(ก)

(ข)

แผนภูมิสมิธเป็นภาพซ้อนทับแบบกราฟิกที่ช่วยให้สามารถพล็อตค่าสัมประสิทธิ์การสะท้อนที่ซับซ้อนบนเส้นตารางของค่าความต้านทาน ปกติ คงที่^{[ a ]}เนื่องจากค่าความต้านทานปกติก็เป็นปริมาณเชิงซ้อนเช่นกัน แผนภูมิสมิธจึงแสดงทั้งเส้นที่มีค่าคงที่และเส้นที่มีค่าคงที่[ ^{b ] แผนภูมิ}สมิธมีข้อจำกัดเฉพาะค่าความต้านทานปกติซึ่งเนื่องจากแผนภูมิสมิธส่วนใหญ่ใช้สำหรับวงจรแบบพาสซีฟ^{[ c ]} (a) ตัวอย่างแผนภูมิสมิธที่แสดงเส้นที่มีค่าคงที่ เป็นส่วนโค้งสีน้ำเงิน^{[ d ]}และเส้นที่มีค่าคงที่ แสดงเป็นวงกลมสีแดง(b) การแปลงแบบเคลื่อนไหวของเส้นที่มีค่าคงที่และเส้นที่มีค่าคงที่จากพื้นที่ (ที่เส้นปรากฏเป็นเส้นตรงแนวตั้งและแนวนอน) ไปยังพื้นที่ (ที่เส้นปรากฏเป็นวงกลม) การแปลงนี้เป็นการแมปแบบคอนฟอร์มัล เส้นสีชมพูใช้เพื่อแสดงและเส้นสีดำใช้เพื่อแสดง${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle z}$${\displaystyle \Re e[z]}$${\displaystyle \Im m[z]}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \Re e[z]\geq 0}$${\displaystyle \Im m[z]}$${\displaystyle \Re e[z]}$${\displaystyle \Re e[z]}$${\displaystyle \Im m[z]}$${\displaystyle z-}$${\displaystyle \Gamma -}$${\displaystyle \Re e[z]<0}$${\displaystyle \Re e[z]\geq 0}$

แผนภูมิSmith (บางครั้งเรียกว่าแผนภาพ Smith , แผนภูมิ Mizuhashi (水橋チャート), แผนภูมิ Mizuhashi–Smith (水橋スミスチャート), ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}แผนภูมิ Volpert–Smith ( Диаграмма Вольперта—Смита ) ^{[ 4 ] [ 5 ]}หรือแผนภูมิมิซูฮาชิ–โวลเพิร์ต–สมิธ ) เป็นเครื่องคิดเลขกราฟิกหรือโนโมแกรมที่ออกแบบมาสำหรับวิศวกรไฟฟ้าและอิเล็กทรอนิกส์ที่เชี่ยวชาญด้านวิศวกรรมความถี่วิทยุ (RF) เพื่อช่วยแก้ปัญหาเกี่ยวกับสายส่งและวงจรจับคู่^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}

แนวคิดนี้ได้ รับการเสนอ โดยอิสระ^{[ 11 ] [ 4 ] [ 12 ] [ 5 ]}โดยTōsaku Mizuhashi (水橋東作) ในปี 1937 ^{[ 13 ]}และโดยAmiel R. Volpert ( Амиэ́ль Р. Во́льперт ) ^{[ 14 ] [ 4 ]}และPhillip H. Smithในปี 1939 ^{[ 15 ] [ 16 ]}โดยเริ่มต้นจากแผนภาพสี่เหลี่ยมผืนผ้า Smith ได้พัฒนา แผนภูมิ พิกัดเชิงขั้วแบบ พิเศษ ในปี 1936 ซึ่งด้วยข้อมูลจากเพื่อนร่วมงานของเขาEnoch B. FerrellและJames W. McRaeผู้ซึ่งคุ้นเคยกับการแมปแบบคอนฟอร์ม อล ได้ถูกปรับปรุงแก้ไขเป็นรูปแบบสุดท้ายในช่วงต้นปี 1937 ซึ่งในที่สุดก็ได้รับการตีพิมพ์ในเดือนมกราคม 1939 ^{[ 15 ] [ 9 ] [ 17 ]}ในขณะที่ Smith เรียกมันว่า " การส่งสัญญาณ " ในตอนแรก แผนภูมิเส้น “ ^{[ 15 ] [ 16 ]}และผู้เขียนคนอื่นๆ ใช้ชื่อต่างๆ เช่น “ แผนภูมิการสะท้อน ” “ แผนภาพวงกลมของอิมพีแดนซ์ ” “ แผนภูมิอิมมิตแทนซ์ ” หรือ “ แผนภูมิระนาบ Z ” ^{[ 9 ]}ผู้ใช้งานกลุ่มแรกๆ ที่ห้องปฏิบัติการรังสีของMITเริ่มเรียกมันว่า “ แผนภูมิสมิธ ” ในช่วงทศวรรษ 1940 ^{[ 9 ] [ 17 ]}ซึ่งเป็นชื่อที่ได้รับการยอมรับโดยทั่วไปในโลกตะวันตกภายในปี 1950 ^{[ 18 ] [ 19 ]}

แผนภูมิสมิธสามารถใช้แสดงพารามิเตอร์หลายตัวพร้อมกันได้ รวมถึงอิมพีแดนซ์ แอดมิต แทนซ์ สัมประสิทธิ์การสะท้อน พารามิเตอร์การกระเจิงวงกลมตัวเลขสัญญาณรบกวนเส้นโค้งอัตราขยายคงที่ และบริเวณสำหรับเสถียรภาพแบบไม่มีเงื่อนไข [ ^{20 ] [ 21 ] : 93–103} แผนภูมิสมิธมักใช้ที่หรือภายใน บริเวณ รัศมีหนึ่งหน่วยอย่างไรก็ตาม ส่วนที่เหลือยังคงมีความเกี่ยวข้องทางคณิตศาสตร์ โดยใช้ใน การออกแบบ ออสซิลเลเตอร์และการวิเคราะห์เสถียรภาพ เป็นต้น ^{[ 21 ] : 98–101} แม้ว่าการใช้แผนภูมิสมิธบนกระดาษเพื่อแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนที่เกี่ยวข้องกับปัญหาการจับคู่จะถูกแทนที่ด้วยวิธีการที่ใช้ซอฟต์แวร์เป็นส่วนใหญ่ แต่แผนภูมิสมิธยังคงเป็นวิธีการที่มีประโยชน์มากในการแสดง^{[ 22 ]}ว่าพารามิเตอร์ RF มีพฤติกรรมอย่างไรที่ความถี่หนึ่งหรือมากกว่า ซึ่งเป็นทางเลือกแทนการใช้ ข้อมูล ในรูปแบบตารางดังนั้นซอฟต์แวร์วิเคราะห์วงจร RF ส่วนใหญ่จึงมีตัวเลือกแผนภูมิสมิธสำหรับการแสดงผลลัพธ์ และเครื่องมือวัดอิมพีแดนซ์ทั้งหมด ยกเว้นเครื่องมือที่ง่ายที่สุด สามารถพล็อตผลการวัดบนหน้าจอแผนภูมิสมิธได้^{[ 23 ]}${\displaystyle S_{nn}\,}$

แผนภูมิสมิธ (Smith chart) เป็นการแปลงทางคณิตศาสตร์ของระนาบเชิงซ้อนคาร์ทีเซียนสองมิติจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็นบวกจะอยู่ภายในวงกลม ส่วนจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเป็นลบจะอยู่ภายในวงกลม หากเราพิจารณาเฉพาะค่าอิมพีแดนซ์ที่มีส่วนประกอบความต้านทานที่ไม่เป็นลบ ความสนใจของเราจะมุ่งเน้นไปที่พื้นที่ภายในวงกลม การแปลงสำหรับแผนภูมิสมิธของอิมพีแดนซ์มีดังนี้:

$${\displaystyle \Gamma ={\frac {Z-Z_{0}}{Z+Z_{0}}}={\frac {z-1}{z+1}},}$$

โดยที่z = ⁠ซ/Z ₀กล่าวคือ อิมพีแดนซ์เชิงซ้อน Zที่ถูกทำให้เป็นมาตรฐานโดยอิมพีแดนซ์อ้างอิง Z ₀แผนภูมิสมิธของอิมพีแดนซ์จึงเป็นแผนภูมิ อาร์แกนด์ของ อิมพีแดนซ์ที่แปลงแล้ว อิมพีแดนซ์ที่มีส่วนประกอบความต้านทานที่ไม่เป็นลบจะปรากฏอยู่ภายในวงกลมที่มีรัศมีหนึ่งหน่วย โดยจุดกำเนิดจะสอดคล้องกับอิมพีแดนซ์อ้างอิง Z ₀

แผนภูมิสมิธถูกพล็อตบน ระนาบสัมประสิทธิ์ การสะท้อนที่ซับซ้อน ในสองมิติและสามารถปรับขนาดได้ในอิมพีแดนซ์ ปกติ (ที่พบมากที่สุด) แอดมิตแตนซ์ ปกติ หรือทั้งสองอย่าง โดยใช้สีที่แตกต่างกันเพื่อแยกความแตกต่างระหว่างกัน แผนภูมิเหล่านี้มักเรียกว่าแผนภูมิสมิธ Z, Y และ YZ ตามลำดับ^{[ 21 ] : 97} การปรับขนาดปกติช่วยให้สามารถใช้แผนภูมิสมิธสำหรับปัญหาที่เกี่ยวข้องกับอิมพี แดนซ์ ลักษณะเฉพาะหรืออิมพีแดนซ์ระบบใดๆ ซึ่งแสดงโดยจุดศูนย์กลางของแผนภูมิ อิมพีแดนซ์ปกติที่ใช้กันทั่วไปคือ 50  โอห์มเมื่อได้คำตอบผ่านการสร้างกราฟิกที่อธิบายไว้ด้านล่างแล้ว การแปลงระหว่างอิมพีแดนซ์ปกติ (หรือแอดมิตแตนซ์ปกติ) และค่าที่ไม่ปกติที่สอดคล้องกันนั้นทำได้ง่ายโดยการคูณด้วยอิมพีแดนซ์ลักษณะเฉพาะ (แอดมิตแตนซ์) สัมประสิทธิ์การสะท้อนสามารถอ่านได้โดยตรงจากแผนภูมิเนื่องจากเป็นพารามิเตอร์ที่ไม่มีหน่วย

แผนภูมิสมิธมีมาตราส่วนรอบเส้นรอบวงหรือขอบ ซึ่งแบ่งเป็นหน่วยความยาวคลื่นและองศามาตราส่วนความยาวคลื่นใช้ใน ปัญหา องค์ประกอบแบบกระจายและแสดงถึงระยะทางที่วัดตามสายส่งที่เชื่อมต่อระหว่างเครื่องกำเนิดไฟฟ้า หรือแหล่งกำเนิดกับโหลดไปยังจุดที่กำลังพิจารณา มาตราส่วนองศาแสดงถึงมุมของสัมประสิทธิ์การสะท้อนแรงดันไฟฟ้า ณ จุดนั้น แผนภูมิสมิธยังสามารถใช้สำหรับ ปัญหาการจับคู่และการวิเคราะห์ องค์ประกอบแบบรวมศูนย์ได้อีกด้วย

การใช้แผนภูมิสมิธและการตีความผลลัพธ์ที่ได้จากการใช้แผนภูมิดังกล่าว จำเป็นต้องมีความเข้าใจที่ดีในทฤษฎีวงจรไฟฟ้ากระแสสลับและทฤษฎีสายส่ง ซึ่งทั้งสองอย่างนี้เป็นสิ่งจำเป็นสำหรับวิศวกรคลื่นความถี่วิทยุ

เนื่องจากค่าอิมพีแดนซ์และแอดมิตแตนซ์เปลี่ยนแปลงไปตามความถี่ ปัญหาที่แก้ไขโดยใช้แผนภูมิสมิธจึงทำได้เพียงแก้ไขด้วยตนเองโดยใช้ความถี่ทีละความถี่เท่านั้น ผลลัพธ์ที่ได้จะแสดงด้วยจุดซึ่งมักจะเพียงพอสำหรับ การใช้งาน ในย่านความถี่แคบ (โดยทั่วไปประมาณ 5% ถึง 10% ของแบนด์วิดท์ ) แต่สำหรับย่านความถี่ที่กว้างกว่านั้น มักจำเป็นต้องใช้เทคนิคแผนภูมิสมิธที่ความถี่มากกว่าหนึ่งความถี่ตลอดช่วงความถี่ใช้งาน หากความถี่เหล่านั้นอยู่ใกล้กันมากพอ จุดในแผนภูมิสมิธที่ได้สามารถเชื่อมต่อกันด้วยเส้นตรงเพื่อสร้างเป็นเส้นโค้งได้

ตำแหน่งของจุดบนแผนภูมิสมิธที่ครอบคลุมช่วงความถี่ต่างๆ สามารถนำมาใช้แสดงภาพได้ดังนี้:

• ความจุหรือความเหนี่ยวนำของโหลดนั้นมากน้อยเพียงใด ในช่วงความถี่ต่างๆ
• ความยากในการจับคู่ที่ความถี่ต่างๆ นั้นมีแนวโน้มจะเป็นอย่างไร
• ว่าส่วนประกอบนั้นๆ เข้ากันได้ดีแค่ไหน

ความแม่นยำของแผนภูมิสมิธจะลดลงสำหรับปัญหาที่เกี่ยวข้องกับค่าความต้านทานหรือค่าการนำไฟฟ้าจำนวนมาก แม้ว่าจะสามารถขยายมาตราส่วนสำหรับแต่ละพื้นที่เพื่อรองรับค่าเหล่านั้นได้ก็ตาม

สายส่งที่มีอิมพีแดนซ์ลักษณะเฉพาะอาจถือได้ว่ามีแอดมิตแตนซ์ลักษณะ เฉพาะเท่ากับ โดยที่ ${\displaystyle Z_{0}\,}$${\displaystyle Y_{0}\,}$

${\displaystyle Y_{0}={\frac {1}{Z_{0}}}\,}$

ค่าอิมพีแดนซ์ใดๆที่แสดงในหน่วยโอห์ม สามารถทำให้เป็นค่ามาตรฐานได้โดยการหารด้วยค่าอิมพีแดนซ์เฉพาะ ดังนั้นค่าอิมพีแดนซ์มาตรฐานโดยใช้ตัวพิมพ์เล็กz _Tจะคำนวณได้ดังนี้ ${\displaystyle Z_{\ข้อความ{T}}\,}$

${\displaystyle z_{\text{T}}={\frac {Z_{\text{T}}}{Z_{0}}}\,}$

ในทำนองเดียวกัน สำหรับค่าการยอมรับที่เป็นมาตรฐาน

${\displaystyle y_{\text{T}}={\frac {Y_{\text{T}}}{Y_{0}}}\,}$

หน่วยSIของอิมพีแดนซ์คือโอห์มโดยใช้สัญลักษณ์เป็นอักษรกรีก ตัวใหญ่ โอเมกา (Ω) และหน่วย SIของแอดมิตแทน ซ์ คือซีเมนส์โดยใช้สัญลักษณ์เป็นอักษรตัวใหญ่ S อิมพีแดนซ์และแอดมิตแทนซ์ที่ปรับให้เป็นมาตรฐานแล้วจะไม่มีหน่วย อิมพีแดนซ์และแอดมิตแทนซ์จริงจะต้องปรับให้เป็นมาตรฐานก่อนนำไปใช้ในแผนภูมิสมิธ เมื่อได้ผลลัพธ์แล้ว สามารถทำการแปลงกลับจากมาตรฐานเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่แท้จริงได้

โดยใช้ทฤษฎีสายส่ง หากสายส่งถูกต่อเข้ากับอิมพีแดนซ์ ( ) ที่แตกต่างจากอิมพีแดนซ์ลักษณะเฉพาะ ( ) จะเกิด คลื่นนิ่งขึ้นบนสายส่ง ซึ่งประกอบด้วยผลลัพธ์ของทั้งคลื่นตกกระทบหรือคลื่นไปข้างหน้า ( ) และ คลื่น สะท้อนหรือคลื่นย้อนกลับ ( ) โดยใช้ สัญกรณ์ เลขชี้กำลังเชิงซ้อน : ${\displaystyle Z_{\ข้อความ{T}}\,}$${\displaystyle Z_{0}\,}$${\displaystyle V_{\text{F}}\,}$${\displaystyle V_{\text{R}}\,}$

${\displaystyle V_{\text{F}}=A\exp(j\omega t)\exp(+\gamma \ell )~\,}$และ

${\displaystyle V_{\text{R}}=B\exp(j\omega t)\exp(-\gamma \ell )\,}$

ที่ไหน

${\displaystyle \exp(j\omega t)\,}$คือ ส่วน เวลาของคลื่น

${\displaystyle \exp(\pm \gamma \ell )\,}$คือส่วนเชิงพื้นที่ของคลื่นและ

${\displaystyle \omega =2\pi f\,}$ที่ไหน

${\displaystyle \omega \,}$คือความถี่เชิงมุมในหน่วยเรเดียนต่อวินาที (rad/s)

${\displaystyle f\,}$คือความถี่ในหน่วยเฮิรตซ์ (Hz)

${\displaystyle t\,}$คือเวลาในหน่วยวินาที (s)

${\displaystyle A\,}$และเป็นค่าคงที่${\displaystyle B\,}$

${\displaystyle \ell \,}$คือระยะทางที่วัดตามแนวสายส่งจากโหลดไปยังเครื่องกำเนิดไฟฟ้าในหน่วยเมตร (ม.)

อีกด้วย

${\displaystyle \gamma =\alpha +j\beta \,}$คือค่าคงที่การแพร่กระจายซึ่งมีหน่วย SI เป็นเรเดียน / เมตร

ที่ไหน

${\displaystyle \alpha \,}$คือค่าคงที่การลดทอนในหน่วยเนเปอร์ต่อเมตร (Np/m)

${\displaystyle \beta \,}$คือค่าคงที่ของเฟสในหน่วยเรเดียนต่อเมตร (rad/m)

แผนภูมิสมิธใช้กับความถี่ ( ) เพียงความถี่เดียวในแต่ละครั้ง และใช้กับช่วงเวลา ( ) เพียงช่วงเวลาเดียวในแต่ละครั้ง ดังนั้นส่วนของเฟส ( ) ในเชิงเวลาจึงคงที่ จริงๆ แล้วทุกเทอมจะถูกคูณด้วยค่านี้เพื่อให้ได้เฟสทันทีแต่โดยทั่วไปและเข้าใจกันว่าไม่จำเป็นต้องใส่ค่านี้ ดังนั้น ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle t}$${\displaystyle \exp(j\omega t)\,}$

${\displaystyle V_{\text{F}}=A\exp(+\gamma \ell )\,}$และ

${\displaystyle V_{\text{R}}=B\exp(-\gamma \ell )\,}$

โดยที่และคือแอมพลิจูดของแรงดันไฟฟ้าไปข้างหน้าและย้อนกลับที่โหลด ตามลำดับ ${\displaystyle A\,}$${\displaystyle B\,}$

สัมประสิทธิ์การสะท้อนแรงดันไฟฟ้าเชิงซ้อนถูกกำหนดให้เป็นอัตราส่วนของคลื่นสะท้อนต่อคลื่นตกกระทบ (หรือคลื่นส่งไปข้างหน้า) ดังนั้น ${\displaystyle \Gamma \,}$

${\displaystyle \Gamma ={\frac {V_{\text{R}}}{V_{\text{F}}}}={\frac {B\exp(-\gamma \ell )}{A\exp(+\gamma \ell )}}=C\exp(-2\gamma \ell )\,}$

โดยที่Cก็เป็นค่าคงที่เช่นกัน

สำหรับสายส่งสม่ำเสมอ (ซึ่งมีค่าคงที่) สัมประสิทธิ์การสะท้อนเชิงซ้อนของคลื่นนิ่งจะแปรผันตามตำแหน่งบนสายส่ง หากสายส่งมีการสูญเสีย ( มีค่าไม่เป็นศูนย์) จะแสดงบนแผนภูมิสมิธด้วย เส้นทาง เกลียวอย่างไรก็ตาม ในปัญหาแผนภูมิสมิธส่วนใหญ่ สามารถถือว่าการสูญเสียมีค่าน้อยมาก ( ) และงานในการแก้ปัญหาจะง่ายขึ้นมาก ดังนั้นสำหรับกรณีที่ไม่มีการสูญเสีย นิพจน์สำหรับสัมประสิทธิ์การสะท้อนเชิงซ้อนจึงกลายเป็น ${\displaystyle \gamma \,}$${\displaystyle \alpha \,}$${\displaystyle \alpha \approx 0\,}$

${\displaystyle \Gamma =\Gamma _{\text{L}}\exp(-2j\beta \ell )\,}$

โดยที่คือค่าสัมประสิทธิ์การสะท้อนที่โหลด และคือความยาวสายจากโหลดไปยังตำแหน่งที่วัดค่าสัมประสิทธิ์การสะท้อน ค่าคงที่เฟสอาจเขียนได้อีกแบบว่า ${\displaystyle \Gamma _{\text{L}}\,}$${\displaystyle \ell \,}$${\displaystyle \beta \,}$

${\displaystyle \beta ={\frac {2\pi }{\แลมบ์ดา }}\,}$

ความยาวคลื่นภายในสายส่งที่ความถี่ทดสอบ อยู่ ที่ใด${\displaystyle \lambda \,}$

ดังนั้น,

${\displaystyle \Gamma =\Gamma _{\text{L}}\exp \left({\frac {-4j\pi }{\lambda }}\ell \right)\,}$

สมการนี้แสดงให้เห็นว่า สำหรับคลื่นนิ่ง ค่าสัมประสิทธิ์การสะท้อนเชิงซ้อนและอิมพีแดนซ์จะซ้ำกันทุกครึ่งความยาวคลื่นตามแนวสายส่ง โดยทั่วไปแล้ว ค่าสัมประสิทธิ์การสะท้อนเชิงซ้อนจะเรียกง่ายๆ ว่า ค่าสัมประสิทธิ์การสะท้อน มาตราส่วนเส้นรอบวงด้านนอกของแผนภูมิสมิธแสดงถึงระยะทางจากเครื่องกำเนิดไฟฟ้าไปยังโหลดโดยปรับขนาดเป็นความยาวคลื่น ดังนั้นจึงปรับขนาดจากศูนย์ถึง 0.50

ถ้าและคือแรงดันตกคร่อม และกระแสไฟฟ้าที่ไหลเข้าสู่ตัวต้านทานปลายสายส่ง ตามลำดับ แล้ว ${\displaystyle \,V\,}$${\displaystyle \,I\,}$

${\displaystyle V_{\mathsf {F}}+V_{\mathsf {R}}=V\,}$

และ

${\displaystyle V_{\mathsf {F}}-V_{\mathsf {R}}=Z_{0}\,I\,}$.

โดยการหารสมการเหล่านี้และแทนค่าสัมประสิทธิ์การสะท้อนแรงดันไฟฟ้าทั้งสองค่าลงไป

${\displaystyle \Gamma ={\frac {V_{\mathsf {R}}}{\,V_{\mathsf {F}}\,}}\,}$

และค่าอิมพีแดนซ์มาตรฐานของจุดสิ้นสุดซึ่งแสดงด้วยตัวอักษรz ตัวเล็ก และตัวห้อย T

${\displaystyle z_{\mathsf {T}}={\frac {V}{\,Z_{0}\,I\,}}\,}$

ให้ผลลัพธ์ดังนี้:

${\displaystyle z_{\mathsf {T}}={\frac {1+\Gamma }{\,1-\Gamma \,}}\,.}$

หรืออีกทางหนึ่ง ในแง่ของสัมประสิทธิ์การสะท้อน

${\displaystyle \Gamma ={\frac {z_{\mathsf {T}}-1}{\,z_{\mathsf {T}}+1\,}}\,}$

นี่คือสมการที่ใช้ในการสร้าง แผนภูมิ Z Smith ในทางคณิตศาสตร์แล้ว สมการเหล่า นี้มีความสัมพันธ์กันผ่านการแปลงโมเบียส ${\displaystyle \,\Gamma \,}$${\displaystyle \,z_{\mathsf {T}}\,}$

ทั้งสองค่าแสดงอยู่ในรูปจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่มีหน่วย ทั้งสองค่าเปลี่ยนแปลงไปตามความถี่ ดังนั้นสำหรับการวัดแต่ละครั้ง จะต้องระบุความถี่ที่ทำการวัดพร้อมกับค่าอิมพีแดนซ์เฉพาะด้วย ${\displaystyle \,\Gamma \,}$${\displaystyle \,z_{\mathsf {T}}\,}$

${\displaystyle \,\Gamma \,}$ค่าสัมประสิทธิ์การสะท้อน อาจแสดงได้ทั้งในรูปของขนาดและมุมบนแผนภาพเชิงขั้ว ค่า สัมประสิทธิ์ การสะท้อนที่แท้จริงจะต้องมีขนาดน้อยกว่าหรือเท่ากับหนึ่งดังนั้นที่ความถี่ทดสอบ ค่านี้อาจแสดงได้ด้วยจุดภายในวงกลมที่มีรัศมีหนึ่งหน่วย แผนภูมิสมิธนั้นสร้างขึ้นบนแผนภาพเชิงขั้วดังกล่าว การปรับขนาดของแผนภูมิสมิธได้รับการออกแบบมาเพื่อให้สามารถแปลงค่าสัมประสิทธิ์การสะท้อนเป็นค่าอิมพีแดนซ์มาตรฐานหรือในทางกลับกันได้ การใช้แผนภูมิสมิธทำให้สามารถหาค่าอิมพีแดนซ์มาตรฐานได้ด้วยความแม่นยำที่น่าพอใจ โดยการพล็อตจุดที่แสดงถึงค่าสัมประสิทธิ์การสะท้อนโดยถือว่าแผนภูมิสมิธเป็นแผนภาพเชิงขั้วแล้วอ่านค่าโดยตรงโดยใช้การปรับขนาดของแผนภูมิสมิธที่เป็นลักษณะเฉพาะ เทคนิคนี้เป็นทางเลือกเชิงกราฟิกแทนการแทนค่าลงในสมการ

โดยการแทนที่นิพจน์สำหรับการเปลี่ยนแปลงของสัมประสิทธิ์การสะท้อนตามแนวสายส่งที่ไม่ตรงกันและไม่มีการสูญเสีย

${\displaystyle \Gamma ={\frac {B\exp(-\gamma \ell )}{A\exp(\gamma \ell )}}={\frac {B\exp(-j\beta \ell )}{A\exp(j\beta \ell )}}\,}$

สำหรับกรณีที่ไม่มีการสูญเสีย ให้แทนค่าลงในสมการสำหรับอิมพีแดนซ์ปกติในรูปของสัมประสิทธิ์การสะท้อน

${\displaystyle z_{\mathsf {T}}={\frac {1+\Gamma }{\,1-\Gamma \,}}\,.}$

และใช้สูตรของออยเลอร์

${\displaystyle \exp(j\theta )={\text{cis}}\,\theta =\cos \theta +j\,\sin \theta \,}$

ส่งผลให้สมการสายส่งเวอร์ชันอิมพีแดนซ์สำหรับกรณีที่ไม่มีการสูญเสีย: ^{[ 24 ]}

${\displaystyle Z_{\mathsf {in}}=Z_{0}{\frac {\,Z_{\mathsf {L}}+j\,Z_{0}\tan(\beta \ell )\,}{\,Z_{0}+j\,Z_{\mathsf {L}}\tan(\beta \ell )\,}}\,}$

อิมพีแดนซ์ที่ 'มองเห็น' ที่อินพุตของสายส่งที่ไม่มีการสูญเสียซึ่งมีความยาวและต่อกับอิมพีแดนซ์นั้นอยู่ที่ใด ${\displaystyle \,Z_{\mathsf {in}}\,}$${\displaystyle \,\ell \,,}$${\displaystyle \,Z_{\mathsf {L}}\,}$

สามารถอนุมานสมการสายส่งในรูปแบบเดียวกันได้ทั้งสำหรับกรณีที่ไม่มีการสูญเสียแอดมิตแทนซ์ และสำหรับกรณีที่มีการสูญเสียอิมพีแดนซ์และแอดมิตแทนซ์

วิธีการแสดงค่า อิมพีแดนซ์โดยใช้แผนภูมิสมิธ (Smith chart) ที่เทียบเท่ากับการใช้สมการสายส่ง คือ การปรับค่าให้เป็นมาตรฐาน แล้ว พล็อตจุดที่ได้ลงบน แผนภูมิสมิธแบบ Zจากนั้นลากวงกลมผ่านจุดนั้นโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่กึ่งกลางของแผนภูมิสมิธ เส้นทางตามส่วนโค้งของวงกลมแสดงถึงการเปลี่ยนแปลงของอิมพีแดนซ์ขณะเคลื่อนที่ไปตามสายส่ง ในกรณีนี้ต้องใช้การปรับขนาดตามแนวเส้นรอบวง (ความยาวคลื่น) โดยต้องจำไว้ว่านี่คือความยาวคลื่นภายในสายส่งและอาจแตกต่างจากความยาวคลื่นในพื้นที่ว่าง ${\displaystyle \,Z_{\mathsf {L}}\,,}$

หากแผนภาพเชิงขั้วถูกแปลงไปเป็นระบบพิกัดคาร์ทีเซียนตามธรรมเนียมแล้วจะวัดมุมโดยเทียบกับแกนxบวก โดยใช้ ทิศทาง ทวนเข็มนาฬิกาสำหรับมุมบวก ขนาดของจำนวนเชิงซ้อนคือความยาวของเส้นตรงที่ลากจากจุดกำเนิดไปยังจุดที่แทนจำนวนนั้น แผนภูมิสมิธใช้ธรรมเนียมเดียวกัน โดยสังเกตว่าในระนาบอิมพีแดนซ์แบบนอร์มาไลซ์ แกนxบวกจะลากจากจุดศูนย์กลางของแผนภูมิสมิธที่ ไปยังจุดบริเวณเหนือแกน x แสดงถึงอิมพีแดนซ์แบบเหนี่ยวนำ (ส่วนจินตนาการเป็นบวก) และบริเวณใต้แกนxแสดงถึงอิมพีแดนซ์แบบคาปาซิทีฟ (ส่วนจินตนาการเป็นลบ) ${\displaystyle \,z_{\mathsf {T}}=1\pm j0\,}$${\displaystyle \,z_{\mathsf {T}}=\infty \pm j\infty \,.}$

หากการต่อปลายสายเป็นการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบ สัมประสิทธิ์การสะท้อนจะมีค่าเป็นศูนย์ ซึ่งแสดงได้ด้วยวงกลมที่มีรัศมีเป็นศูนย์ หรือในความเป็นจริงคือจุดที่อยู่ตรงกลางของแผนภูมิสมิธ หากการต่อปลายสายเป็นวงจรเปิดหรือวงจรลัด ที่สมบูรณ์ แบบ ขนาดของสัมประสิทธิ์การสะท้อนจะมีค่าเป็นหนึ่ง พลังงานทั้งหมดจะถูกสะท้อนกลับ และจุดนั้นจะอยู่บนจุดใดจุดหนึ่งบนวงกลมที่มีเส้นรอบวงเท่ากับหนึ่ง

แผนภูมิสมิธประกอบด้วยวงกลมสองกลุ่ม ได้แก่ วงกลมที่มีความต้านทานมาตรฐานคงที่ (เส้นคงที่ของ) และวงกลมที่มีความต้านทานเชิงเหนี่ยวนำมาตรฐานคงที่ (เส้นคงที่ของ) ในระนาบสัมประสิทธิ์การสะท้อนเชิงซ้อน แผนภูมิสมิธจะครอบคลุมวงกลมรัศมีหนึ่งหน่วยที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด ดังนั้นในพิกัดคาร์ทีเซียน วงกลมนี้จะผ่านจุด (+1,0) และ (−1,0) บน แกน xและจุด (0,+1) และ (0,−1) บนแกน y${\displaystyle \Re e[z]}$${\displaystyle \Im m[z]}$

เมื่อแทนค่า(โดยที่คือจำนวนเชิงซ้อน ) ลงในสมการจะได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้ (หลังจากกำจัดจำนวนเชิงซ้อนออกจากตัวส่วนโดยการคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยจำนวนเชิงซ้อนสังยุคของตัวส่วน): ${\displaystyle z=\Re e[z]+j\Im m[z]}$${\displaystyle j}$${\displaystyle ={\sqrt {-1}}}$${\displaystyle \Gamma ={\frac {z-1}{\,z+1\,}}}$${\displaystyle j}$

${\displaystyle \Gamma =\left[{\frac {\Re e[z]^{2}+\Im m[z]^{2}-1}{\,(\Re e[z]+1)^{2}+\Im m[z]^{2}\,}}\right]+j\left[{\frac {2\,\Im m[z]}{\,(\Re e[z]+1)^{2}+\Im m[z]^{2}\,}}\right].}$

สมการนี้สร้างวงกลมเมื่อพล็อตเส้นของค่าคงที่หรือค่าคงที่สำหรับส่วนประกอบพาสซีฟ เส้นของแผนภูมิสมิธจะถูกพล็อตเฉพาะสำหรับค่าของ^{[ 25 ]}${\displaystyle \Re e[z]}$${\displaystyle \Im m[z]}$${\displaystyle \Re e[z]>0}$

จุดที่มีค่าสัมประสิทธิ์การสะท้อนขนาด 0.63 และมุม 60° ซึ่งแสดงในรูปพิกัดเชิงขั้วเป็นจะแสดงเป็นจุด P ₁บนแผนภูมิสมิธ ในการพล็อตจุดนี้ เราสามารถใช้มาตราส่วนมุมเส้นรอบวง (ค่าสัมประสิทธิ์การสะท้อน) เพื่อหาขีดบอกค่า และใช้ไม้บรรทัดลากเส้นผ่านจุดนั้นและจุดศูนย์กลางของแผนภูมิสมิธ จากนั้นจึงกำหนดความยาวของเส้นให้เท่ากับ P ₁โดยสมมติว่ารัศมีของแผนภูมิสมิธเท่ากับ 1 ตัวอย่างเช่น หากรัศมีที่วัดได้จริงจากกระดาษคือ 100 มม. ความยาว OP ₁จะเท่ากับ 63 มม. ${\displaystyle 0.63\angle 60^{\circ }\,}$${\displaystyle \angle 60^{\circ }\,}$

ตารางต่อไปนี้แสดงตัวอย่างจุดที่คล้ายคลึงกันซึ่งแสดงบน แผนภูมิ Z Smith สำหรับแต่ละจุด ค่าสัมประสิทธิ์การสะท้อนจะแสดงในรูปแบบเชิงขั้ว พร้อมด้วยค่าอิมพีแดนซ์ปกติที่สอดคล้องกันในรูปแบบสี่เหลี่ยม การแปลงค่าสามารถอ่านได้โดยตรงจากแผนภูมิ Smith หรือโดยการแทนค่าลงในสมการ

ตัวอย่างบางส่วนของจุดที่แสดงบนแผนภูมิสมิธของอิมพีแดนซ์มาตรฐาน

เอกลักษณ์ของจุด	ค่าสัมประสิทธิ์การสะท้อน (รูปแบบเชิงขั้ว)	ค่าความต้านทานมาตรฐาน (รูปแบบสี่เหลี่ยมผืนผ้า)
P 1 (อุปนัย)	${\displaystyle 0.63\angle 60^{\circ }\,}$	${\displaystyle 0.80+j1.40\,}$
P 2 (อุปนัย)	${\displaystyle 0.73\angle 125^{\circ }\,}$	${\displaystyle 0.20+j0.50\,}$
P 3 (แบบคาปาซิทีฟ)	${\displaystyle 0.44\angle -116^{\circ }\,}$	${\displaystyle 0.50-j0.50\,}$

ในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับวงจร RF และการจับคู่ บางครั้งการใช้ค่าแอดมิตแทนซ์ (ซึ่งแทน ค่าคอน ดักแทนซ์และซัสเซปแทนซ์ ) จะสะดวกกว่า และบางครั้งการใช้ค่าอิมพีแดนซ์ (ซึ่งแทนค่าความต้านทานและรีแอกแทนซ์ ) จะสะดวกกว่า การแก้ปัญหาการจับคู่ทั่วไปมักจะต้องมีการเปลี่ยนค่าระหว่างแผนภูมิสมิธทั้งสองประเภทหลายครั้ง โดยใช้อิมพีแดนซ์แบบนอร์มาไลซ์สำหรับ องค์ประกอบ แบบอนุกรม และแอด มิตแทนซ์แบบนอร์มาไลซ์สำหรับ องค์ประกอบ แบบขนานสำหรับกรณีเหล่านี้ อาจใช้แผนภูมิสมิธแบบคู่ (นอร์มาไลซ์) ทั้งอิมพีแดนซ์และแอดมิตแทนซ์ หรืออาจใช้แผนภูมิประเภทใดประเภทหนึ่งแล้วแปลงมาตราส่วนเป็นอีกประเภทหนึ่งเมื่อจำเป็น ในการเปลี่ยนจากอิมพีแดนซ์แบบนอร์มาไลซ์เป็นแอดมิตแทนซ์แบบนอร์มาไลซ์ หรือในทางกลับกัน จุดที่แสดงค่าสัมประสิทธิ์การสะท้อนที่กำลังพิจารณาจะถูกเลื่อนไป 180 องศาในรัศมีเดียวกัน ตัวอย่างเช่น จุด P1 ในตัวอย่างที่แสดงค่าสัมประสิทธิ์การสะท้อนมีค่าอิมพีแดนซ์แบบนอร์มาไลซ์เท่ากับ เพื่อเปลี่ยนค่านี้ให้เป็นจุดค่าการนำไฟฟ้าแบบนอร์มาไลซ์ที่เทียบเท่ากัน เช่น Q1 เราจะลากเส้นด้วยไม้บรรทัดจาก P1 ผ่านจุดศูนย์กลางของแผนภูมิสมิธไปยัง Q1 ซึ่งมีรัศมีเท่ากันในทิศทางตรงกันข้าม นี่เทียบเท่ากับการเคลื่อนจุดไปตามเส้นทางวงกลม 180 องศาพอดี เมื่ออ่านค่าจากแผนภูมิสมิธสำหรับ Q1 โดยจำไว้ว่ามาตราส่วนตอนนี้อยู่ในหน่วยค่าการนำไฟฟ้าแบบนอร์มาไลซ์แล้ว จะได้ เมื่อทำการคำนวณ ${\displaystyle 0.63\angle 60^{\circ }\,}$${\displaystyle z_{P}=0.80+j1.40\,}$${\displaystyle y_{P}=0.30-j0.54\,}$

${\displaystyle y_{\text{T}}={\frac {1}{z_{\text{T}}}}\,}$

การตรวจสอบด้วยตนเองจะยืนยันเรื่องนี้

เมื่อทำการ แปลง จากอิมพีแดนซ์เป็นแอดมิตแทนซ์แล้ว การปรับขนาดจะเปลี่ยนเป็นแอดมิตแทนซ์แบบนอร์มาไลซ์ จนกว่าจะมีการแปลงกลับไปเป็นอิมพีแดนซ์แบบนอร์มาไลซ์อีกครั้งในภายหลัง

ตารางด้านล่างแสดงตัวอย่างค่าอิมพีแดนซ์มาตรฐานและค่าแอดมิตแตนซ์มาตรฐานที่เทียบเท่ากัน ซึ่งได้จากการหมุนจุดไป 180° ค่าเหล่านี้สามารถหาได้ทั้งจากการคำนวณหรือใช้แผนภูมิสมิธดังที่แสดงไว้ โดยแปลงระหว่างระนาบอิมพีแดนซ์มาตรฐานและระนาบแอดมิตแตนซ์มาตรฐาน

ค่าสัมประสิทธิ์การสะท้อนในรูปของอิมพีแดนซ์มาตรฐานและค่าแอดมิตแตนซ์มาตรฐานที่เทียบเท่ากัน

อิมพีแดนซ์ปกติ	ค่าการยอมรับปกติ
P 1 ( ) ${\displaystyle z=0.80+j1.40\,}$	คำถามที่ 1 ( ) ${\displaystyle y=0.30-j0.54\,}$
หน้า10 ( ) ${\displaystyle z=0.10+j0.22\,}$	คำถามที่ 10 ( ) ${\displaystyle y=1.80-j3.90\,}$

การเลือกใช้ แผนภูมิ Z Smith หรือ แผนภูมิ Y Smith สำหรับการคำนวณใดๆ ขึ้นอยู่กับว่าแบบใดสะดวกกว่า อิมพีแดนซ์ในวงจรอนุกรมและแอดมิตแตนซ์ในวงจรขนานจะบวกกัน ในขณะที่อิมพีแดนซ์ในวงจรขนานและแอดมิตแตนซ์ในวงจรอนุกรมมีความสัมพันธ์กันด้วยสมการผกผัน ถ้าคืออิมพีแดนซ์สมมูลของอิมพีแดนซ์อนุกรม และคืออิมพีแดนซ์สมมูลของอิมพีแดนซ์ขนาน แล้ว ${\displaystyle Z_{\text{TS}}}$${\displaystyle Z_{\text{TP}}}$

${\displaystyle Z_{\text{TS}}=Z_{1}+Z_{2}+Z_{3}+...\,}$

${\displaystyle {\frac {1}{Z_{\text{TP}}}}={\frac {1}{Z_{1}}}+{\frac {1}{Z_{2}}}+{\frac {1}{Z_{3}}}+...\,}$

สำหรับการรับเข้าเรียนนั้น ตรงกันข้ามคือ

${\displaystyle Y_{\text{TP}}=Y_{1}+Y_{2}+Y_{3}+...\,}$

${\displaystyle {\frac {1}{Y_{\text{TS}}}}={\frac {1}{Y_{1}}}+{\frac {1}{Y_{2}}}+{\frac {1}{Y_{3}}}+...\,}$

การจัดการกับส่วนกลับโดยเฉพาะในจำนวนเชิงซ้อนนั้น ใช้เวลานานและมีโอกาสผิดพลาดมากกว่าการใช้การบวกเชิงเส้น ดังนั้นโดยทั่วไปแล้ว วิศวกร RF ส่วนใหญ่ จึงทำงานในระนาบที่โครงสร้างวงจรสนับสนุนการบวกเชิงเส้น ตารางต่อไปนี้แสดงนิพจน์เชิงซ้อนสำหรับอิมพีแดนซ์ (จริงและปรับให้เป็นมาตรฐาน) และแอดมิตแตนซ์ (จริงและปรับให้เป็นมาตรฐาน) สำหรับองค์ประกอบวงจรพาสซีฟ พื้นฐานทั้งสาม ได้แก่ ความต้านทาน ความเหนี่ยวนำ และความจุ การใช้เพียงอิมพีแดนซ์ลักษณะเฉพาะ (หรือแอดมิตแตนซ์ลักษณะเฉพาะ) และความถี่ทดสอบก็สามารถหา วงจรเทียบเท่าได้ และในทางกลับกัน

นิพจน์สำหรับอิมพีแดนซ์และแอดมิตแทนซ์ ที่ถูกทำให้เป็นมาตรฐานโดยอิมพีแดนซ์ Z ₀หรือแอดมิตแทนซ์ Y ₀

ประเภทองค์ประกอบ	ค่าอิมพีแดนซ์ ( Zหรือz ) หรือค่ารีแอกแทนซ์ ( Xหรือx )		การรับเข้าศึกษา ( Yหรือy ) หรือการอนุมัติ ( Bหรือb )
	ค่าจริง ( Ω )	ปรับค่ามาตรฐานแล้ว (ไม่มีหน่วย)	จริง ( S )	ปรับค่ามาตรฐานแล้ว (ไม่มีหน่วย)
ความต้านทาน ( R )	${\displaystyle \;Z=R\;}$	${\displaystyle \;z={\frac {R}{Z_{0}}}=RY_{0}\;}$	${\displaystyle \;Y=G={\frac {1}{R}}\;}$	${\displaystyle \;y=g={\frac {1}{RY_{0}}}={\frac {Z_{0}}{R}}\;}$
ค่าความเหนี่ยวนำ ( L )	${\displaystyle \;Z=jX_{\text{L}}=j\omega L\;}$	${\displaystyle \;z=jx_{\text{L}}=j{\frac {\omega L}{Z_{0}}}=j\omega LY_{0}\;}$	${\displaystyle \;Y=-jB_{\text{L}}={\frac {-j}{\omega L}}\;}$	${\displaystyle \;y=-jb_{\text{L}}={\frac {-j}{\omega LY_{0}}}={\frac {-jZ_{0}}{\omega L}}\;}$
ความจุ ( C )	${\displaystyle \;Z=-jX_{\text{C}}={\frac {-j}{\omega C}}\;}$	${\displaystyle \;z=-jx_{\text{C}}={\frac {-j}{\omega CZ_{0}}}={\frac {-jY_{0}}{\omega C}}\;}$	${\displaystyle \;Y=jB_{\text{C}}=j\omega C\;}$	${\displaystyle \;y=jb_{\text{C}}=j{\frac {\omega C}{Y_{0}}}=j\omega CZ_{0}\;}$

การจับคู่แบบกระจาย (Distributed matching) เป็นไปได้และบางครั้งก็จำเป็นเมื่อขนาดทางกายภาพของส่วนประกอบที่ใช้ในการจับคู่มีขนาดมากกว่าประมาณ 5% ของความยาวคลื่นที่ความถี่ใช้งาน ในกรณีนี้ พฤติกรรมทางไฟฟ้าของส่วนประกอบแบบรวมศูนย์จำนวนมากจะคาดเดาได้ยาก ปรากฏการณ์นี้เกิดขึ้นในวงจรไมโครเวฟ และเมื่อต้องการกำลังไฟฟ้าสูงในวิทยุคลื่นสั้น วิทยุ FM และโทรทัศน์

สำหรับส่วนประกอบแบบกระจาย จะต้องคำนึงถึงผลกระทบต่อสัมประสิทธิ์การสะท้อนและอิมพีแดนซ์จากการเคลื่อนที่ไปตามสายส่ง โดยใช้มาตราส่วนเส้นรอบวงด้านนอกของแผนภูมิสมิธ ซึ่งได้รับการสอบเทียบเป็นความยาวคลื่น

ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงให้เห็นว่าสายส่งที่ต่อกับโหลดใดๆ สามารถปรับให้เข้ากับความถี่หนึ่งได้โดยใช้ส่วนประกอบรีแอคทีฟแบบอนุกรมหรือแบบขนาน โดยในแต่ละกรณีจะต่อที่ตำแหน่งที่แม่นยำ

สมมติว่าสายส่งแบบไม่มีการสูญเสียพลังงานและมีช่องว่างอากาศ มีอิมพีแดนซ์เฉพาะตัวและทำงานที่ความถี่ 800 MHz ต่อกับวงจรที่ประกอบด้วยตัวต้านทาน 17.5 โอห์ม ต่ออนุกรมกับตัวเหนี่ยวนำ 6.5 นาโนเฮนรี (6.5 nH) เราจะปรับอิมพีแดนซ์ของสายส่งนี้ได้อย่างไร? ${\displaystyle Z_{0}=50\ \Omega }$${\displaystyle \Omega }$

จากตารางข้างต้น ค่ารีแอกแทนซ์ของตัวเหนี่ยวนำที่เป็นส่วนหนึ่งของตัวต้านทานปลายสายที่ความถี่ 800 MHz คือ

${\displaystyle Z_{L}=j\omega L=j2\pi fL=j32.7\ \Omega \,}$

ดังนั้นค่าอิมพีแดนซ์ของชุด ( ) จึงกำหนดโดย ${\displaystyle Z_{T}}$

${\displaystyle Z_{T}=17.5+j32.7\ \Omega \,}$

และค่าอิมพีแดนซ์ปกติ ( ) คือ ${\displaystyle z_{T}}$

${\displaystyle z_{T}={\frac {Z_{T}}{Z_{0}}}=0.35+j0.65\,}$

จุด P ₂₀ แสดงค่านี้บนแผนภูมิ Z Smith เส้น OP ₂₀ถูกขยายไปจนถึงมาตราส่วนความยาวคลื่นและตัดกับจุดเนื่องจากสายส่งไม่มีการสูญเสีย จึงลากวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่กึ่งกลางของแผนภูมิ Smith ผ่านจุด P ₂₀เพื่อแสดงเส้นทางของค่าสัมประสิทธิ์การสะท้อนที่มีขนาดคงที่เนื่องจากการสิ้นสุด ที่จุด P ₂₁วงกลมจะตัดกับวงกลมหนึ่งหน่วยของความต้านทานปกติคงที่ที่ ${\displaystyle L_{1}=0.098\lambda \,}$

${\displaystyle z_{P21}=1.00+j1.52\,}$.

เส้นต่อขยาย OP ₂₁ตัดกับมาตราส่วนความยาวคลื่นที่ดังนั้นระยะทางจากจุดสิ้นสุดถึงจุดนี้บนเส้นจึงกำหนดโดย ${\displaystyle L_{2}=0.177\lambda \,}$

${\displaystyle L_{2}-L_{1}=0.177\lambda -0.098\lambda =0.079\lambda \,}$

เนื่องจากสายส่งเป็นแบบเว้นช่องว่างอากาศ ความยาวคลื่นที่ 800 MHz ในสายส่งจึงเท่ากับความยาวคลื่นในพื้นที่ว่าง และกำหนดโดยสูตร

${\displaystyle \lambda ={\frac {c}{f}}\,}$

โดยที่คือความเร็วของรังสีแม่เหล็กไฟฟ้าในพื้นที่ว่างและคือความถี่ในหน่วยเฮิรตซ์ ผลลัพธ์ที่ได้คือทำให้ตำแหน่งของส่วนประกอบที่เหมาะสมอยู่ห่างจากโหลด 29.6 มม. ${\displaystyle c\,}$${\displaystyle f\,}$${\displaystyle \lambda =375\ \mathrm {mm} \,}$

การจับคู่คอนจูเกตสำหรับอิมพีแดนซ์ที่ P ₂₁ ( ) คือ ${\displaystyle z_{match}\,}$

${\displaystyle z_{match}=-j(1.52),\!}$

เนื่องจากแผนภูมิสมิธยังคงอยู่ในระนาบอิมพีแดนซ์ปกติ จากตารางด้านบนจึงจำเป็นต้องใช้ตัวเก็บประจุแบบอนุกรมในตำแหน่งที่ ${\displaystyle C_{m}\,}$

${\displaystyle z_{match}=-j1.52={\frac {-j}{\omega C_{m}Z_{0}}}={\frac {-j}{2\pi fC_{m}Z_{0}}}\,}$

เมื่อจัดเรียงใหม่ เราจะได้

${\displaystyle C_{m}={\frac {1}{(1.52)\omega Z_{0}}}={\frac {1}{(1.52)(2\pi f)Z_{0}}}}$.

การแทนค่าที่ทราบแล้วจะได้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle C_{m}=2.6\ \mathrm {pF} \,}$

เพื่อให้ตรงกับจุดสิ้นสุดที่ 800 MHz จะต้องวางตัวเก็บประจุแบบอนุกรมขนาด 2.6 pF ไว้ในสายส่งสัญญาณที่ระยะห่าง 29.6 มม. จากจุดสิ้นสุด

สามารถคำนวณค่าการจับคู่ขนานทางเลือกได้หลังจากทำการแปลงแผนภูมิสมิธจากอิมพีแดนซ์ปกติเป็นแอดมิตแตนซ์ปกติ จุด Q ₂₀เทียบเท่ากับ P ₂₀แต่แสดงในรูปของแอดมิตแตนซ์ปกติ การอ่านจากมาตราส่วนของแผนภูมิสมิธ โดยจำไว้ว่านี่คือแอดมิตแตนซ์ปกติ จะได้

${\displaystyle y_{Q20}=0.65-j1.20\,}$

(อันที่จริงค่านี้ไม่ได้ถูกนำมาใช้) อย่างไรก็ตาม การขยายเส้น OQ ₂₀ไปจนถึงมาตราส่วนความยาวคลื่นจะให้ค่า จุดเริ่มต้นที่เร็วที่สุดที่สามารถนำการจับคู่แบบขนานเข้ามาใช้ได้ โดยเคลื่อนไปทางตัวกำเนิด จะอยู่ที่ Q ₂₁ซึ่งเป็นตำแหน่งเดียวกับ P ₂₁ ก่อนหน้านี้ แต่ในครั้งนี้แสดงถึงค่าการนำไฟฟ้าแบบปกติที่กำหนดโดย ${\displaystyle L_{3}=0.152\lambda \,}$

${\displaystyle y_{Q21}=1.00+j1.52\,}$.

ในกรณีนี้ ระยะทางตามแนวสายส่งคือ

${\displaystyle L_{2}+L_{3}=0.177\lambda +0.152\lambda =0.329\lambda \,}$

ซึ่งแปลงเป็น 123 มม.

ส่วนประกอบการจับคู่คอนจูเกตจำเป็นต้องมีค่าแอดมิตแทนซ์มาตรฐาน ( ) เท่ากับ ${\displaystyle y_{match}}$

${\displaystyle y_{match}=-j1.52\,}$.

จากตารางจะเห็นได้ว่าค่าแอดมิตแตนซ์ที่เป็นลบจะต้องใช้ตัวเหนี่ยวนำที่ต่อขนานกับสายส่ง ถ้าค่าของมันคือแล้ว ${\displaystyle L_{m}\,}$

${\displaystyle -j1.52={\frac {-j}{\omega L_{m}Y_{0}}}={\frac {-jZ_{0}}{2\pi fL_{m}}}\,}$

ผลลัพธ์ที่ได้คือ...

${\displaystyle L_{m}=6.5\ \mathrm {nH} \,}$

ดังนั้น ตัวเหนี่ยวนำแบบขนานที่เหมาะสมจึงควรใช้ตัวเหนี่ยวนำขนาด 6.5 nH ต่อขนานกับสายส่ง โดยวางตำแหน่งห่างจากโหลด 123 มม.

การวิเคราะห์ ส่วนประกอบ แบบรวมศูนย์นั้นถือว่าความยาวคลื่นที่ความถี่ในการทำงานนั้นมากกว่าขนาดของส่วนประกอบเหล่านั้นมาก แผนภูมิสมิธสามารถใช้ในการวิเคราะห์วงจรดังกล่าวได้ โดยการเคลื่อนที่รอบแผนภูมิจะเกิดจากค่าอิมพีแดนซ์และแอดมิตแตนซ์ (ที่ทำให้เป็นมาตรฐาน) ของส่วนประกอบที่ความถี่ในการทำงาน ในกรณีนี้ การปรับขนาดความยาวคลื่นบนเส้นรอบวงของแผนภูมิสมิธจะไม่ถูกนำมาใช้ วงจรต่อไปนี้จะถูกวิเคราะห์โดยใช้แผนภูมิสมิธที่ความถี่ในการทำงาน 100 MHz ที่ความถี่นี้ ความยาวคลื่นในพื้นที่ว่างคือ 3 เมตร ขนาดของส่วนประกอบเองจะมีขนาดอยู่ในระดับมิลลิเมตร ดังนั้นสมมติฐานของส่วนประกอบแบบรวมศูนย์จึงยังคงใช้ได้ แม้ว่าจะไม่มีสายส่งโดยตรง แต่ก็ยังต้องกำหนดค่าอิมพีแดนซ์ของระบบเพื่อให้สามารถคำนวณการทำให้เป็นมาตรฐานและการลดความเป็นมาตรฐานได้ และค่าเป็นตัวเลือกที่ดีในที่นี้หากมีค่าความต้านทานที่แตกต่างกันมาก ค่าที่ใกล้เคียงกับค่าเหล่านี้อาจเป็นตัวเลือกที่ดีกว่า ${\displaystyle Z_{0}=50\ \Omega \,}$${\displaystyle R_{1}=50\ \Omega \,}$

การวิเคราะห์เริ่มต้นด้วยแผนภูมิ Z Smith โดยพิจารณาเฉพาะ R ₁โดยไม่มีส่วนประกอบอื่น ๆ เนื่องจากค่านี้เหมือนกับค่าอิมพีแดนซ์ของระบบ จึงแสดงด้วยจุดที่อยู่ตรงกลางของแผนภูมิ Smith การแปลงครั้งแรกคือ OP ₁ตามเส้นของค่าความต้านทานปกติคงที่ ในกรณีนี้คือการเพิ่มค่ารีแอกแทนซ์ปกติ -j 0.80ซึ่งสอดคล้องกับตัวเก็บประจุแบบอนุกรมขนาด 40 pF จุดที่มีคำต่อท้าย P อยู่ใน ระนาบ Zและจุดที่มีคำต่อท้าย Q อยู่ใน ระนาบ Yดังนั้น การแปลงP ₁เป็นQ ₁และP ₃เป็นQ ₃คือการแปลงจากแผนภูมิ Z Smith ไปยังแผนภูมิ Y Smith และการแปลงQ ₂เป็นP ₂คือการแปลงจากแผนภูมิ Y Smith ไปยังแผนภูมิ Z Smith ตารางต่อไปนี้แสดงขั้นตอนที่ใช้ในการดำเนินการกับส่วนประกอบและการแปลงที่เหลือ จนกระทั่งกลับมาที่จุดศูนย์กลางของแผนภูมิ Smith และการจับคู่ 50 โอห์มที่สมบูรณ์แบบ ${\displaystyle R_{1}=50\ \Omega \,}$

ขั้นตอนการวิเคราะห์วงจรแบบรวมองค์ประกอบโดยใช้แผนภูมิสมิธ

การเปลี่ยนแปลง	เครื่องบิน	ค่า xหรือb ที่ถูกทำให้เป็นมาตรฐาน	ความจุ/ความเหนี่ยวนำ	สูตรสำหรับแก้ปัญหา	ผลลัพธ์
${\displaystyle O\rightarrow P_{1}\,}$	${\displaystyle Z\,}$	${\displaystyle -j0.80\,}$	ความจุ (แบบอนุกรม)	${\displaystyle -j0.80={\frac {-j}{\omega C_{1}Z_{0}}}\,}$	${\displaystyle C_{1}=40\ \mathrm {pF} \,}$
${\displaystyle Q_{1}\rightarrow Q_{2}\,}$	${\displaystyle Y\,}$	${\displaystyle -j1.49\,}$	ค่าเหนี่ยวนำ (ขนาน)	${\displaystyle -j1.49={\frac {-j}{\omega L_{1}Y_{0}}}\,}$	${\displaystyle L_{1}=53\ \mathrm {nH} \,}$
${\displaystyle P_{2}\rightarrow P_{3}\,}$	ซ	${\displaystyle -j0.23\,}$	ความจุ (แบบอนุกรม)	${\displaystyle -j0.23={\frac {-j}{\omega C_{2}Z_{0}}}\,}$	${\displaystyle C_{2}=138\ \mathrm {pF} \,}$
${\displaystyle Q_{3}\rightarrow O\,}$	วาย	${\displaystyle +j1.14\,}$	ความจุ (แบบขนาน)	${\displaystyle +j1.14={\frac {j\omega C_{3}}{Y_{0}}}\,}$	${\displaystyle C_{3}=36\ \mathrm {pF} \,}$

แผนภูมิY Smith สร้างขึ้นในลักษณะเดียวกับ แผนภูมิ Z Smith แต่แสดงค่าสัมประสิทธิ์การสะท้อนแรงดันไฟฟ้าในรูปของค่าแอดมิตแทนซ์แบบนอร์มาไลซ์แทนที่จะเป็นค่าอิมพีแดนซ์แบบนอร์มาไลซ์ ค่าแอดมิตแทนซ์แบบนอร์มาไลซ์yคือส่วนกลับของค่าอิมพีแดนซ์แบบนอร์มาไลซ์zดังนั้น

${\displaystyle y\equiv {\frac {1}{z}}~.}$

ดังนั้น:

${\displaystyle y={\frac {1-\Gamma }{\,1+\Gamma \,}}\,,}$

และ

${\displaystyle \Gamma ={\frac {1-y}{\,1+y\,}}~.}$

แผนภูมิYของสมิธมีลักษณะคล้ายกับแผนภูมิอิมพีแดนซ์แบบนอร์มาไลซ์ แต่กราฟวงกลมซ้อนกันจะหมุนไป 180 องศา ในขณะที่มาตราส่วนตัวเลขยังคงอยู่ในตำแหน่งเดิม (ไม่หมุน) เหมือนกับแผนภูมิ Z

เช่นเดียวกับการขยายที่ดำเนินการสำหรับค่าอิมพีแดนซ์ปกติ

${\displaystyle \Gamma =\left[{\frac {1-\Re e[y]^{2}-\Im m[y]^{2}}{\,(\Re e[y]+1)^{2}+\Im m[y]^{2}\,}}\right]+j\left[{\frac {-2\,\Im m[y]}{\,(\Re e[y]+1)^{2}+\Im m[y]^{2}\,}}\right]~.}$

บริเวณเหนือ แกน xแสดงถึงค่าการนำไฟฟ้าแบบคาปาซิทีฟ และบริเวณใต้ แกน xแสดงถึงค่าการนำไฟฟ้าแบบเหนี่ยวนำ ค่าการนำไฟฟ้าแบบคาปาซิทีฟมี ส่วน จินตภาพ เป็นบวก และค่าการนำไฟฟ้าแบบเหนี่ยวนำมีส่วนจินตภาพเป็นลบ

อีกครั้ง หากการต่อปลายวงจรเข้ากันได้อย่างสมบูรณ์ ค่าสัมประสิทธิ์การสะท้อนจะเท่ากับศูนย์ ซึ่งแสดงด้วย "วงกลม" ที่มีรัศมีเป็นศูนย์ หรือในความเป็นจริงคือจุดที่อยู่ตรงกลางของแผนภูมิสมิธ หากการต่อปลายวงจรเป็นวงจรเปิดหรือลัดวงจรอย่างสมบูรณ์ ค่าสัมประสิทธิ์การสะท้อนแรงดันไฟฟ้าจะมีค่าเท่ากับหนึ่ง พลังงานทั้งหมดจะถูกสะท้อนกลับ และจุดนั้นจะอยู่บนจุดใดจุดหนึ่งบนวงกลมที่มีเส้นรอบวงเท่ากับหนึ่งของแผนภูมิสมิธ

แผนภูมิสมิธสามารถขยายเพื่อใช้กับความต้านทานเชิงลบได้ แต่แผนภูมิที่ขยายแล้วนั้นไม่ค่อยได้ใช้ในทางปฏิบัติ ในกรณีเช่นนี้ ค่าสัมประสิทธิ์การสะท้อนจะมีค่ามากกว่า 1 ซึ่งหมายความว่าพลังงานที่สะท้อนกลับมีมากกว่าพลังงานที่ตกกระทบ นี่ไม่จำเป็นต้องเป็นการละเมิดหลักการอนุรักษ์พลังงานเสมอไป เนื่องจากเป็นกรณีปกติของการขยายสัญญาณอิเล็กทรอนิกส์ซึ่งพลังงานเพิ่มเติมได้มาจากไบแอส DCภายนอก ${\displaystyle (\Re e[z]<0)}$${\displaystyle \Gamma }$

แผนภูมิสมิธที่ฉายลงบนซีกทรงกลมหน่วย^{[ f ]}

เส้นความต้านทานคงที่เท่านั้น${\displaystyle \left(\Re e[z]\right)}$

เฉพาะ สายที่มีค่ารีแอกแทนซ์คงที่เท่านั้น${\displaystyle \left(\Im m[z]\right)}$

เส้นผสมที่มีความต้านทานคงที่และรีแอกแทนซ์คงที่ (ทั้งสองแบบ)${\displaystyle \Re e[z]}$${\displaystyle \Im m[z]}$

ในปี 2011 Muller และคณะได้เสนอการแมปแผนภูมิ Smith จากระนาบเชิงซ้อนสองมิติสำหรับสัมประสิทธิ์การสะท้อน ไปยังทรง กลม Riemannการแมปจากระนาบไปยังทรงกลมสำเร็จได้โดยใช้การฉายภาพสเตอริโอกราฟิก [ ^{g ] ทรง}กลม Riemann ที่ได้เป็นทรงกลมหน่วยที่มีลักษณะดังต่อไปนี้: ^{[ 26 ]}${\displaystyle \Gamma }$

• จุดบนสุดแสดงถึงจุด(ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อ) ^{[ h ]}${\displaystyle (x=0,y=0,z=1)}$${\displaystyle \Gamma =0}$${\displaystyle z=1+j0}$
• ครึ่งบนของทรงกลมสอดคล้องกับบริเวณภายในวงกลม(ซึ่งเกิดขึ้นสำหรับระนาบครึ่งพื้นที่)${\displaystyle \left|\Gamma \right|=1}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \Re e[z]>0}$
• วงกลมที่แบ่งครึ่งบนของทรงกลมออกจากครึ่งล่างของทรงกลมนั้น สอดคล้องกับวงกลม(ซึ่งปรากฏสำหรับเส้น -space )${\displaystyle \left|\Gamma \right|=1}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \Re e[z]=0}$
• ครึ่งล่างของทรงกลมสอดคล้องกับบริเวณภายนอกวงกลม(ซึ่งเกิดขึ้นสำหรับระนาบครึ่งพื้นที่)${\displaystyle \left|\Gamma \right|=1}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \Re e[z]<0}$
• จุดด้านล่างแสดงถึงกรณีของ(ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อ) ^{[ h ]}${\displaystyle (x=0,y=0,z=-1)}$${\displaystyle \left|\Gamma \right|\to \infty }$${\displaystyle z=-1+j0}$

ลักษณะสองประการสุดท้ายนี้หมายความว่าระนาบอนันต์ภายนอกของวงกลมจะถูกแมปไปยังซีกทรงกลมที่มีขอบเขตจำกัด ${\displaystyle \Gamma =1}$

จุดบนทรงกลมที่สอดคล้องกับค่า ( ) เป็นจุดเอกฐานทางคณิตศาสตร์เนื่องจากเป็นจุดเดียวบนทรงกลมที่ค่าหลายค่าของ, , หรือแมปไปยัง^{[ h ]}นี่คือเหตุผลที่วงกลมทั้งหมดมีจุดนั้นอยู่ ${\displaystyle \left(x=1,y=0,z=0\right)}$${\displaystyle \Gamma =1+j0}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \left(\Re e[z]=\pm \infty \right.}$${\displaystyle \Im m[z]=\pm \infty }$${\displaystyle \left.z=-1+j0\right)}$

ในปี 2020 Muller และคณะ ได้เสนอการใช้งานใหม่สำหรับแผนภูมิ Smith บนทรงกลม โดยพวกเขาพล็อตพารามิเตอร์ต่างๆ เช่นความล่าช้าของกลุ่มและปัจจัย Qไว้ด้านนอกทรงกลม (แทนที่จะอยู่บนทรงกลม) การวางแนวความถี่เชิงภาพ (ตามเข็มนาฬิกาเทียบกับทวนเข็มนาฬิกา) ช่วยให้สามารถแยกแยะความแตกต่างระหว่างค่าลบ/ความจุและค่าบวก/ตัวเหนี่ยวนำ ซึ่งมีสัมประสิทธิ์การสะท้อนเหมือนกันเมื่อพล็อตบนแผนภูมิ Smith แบบ 2 มิติ แต่การวางแนวจะแตกต่างกันเมื่อความถี่เพิ่มขึ้น^{[ 27 ]}

• การปูพื้นแบบไบนารี
• แผนภูมิโบเด
• ซิส (คณิตศาสตร์)
• แผนภาพวงกลมเฮย์แลนด์-ออสซานนา
• พล็อตไนควิสต์
• แนวขวาง (การผลิตเครื่องมือ)

• Campbell, George Ashley (เมษายน 1911). "การสั่นแบบซิสซอยด์" (PDF) . รายงานการประชุมของสถาบันวิศวกรรมไฟฟ้าแห่งอเมริกา . XXX ( 1– 6). สถาบันวิศวกรรมไฟฟ้าแห่งอเมริกา : 789–824 [รูปที่ 13 ในหน้า 810]. doi : 10.1109/PAIEE.1911.6659711 . S2CID  51647814 . สืบค้นเมื่อ2023-06-24 .(37 หน้า) (หมายเหตุ: มีภาพประกอบที่คล้ายกับแผนภูมิสมิธในยุคแรกๆ ซึ่งตีพิมพ์เมื่อหลายสิบปีก่อนที่มิซูฮาชิ วอลเพิร์ต และสมิธจะตีพิมพ์ผลงานของพวกเขา)
• เฟลมมิง, จอห์น แอมโบรส (มกราคม 1912) [พฤษภาคม 1911] การแพร่กระจายของกระแสไฟฟ้าในตัวนำโทรศัพท์และโทรเลข: ชุดบรรยายระดับบัณฑิตศึกษาที่จัดขึ้นต่อหน้ามหาวิทยาลัยลอนดอน (ฉบับปรับปรุงครั้งที่ 2) วิทยาลัยมหาวิทยาลัยลอนดอน สหราชอาณาจักร: คอนสเตเบิล แอนด์ คอมพานี จำกัด ark:/13960/t3bz6211d สืบค้นเมื่อ2023-07-23(xiv+316 หน้า)
• Krauss, Herbert L. (กันยายน 1949). "แผนภูมิสายส่ง". วิศวกรรมไฟฟ้า . เล่มที่ 68, ฉบับที่ 9. หน้า 766–774 [767]. doi : 10.1109/EE.1949.6444963 . eISSN  2376-7804 . ISSN  0095-9197 .
• ลี, โดนัลด์ (30 มกราคม 2013). "การปรับแต่งแผนภูมิสมิธ ตอนที่ 1" . หน่วยธุรกิจ SOC, นวัตกรรมเซลล์ทดสอบ Advantest, Advantest . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 9 กรกฎาคม 2023 . เรียกดูเมื่อ 9 กรกฎาคม 2023 .(29 หน้า)
• แกมบลิน, เทรเวอร์ (2015-07-23). ​​"การสร้างทางคณิตศาสตร์และคุณสมบัติของแผนภูมิสมิธ" . allaboutcircuits.com . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2023-07-09 . เรียกดูเมื่อ2023-07-09 .
• สเตเปิลส์, จอห์น (2015). "การจับคู่ความต้านทานและแผนภูมิสมิธ" (PDF) . โรงเรียนเร่งอนุภาคแห่งสหรัฐอเมริกา (USPAS). เก็บถาวร(PDF)จากต้นฉบับเมื่อ 2023-07-09 . เรียกดูเมื่อ2023-07-09 .(27 หน้า)

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับแผนภูมิสมิธ

• "แผนภูมิสมิธ ของExcel" excelhero.com สิงหาคม 2553แผนภูมิ Smith Chart แบบโต้ตอบที่ไม่ใช่เชิงพาณิชย์ ซึ่งแสดงผลได้ดีที่สุดใน Excel 2007 ขึ้นไป
• "SimSmith" . ae6ty.com .ไม่ใช่เพื่อการค้า สามารถใช้งานได้บน Windows, Mac และ Linux มีวิดีโอสอนการใช้แผนภูมิ Smith มากมาย ไม่มีข้อจำกัดเรื่องขนาดวงจร ไม่จำกัดเฉพาะวงจรแบบแลดเดอร์
• "Smith v3" . fritz.dellsperger.net . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2015-03-04แผนภูมิสมิธสำหรับ Windows ทั้งแบบใช้งานเชิงพาณิชย์และฟรี
• "QuickSmith" . github.com/niyeradori . 2021-11-02.เครื่องมือการเรียนรู้แผนภูมิสมิธแบบออนไลน์ฟรี สามารถดาวน์โหลดได้จากGitHub
• "เครื่องมือสร้างแผนภูมิสมิธแบบ 3 มิติ" . 3dsmithchart.com .แผนภูมิสมิธแบบ 2 มิติและ 3 มิติ เครื่องมือทั่วไปสำหรับวงจรแอคทีฟและพาสซีฟ (ใช้งานฟรีสำหรับสถาบันการศึกษา)