย $${\displaystyle S(t)\in C^{1}[a,b].}$$

ระบบออกแบบโดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วย (CAD) จำนวนมากที่ออกแบบมาสำหรับกราฟิกและแอนิเมชันระดับสูงใช้เวกเตอร์ปมแบบขยาย ตัวอย่างเช่นAutodesk Mayaระบบออกแบบโดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วยมักใช้แนวคิดแบบขยายของเส้นโค้งที่เรียกว่าNonuniform rational B-spline (NURBS)

หากมีข้อมูลที่ได้จากการสุ่มตัวอย่างจากฟังก์ชันหรือวัตถุทางกายภาพการประมาณค่าแบบสปลายน์เป็นวิธีการสร้างสปลายน์ที่ประมาณค่าข้อมูลเหล่านั้นได้

สามารถหา การแสดงออกทั่วไปของ เส้นโค้งลูกบาศก์แบบสอดแทรก C2ตัวที่iที่จุดx ภายใต้เงื่อนไขธรรมชาติ ^ได้โดยใช้สูตร

$${\displaystyle S_{i}(x)={\frac {z_{i}(x-t_{i-1})^{3}}{6h_{i}}}+{\frac {z_{i-1}(t_{i}-x)^{3}}{6h_{i}}}+\left[{\frac {f(t_{i})}{h_{i}}}-{\frac {z_{i}h_{i}}{6}}\right](x-t_{i-1})+\left[{\frac {f(t_{i-1})}{h_{i}}}-{\frac {z_{i-1}h_{i}}{6}}\right](t_{i}-x)}$$

ที่ไหน

• ${\displaystyle z_{i}=S_{i}''(t_{i})}$คือค่าของอนุพันธ์อันดับสอง ณจุดปมที่i
• ${\displaystyle h_{i}=t_{i}-t_{i-1}}$
• ${\displaystyle f(t_{i}^{})}$คือค่าของฟังก์ชันที่จุดปมที่i

สำหรับช่วง[ a , b ] ที่กำหนด และเวกเตอร์ปมขยายที่กำหนดบนช่วงนั้น สปลายน์ดีกรีnจะก่อให้เกิดปริภูมิเวกเตอร์ กล่าวโดยย่อคือ การบวกสปลายน์สองตัวใดๆ ที่มีประเภทเดียวกัน จะได้สปลายน์ที่มีประเภทเดียวกัน และการคูณสปลายน์ที่มีประเภทเดียวกันด้วยค่าคงที่ใดๆ จะได้สปลายน์ที่มีประเภทเดียวกันมิติของปริภูมิที่บรรจุสปลายน์ทั้งหมดของประเภทใดประเภทหนึ่งสามารถนับได้จากเวกเตอร์ปมขยาย:

$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=t_{0}<\underbrace {t_{1}=\cdots =t_{1}} _{j_{1}}<\cdots <\underbrace {t_{k-2}=\cdots =t_{k-2}} _{j_{k-2}}<t_{k-1}=b\\[4pt]j_{i}&\leq n+1,\qquad i=1,\ldots ,k-2.\end{aligned}}}$$ มิติเท่ากับผลรวมของดีกรีบวกกับจำนวนครั้งที่ปรากฏ

${\displaystyle d=n+\sum _{i=1}^{k-2}j_{i}.}$

หากมีการกำหนดเงื่อนไขเชิงเส้นเพิ่มเติมให้กับสปลายชนิดหนึ่ง สปลายที่ได้จะอยู่ในปริภูมิย่อย ตัวอย่างเช่น ปริภูมิของสปลายลูกบาศก์ธรรมชาติทั้งหมดเป็นปริภูมิย่อยของปริภูมิของสปลาย ลูกบาศก์ C₂ ^{ทั้งหมด}

เอกสารเกี่ยวกับสปลายน์เต็มไปด้วยชื่อเรียกเฉพาะสำหรับสปลายน์ประเภทต่างๆ ชื่อเรียกเหล่านี้มีความเกี่ยวข้องกับ:

• ตัวอย่างเช่น ตัวเลือกที่ใช้ในการแสดงผลเส้นโค้งสปลายน์:
  • โดยใช้ ฟังก์ชัน พื้นฐานสำหรับเส้นโค้งสปลายทั้งหมด (ซึ่งทำให้เราได้ชื่อว่าB-splines )
  • โดยใช้พหุนามเบิร์นสไตน์ตามที่ปิแอร์ เบซิเยร์ใช้ในการแทนพหุนามแต่ละส่วน (ซึ่งเป็นที่มาของชื่อเบซิเยร์ สปลายน์ )
• ตัวอย่างเช่น ตัวเลือกที่ใช้ในการสร้างเวกเตอร์ปมแบบขยาย:
  • โดยใช้ปมเดี่ยวสำหรับ ความต่อเนื่อง C ^{n –1}และเว้นระยะห่างของปมเหล่านี้อย่างสม่ำเสมอในช่วง[ a , b ] (ทำให้ได้สปลายแบบสม่ำเสมอ )
  • โดยใช้ปมที่ไม่มีข้อจำกัดเรื่องระยะห่าง (ทำให้ได้เส้นโค้งแบบไม่สม่ำเสมอ )
• เงื่อนไขพิเศษใดๆ ที่กำหนดไว้สำหรับเส้นโค้งสปลายน์ เช่น:
  • บังคับให้ค่าอนุพันธ์อันดับสองที่จุดaและb เป็นศูนย์ (ซึ่งทำให้เราได้เส้นโค้งสปลายธรรมชาติ )
  • ซึ่งกำหนดให้ค่าข้อมูลที่กำหนดต้องอยู่บนเส้นโค้งสปลายน์ (ทำให้เราได้เส้นโค้งสปลายน์แบบแทรกสอด )

บ่อยครั้งที่มีการเลือกชื่อเฉพาะสำหรับสปลายประเภทหนึ่งที่ตรงตามเงื่อนไขหลักสองข้อขึ้นไปข้างต้น ตัวอย่างเช่น สปลายเฮอร์ไมต์ (Hermite spline)คือสปลายที่แสดงโดยใช้พหุนามเฮอร์ไมต์ (Hermite polynomials)แทนชิ้นส่วนพหุนามแต่ละชิ้น โดยส่วนใหญ่จะใช้กับn = 3นั่นคือ สปลายเฮอร์ไมต์ลูกบาศก์ (Cubic Hermite splines ) ในระดับนี้ อาจเลือกให้เป็นแบบต่อเนื่องเฉพาะเส้นสัมผัส ( C1 ) ซึ่งหมายความว่าปมภายในทั้งหมดเป็นแบบคู่ มีวิธีการหลายวิธีที่ถูกคิดค้นขึ้นเพื่อปรับสปลายดังกล่าวให้เข้ากับจุดข้อมูลที่กำหนด นั่นคือ การทำให้เป็นสปลายแบบแทรกสอด (interpolating splines) โดยการประมาณค่าเส้นสัมผัสที่เป็นไปได้ ณ จุดที่ชิ้นส่วนพหุนามสองชิ้นแต่ละคู่มาบรรจบกัน (ทำให้ได้สปลาย^{คาร์ดินัล} (Cardinal splines) สปลายแคทมุล -รอม ( Catmull-Rom splines ) และ สปลายโคชาเน็ก-บาร์เทลส์ ( Kochanek-Bartels splines ) ขึ้นอยู่กับวิธีการที่ใช้)

สำหรับแต่ละรูปแบบการแสดงผล จะต้องหาวิธีการประเมินค่าบางอย่างเพื่อให้สามารถสร้างค่าของสปลายน์ได้ตามต้องการ สำหรับรูปแบบการแสดงผลที่แสดงแต่ละส่วนของพหุนามP _i ( t )ในรูปของฐานสำหรับพหุนามดีกรีnนั้น เป็นเรื่องที่เข้าใจได้ง่ายในเชิงแนวคิด:

• สำหรับค่าอาร์กิวเมนต์t ที่กำหนดให้ จงหาช่วงที่ค่าอาร์กิวเมนต์นั้นอยู่${\displaystyle t\in [t_{i},t_{i+1}]}$
• ค้นหาฐานพหุนามที่เลือกสำหรับช่วงนั้น${\displaystyle P_{0},\ldots ,P_{k-2}}$
• จงหาค่าของพหุนามฐานแต่ละตัวที่เวลาt :${\displaystyle P_{0}(t),\ldots ,P_{k-2}(t)}$
• ค้นหาค่าสัมประสิทธิ์ของการรวมเชิงเส้นของพหุนามพื้นฐานเหล่านั้นที่ให้สปลายน์ในช่วงc ₀ , ..., c _{k –2}
• นำผลรวมเชิงเส้นของค่าพหุนามฐานมาบวกกันเพื่อให้ได้ค่าของสปลายน์ที่t :

$${\displaystyle \sum _{j=0}^{k-2}c_{j}P_{j}(t).}$$ อย่างไรก็ตาม ขั้นตอนการประเมินและการหาผลรวมมักถูกรวมเข้าด้วยกันอย่างชาญฉลาด ตัวอย่างเช่น พหุนามเบิร์นสไตน์เป็นพื้นฐานสำหรับพหุนามที่สามารถประเมินผลในการรวมเชิงเส้นได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิดพิเศษ นี่คือสาระสำคัญของอัลกอริทึมของเดอ กัสเติลเจาซึ่งปรากฏอยู่ในเส้นโค้งเบซิเยร์และ สปลายเบซิเยร์

อย่างไรก็ตาม สำหรับการแสดงผลที่กำหนดให้สปลายเป็นผลรวมเชิงเส้นของสปลายฐาน จำเป็นต้องใช้วิธีที่ซับซ้อนกว่านั้นอัลกอริทึมของเดอ บูร์เป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพในการประเมินค่าบี-สปลาย

ยูทิลิตี้ออนไลน์

• บทนำเชิงโต้ตอบเกี่ยวกับสปลายน์ (HTML5) , ibiblio.org
• เส้นโค้งสไปลน์สมมาตรแอนิเมชั่นโดยธีโอดอร์ เกรย์โครงการสาธิตของวูล์ฟแรมปี 2007

รหัสคอมพิวเตอร์

• pspline, czspline, ezspline - เวอร์ชันล่าสุด (2025) อยู่ในที่เก็บข้อมูลส่วนตัวเวอร์ชันปี 2019 นี้ยังคงใช้งานได้โดยไม่ต้องขอสิทธิ์เข้าถึง
• Sisl: ไลบรารีโอเพนซอร์สภาษา C สำหรับ NURBS , SINTEF
• การประมาณค่าแบบเส้นโค้งลูกบาศก์ในภาษา C++ - ไลบรารีแบบ header-only ที่รองรับเส้นโค้งลูกบาศก์และเส้นโค้งลูกบาศก์เฮอร์ไมต์