ในทางคณิตศาสตร์วงกลมหน่วยคือวงกลม ที่ มีรัศมีหนึ่งหน่วยนั่นคือรัศมีเท่ากับ1 ^{[ 1 ]} บ่อยครั้ง โดยเฉพาะอย่างยิ่งในตรีโกณมิติวงกลมหน่วยคือวงกลมที่มีรัศมี 1 โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด (0, 0) ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนใน ระนาบ ยุคลิดในทางโทโพโลยีมักจะใช้สัญลักษณ์S ¹ เนื่องจากเป็น ทรงกลม หน่วย nมิติหนึ่งมิติ^{[ 2 ] [หมายเหตุ 1 ]}

ถ้า( x , y )เป็นจุดบนเส้นรอบวง ของวงกลมหน่วย แล้ว| x |และ| y |จะเป็นความยาวของด้านประกอบมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 1 ดังนั้น โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส x และy จะสอดคล้อง กับสมการ$x² + y² = 1.$

เนื่องจากx² ⁼ (− x ) ^²สำหรับทุกxและเนื่องจากการสะท้อนของจุดใดๆ บนวงกลมหน่วยเกี่ยวกับแกนxหรือ แกน yก็อยู่บนวงกลมหน่วยเช่นกัน สมการข้างต้นจึงเป็นจริงสำหรับทุกจุด( x , y )บนวงกลมหน่วย ไม่ใช่เฉพาะจุดที่อยู่ในควาดรันต์แรกเท่านั้น

บริเวณภายในของวงกลมหนึ่งหน่วยเรียกว่าวงกลมหนึ่งหน่วยแบบ เปิด ในขณะที่บริเวณภายในของวงกลมหนึ่งหน่วยที่รวมกับวงกลมหนึ่งหน่วยนั้นเองเรียกว่า วงกลมหนึ่งหน่วยแบบปิด

นอกจากนี้ เรายังสามารถใช้แนวคิดเรื่อง "ระยะทาง" ในรูปแบบอื่นเพื่อกำหนด "วงกลมหน่วย" อื่นๆ ได้ เช่นวงกลมรีมันน์โปรดดูบทความเกี่ยวกับบรรทัดฐานทางคณิตศาสตร์สำหรับตัวอย่างเพิ่มเติม

ในระนาบเชิงซ้อนจำนวนที่มีขนาดหนึ่งเรียกว่าจำนวนเชิงซ้อนหน่วยซึ่งเป็นเซตของจำนวนเชิงซ้อนzที่มีคุณสมบัติว่าเมื่อแยกออกเป็นส่วนจริงและส่วนจินตนาการเงื่อนไขนี้คือ${\displaystyle |z|=1.}$${\displaystyle z=x+iy,}$${\displaystyle |z|^{2}=z{\bar {z}}=x^{2}+y^{2}=1.}$

วงกลมหน่วยเชิงซ้อนสามารถกำหนดพารามิเตอร์ได้โดยใช้การวัดมุมจากแกนจริงบวกโดยใช้ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อน( ดูสูตรของออยเลอร์ ) ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle z=e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .}$

ภายใต้การดำเนินการคูณเชิงซ้อน จำนวนเชิงซ้อนหน่วยจะก่อตัวเป็นกลุ่มที่เรียกว่ากลุ่มวงกลมซึ่ง โดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์ในกลศาสตร์ควอนตัมจำนวนเชิงซ้อนหน่วยเรียกว่าตัวประกอบเฟส${\displaystyle \mathbb {T} .}$

ฟังก์ชันตรีโกณมิติโคไซน์และไซน์ของมุมθถูกกำหนดโดยใช้วงกลมหน่วย

ในการสร้างทางเรขาคณิตนี้ มุมθเกิดจากรังสีสองเส้น ได้แก่แขนเริ่มต้นซึ่งคงที่ตามแกนxบวก และแขนปลายซึ่งเป็นรังสีที่ทอดยาวจากจุดกำเนิดไปยังจุด( x , y )บนเส้นรอบวงของวงกลมหน่วย ค่าของθแสดงถึงการวัดการหมุนจากแขนเริ่มต้นไปยังแขนปลาย โดย การหมุน ทวนเข็มนาฬิกาถือเป็นค่าบวก และการหมุนตามเข็มนาฬิกาถือเป็นค่าลบ^{[ 3 ]}ดังนั้น ฟังก์ชันตรีโกณมิติจึงถูกกำหนดโดยพิกัดของจุดที่แขนปลายตัดกับวงกลม: $${\displaystyle \cos \theta =x\quad {\text{และ}}\quad \sin \theta =y.}$$

สมการx² + y² = 1 ^ให้ความสัมพันธ์ ^{ดังนี้}$${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1.}$$

วงกลมหน่วยยังแสดงให้เห็นว่าไซน์และโคไซน์เป็นฟังก์ชันคาบโดยมีเอกลักษณ์ สำหรับจำนวนเต็มk ใด ๆ $${\displaystyle \cos \theta =\cos(2\pi k+\theta )}$$$${\displaystyle \sin \theta =\sin(2\pi k+\theta )}$$

รูปสามเหลี่ยมที่สร้างบนวงกลมหน่วยยังสามารถใช้เพื่อแสดงความเป็นคาบของฟังก์ชันตรีโกณมิติได้อีกด้วย ขั้นแรก สร้างรัศมีOPจากจุดกำเนิดOไปยังจุดP( x ₁ , y ₁ )บนวงกลมหน่วย โดยให้มุมtมีค่าเท่ากับ0 < t < ⁠π/2มุมฉาก △OPQเกิดขึ้นจากด้านบวกของ แกน xพิจารณาจุด Q( x₁ _, 0)และส่วนของเส้น ตรง PQ ตั้งฉากกับ OQผลลัพธ์คือสามเหลี่ยมมุมฉาก △OPQโดยมี ∠QOP = tเนื่องจาก PQมีความยาว y₁ _, OQมีความยาว x₁และ OPมีความยาว 1 เป็นรัศมีบนวงกลมหน่วย ดังนั้นsin ( t ) = y₁และ cos( _t ) = x₁ เมื่อได้กำหนดความเท่าเทียมกัน เหล่านี้แล้ว ให้ใช้รัศมี OR อีกอันหนึ่งจากจุดกำเนิดไปยังจุด R(−x₁, y₁) _{บนวงกลม}โดยที่มุม t เดียวกันเกิดขึ้น_จากด้านลบของ แกน xพิจารณาจุด S(−x₁ , ₀ ) _และส่วนของเส้นตรง RS ตั้งฉากกับ OSผลลัพธ์คือสามเหลี่ยมมุมฉาก △ORSโดยมี ∠SOR = tดังนั้นจึงเห็นได้ว่า เนื่องจาก ∠ROQ = π − t , Rจึงอยู่ที่ (cos(π − t ), sin(π − t ))ในทำนองเดียวกับที่ P อยู่ที่ (cos( ​​t ), sin( t ))ข้อสรุปคือ เนื่องจาก (− x ₁ , y ₁ )เหมือนกับ (cos(π − t ), sin(π − t ))และ ( x ₁ , y ₁ )เหมือนกับ (cos( ​​t ),sin( t ))ดังนั้นจึงเป็นจริงว่า sin( t ) = sin(π − t )และ −cos( t ) = cos(π − t )อาจอนุมานได้ในทำนองเดียวกันว่า tan(π − t ) = −tan( t )เนื่องจาก tan( t ) = ⁠y ₁/x ₁และ tan(π − t ) = ⁠y ₁/− x ₁ตัวอย่างง่ายๆ ของสิ่งข้างต้นสามารถเห็นได้จากความเท่าเทียมกัน sin ( ⁠π/4) = sin( ⁠3π/4) = ⁠1/√ 2⁠ .

เมื่อทำงานกับรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ฟังก์ชันไซน์ โคไซน์ และฟังก์ชันตรีโกโนเมตริกอื่นๆ จะมีประโยชน์เฉพาะกับมุมที่มีขนาดมากกว่าศูนย์และน้อยกว่า⁠ เท่านั้นπ/2อย่างไรก็ตามเมื่อกำหนดฟังก์ชันเหล่านี้โดยใช้วงกลมหน่วย ฟังก์ชันเหล่านี้จะให้ค่าที่มีความหมายสำหรับมุมจริง ใดๆ แม้แต่มุมที่มากกว่า 2π ก็ตาม อันที่จริง ฟังก์ชันตรีโกณมิติมาตรฐานทั้งหกฟังก์ชัน ได้แก่ ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ ซีแคนต์ และโคซีแคนต์ รวมถึงฟังก์ชันโบราณอย่างเวอร์ไซน์และเอ็กซีแคนต์  สามารถกำหนดได้ในเชิงเรขาคณิตโดยใช้วงกลมหน่วย ดังแสดงในภาพด้านขวา

เมื่อใช้วงกลมหน่วย ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติใดๆ สำหรับมุมต่างๆ มากมายนอกเหนือจากมุมที่ระบุไว้ สามารถคำนวณได้ง่ายๆ ด้วยมือโดยใช้สูตรผลรวมและผลต่างของมุม

เซตจูเลียของระบบพลวัตแบบไม่เชิงเส้นแบบไม่ต่อเนื่องที่มีฟังก์ชันวิวัฒนาการคือ วงกลมหน่วย เนื่องจากเป็นกรณีที่ง่ายที่สุด จึงถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการศึกษาระบบพลวัต $${\displaystyle f_{0}(x)=x^{2}}$$

• การวัดมุม
• เอกลักษณ์ตรีโกณมิติของพีทาโกเรียน
• วงกลมรีมันน์
• เรเดียน
• ดิสก์ยูนิต
• ทรงกลมหน่วย
• ไฮเปอร์โบลาหน่วย
• สี่เหลี่ยมจัตุรัสหน่วย
• การเลี้ยว (มุม)
• การแปลง z
• แผนภูมิสมิธ