ในทางคณิตศาสตร์เวฟเล็ตฮาร์ (Haar wavelet)คือลำดับของฟังก์ชันรูปทรงสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ปรับขนาดใหม่ ซึ่งรวมกันเป็น ตระกูล เวฟเล็ตหรือฐานเวฟเล็ต การวิเคราะห์เวฟเล็ตคล้ายกับการวิเคราะห์ฟูริเยร์ตรงที่ช่วยให้สามารถแสดงฟังก์ชันเป้าหมายในช่วงเวลาหนึ่งในรูปของฐานออร์โทนอร์มอลได้ลำดับฮาร์ได้รับการยอมรับว่าเป็นฐานเวฟเล็ตแรกที่รู้จักและถูกนำมาใช้เป็นตัวอย่างในการสอนอย่างกว้างขวาง

ลำดับHaarได้รับการเสนอในปี พ.ศ. 2452 โดยAlfréd Haar [ ^{1 ] Haar} ใช้ฟังก์ชันเหล่านี้เพื่อยกตัวอย่างระบบออร์โทนอร์มอลสำหรับปริภูมิของฟังก์ชันที่สามารถอินทิเกรตกำลังสองได้ในช่วงหน่วย [0, 1] การศึกษาเกี่ยวกับเวฟเล็ต และแม้แต่คำว่า "เวฟเล็ต" ก็ไม่ ได้  เกิดขึ้นจนกระทั่งอีกนานต่อมา เวฟเล็ต Haar ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของเวฟเล็ต Daubechiesเรียกอีกอย่างว่าDb1

เวฟเล็ต Haar ยังเป็นเวฟเล็ตที่ง่ายที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ข้อเสียทางเทคนิคของเวฟเล็ต Haar คือมันไม่ต่อเนื่องและด้วยเหตุนี้จึงไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างไรก็ตาม คุณสมบัตินี้อาจเป็นข้อดีสำหรับการวิเคราะห์สัญญาณที่มีการเปลี่ยนแปลงอย่างกะทันหัน ( สัญญาณแบบไม่ต่อเนื่อง ) เช่น การตรวจสอบความล้มเหลวของเครื่องมือในเครื่องจักร^{[ 2 ]}

ฟังก์ชันเวฟเล็ตแม่ของ Haar wavelet สามารถอธิบายได้ดังนี้ ${\displaystyle \psi (t)}$

${\displaystyle \psi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<{\frac {1}{2}},\\-1&{\frac {1}{2}}\leq t<1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

ฟังก์ชันการปรับขนาด ของมันสามารถอธิบายได้ดังนี้ ${\displaystyle \varphi (t)}$

${\displaystyle \varphi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

สำหรับ จำนวนเต็ม n , k ทุกคู่ ในฟังก์ชันHaar ψ _{n , k}ถูกกำหนดบนเส้นจำนวนจริงโดยสูตร ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \psi _{n,k}(t)=2^{n/2}\psi (2^{n}tk),\quad t\in \mathbb {R} .}$

ฟังก์ชันนี้รองรับช่วงเปิดขวาI _{n , k} = [ k 2 ^{− n} , ( k +1)2 ^{− n} ) , กล่าวคือมีค่าเป็นศูนย์นอกช่วงนั้น มีค่าอินทิกรัล 0 และค่าบรรทัดฐาน 1 ในปริภูมิฮิลเบิร์ตL ² ( ) ,  ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\psi _{n,k}(t)\,dt=0,\quad \|\psi _{n,k}\|_{L^{2}(\mathbb {R} )}^{2}=\int _{\mathbb {R} }\psi _{n,k}(t)^{2}\,dt=1.}$

ฟังก์ชัน Haar เป็นแบบ ตั้งฉาก แบบคู่

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\psi _{n_{1},k_{1}}(t)\psi _{n_{2},k_{2}}(t)\,dt=\delta _{n_{1}n_{2}}\delta _{k_{1}k_{2}},}$

โดยที่แทนเดลต้าโครเนกเกอร์ เหตุผลของความเป็นตั้งฉากมีดังนี้: เมื่อช่วงรองรับสองช่วงและไม่เท่ากัน ช่วงรองรับทั้งสองจะไม่ทับซ้อนกัน หรือไม่ก็ช่วงรองรับที่เล็กกว่า เช่นจะอยู่ในครึ่งล่างหรือครึ่งบนของช่วงรองรับอีกช่วงหนึ่ง ซึ่งฟังก์ชันจะมีค่าคงที่ ในกรณีนี้ ผลคูณของฟังก์ชันฮาร์ทั้งสองจะเป็นพหุคูณของฟังก์ชันฮาร์ตัวแรก ดังนั้นผลคูณจึงมีปริพันธ์เป็น 0 ${\displaystyle \delta _{ij}}$${\displaystyle I_{n_{1},k_{1}}}$${\displaystyle I_{n_{2},k_{2}}}$${\displaystyle I_{n_{1},k_{1}}}$${\displaystyle \psi _{n_{2},k_{2}}}$

ระบบฮาร์บนเส้นจำนวนจริงคือเซตของฟังก์ชัน

${\displaystyle \{\psi _{n,k}(t)\;:\;n\in \mathbb {Z} ,\;k\in \mathbb {Z} \}.}$

มันสมบูรณ์ในL ² ( ): ระบบ Haar บนเส้นเป็นฐานตั้งฉากปกติในL ² ( ) ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

คลื่นฮาร์ (Haar wavelet) มีคุณสมบัติเด่นหลายประการ:

ในส่วนนี้ การอภิปรายจะจำกัดเฉพาะช่วงหน่วย [0, 1] และฟังก์ชัน Haar ที่รองรับบน [0, 1] ระบบฟังก์ชันที่ Haar พิจารณาในปี 1910 ^{[ 5 ]} ซึ่งเรียกว่าระบบ Haar บน [0, 1]ในบทความนี้ ประกอบด้วยเซตย่อยของเวฟเล็ต Haar ที่กำหนดไว้ดังนี้

${\displaystyle \{t\in [0,1]\mapsto \psi _{n,k}(t)\;:\;n,k\in \mathbb {N} \cup \{0\},\;0\leq k<2^{n}\},}$

โดยเพิ่มฟังก์ชันคงที่1บน [0, 1]

ใน แง่ของปริภูมิ ฮิลเบิร์ตระบบฮาร์นี้บน [0, 1] เป็นระบบออร์โทนอร์มอลที่สมบูรณ์ กล่าวคือเป็นฐานออร์โทนอร์มอลสำหรับปริภูมิL ² ([0, 1]) ของฟังก์ชันกำลังสองที่สามารถหาปริพันธ์ได้บนช่วงหน่วย

ระบบ Haar บน [0, 1] —โดยมีฟังก์ชันคงที่1เป็นองค์ประกอบแรก ตามด้วยฟังก์ชัน Haar ที่เรียงลำดับตาม ลำดับ พจนานุกรมของคู่( n , k ) — ยังเป็นฐาน Schauder แบบโมโนโทน สำหรับปริภูมิL ^p ([0, 1])เมื่อ1 ≤ p < ∞ [ ^{6 ] ฐาน} นี้เป็นฐานแบบไม่มีเงื่อนไขเมื่อ1 < p < ∞ ^{[ 7 ]}

นอกจากนี้ยังมีระบบ Rademacher ที่เกี่ยวข้อง ซึ่งประกอบด้วยผลรวมของฟังก์ชัน Haar

${\displaystyle r_{n}(t)=2^{-n/2}\sum _{k=0}^{2^{n}-1}\psi _{n,k}(t),\quad t\in [0,1],\ n\geq 0.}$

โปรดสังเกตว่า | r _n ( t )| = 1 บน [0, 1) นี่คือระบบออร์โทนอร์มอล แต่ไม่สมบูรณ์^{[ 8 ] [ 9 ]} ในภาษาของทฤษฎีความน่าจะเป็น ลำดับ Rademacher เป็นตัวอย่างของลำดับของ ตัวแปร สุ่มBernoulli อิสระที่มีค่าเฉลี่ย  0 อสมการ Khintchineแสดงข้อเท็จจริงที่ว่าในปริภูมิทั้งหมดL ^p ([0, 1]), 1 ≤ p < ∞ลำดับ Rademacher เทียบเท่ากับ ฐาน ^เวกเตอร์หน่วยใน ℓ ^{2 [ 10} ] โดยเฉพาะอย่างยิ่งช่วงเชิงเส้นปิดของลำดับ Rademacher ในL ^p ([0, 1]), 1 ≤ p < ∞นั้นสมมาตรกับℓ ²

ระบบFaber–Schauder ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]} คือตระกูลของฟังก์ชันต่อเนื่องบน [0, 1] ซึ่งประกอบด้วยฟังก์ชันคงที่  1และผลคูณของปริพันธ์ไม่จำกัดของฟังก์ชันในระบบ Haar บน [0, 1] ซึ่งเลือกให้มีบรรทัดฐาน 1 ในบรรทัดฐานสูงสุดระบบนี้เริ่มต้นด้วยs ₀  =  1จากนั้นs ₁ ( t ) = tคือปริพันธ์ไม่จำกัดที่หายไปที่ 0 ของฟังก์ชัน  1ซึ่งเป็นองค์ประกอบแรกของระบบ Haar บน [0, 1] ต่อไป สำหรับจำนวนเต็มn ≥ 0 ทุก ตัว ฟังก์ชันs _{n , k}จะถูกกำหนดโดยสูตร

${\displaystyle s_{n,k}(t)=2^{1+n/2}\int _{0}^{t}\psi _{n,k}(u)\,du,\quad t\in [0,1],\ 0\leq k<2^{n}.}$

ฟังก์ชันs _{n , k} เหล่านี้ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องเชิงเส้นแบบเป็นช่วงๆ ซึ่ง รองรับโดยช่วงI _{n , k}ที่รองรับψ _{n , k} ด้วยเช่นกัน ฟังก์ชันs _{n , k}มีค่าเท่ากับ 1 ที่จุดกึ่งกลางx _{n , k}ของช่วง  I _{n , k}และเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นบนครึ่งทั้งสองของช่วงนั้น โดยมีค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 ในทุกจุด

ระบบ Faber–Schauder เป็นฐาน SchauderสำหรับปริภูมิC ([0, 1]) ของฟังก์ชันต่อเนื่องบน [0, 1] ^{[ 6 ]} สำหรับทุก  fในC ([0, 1]) ผลรวมย่อย

${\displaystyle f_{n+1}=a_{0}s_{0}+a_{1}s_{1}+\sum _{m=0}^{n-1}{\Bigl (}\sum _{k=0}^{2^{m}-1}a_{m,k}s_{m,k}{\Bigr )}\in C([0,1])}$

การขยายอนุกรมของf ในระบบ Faber–Schauder คือฟังก์ชันเชิงเส้นแบบต่อเนื่องเป็นช่วงๆ ที่สอดคล้องกับ  fที่จุด²ⁿ + 1จุดk 2 ^{− n}โดยที่0 ≤ k ≤ ²ⁿต่อไปนี้คือสูตร

${\displaystyle f_{n+2}-f_{n+1}=\sum _{k=0}^{2^{n}-1}{\bigl (}f(x_{n,k})-f_{n+1}(x_{n,k}){\bigr )}s_{n,k}=\sum _{k=0}^{2^{n}-1}a_{n,k}s_{n,k}}$

นำเสนอวิธีการคำนวณการขยายของfทีละขั้นตอน เนื่องจากfมีความต่อเนื่องสม่ำเสมอลำดับ { f _n } จึงลู่เข้าสู่f อย่างสม่ำเสมอ ส่งผลให้การ ขยาย อนุกรม Faber–Schauder ของfลู่เข้าในC ([0, 1]) และผลรวมของอนุกรมนี้เท่ากับ  f

ระบบแฟรงคลินได้มาจากระบบฟาเบอร์-ชอเดอร์โดยกระบวนการตั้งฉากปกติของแกรม-ชมิดท์ [ ^{14 ] [ 15 ] เนื่องจาก} ระบบแฟรงคลินมีช่วงเชิงเส้น เดียวกัน กับระบบฟาเบอร์-ชอเดอร์ ช่วงเชิงเส้นนี้จึงหนาแน่นในC ([0, 1]) ดังนั้นในL ² ([0, 1]) ระบบแฟรงคลินจึงเป็นฐานตั้งฉากปกติสำหรับL ² ([0, 1]) ซึ่งประกอบด้วยฟังก์ชันเชิงเส้นแบบต่อเนื่องเป็นช่วงๆ พี. แฟรงคลินพิสูจน์ในปี 1928 ว่าระบบนี้เป็นฐานชอเดอร์สำหรับC ([0, 1]) ^{[ 16 ]} ระบบแฟรงคลินยังเป็นฐานชอเดอร์แบบไม่มีเงื่อนไขสำหรับปริภูมิL ^p ([0, 1]) เมื่อ1 < p < ∞ [ ^{17 ] ระบบ} แฟรงคลินให้ฐานชอเดอร์ในพีชคณิตดิสก์A ( D ) ^{[ 17 ]} สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์ในปี พ.ศ. 2517 โดย Bočkarev หลังจากที่การมีอยู่ของฐานสำหรับพีชคณิตดิสก์ยังคงเปิดอยู่เป็นเวลากว่าสี่สิบปี^{[ 18 ]}

การสร้างฐาน Schauder ของ Bočkarev ในA ( D ) เป็นดังนี้: ให้  fเป็นฟังก์ชัน Lipschitz ที่มีค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อน บน [0, π]; แล้ว  fคือผลรวมของอนุกรมโคไซน์ที่มี สัมประสิทธิ์ที่สามารถหาผล รวมสัมบูรณ์ได้ให้  T ( f ) เป็นองค์ประกอบของA ( D ) ที่กำหนดโดยอนุกรมกำลัง เชิงซ้อน ที่มีสัมประสิทธิ์เดียวกัน

${\displaystyle \left\{f:x\in [0,\pi ]\rightarrow \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\cos(nx)\right\}\longrightarrow \left\{T(f):z\rightarrow \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},\quad |z|\leq 1\right\}.}$

ฐานของ Bočkarev สำหรับA ( D ) ถูกสร้างขึ้นโดยภาพภายใต้  Tของฟังก์ชันในระบบ Franklin บน [0, π] คำอธิบายที่เทียบเท่าของ Bočkarev สำหรับการแมป  Tเริ่มต้นด้วยการขยายfไปเป็นฟังก์ชัน Lipschitz  คู่g1 บน [−π, π _]ซึ่งระบุด้วยฟังก์ชัน Lipschitz บนวงกลมหน่วย Tต่อไป ให้g2เป็น ฟังก์ชัน _สังยุค_ของ g1  และกำหนดT ( f ) ให้เป็นฟังก์ชันใน  A ( D ) ซึ่ง _ค่าบนขอบเขตTของ  Dเท่ากับ  g1 ₊ ig2

เมื่อจัดการกับฟังก์ชันต่อเนื่องแบบ 1 คาบ หรือฟังก์ชันต่อเนื่องfบน [0, 1] โดยที่f (0) = f (1)จะต้องลบฟังก์ชันs ₁ ( t ) = t ออก จากระบบ Faber–Schauder เพื่อให้ได้ระบบFaber–Schauder แบบคาบระบบFranklin แบบคาบได้มาจากการทำให้เป็นออร์โทนอร์มอลจากระบบ Faber–Schauder แบบคาบ^{[ 19 ]} สามารถพิสูจน์ผลลัพธ์ของ Bočkarev บนA ( D ) ได้โดยการพิสูจน์ว่าระบบ Franklin แบบคาบบน [0, 2π] เป็นฐานสำหรับปริภูมิ Banach A _rที่สมมาตรกับA ( D ) ^{[ 19 ]} ปริภูมิA _rประกอบด้วยฟังก์ชันต่อเนื่องเชิงซ้อนบนวงกลมหน่วยT ซึ่ง ฟังก์ชันสังยุคของมันก็ต่อเนื่องเช่นกัน

เมทริกซ์ Haar ขนาด 2×2 ที่เกี่ยวข้องกับเวฟเล็ต Haar คือ

${\displaystyle H_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}.}$

การใช้การแปลงเวฟเล็ตแบบไม่ต่อเนื่องทำให้สามารถแปลงลำดับใดๆที่มีความยาวคู่ให้เป็นลำดับของเวกเตอร์สององค์ประกอบ ได้ หากคูณเวกเตอร์แต่ละตัวกับเมทริกซ์ทางด้านขวาจะได้ผลลัพธ์ของขั้นตอนหนึ่งของการแปลงเวฟเล็ตฮาร์แบบเร็ว โดยปกติจะแยกลำดับsและd ออก แล้วทำการแปลงลำดับ sต่อไป ลำดับs มักเรียกว่า ส่วนค่า เฉลี่ยในขณะที่dเรียกว่าส่วนรายละเอียด^{[ 20 ]}${\displaystyle (a_{0},a_{1},\dots ,a_{2n},a_{2n+1})}$${\displaystyle \left(\left(a_{0},a_{1}\right),\left(a_{2},a_{3}\right),\dots ,\left(a_{2n},a_{2n+1}\right)\right)}$${\displaystyle H_{2}}$${\displaystyle \left(\left(s_{0},d_{0}\right),\dots ,\left(s_{n},d_{n}\right)\right)}$

ถ้าเรามีลำดับที่มีความยาวเป็นพหุคูณของสี่ เราสามารถสร้างบล็อกที่มี 4 องค์ประกอบและแปลงบล็อกเหล่านั้นในลักษณะเดียวกันกับเมทริกซ์ Haar ขนาด 4×4 ได้

${\displaystyle H_{4}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&0&0\\0&0&1&-1\end{bmatrix}},}$

ซึ่งเป็นการรวมสองขั้นตอนของการแปลง Haar-wavelet แบบเร็วเข้าด้วยกัน

เปรียบเทียบกับเมทริกซ์วอลช์ซึ่งเป็นเมทริกซ์ 1/–1 ที่ไม่มีการกำหนดตำแหน่งเฉพาะที่

โดยทั่วไป เมทริกซ์ Haar ขนาด 2N×2N สามารถหาได้จากสมการต่อไปนี้

${\displaystyle H_{2N}={\begin{bmatrix}H_{N}\otimes [1,1]\\I_{N}\otimes [1,-1]\end{bmatrix}}}$

ผลคูณโครเนกเกอร์อยู่ที่ไหน${\displaystyle I_{N}={\begin{bmatrix}1&0&\dots &0\\0&1&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &1\end{bmatrix}}}$${\displaystyle \otimes }$

ผลคูณโครเนกเกอร์ของโดยที่เป็นเมทริกซ์ขนาด m×n และเป็นเมทริกซ์ขนาด ap×q สามารถแสดงได้ดังนี้ ${\displaystyle A\otimes B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle A\otimes B={\begin{bmatrix}a_{11}B&\dots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\dots &a_{mn}B\end{bmatrix}}.}$

เมทริกซ์ Haar 8 จุดที่ยังไม่ได้ปรับค่ามาตรฐานแสดงอยู่ด้านล่าง ${\displaystyle H_{8}}$

${\displaystyle H_{8}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&1&-1&-1&0&0&0&0&\\0&0&0&0&1&1&-1&-1\\1&-1&0&0&0&0&0&0&\\0&0&1&-1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&-1&0&0&\\0&0&0&0&0&0&1&-1\end{bmatrix}}.}$

โปรดทราบว่า เมทริกซ์ข้างต้นเป็นเมทริกซ์ Haar ที่ยังไม่ได้ทำให้เป็นเมทริกซ์มาตรฐาน เมทริกซ์ Haar ที่จำเป็นสำหรับการแปลง Haar นั้นจะต้องทำให้เป็นเมทริกซ์มาตรฐานก่อน

จากนิยามของเมทริกซ์ฮาร์จะเห็นได้ว่า ต่างจากการแปลงฟูริเยร์ เมทริกซ์ ฮา ร์มีเฉพาะองค์ประกอบที่เป็นจำนวนจริง (เช่น 1, -1 หรือ 0) และไม่มีสมมาตร ${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$

ยก ตัวอย่างเมทริกซ์ Haar 8 จุด แถวแรก วัดค่าเฉลี่ย และแถวที่สองวัดส่วนประกอบความถี่ต่ำของเวกเตอร์อินพุต สองแถวถัดไปมีความไวต่อครึ่งแรกและครึ่งหลังของเวกเตอร์อินพุตตามลำดับ ซึ่งสอดคล้องกับส่วนประกอบความถี่ปานกลาง สี่แถวที่เหลือมีความไวต่อสี่ส่วนของเวกเตอร์อินพุต ซึ่งสอดคล้องกับส่วนประกอบความถี่สูง^{[ 21 ]}${\displaystyle H_{8}}$${\displaystyle H_{8}}$${\displaystyle H_{8}}$

การแปลงฮาร์ เป็นการ แปลงเวฟเล็ตที่ง่ายที่สุดการแปลงนี้จะคูณฟังก์ชันกับเวฟเล็ตฮาร์โดยมีการเลื่อนและการยืดต่างๆ เหมือนกับการแปลงฟูริเยร์ที่คูณฟังก์ชันกับคลื่นไซน์ที่มีสองเฟสและการยืดหลายๆ แบบ^{[ 22 ]}

การแปลงฮาร์ (Haar transform) เป็นหนึ่งในฟังก์ชันการแปลงที่เก่าแก่ที่สุด ซึ่งเสนอโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฮังการี อัลเฟรด ฮาร์ (Alfréd Haar ) ในปี 1910 พบว่ามีประสิทธิภาพในการใช้งาน เช่น การบีบอัดสัญญาณและภาพในวิศวกรรมไฟฟ้าและคอมพิวเตอร์ เนื่องจากเป็นวิธีการที่เรียบง่ายและมีประสิทธิภาพในการคำนวณสำหรับการวิเคราะห์ลักษณะเฉพาะของสัญญาณในระดับท้องถิ่น

การแปลงฮาร์ (Haar transform) ได้มาจากเมทริกซ์ฮาร์ (Haar matrix) ตัวอย่างเมทริกซ์การแปลง ฮาร์ขนาด 4×4 แสดงไว้ด้านล่าง

${\displaystyle H_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0&0\\0&0&{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}}$

การแปลงฮาร์สามารถมองได้ว่าเป็นกระบวนการสุ่มตัวอย่าง โดยที่แถวของเมทริกซ์การแปลงทำหน้าที่เป็นตัวอย่างที่มีความละเอียดสูงขึ้นเรื่อยๆ

เปรียบเทียบกับการแปลงวอลช์ซึ่งก็คือ 1/–1 เช่นกัน แต่ไม่ใช่การแปลงแบบเฉพาะที่

การแปลงฮาร์มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้

1. ไม่จำเป็นต้องใช้การคูณ ใช้เพียงแค่การบวกเท่านั้น และเมทริกซ์ Haar มีองค์ประกอบที่มีค่าเป็นศูนย์อยู่หลายตัว ดังนั้นจึงใช้เวลาในการคำนวณสั้นกว่า เร็วกว่าการแปลง Walshซึ่งเมทริกซ์ประกอบด้วยค่า +1 และ −1
2. ความยาวของอินพุตและเอาต์พุตเท่ากัน อย่างไรก็ตาม ความยาวควรเป็นกำลังของ 2 กล่าวคือ.${\displaystyle N=2^{k},k\in \mathbb {N} }$
3. สามารถใช้ในการวิเคราะห์ลักษณะเฉพาะของสัญญาณในพื้นที่ได้ เนื่องจาก คุณสมบัติ เชิงตั้งฉากของฟังก์ชันฮาร์ ทำให้สามารถวิเคราะห์ส่วนประกอบความถี่ของสัญญาณอินพุตได้

การแปลงฮาร์y _nของฟังก์ชันx _n ที่มีอินพุต n ตัว คือ

${\displaystyle y_{n}=H_{n}x_{n}}$

เมทริกซ์การแปลงฮาร์เป็นเมทริกซ์จริงและตั้งฉาก ดังนั้น การแปลงฮาร์ผกผันสามารถหาได้จากสมการต่อไปนี้

${\displaystyle H=H^{*},H^{-1}=H^{T},{\text{ i.e. }}HH^{T}=I}$

โดยที่คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ตัวอย่างเช่น เมื่อ n = 4${\displaystyle I}$

${\displaystyle H_{4}^{T}H_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&{\sqrt {2}}&0\\1&1&-{\sqrt {2}}&0\\1&-1&0&{\sqrt {2}}\\1&-1&0&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}\cdot \;{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0&0\\0&0&{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

ดังนั้นการแปลงฮาร์แบบผกผันคือ

${\displaystyle x_{n}=H^{T}y_{n}}$

สัมประสิทธิ์การแปลงฮาร์ของสัญญาณ 4 จุดสามารถหาได้ดังนี้ ${\displaystyle x_{4}=[1,2,3,4]^{T}}$

${\displaystyle y_{4}=H_{4}x_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0&0\\0&0&{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\\-2\\-1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}}$

จากนั้นสัญญาณอินพุตสามารถสร้างขึ้นใหม่ได้อย่างสมบูรณ์แบบโดยใช้การแปลงฮาร์ผกผัน

${\displaystyle {\hat {x_{4}}}=H_{4}^{T}y_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&{\sqrt {2}}&0\\1&1&-{\sqrt {2}}&0\\1&-1&0&{\sqrt {2}}\\1&-1&0&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5\\-2\\-1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}}}$

• การลดมิติ
• เมทริกซ์วอลช์
• วอลช์แปลง
• เวฟเล็ต
• เสียงร้องแหลม
• สัญญาณ
• ลักษณะคล้ายฮาร์
• เวฟเล็ตสตรอมเบิร์ก
• การแปลงแบบทวิดิก

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อเกี่ยวกับฮาร์เวฟเล็ต

• "ระบบฮาร์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• การใช้งานตัวกรองเวฟเล็ต Haar ฟรี พร้อมการสาธิตแบบโต้ตอบ
• การลดสัญญาณรบกวนด้วย Haar wavelet และการบีบอัดสัญญาณแบบสูญเสียข้อมูลฟรี

• คิงส์เบอรี, นิค. "การเปลี่ยนแปลงของฮาร์" . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 19 เมษายน 2549
• เอ็ค, เดวิด (31 มกราคม 2549). "แอปเพล็ตสาธิต Haar Transform" .
• เอมส์, เกร็ก (7 ธันวาคม 2002). "การบีบอัดภาพ" (PDF) . เก็บถาวรจากต้นฉบับ(PDF)เมื่อวันที่ 25 มกราคม 2011.
• แอรอน, แอนน์; ฮิลล์, ไมเคิล; ศรีวัตสา, อานันท์. "MOSMAT 500. เครื่องกำเนิดภาพโมเสก. 2. ทฤษฎี" . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 18 มีนาคม 2551
• Wang, Ruye (4 ธันวาคม 2008). "Haar Transform" . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 21 สิงหาคม 2012.