ในวิศวกรรมไฟฟ้าและทฤษฎีการควบคุม แผนภูมิโบเด ( Bode plot)คือกราฟแสดงการตอบสนองความถี่ของระบบ โดยปกติจะเป็นการรวมกันของแผนภูมิโบเดแสดงขนาด (โดยปกติเป็นเดซิเบล ) และแผนภูมิโบเดแสดงเฟส (โดยปกติเป็นเดซิเบล )

ตามที่ เฮนดริก เวด โบเดคิดค้นขึ้นในทศวรรษ 1930 พล็อตนี้เป็นการประมาณค่าเชิงเส้นกำกับ ของการตอบสนองความถี่โดยใช้ส่วนของเส้นตรง^{[ 1 ]}

ในบรรดาผลงานสำคัญหลายชิ้นของเขาในด้านทฤษฎีวงจรและทฤษฎีการควบคุมวิศวกรHendrik Wade Bodeขณะทำงานที่Bell Labsในช่วงทศวรรษ 1930 ได้คิดค้นวิธีการที่เรียบง่ายแต่แม่นยำสำหรับการสร้างกราฟอัตราขยายและการเปลี่ยนแปลงเฟส ซึ่งใช้ชื่อของเขาว่า Bode gain plot และ Bode phase plot คำว่า "Bode" ในภาษาอังกฤษมักออกเสียงว่า /ˈboʊdi / BOH - deeในขณะที่ในภาษาดัตช์มักจะออกเสียงว่า [ ˈboːdə ] ซึ่งใกล้เคียงกับภาษาอังกฤษ /ˈboʊdə/BOH-də ซึ่งครอบครัวของเขานิยมใช้แต่ไม่ค่อยเป็นที่นิยมในหมู่นักวิจัย^{[ 2 ] [ 3 ]}

Bode เผชิญกับปัญหาในการออกแบบแอมพลิฟายเออร์ ที่เสถียร พร้อมการป้อนกลับเพื่อใช้ในเครือข่ายโทรศัพท์ เขาได้พัฒนาเทคนิคการออกแบบกราฟิกของแผนภูมิ Bode เพื่อแสดงขอบเขตอัตราขยายและขอบเขตเฟสที่จำเป็นในการรักษาเสถียรภาพภายใต้การเปลี่ยนแปลงในลักษณะวงจรที่เกิดขึ้นระหว่างการผลิตหรือระหว่างการใช้งาน^{[ 4 ]}หลักการที่พัฒนาขึ้นถูกนำไปใช้กับปัญหาการออกแบบของเซอร์โวกลไกและระบบควบคุมป้อนกลับอื่นๆ แผนภูมิ Bode เป็นตัวอย่างของการวิเคราะห์ในโดเมน ความถี่

แผนภาพโบเดสำหรับ ระบบเชิง เส้นที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาโดยมีฟังก์ชันถ่ายโอน ( ซึ่งเป็นความถี่เชิงซ้อนในโดเมนลาปลาส ) ประกอบด้วยแผนภาพขนาดและแผนภาพเฟส ${\displaystyle H(s)}$${\displaystyle s}$

กราฟแสดงค่าความแรงของ Bodeคือกราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างค่าความแรงกับความถี่(โดยที่ เป็นหน่วยจินตภาพ ) แกน x ของกราฟแสดงค่าความแรงเป็นแบบลอการิทึม และค่าความแรงจะแสดงเป็นเดซิเบล กล่าว คือ ค่าความแรงจะถูกพล็อตบนแกน x ที่ตำแหน่ง0.05 ${\displaystyle |H(s=j\omega )|}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle j}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle |H|}$${\displaystyle 20\log _{10}|H|}$

กราฟ เฟสของ โบด (Bode phase plot)คือกราฟแสดงเฟสซึ่งโดยทั่วไปแสดงในหน่วยองศา ของฟังก์ชันตัวแปรต้น โดยเป็นฟังก์ชันของθ เฟสจะถูกพล็อตบนแกนลอการิทึมเดียวกันกับกราฟขนาด แต่ค่าของเฟสจะถูกพล็อตบนแกนแนวตั้งเชิงเส้น ${\displaystyle \arg \left(H(s=j\omega )\right)}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$

ส่วนนี้แสดงให้เห็นว่าแผนภูมิโบเด (Bode plot) เป็นการแสดงภาพการตอบสนองความถี่ของระบบ

พิจารณา ระบบ เชิงเส้นที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาที่มีฟังก์ชันถ่ายโอนสมมติว่าระบบได้รับสัญญาณอินพุตแบบไซน์ที่มีความถี่ ${\displaystyle H(s)}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle u(t)=\sin(\omega t),}$

ซึ่งจะถูกนำไปใช้อย่างต่อเนื่อง กล่าวคือ จากช่วงเวลาหนึ่งไปยังอีกช่วงเวลาหนึ่งการตอบสนองจะมีรูปแบบดังนี้ ${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle t}$

${\displaystyle y(t)=y_{0}\sin(\omega t+\varphi ),}$

กล่าวคือ เป็นสัญญาณไซน์ที่มีแอมพลิจูดเปลี่ยนแปลงเฟสเมื่อเทียบกับสัญญาณอินพุต ${\displaystyle y_{0}}$${\displaystyle \varphi }$

สามารถแสดงได้^{[ 5 ]}ว่าขนาดของการตอบสนองคือ

${\displaystyle y_{0}=|H(\mathrm {j} \omega )|}$

1

และว่าการเลื่อนเฟสคือ

${\displaystyle \varphi =\arg H(\mathrm {j} \omega ).}$

2

โดยสรุปแล้ว เมื่อได้รับสัญญาณอินพุตที่มีความถี่ระบบจะตอบสนองด้วยความถี่เดียวกัน โดยมีสัญญาณเอาต์พุตที่ถูกขยายด้วยปัจจัยและมีเฟสเลื่อนไปปริมาณเหล่านี้จึงแสดงลักษณะการตอบสนองความถี่ และแสดงอยู่ในกราฟโบเด (Bode plot) ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle |H(\mathrm {j} \omega )|}$${\displaystyle \arg H(\mathrm {j} \omega )}$

สำหรับปัญหาเชิงปฏิบัติหลายๆ ปัญหา แผนภาพ Bode ที่ละเอียดสามารถประมาณได้ด้วยส่วนของเส้นตรงที่เป็นเส้นกำกับของการตอบสนองที่แม่นยำ ผลกระทบของแต่ละเทอมของฟังก์ชันถ่ายโอน แบบหลายองค์ประกอบ สามารถประมาณได้ด้วยชุดของเส้นตรงบนแผนภาพ Bode ซึ่งช่วยให้สามารถหาคำตอบเชิงกราฟของฟังก์ชันการตอบสนองความถี่โดยรวมได้ ก่อนที่คอมพิวเตอร์ดิจิทัลจะแพร่หลาย วิธีการเชิงกราฟถูกนำมาใช้อย่างกว้างขวางเพื่อลดความจำเป็นในการคำนวณที่ยุ่งยาก การแก้ปัญหาเชิงกราฟสามารถใช้เพื่อระบุช่วงพารามิเตอร์ที่เป็นไปได้สำหรับการออกแบบใหม่

หลักการพื้นฐานของแผนภูมิโบเดคือ เราสามารถพิจารณาค่าลอการิทึมของฟังก์ชันในรูปแบบ

${\displaystyle f(x)=A\prod (x-c_{n})^{a_{n}}}$

โดยเป็นผลรวมของลอการิทึมของศูนย์และขั้ว ของมัน :

${\displaystyle \log(f(x))=\log(A)+\sum a_{n}\log(x-c_{n}).}$

แนวคิดนี้ถูกนำมาใช้โดยตรงในวิธีการวาดแผนภาพเฟส ส่วนวิธีการวาดกราฟแอมพลิจูดนั้นใช้แนวคิดนี้โดยปริยาย แต่เนื่องจากค่าลอการิทึมของแอมพลิจูดของแต่ละขั้วหรือศูนย์จะเริ่มต้นที่ศูนย์เสมอและมีการเปลี่ยนแปลงเส้นกำกับเพียงครั้งเดียว (เส้นตรง) จึงสามารถทำให้วิธีการนี้ง่ายขึ้นได้

การวัดแอมพลิจูดเดซิเบลมักใช้เพื่อกำหนดเดซิเบล โดยกำหนดฟังก์ชันถ่ายโอนในรูปแบบ ${\displaystyle {\text{dB}}=20\log _{10}(X)}$

${\displaystyle H(s)=A\prod {\frac {(s-x_{n})^{a_{n}}}{(s-y_{n})^{b_{n}}}},}$

โดยที่และเป็นค่าคงที่และคือฟังก์ชันถ่ายโอน: ${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle y_{n}}$${\displaystyle s=\mathrm {j} \omega }$${\displaystyle a_{n},b_{n}>0}$${\displaystyle H}$

• ในทุกค่าของsที่(a เป็นศูนย์) ให้เพิ่มความชันของเส้นตรงขึ้นทุกทศวรรษ${\displaystyle \omega =x_{n}}$${\displaystyle 20a_{n}\ {\text{dB}}}$
• ที่ค่าs ทุกค่า ที่(เป็นขั้ว) ความชันของเส้นจะลดลง ทุกๆ ทศวรรษ${\displaystyle \omega =y_{n}}$${\displaystyle 20b_{n}\ {\text{dB}}}$
• ค่าเริ่มต้นของกราฟขึ้นอยู่กับขอบเขต จุดเริ่มต้นจะหาได้โดยการแทนค่าความถี่เชิงมุมเริ่มต้นลงในฟังก์ชันแล้วหาค่า${\displaystyle \omega }$${\displaystyle |H(\mathrm {j} \omega )|}$
• ความชันเริ่มต้นของฟังก์ชันที่ค่าเริ่มต้นจะขึ้นอยู่กับจำนวนและลำดับของศูนย์และขั้วที่ค่าต่ำกว่าค่าเริ่มต้น และหาได้โดยใช้กฎสองข้อแรก

ในการจัดการกับพหุนามอันดับ 2 ที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ในหลายกรณีสามารถประมาณได้เป็น ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$${\displaystyle ({\sqrt {a}}x+{\sqrt {c}})^{2}}$

โปรดสังเกตว่าค่าศูนย์และขั้วเกิดขึ้นเมื่อเท่ากับค่าใดค่าหนึ่งหรือนี่เป็นเพราะฟังก์ชันที่กล่าวถึงคือขนาดของและเนื่องจากเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนดังนั้นที่ตำแหน่งใดก็ตามที่มีค่าศูนย์หรือขั้วที่เกี่ยวข้องกับพจน์ขนาดของพจน์นั้นคือ ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle y_{n}}$${\displaystyle H(\mathrm {j} \omega )}$${\displaystyle |H(\mathrm {j} \omega )|={\sqrt {H\cdot H^{*}}}}$${\displaystyle (s+x_{n})}$${\displaystyle {\sqrt {(x_{n}+\mathrm {j} \omega )(x_{n}-\mathrm {j} \omega )}}={\sqrt {x_{n}^{2}+\omega ^{2}}}}$

เพื่อแก้ไขกราฟแสดงค่าแอมพลิจูดที่เป็นเส้นตรง:

• ที่จุดศูนย์ทุกจุด ให้ใส่จุดเหนือเส้น${\displaystyle 3a_{n}\ {\text{dB}}}$
• ที่เสาทุกต้น ให้ทำเครื่องหมายจุดไว้ใต้เส้น${\displaystyle 3b_{n}\ {\text{dB}}}$
• ลากเส้นโค้งเรียบผ่านจุดเหล่านั้น โดยใช้เส้นตรงเป็นเส้นกำกับ (เส้นที่เส้นโค้งเข้าใกล้)

โปรดทราบว่าวิธีการแก้ไขนี้ไม่ได้รวมวิธีการจัดการกับค่าเชิงซ้อนของหรือไว้ด้วย ในกรณีของพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ วิธีที่ดีที่สุดในการแก้ไขกราฟคือการคำนวณขนาดของฟังก์ชันถ่ายโอนที่ขั้วหรือศูนย์ที่สอดคล้องกับพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ แล้ววางจุดนั้นไว้เหนือหรือใต้เส้นที่ขั้วหรือศูนย์นั้น ${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle y_{n}}$

เมื่อกำหนดฟังก์ชันถ่ายโอนในรูปแบบเดียวกับข้างต้นแล้ว

${\displaystyle H(s)=A\prod {\frac {(s-x_{n})^{a_{n}}}{(s-y_{n})^{b_{n}}}},}$

แนวคิดคือการวาดกราฟแยกกันสำหรับแต่ละขั้วและศูนย์ จากนั้นจึงนำมารวมกัน เส้นโค้งเฟสจริงกำหนดโดย

${\displaystyle \varphi (s)=-\arctan {\frac {\operatorname {Im} [H(s)]}{\operatorname {Re} [H(s)]}}.}$

ในการวาดแผนภาพเฟส สำหรับแต่ละขั้วและศูนย์:

• ถ้าค่าเป็นบวก ให้เริ่มเส้นตรง (ที่มีความชันเป็นศูนย์) ที่ 0°${\displaystyle A}$
• ถ้าค่าเป็นลบ ให้เริ่มเส้นตรง (ที่มีความชันเป็นศูนย์) ที่มุม −180°${\displaystyle A}$
• ถ้าผลรวมของจำนวนศูนย์และขั้วที่ไม่เสถียรเป็นจำนวนคี่ ให้เพิ่ม 180° เข้าไปในฐานนั้น
• ในทุกๆ(สำหรับค่าศูนย์ที่เสถียร) ให้เพิ่มความชันทีละองศาต่อทศวรรษ โดยเริ่มจากทศวรรษก่อนหน้า(เช่น)${\displaystyle \omega =|x_{n}|}$${\displaystyle -\operatorname {Re} (z)<0}$${\displaystyle 45a_{n}}$${\displaystyle \omega =|x_{n}|}$${\displaystyle |x_{n}|/10}$
• ในทุกๆ(สำหรับขั้วที่เสถียร) ให้ลดความชันลงทีละองศาต่อทศวรรษ โดยเริ่มจากทศวรรษก่อนหน้า(เช่น)${\displaystyle \omega =|y_{n}|}$${\displaystyle -\operatorname {Re} (p)<0}$${\displaystyle 45b_{n}}$${\displaystyle \omega =|y_{n}|}$${\displaystyle |y_{n}|/10}$
• ขั้วและศูนย์ที่ไม่เสถียร (ระนาบครึ่งขวา) ( ) มีพฤติกรรมตรงข้ามกัน${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$
• ปรับความชันให้เรียบอีกครั้งเมื่อเฟสเปลี่ยนไปเป็นองศา (สำหรับศูนย์) หรือองศา (สำหรับขั้ว)${\displaystyle 90a_{n}}$${\displaystyle 90b_{n}}$
• หลังจากลากเส้นหนึ่งเส้นสำหรับแต่ละขั้วหรือศูนย์แล้ว ให้นำเส้นเหล่านั้นมารวมกันเพื่อให้ได้กราฟเฟสสุดท้าย กล่าวคือ กราฟเฟสสุดท้ายเป็นผลรวมของกราฟเฟสก่อนหน้าแต่ละกราฟ

ในการสร้างกราฟเส้นตรงสำหรับตัวกรองความถี่ต่ำอันดับหนึ่ง (หนึ่งขั้ว) จะต้องพิจารณารูปแบบมาตรฐานของฟังก์ชันถ่ายโอนในแง่ของความถี่เชิงมุม :

${\displaystyle H_{\text{lp}}(\mathrm {j} \omega )={\frac {1}{1+\mathrm {j} {\frac {\omega }{\omega _{\text{c}}}}}}.}$

แผนภูมิ Bode แสดงอยู่ในรูปที่ 1(b) ด้านบน และการสร้างการประมาณค่าเส้นตรงจะกล่าวถึงต่อไป

ขนาด (ในหน่วยเดซิเบล ) ของฟังก์ชันถ่ายโอนข้างต้น (ปรับให้เป็นมาตรฐานและแปลงเป็นรูปแบบความถี่เชิงมุม) ซึ่งกำหนดโดยนิพจน์การขยายในหน่วยเดซิเบล: ${\displaystyle A_{\text{vdB}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\text{vdB}}&=20\log |H_{\text{lp}}(\mathrm {j} \omega )|\\&=20\log {\frac {1}{\left|1+\mathrm {j} {\frac {\omega }{\omega _{\text{c}}}}\right|}}\\&=-20\log \left|1+\mathrm {j} {\frac {\omega }{\omega _{\text{c}}}}\right|\\&=-10\log \left(1+{\frac {\omega ^{2}}{\omega _{\text{c}}^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

จากนั้นเมื่อพล็อตเทียบกับความถี่อินพุตบนมาตราส่วนลอการิทึม จะสามารถประมาณได้ด้วยเส้นตรงสองเส้นซึ่งก่อให้เกิดกราฟ Bode ขนาดโดยประมาณของฟังก์ชันถ่ายโอน: ${\displaystyle \omega }$

• เส้นแรกสำหรับความถี่เชิงมุมด้านล่างเป็นเส้นแนวนอนที่ 0 dB เนื่องจากที่ความถี่ต่ำ ค่าของเทอมนี้มีขนาดเล็กและสามารถละเลยได้ ทำให้สมการอัตราขยายเดซิเบลข้างต้นเท่ากับศูนย์${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$${\displaystyle \omega /\omega _{\text{c}}}$
• เส้นที่สองสำหรับความถี่เชิงมุมข้างต้นเป็นเส้นตรงที่มีความชัน −20 dB ต่อทศวรรษ เนื่องจากที่ความถี่สูงเทอมนี้มีอิทธิพลเหนือกว่า และนิพจน์การเพิ่มเดซิเบลข้างต้นจะลดรูปเหลือซึ่งเป็นเส้นตรงที่มีความชัน −20 dB ต่อทศวรรษ${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$${\displaystyle \omega /\omega _{\text{c}}}$${\displaystyle -20\log(\omega /\omega _{\text{c}})}$

เส้นทั้งสองนี้มาบรรจบกันที่ความถี่มุม จากกราฟจะเห็นได้ว่าสำหรับความถี่ที่ต่ำกว่าความถี่มุมมาก วงจรจะมีค่าการลดทอน 0 dB ซึ่งสอดคล้องกับอัตราขยายในย่านความถี่ผ่านเท่ากับ 1 กล่าวคือ แอมพลิจูดของเอาต์พุตของฟิลเตอร์เท่ากับแอมพลิจูดของอินพุต ความถี่ที่สูงกว่าความถี่มุมจะถูกลดทอนลง ยิ่งความถี่สูง ค่าการลดทอน ก็จะยิ่งสูง ขึ้น ${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$

แผนภาพ Bode เฟสได้มาจากการพล็อตมุมเฟสของฟังก์ชันถ่ายโอนที่กำหนดโดย

${\displaystyle \arg H_{\text{lp}}(\mathrm {j} \omega )=-\tan ^{-1}{\frac {\omega }{\omega _{\text{c}}}}}$

เทียบกับโดยที่และคือความถี่เชิงมุมขาเข้าและความถี่เชิงมุมตัดตามลำดับ สำหรับความถี่ขาเข้าที่ต่ำกว่าความถี่มุมมาก อัตราส่วนจะมีค่าน้อย ดังนั้นมุมเฟสจึงใกล้เคียงกับศูนย์ เมื่ออัตราส่วนเพิ่มขึ้น ค่าสัมบูรณ์ของเฟสจะเพิ่มขึ้นและกลายเป็น −45° เมื่อเมื่ออัตราส่วนเพิ่มขึ้นสำหรับความถี่ขาเข้าที่มากกว่าความถี่มุมมาก มุมเฟสจะเข้าใกล้ −90° อย่างไม่สิ้นสุด มาตราส่วนความถี่สำหรับกราฟเฟสเป็นแบบลอการิทึม ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$${\displaystyle \omega /\omega _{\text{c}}}$${\displaystyle \omega =\omega _{\text{c}}}$

แกนความถี่แนวนอน ทั้งในกราฟขนาดและเฟส สามารถแทนที่ด้วยอัตราส่วนความถี่แบบนอร์มาไลซ์ (ไร้มิติ) ได้ในกรณีเช่นนี้ กราฟจะเรียกว่ากราฟแบบนอร์มาไลซ์ และไม่จำเป็นต้องใช้หน่วยของความถี่อีกต่อไป เนื่องจากความถี่อินพุตทั้งหมดแสดงเป็นพหุคูณของความถี่ตัดแล้ว ${\displaystyle \omega /\omega _{\text{c}}}$${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$

ภาพที่ 2–5 แสดงวิธีการสร้างแผนภาพโบเดเพิ่มเติม ตัวอย่างนี้ที่มีทั้งขั้วและศูนย์แสดงวิธีการใช้หลักการซ้อนทับ โดยเริ่มต้นจากการนำเสนอส่วนประกอบแต่ละส่วนแยกกัน

รูปที่ 2 แสดงกราฟขนาดของ Bode สำหรับจุดศูนย์และจุดขั้วความถี่ต่ำ และเปรียบเทียบกับกราฟเส้นตรงของ Bode กราฟเส้นตรงจะเป็นเส้นตรงแนวนอนจนถึงตำแหน่งจุดขั้ว (ศูนย์) แล้วจึงลดลง (เพิ่มขึ้น) ที่ 20 dB/ทศวรรษ รูปที่ 3 แสดงวิธีการเดียวกันสำหรับเฟส กราฟเฟสจะเป็นเส้นตรงแนวนอนจนถึงความถี่ที่ต่ำกว่าจุดขั้ว (ศูนย์) สิบเท่า แล้วจึงลดลง (เพิ่มขึ้น) ที่ 45°/ทศวรรษ จนกระทั่งความถี่สูงกว่าจุดขั้ว (ศูนย์) สิบเท่า จากนั้นกราฟจะเป็นเส้นตรงแนวนอนอีกครั้งที่ความถี่สูงขึ้น โดยมีการเปลี่ยนแปลงเฟสทั้งหมดครั้งสุดท้ายที่ 90°

รูปที่ 4 และรูปที่ 5 แสดงวิธีการซ้อนทับ (การบวกอย่างง่าย) ของกราฟขั้วและกราฟศูนย์ กราฟเส้นตรงของ Bode ถูกนำมาเปรียบเทียบกับกราฟที่แม่นยำอีกครั้ง โดยได้ย้ายศูนย์ไปที่ความถี่สูงกว่าขั้วเพื่อให้ได้ตัวอย่างที่น่าสนใจยิ่งขึ้น สังเกตในรูปที่ 4 ว่าการลดลง 20 dB/decade ของขั้วถูกหยุดโดยการเพิ่มขึ้น 20 dB/decade ของศูนย์ ส่งผลให้กราฟขนาดเป็นแนวนอนสำหรับความถี่ที่สูงกว่าตำแหน่งศูนย์ สังเกตในรูปที่ 5 ในกราฟเฟสว่าการประมาณค่าเส้นตรงนั้นค่อนข้างแม่นยำในบริเวณที่ทั้งขั้วและศูนย์ส่งผลต่อเฟส นอกจากนี้ สังเกตในรูปที่ 5 ว่าช่วงความถี่ที่เฟสเปลี่ยนแปลงในกราฟเส้นตรงนั้นจำกัดอยู่ที่ความถี่ที่สูงกว่าและต่ำกว่าตำแหน่งขั้ว (ศูนย์) ประมาณสิบเท่า ในกรณีที่เฟสของขั้วและศูนย์ปรากฏพร้อมกัน กราฟเฟสแบบเส้นตรงจะเป็นเส้นแนวนอน เนื่องจากค่าการลดลง 45°/ทศวรรษของขั้วถูกหยุดโดยค่าการเพิ่มขึ้น 45°/ทศวรรษที่ทับซ้อนกันของศูนย์ ในช่วงความถี่ที่จำกัดซึ่งทั้งสองมีส่วนร่วมอย่างแข็งขันต่อเฟส

• ตัวอย่างที่มีขั้วและศูนย์
• 
  รูปที่ 2: แผนภูมิแสดงค่า Bode สำหรับขั้วศูนย์และขั้วความถี่ต่ำ เส้นโค้งที่ระบุว่า "Bode" คือแผนภูมิ Bode แบบเส้นตรง
• 
  รูปที่ 3: แผนภูมิเฟสโบดสำหรับขั้วศูนย์และขั้วความถี่ต่ำ เส้นโค้งที่ระบุว่า "โบด" คือแผนภูมิโบดแบบเส้นตรง
• 
  รูปที่ 4: แผนภูมิขนาดโบเดสำหรับชุดขั้ว-ศูนย์; ตำแหน่งของศูนย์อยู่สูงกว่าในรูปที่ 2 และ 3 สิบเท่า; เส้นโค้งที่ระบุว่า "โบเด" คือแผนภูมิโบเดแบบเส้นตรง
• 
  รูปที่ 5: แผนภาพเฟสโบเดสำหรับชุดขั้ว-ศูนย์ ตำแหน่งของศูนย์อยู่สูงกว่าในรูปที่ 2 และ 3 สิบเท่า เส้นโค้งที่ระบุว่า "โบเด" คือแผนภาพโบเดแบบเส้นตรง

แผนภูมิโบเด (Bode plot) ใช้ในการประเมินเสถียรภาพของวงจรขยายสัญญาณป้อนกลับเชิงลบโดยการหาค่าขอบเขตการขยาย (gain margin) และขอบเขตเฟส (phase margin)ของวงจรขยาย แนวคิดเรื่องขอบเขตการขยายและขอบเขตเฟสนี้อิงตามนิพจน์การขยายสำหรับวงจรขยายสัญญาณป้อนกลับเชิงลบที่กำหนดโดย

${\displaystyle A_{\text{FB}}={\frac {A_{\text{OL}}}{1+\beta A_{\text{OL}}}},}$

โดยที่AFBคืออัตราขยายของแอมพลิฟายเออร์ที่มีการป้อนกลับ ( อัตราขยายแบบวงปิด ) βคือปัจจัยการป้อนกลับและAOLคืออัตราขยายที่ไม่มีการป้อนกลับ ( _{อัตรา}ขยายแบบวงเปิด ) อัตราขยาย_AOL เป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนของความถี่ ซึ่งมีทั้งขนาดและเฟส^{[หมายเหตุ 1 ]} _{การตรวจสอบความสัมพันธ์นี้แสดงให้ เห็น}ถึงความเป็นไปได้ของอัตราขยายอนันต์ (ตีความว่าเป็นความไม่เสถียร) หากผลคูณ β AOL = −1 (นั่นคือ ขนาดของ β AOLเป็นหนึ่งและเฟสเป็น −180° ซึ่งเรียกว่า เกณฑ์ความเสถียร _ของBarkhausen ) แผนภูมิ Bode ใช้เพื่อกำหนด _ว่าแอมพลิฟายเออร์เข้าใกล้เงื่อนไขนี้มากน้อยเพียงใด

หัวใจสำคัญของการพิจารณานี้คือความถี่สองค่า ค่าแรกซึ่งในที่นี้เรียกว่าf ₁₈₀คือความถี่ที่ค่าเกนแบบวงเปิดเปลี่ยนเครื่องหมาย ค่าที่สองซึ่งในที่นี้เรียกว่าf _{0 dB}คือความถี่ที่ขนาดของผลคูณ |β A _OL | = 1 = 0 dB กล่าวคือ ความถี่f ₁₈₀ถูกกำหนดโดยเงื่อนไข

${\displaystyle \beta A_{\text{OL}}(f_{180})=-|\beta A_{\text{OL}}(f_{180})|=-|\beta A_{\text{OL}}|_{180},}$

โดยที่เส้นแนวตั้งแสดงถึงขนาดของจำนวนเชิงซ้อนและความถี่f _{0 dB}ถูกกำหนดโดยเงื่อนไข

${\displaystyle |\beta A_{\text{OL}}(f_{\text{0 dB}})|=1.}$

มาตรวัดหนึ่งของความใกล้เคียงกับความไม่เสถียรคือขอบเขตอัตราขยาย (gain margin ) กราฟเฟสของ Bode จะระบุความถี่ที่เฟสของ β A _OLถึง −180° ซึ่งในที่นี้เรียกว่าความถี่f ₁₈₀โดยใช้ความถี่นี้ กราฟขนาดของ Bode จะหาขนาดของ β A _OLถ้า |β A _OL | ₁₈₀ ≥ 1 แสดงว่าแอมพลิฟายเออร์ไม่เสถียร ดังที่กล่าวไว้แล้ว ถ้า |β A _OL | ₁₈₀ < 1 แสดงว่าไม่มีความไม่เสถียรเกิดขึ้น และส่วนต่างในหน่วยเดซิเบลของขนาดของ |β A _OL | ₁₈₀จาก |β A _OL | = 1 เรียกว่าขอบเขตอัตราขยายเนื่องจากขนาด 1 เท่ากับ 0 เดซิเบล ขอบเขตอัตราขยายจึงเป็นรูปแบบที่เทียบเท่ากันรูปแบบหนึ่ง: ${\displaystyle 20\log _{10}|\beta A_{\text{OL}}|_{180}=20\log _{10}|A_{\text{OL}}|-20\log _{10}\beta ^{-1}}$

มาตรวัดความใกล้เคียงกับความไม่เสถียรอีกอย่างหนึ่งที่เทียบเท่ากันคือระยะขอบเฟส (phase margin ) กราฟแสดงขนาดของโบเด (Bode magnitude plot) จะระบุความถี่ที่ขนาดของ |β A _OL | มีค่าเท่ากับหนึ่ง ซึ่งในที่นี้เรียกว่าความถี่f _{0 dB}โดยใช้ความถี่นี้ กราฟแสดงเฟสของโบเด (Bode phase plot) จะหาเฟสของ β A _OLถ้าเฟสของ β A _OL ( f _{0 dB} ) > −180° เงื่อนไขความไม่เสถียรจะไม่สามารถเกิดขึ้นได้ที่ความถี่ใดๆ (เพราะขนาดของมันจะน้อยกว่า 1 เมื่อf = f ₁₈₀ ) และระยะห่างของเฟสที่f _{0 dB}ในหน่วยองศาที่มากกว่า −180° เรียกว่าระยะขอบเฟส (phase margin )

หากคำตอบง่ายๆ ว่าใช่หรือไม่ใช่เกี่ยวกับปัญหาเสถียรภาพก็เพียงพอแล้ว แอมพลิฟายเออร์จะมีเสถียรภาพหากf _{0 dB} < f ₁₈₀เกณฑ์นี้เพียงพอที่จะทำนายเสถียรภาพได้เฉพาะแอมพลิฟายเออร์ที่ตรงตามข้อจำกัดบางประการเกี่ยวกับตำแหน่งขั้วและศูนย์ ( ระบบ เฟสต่ำสุด ) แม้ว่าโดยปกติแล้วข้อจำกัดเหล่านี้จะเป็นไปตามที่กำหนด แต่หากไม่เป็นไปตามนั้น จะต้องใช้วิธีอื่น เช่นแผนภูมิNyquist ^{[ 6 ] [ 7 ]} สามารถคำนวณอัตราขยายและระยะขอบเฟสที่เหมาะสมที่สุดได้โดยใช้ทฤษฎีการแทรกสอดของ Nevanlinna–Pick ^{[ 8 ]}

ภาพที่ 6 และ 7 แสดงพฤติกรรมการขยายและคำศัพท์ที่เกี่ยวข้อง สำหรับวงจรขยายแบบสามขั้ว ภาพที่ 6 เปรียบเทียบกราฟ Bode สำหรับการขยายโดยไม่มีการป้อนกลับ ( การขยาย แบบวงเปิด ) A _OLกับการขยายที่มีการป้อนกลับA _FB ( การขยาย แบบวงปิด ) ดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ ที่วงจรขยายที่มีการป้อนกลับเชิงลบ

ในตัวอย่างนี้A _OL = 100 dB ที่ความถี่ต่ำ และ 1 / β = 58 dB ที่ความถี่ต่ำA _FB ≈ 58 dB เช่นกัน

เนื่องจากกราฟแสดงค่าอัตราขยายแบบวงเปิดA _OLไม่ใช่ผลคูณ β A _OLดังนั้นเงื่อนไขA _OL = 1 / β จึงกำหนดค่าf _{0 dB}อัตราขยายแบบป้อนกลับที่ความถี่ต่ำและสำหรับค่าA _OL มาก ๆ คือA _FB ≈ 1 / β (ดูสูตรสำหรับอัตราขยายแบบป้อนกลับที่ตอนต้นของหัวข้อนี้สำหรับกรณีที่อัตราขยายA _OL มาก ) ดังนั้นวิธีที่เทียบเท่าในการหาค่าf _{0 dB}คือการดูจุดที่อัตราขยายแบบป้อนกลับตัดกับอัตราขยายแบบวงเปิด (ความถี่f _{0 dB}จำเป็นสำหรับการหาค่าขอบเฟสในภายหลัง)

ใกล้จุดตัดของอัตราขยายทั้งสองที่f _{0 dB}เกณฑ์ของ Barkhausen เกือบจะตรงตามข้อกำหนดในตัวอย่างนี้ และแอมพลิฟายเออร์ป้อนกลับแสดงค่าอัตราขยายสูงสุดอย่างมาก (จะเป็นอนันต์หาก β A _OL = −1) เหนือความถี่อัตราขยายหนึ่งหน่วยf _{0 dB}อัตราขยายแบบวงเปิดมีค่าน้อยพอสมควรที่A _FB ≈ A _OL (ตรวจสอบสูตรที่จุดเริ่มต้นของส่วนนี้สำหรับกรณีที่A _OL มีค่าน้อย )

รูปที่ 7 แสดงการเปรียบเทียบเฟสที่สอดคล้องกัน: เฟสของตัวขยายสัญญาณป้อนกลับเกือบเป็นศูนย์จนถึงความถี่f ₁₈₀ซึ่งอัตราขยายแบบวงเปิดมีเฟสเท่ากับ −180° ในบริเวณนี้ เฟสของตัวขยายสัญญาณป้อนกลับลดลงอย่างรวดเร็วจนเกือบเท่ากับเฟสของตัวขยายสัญญาณแบบวงเปิด (โปรดจำไว้ว่าA _FB ≈ A _OLสำหรับ ค่า A _OL ขนาดเล็ก )

เมื่อเปรียบเทียบจุดที่ระบุในรูปที่ 6 และรูปที่ 7 จะเห็นได้ว่าความถี่อัตราขยายหนึ่งเท่า f _{0 dB}และความถี่การพลิกเฟสf ₁₈₀มีค่าใกล้เคียงกันมากในแอมพลิฟายเออร์นี้f ₁₈₀ ≈ f _{0 dB} ≈ 3.332 kHz ซึ่งหมายความว่าขอบเขตอัตราขยายและขอบเขตเฟสมีค่าเกือบเป็นศูนย์ แอมพลิฟายเออร์นี้มีเสถียรภาพในระดับปานกลาง

ภาพที่ 8 และ 9 แสดงให้เห็นถึงขอบเขตการขยายและขอบเขตเฟสสำหรับค่าป้อนกลับ β ที่แตกต่างกัน ค่าป้อนกลับที่เลือกนั้นเล็กกว่าในภาพที่ 6 หรือ 7 ทำให้เงื่อนไข | β A _OL | = 1 ย้ายไปที่ความถี่ต่ำลง ในตัวอย่างนี้ 1 / β = 77 dB และที่ความถี่ต่ำA _FB ≈ 77 dB เช่นกัน

รูปที่ 8 แสดงกราฟอัตราขยาย จากรูปที่ 8 จุดตัดของ 1 / β และA _OLเกิดขึ้นที่ f _{0 dB} = 1 kHz สังเกตว่าจุดสูงสุดของอัตราขยายA _FBใกล้f _{0 dB}เกือบหายไปแล้ว^{[หมายเหตุ 2 ] [ 9 ]}

รูปที่ 9 คือกราฟแสดงเฟส เมื่อใช้ค่าf _{0 dB} = 1 kHz ที่ได้จากกราฟขนาดในรูปที่ 8 ข้างต้น เฟสแบบวงเปิดที่f _{0 dB}คือ −135° ซึ่งเป็นระยะขอบเฟส 45° เหนือ −180°

จากรูปที่ 9 สำหรับเฟส −180° ค่าของf ₁₈₀ = 3.332 kHz (ซึ่งเป็นผลลัพธ์เดียวกันกับที่พบก่อนหน้านี้^{[หมายเหตุ 3 ]} ) อัตราขยายแบบวงเปิดจากรูปที่ 8 ที่f ₁₈₀คือ 58 dB และ 1 / β = 77 dB ดังนั้นระยะขอบอัตราขยายคือ 19 dB

ความเสถียรไม่ใช่เกณฑ์เดียวสำหรับการตอบสนองของแอมพลิฟายเออร์ และในหลายๆ แอปพลิเคชัน ความต้องการที่เข้มงวดกว่าความเสถียรคือการตอบสนองแบบขั้นบันได ที่ดี โดยทั่วไปแล้วการตอบสนองแบบขั้นบันไดที่ดีต้องมีระยะขอบเฟสอย่างน้อย 45° และมักจะแนะนำให้ใช้ระยะขอบมากกว่า 70° โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีที่ความแปรผันของส่วนประกอบเนื่องจากความคลาดเคลื่อนในการผลิตเป็นปัญหา^{[ 9 ]}ดูการอภิปรายเกี่ยวกับระยะขอบเฟสในบทความ เกี่ยว กับการตอบสนองแบบขั้นบันได ด้วย

• ตัวอย่าง
• 
  รูปที่ 6: อัตราขยายของวงจรขยายแบบป้อนกลับA _FBในหน่วยเดซิเบล และวงจรขยายแบบเปิดA _OL ที่สอดคล้องกัน พารามิเตอร์ 1/β = 58 เดซิเบล และที่ความถี่ต่ำA _FB ≈ 58 เดซิเบลเช่นกัน ขอบเขตอัตราขยายในวงจรขยายนี้เกือบเป็นศูนย์ เนื่องจาก | β A _OL | = 1 เกิด ขึ้น ที่ f = f _180°เกือบ
• 
  รูปที่ 7: เฟสของวงจรขยายสัญญาณป้อนกลับ°A _FBในหน่วยองศา และวงจรขยายสัญญาณแบบเปิด°A _OL ที่สอดคล้องกัน ระยะขอบเฟสในวงจรขยายสัญญาณนี้เกือบเป็นศูนย์ เนื่องจากเฟสพลิกกลับเกิดขึ้นที่ความถี่อัตราขยายเกือบหนึ่งf = f _{0 dB}โดยที่ | β A _OL | = 1
• 
  รูปที่ 8: อัตราขยายของวงจรขยายแบบป้อนกลับA _FBในหน่วยเดซิเบล และวงจรขยายแบบเปิดA _OL ที่สอดคล้องกัน ในตัวอย่างนี้ 1 / β = 77 เดซิเบล ระยะขอบอัตราขยายในวงจรขยายนี้คือ 19 เดซิเบล
• 
  รูปที่ 9: เฟสของวงจรขยายสัญญาณป้อนกลับA _FBในหน่วยองศา และวงจรขยายสัญญาณแบบเปิดA _OL ที่สอดคล้องกัน ระยะขอบเฟสในวงจรขยายสัญญาณนี้คือ 45°

เครื่องมือ Bode plotter เป็นเครื่องมืออิเล็กทรอนิกส์ที่มีลักษณะคล้ายออสซิลโลสโคปซึ่งสร้างแผนภาพ Bode หรือกราฟแสดงค่าการขยายแรงดันหรือการเปลี่ยนแปลงเฟสของวงจรเทียบกับความถี่ในระบบควบคุมป้อนกลับหรือตัวกรอง ตัวอย่างแสดงในรูปที่ 10 เครื่องมือนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับการวิเคราะห์และทดสอบตัวกรองและความเสถียรของ ระบบควบคุม ป้อนกลับโดยการวัดความถี่มุม (ความถี่ตัด) และขอบเขตการขยายและเฟส

ฟังก์ชันนี้เหมือนกับฟังก์ชันที่เครื่องวิเคราะห์เครือข่ายเวกเตอร์ ทำ แต่โดยทั่วไปแล้วเครื่องวิเคราะห์เครือข่ายจะใช้ที่ความถี่สูงกว่ามาก

เพื่อวัตถุประสงค์ทางการศึกษาและการวิจัย การสร้างแผนภาพโบเดสำหรับฟังก์ชันถ่ายโอนที่กำหนดจะช่วยให้เข้าใจได้ดีขึ้นและได้ผลลัพธ์เร็วขึ้น (ดูลิงก์ภายนอก)

กราฟสองแบบที่เกี่ยวข้องกันซึ่งแสดงข้อมูลเดียวกันในระบบพิกัด ที่แตกต่างกัน คือกราฟไนควิสต์ (Nyquist plot)และกราฟนิโคลส์ (Nichols plot ) กราฟเหล่านี้เป็นกราฟพาราเมตริกโดยมีความถี่เป็นอินพุต และขนาดและเฟสของการตอบสนองความถี่เป็นเอาต์พุต กราฟไนควิสต์แสดงข้อมูลเหล่านี้ในพิกัดเชิงขั้ว โดยขนาดจะสัมพันธ์กับรัศมี และเฟสจะสัมพันธ์กับมุม (argument) ส่วน กราฟนิโคลส์แสดงข้อมูลเหล่านี้ในพิกัดสี่เหลี่ยม บนมาตราส่วนลอการิทึม

• 
  รูปที่ 11: แผนภาพไนควิสต์
• 
  รูปที่ 12: แผนภูมิ Nicholsของการตอบสนองแบบเดียวกันกับในรูปที่ 11

• การประมวลผลสัญญาณอนาล็อก
• ระยะขอบเฟส
• อินทิกรัลความไวของโบเด
• ความสัมพันธ์ระหว่างขนาด (อัตราขยาย) และเฟสของโบเด
• สเปกโทรสโกปีไดอิเล็กทริก

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับแผนภูมิโบเด (Bode plots )

• วิธีการวาดกราฟ Bode แบบเส้นกำกับเป็นส่วนๆ
• โค้ด Gnuplot สำหรับสร้างแผนภูมิ Bode: แม่แบบสำหรับพิมพ์บนกระดาษขนาด DIN-A4 (pdf)