ในทฤษฎีการควบคุมและการประมวลผลสัญญาณระบบเชิงเส้นที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาเรียกว่าระบบเฟสต่ำสุดหากระบบและระบบผกผันเป็นระบบ เชิง สาเหตุและมีเสถียรภาพ^{[ 1 ] [ 2 ]}

ฟังก์ชันถ่ายโอน LTI ที่เป็นเหตุเป็นผล ทั่วไปที่สุดสามารถแยกตัวประกอบได้อย่างเฉพาะเจาะจงเป็นอนุกรมของระบบแบบ all-pass และระบบแบบ minimum phase ฟังก์ชันของระบบจะเป็นผลคูณของทั้งสองส่วน และในโดเมนเวลาการตอบสนองของระบบจะเป็นการสังเคราะห์ (convolution)ของการตอบสนองทั้งสองส่วน ความแตกต่างระหว่างฟังก์ชันถ่ายโอนแบบ minimum phase กับฟังก์ชันถ่ายโอนทั่วไปคือ ระบบแบบ minimum phase จะมีขั้วและศูนย์ทั้งหมดของฟังก์ชันถ่ายโอนอยู่ในครึ่งซ้ายของ ระนาบ s (ในเวลาแบบไม่ต่อเนื่อง จะอยู่ภายในวงกลมหน่วยของ ระนาบ z ตามลำดับ  ) เนื่องจากการผกผันฟังก์ชันของระบบทำให้ขั้วกลายเป็นศูนย์และในทางกลับกัน ขั้วที่อยู่ทางด้านขวา ( เส้นจินตนาการของระนาบs ) หรือภายนอก ( วงกลมหน่วยของระนาบz ) ของระนาบเชิงซ้อนจะนำไปสู่ระบบที่ไม่เสถียรดังนั้นเฉพาะระบบแบบ minimum phase เท่านั้นที่ปิดภายใต้การผกผัน โดยสัญชาตญาณแล้ว ส่วนเฟสต่ำสุดของระบบเหตุและผล ทั่วไป จะสร้างการตอบสนองแอมพลิจูดด้วยความล่าช้าของกลุ่ม น้อยที่สุด ในขณะที่ ส่วน ผ่านทั้งหมดจะแก้ไขการตอบสนองเฟสเพียงอย่างเดียวเพื่อให้สอดคล้องกับฟังก์ชันของระบบดั้งเดิม

การวิเคราะห์ในแง่ของขั้วและศูนย์นั้นมีความแม่นยำเฉพาะในกรณีของฟังก์ชันถ่ายโอนที่สามารถแสดงได้ในรูปอัตราส่วนของพหุนาม ในกรณีเวลาต่อเนื่อง ระบบดังกล่าวจะแปลงเป็นเครือข่ายของเครือข่าย LCR ในอุดมคติแบบดั้งเดิม ในเวลาไม่ต่อเนื่อง ระบบเหล่านั้นจะแปลงเป็นค่าประมาณได้อย่างสะดวกโดยใช้การบวก การคูณ และการหน่วงเวลาหนึ่งหน่วย สามารถแสดงได้ว่าในทั้งสองกรณี ฟังก์ชันระบบในรูปแบบตรรกยะที่มีลำดับเพิ่มขึ้นสามารถใช้เพื่อประมาณฟังก์ชันระบบอื่น ๆ ได้อย่างมีประสิทธิภาพ ดังนั้นแม้แต่ฟังก์ชันระบบที่ไม่มีรูปแบบตรรกยะ และมีขั้วและ/หรือศูนย์เป็นอนันต์ ก็สามารถนำไปใช้งานได้อย่างมีประสิทธิภาพในทางปฏิบัติเช่นเดียวกับฟังก์ชันอื่น ๆ

ในบริบทของระบบที่มีเสถียรภาพและเป็นเหตุเป็นผล ในทางทฤษฎีแล้ว เราสามารถเลือกได้ว่าค่าศูนย์ของฟังก์ชันระบบจะอยู่นอกช่วงที่มีเสถียรภาพหรือไม่ (ไปทางขวาหรือด้านนอก) หากเงื่อนไขการปิดไม่ใช่ปัญหา อย่างไรก็ตามการผกผันมีความสำคัญอย่างยิ่งในทางปฏิบัติ เช่นเดียวกับการแยกตัวประกอบที่สมบูรณ์แบบในทางทฤษฎี (ดูการแยกตัวประกอบแบบสมมาตร/ไม่สมมาตรเชิงสเปกตรัมเป็นตัวอย่างสำคัญอีกตัวอย่างหนึ่ง ซึ่งนำไปสู่ เทคนิค การแปลงฮิลเบิร์ต เป็นต้น ) ระบบทางกายภาพหลายระบบมักมีแนวโน้มไปสู่การตอบสนองเฟสต่ำสุดโดยธรรมชาติ และบางครั้งจำเป็นต้องผกผันโดยใช้ระบบทางกายภาพอื่น ๆ ที่เป็นไปตามข้อจำกัดเดียวกัน

ต่อไปนี้เป็นข้อมูลเชิงลึกว่าทำไมระบบนี้จึงเรียกว่าระบบเฟสต่ำสุด และทำไมแนวคิดพื้นฐานจึงยังคงใช้ได้แม้ว่าฟังก์ชันของระบบจะไม่สามารถแปลงให้อยู่ในรูปแบบเชิงตรรกะที่สามารถนำไปใช้ได้ก็ตาม

ระบบจะเรียกว่าระบบผกผันได้ ถ้าเราสามารถกำหนดอินพุตของระบบจากเอาต์พุตได้อย่างไม่ซ้ำกัน กล่าวคือ เราสามารถหาระบบได้เช่นนั้น ถ้าเราใช้ตามด้วยเราจะได้ระบบเอกลักษณ์(ดูเมทริกซ์ผกผันสำหรับตัวอย่างในมิติจำกัด) นั่นคือ ${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {H} _{\text{inv}}}$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {H} _{\text{inv}}}$${\displaystyle \mathbb {I} }$$${\displaystyle \mathbb {H} _{\text{inv}}\mathbb {H} =\mathbb {I} .}$$

สมมติว่าเป็นอินพุตของระบบและ ให้ผลลัพธ์ดังนี้: ${\displaystyle {\tilde {x}}}$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle {\tilde {y}}}$$${\displaystyle \mathbb {H} {\tilde {x}}={\tilde {y}}.}$$

การนำระบบผกผันมาใช้จะได้ผลลัพธ์ดังนี้ ${\displaystyle \mathbb {H} _{\text{inv}}}$${\displaystyle {\tilde {y}}}$$${\displaystyle \mathbb {H} _{\text{inv}}{\tilde {y}}=\mathbb {H} _{\text{inv}}\mathbb {H} {\tilde {x}}=\mathbb {I} {\tilde {x}}={\tilde {x}}.}$$

ดังนั้นเราจะเห็นว่าระบบผกผันช่วยให้เราสามารถระบุอินพุตจากเอาต์พุต ได้อย่างเฉพาะ เจาะจง ${\displaystyle \mathbb {H} _{inv}}$${\displaystyle {\tilde {x}}}$${\displaystyle {\tilde {y}}}$

สมมติว่าระบบเป็นระบบเชิงเส้นแบบไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา (LTI) ในเวลาไม่ต่อเนื่อง ซึ่งอธิบายโดย การตอบสนองต่อแรงกระตุ้นสำหรับnในZนอกจากนี้ สมมติว่ามี การตอบสนองต่อแรงกระตุ้น การต่ออนุกรมของระบบ LTI สองระบบคือการสังเคราะห์ (convolution ) ในกรณีนี้ ความสัมพันธ์ข้างต้นจะเป็นดังนี้: โดยที่คือเดลต้าโครเนกเกอร์หรือ ระบบ เอกลักษณ์ในกรณีเวลาไม่ต่อเนื่อง (การเปลี่ยนลำดับของและสามารถทำได้เนื่องจากการสลับที่กันของการดำเนินการสังเคราะห์) โปรดทราบว่าระบบผกผันนี้ไม่จำเป็นต้องมีเอกลักษณ์เฉพาะ ${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle h(n)}$${\displaystyle \mathbb {H} _{\text{inv}}}$${\displaystyle h_{\text{inv}}(n)}$$${\displaystyle (h_{\text{inv}}*h)(n)=(h*h_{\text{inv}})(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(k)h_{\text{inv}}(nk)=\delta (n),}$$${\displaystyle \delta (n)}$${\displaystyle h_{\text{inv}}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \mathbb {H} _{\text{inv}}}$

เมื่อเรากำหนดข้อจำกัดของความเป็นเหตุเป็นผลและความเสถียรระบบผกผันจะมีเพียงหนึ่งเดียว และระบบและระบบผกผันของมันเรียกว่าระบบเฟสต่ำสุดข้อจำกัดของความเป็นเหตุเป็นผลและความเสถียรในกรณีเวลาไม่ต่อเนื่องมีดังต่อไปนี้ (สำหรับระบบที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลา โดยที่hคือการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นของระบบ และคือค่ามาตรฐานℓ ¹ ): ${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {H} _{\text{inv}}}$${\displaystyle \|{\cdot }\|_{1}}$

$${\displaystyle h(n)=0\ \forall n<0}$$ และ $${\displaystyle h_{\text{inv}}(n)=0\ \forall n<0.}$$

$${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|h(n)|=\|h\|_{1}<\infty }$$ และ $${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|h_{\text{inv}}(n)|=\|h_{\text{inv}}\|_{1}<\infty .}$$

โปรดดูบทความเกี่ยวกับเสถียรภาพสำหรับเงื่อนไขที่คล้ายคลึงกันในกรณีเวลาต่อเนื่อง

การวิเคราะห์ความถี่สำหรับกรณีเวลาไม่ต่อเนื่องจะให้ข้อมูลเชิงลึกบางอย่าง สมการในโดเมนเวลาคือ $${\displaystyle (h*h_{\text{inv}})(n)=\delta (n).}$$

การใช้การแปลง Zทำให้ได้ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ใน โดเมน z  : $${\displaystyle H(z)H_{\text{inv}}(z)=1.}$$

จากความสัมพันธ์นี้ เราจึงตระหนักว่า $${\displaystyle H_{\text{inv}}(z)={\frac {1}{H(z)}}.}$$

เพื่อความง่าย เราจะพิจารณาเฉพาะกรณีของฟังก์ชันถ่ายโอนเชิงตรรกะH ( z ) เท่านั้น ความเป็นเหตุเป็นผลและความเสถียรบ่งชี้ว่าขั้ว ทั้งหมด ของH ( z )จะต้องอยู่ภายในวงกลมหน่วย อย่างเคร่งครัด (ดูความเสถียร ) สมมติว่า โดยที่A ( z )และD ( z )เป็นพหุนามในzความเป็นเหตุเป็นผลและความเสถียรบ่งชี้ว่าขั้ว  – รากของD ( z )  – จะต้องอยู่ภายในวงกลมหน่วย อย่างเคร่งครัด เรายังทราบด้วยว่า ดังนั้นความเป็นเหตุเป็นผลและความเสถียรสำหรับบ่งชี้ว่าขั้ว ของมัน  – รากของA ( z )  – จะต้องอยู่ภายในวงกลมหน่วยข้อจำกัดทั้งสองนี้บ่งชี้ว่าทั้งศูนย์และขั้วของระบบเฟสต่ำสุดจะต้องอยู่ภายในวงกลมหน่วยอย่างเคร่งครัด $${\displaystyle H(z)={\frac {A(z)}{D(z)}},}$$$${\displaystyle H_{\text{inv}}(z)={\frac {D(z)}{A(z)}},}$$${\displaystyle H_{\text{inv}}(z)}$

การวิเคราะห์กรณีเวลาต่อเนื่องดำเนินไปในลักษณะเดียวกัน ยกเว้นว่าเราใช้การแปลงลาปลาสสำหรับการวิเคราะห์ความถี่ สมการในโดเมนเวลาคือ โดยที่คือฟังก์ชันเดลต้าของดิแรก  ซึ่งเป็นตัวดำเนินการเอกลักษณ์ในกรณีเวลาต่อเนื่องเนื่องจากคุณสมบัติการกรองกับสัญญาณx ( t ) ใดๆ : $${\displaystyle (h*h_{\text{inv}})(t)=\delta (t),}$$${\displaystyle \delta (t)}$$${\displaystyle (\delta *x)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t-\tau )x(\tau )\,d\tau =x(t).}$$

การใช้การแปลงลาปลาสทำให้ได้ความสัมพันธ์ต่อไปนี้ในระนาบ s : จากนั้นเราจึงทราบว่า $${\displaystyle H(s)H_{\text{inv}}(s)=1,}$$$${\displaystyle H_{\text{inv}}(s)={\frac {1}{H(s)}}.}$$

เพื่อความง่าย เราจะพิจารณาเฉพาะกรณีของฟังก์ชันถ่ายโอนเชิงตรรกะH ( s ) เท่านั้น ความเป็นเหตุเป็นผลและความเสถียรบ่งชี้ว่าขั้ว ทั้งหมด ของH ( s ) จะต้องอยู่ภายใน ระนาบ sครึ่งซ้ายอย่างเคร่งครัด(ดูความเสถียร ) สมมติว่า A ( s )และ D ( s )เป็นพหุนามในsความเป็นเหตุเป็นผลและความเสถียรบ่งชี้ว่าขั้ว  – รากของD ( s ) – จะต้องอยู่ภายใน ระนาบ s  ครึ่งซ้ายนอกจากนี้เรารู้ว่า ดังนั้นความเป็นเหตุเป็นผลและความเสถียรสำหรับบ่งชี้ว่าขั้ว ของมัน  – รากของA ( s ) – จะต้องอยู่ภายใน ระนาบ s  ครึ่งซ้ายอย่างเคร่งครัด ข้อจำกัดทั้งสองนี้บ่งชี้ว่าทั้งศูนย์และขั้วของระบบเฟสต่ำสุดจะต้องอยู่ภายใน ระนาบ sครึ่งซ้ายอย่างเคร่งครัด $${\displaystyle H(s)={\frac {A(s)}{D(s)}},}$$$${\displaystyle H_{\text{inv}}(s)={\frac {D(s)}{A(s)}},}$$${\displaystyle H_{\text{inv}}(s)}$

ระบบเฟสต่ำสุด ไม่ว่าจะเป็นระบบเวลาไม่ต่อเนื่องหรือระบบเวลาต่อเนื่อง มีคุณสมบัติที่มีประโยชน์เพิ่มเติมคือลอการิทึมธรรมชาติของขนาดของการตอบสนองความถี่ ("อัตราขยาย" ที่วัดในหน่วยเนเปอร์ซึ่งเป็นสัดส่วนกับเดซิเบล ) มีความสัมพันธ์กับมุมเฟสของการตอบสนองความถี่ (วัดในหน่วยเรเดียน ) โดยการแปลงฮิลเบิร์ตนั่นคือ ในกรณีเวลาต่อเนื่อง ให้ เป็นการตอบสนองความถี่เชิงซ้อนของระบบH ( s )จากนั้น สำหรับระบบเฟสต่ำสุดเท่านั้น การตอบสนองเฟสของH ( s )จะมีความสัมพันธ์กับอัตราขยายโดย โดย ที่แทนการแปลงฮิลเบิร์ต และในทางกลับกัน $${\displaystyle H(j\omega )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ H(s){\Big |}_{s=j\omega }}$$$${\displaystyle \arg[H(j\omega )]=-{\mathcal {H}}{\big \{}\log {\big (}|H(j\omega )|{\big )}{\big \}},}$$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$$${\displaystyle \log {\big (}|H(j\omega )|{\big )}=\log {\big (}|H(j\infty )|{\big )}+{\mathcal {H}}{\big \{}\arg[H(j\omega )]{\big \}}.}$$

กล่าวโดยย่อ ให้ โดยที่และเป็นฟังก์ชันจริงของตัวแปรจริง ดังนั้น และ $${\displaystyle H(j\omega )=|H(j\omega )|e^{j\arg[H(j\omega )]}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ e^{\alpha (\omega )}e^{j\phi (\omega )}=e^{\alpha (\omega )+j\phi (\omega )},}$$${\displaystyle \alpha (\omega )}$${\displaystyle \phi (\omega )}$$${\displaystyle \phi (\omega )=-{\mathcal {H}}\{\alpha (\omega )\}}$$$${\displaystyle \alpha (\omega )=\alpha (\infty )+{\mathcal {H}}\{\phi (\omega )\}.}$$

ตัวดำเนินการแปลงฮิลเบิร์ตถูกกำหนดให้เป็นดังนี้ $${\displaystyle {\mathcal {H}}\{x(t)\}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\hat {x}}(t)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau .}$$

ความสัมพันธ์ที่สอดคล้องกันในลักษณะเดียวกันนี้ยังใช้ได้กับระบบเฟสต่ำสุดแบบเวลาไม่ต่อเนื่องด้วย

สำหรับ ระบบ เชิงสาเหตุและเสถียร ทั้งหมดที่มี การตอบสนองขนาดเดียวกันระบบเฟสต่ำสุดจะมีพลังงานกระจุกตัวอยู่ใกล้จุดเริ่มต้นของการตอบสนองแบบอิมพัลส์กล่าวคือ จะลดฟังก์ชันต่อไปนี้ให้เหลือน้อยที่สุด ซึ่งเราสามารถมองว่าเป็นความล่าช้าของพลังงานในการตอบสนองแบบอิมพัลส์ได้ : $${\displaystyle \sum _{n=m}^{\infty }|h(n)|^{2}\quad \forall m\in \mathbb {Z} ^{+}.}$$

สำหรับระบบ เชิงสาเหตุและเสถียรทั้งหมด ที่มี การตอบสนองขนาดเดียวกันระบบเฟสต่ำสุดจะมีค่าความหน่วงกลุ่ม ต่ำสุด การพิสูจน์ต่อไปนี้แสดงให้เห็นถึงแนวคิดเรื่องค่าความหน่วงกลุ่ม ต่ำสุด นี้

สมมติว่าเราพิจารณาศูนย์ หนึ่งตัว ของฟังก์ชันถ่ายโอนลองวางศูนย์ นี้ไว้ ภายในวงกลมหน่วย ( ) แล้วดูว่าความล่าช้าของกลุ่มได้รับผลกระทบ อย่างไร${\displaystyle a}$${\displaystyle H(z)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \left|a\right|<1}$$${\displaystyle a=\left|a\right|e^{i\theta _{a}}\,{\text{ where }}\,\theta _{a}=\operatorname {Arg} (a)}$$

เนื่องจากค่าศูนย์ มีส่วนทำให้เกิดฟังก์ชันถ่ายโอนดังนั้นเฟสที่เกิดจากเทอมนี้จึงเป็นดังต่อไปนี้ ${\displaystyle a}$${\displaystyle 1-az^{-1}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{a}\left(\omega \right)&=\operatorname {Arg} \left(1-ae^{-i\omega }\right)\\&=\operatorname {Arg} \left(1-\left|a\right|e^{i\theta _{a}}e^{-i\omega }\right)\\&=\operatorname {Arg} \left(1-\left|a\right|e^{-i(\omega -\theta _{a})}\right)\\&=\operatorname {Arg} \left(\left\{1-\left|a\right|\cos(\omega -\theta _{a})\right\}+i\left\{\left|a\right|\sin(\omega -\theta _{a})\right\}\right)\\&=\operatorname {Arg} \left(\left\{\left|a\right|^{-1}-\cos(\omega -\theta _{a})\right\}+i\left\{\sin(\omega -\theta _{a})\right\}\right)\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \phi _{a}(\omega )}$มีส่วนทำให้ เกิดความล่าช้าของกลุ่มดังต่อไปนี้

$${\displaystyle {\begin{aligned}-{\frac {d\phi _{a}(\omega )}{d\omega }}&={\frac {\sin ^{2}(\omega -\theta _{a})+\cos ^{2}(\omega -\theta _{a})-\left|a\right|^{-1}\cos(\omega -\theta _{a})}{\sin ^{2}(\omega -\theta _{a})+\cos ^{2}(\omega -\theta _{a})+\left|a\right|^{-2}-2\left|a\right|^{-1}\cos(\omega -\theta _{a})}}\\&={\frac {\left|a\right|-\cos(\omega -\theta _{a})}{\left|a\right|+\left|a\right|^{-1}-2\cos(\omega -\theta _{a})}}\end{aligned}}}$$

ตัวส่วนและจะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อสะท้อนศูนย์ออกนอกวงกลมหน่วย กล่าวคือ แทนที่ด้วยอย่างไรก็ตาม การสะท้อนออกนอกวงกลมหน่วยจะเพิ่มขนาดของในตัวเศษ ดังนั้น การมีอยู่ภายในวงกลมหน่วยจะช่วยลดความล่าช้าของกลุ่มที่เกิดจากตัวประกอบให้ น้อยที่สุด เราสามารถขยายผลลัพธ์นี้ไปยังกรณีทั่วไปที่มี ศูนย์มากกว่าหนึ่ง ตัวได้ เนื่องจากเฟสของตัวคูณในรูปแบบนั้นสามารถบวกกันได้ กล่าวคือ สำหรับฟังก์ชันถ่ายโอนที่มี ศูนย์${\displaystyle \theta _{a}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle (a^{-1})^{*}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \left|a\right|}$${\displaystyle a}$${\displaystyle 1-az^{-1}}$${\displaystyle 1-a_{i}z^{-1}}$${\displaystyle N}$$${\displaystyle \operatorname {Arg} \left(\prod _{i=1}^{N}\left(1-a_{i}z^{-1}\right)\right)=\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Arg} \left(1-a_{i}z^{-1}\right)}$$

ดังนั้น ระบบเฟสต่ำสุดที่มีศูนย์ ทั้งหมด อยู่ภายในวงกลมหน่วย จะทำให้ ความล่าช้าของกลุ่มมีค่าน้อยที่สุดเนื่องจากความล่าช้าของกลุ่ม ของ ศูนย์แต่ละตัวมีค่าน้อยที่สุด

ระบบที่เป็นเหตุเป็นผลและเสถียร ในขณะที่ระบบผกผันเป็นเหตุเป็นผลแต่ไม่เสถียร เรียกว่า ระบบ ที่ไม่ใช่เฟสต่ำสุดระบบที่ไม่ใช่เฟสต่ำสุดจะมีส่วนประกอบของเฟสมากกว่าระบบเฟสต่ำสุดที่มีการตอบสนองขนาดที่เทียบเท่ากัน

ระบบ เฟสสูงสุดเป็นสิ่งที่ตรงข้ามกับระบบเฟสต่ำสุด ระบบ LTI ที่เป็นเหตุเป็นผลและเสถียรจะเป็น ระบบ เฟสสูงสุดก็ต่อเมื่อระบบผกผันของระบบนั้นเป็นเหตุเป็นผลแต่ไม่เสถียร กล่าวคือ

• จุดศูนย์ของระบบเวลาไม่ต่อเนื่องอยู่นอกวงกลมหน่วย
• จุดศูนย์ของระบบเวลาต่อเนื่อง จะอยู่ทางด้านขวามือของระนาบเชิงซ้อน

ระบบดังกล่าวเรียกว่าระบบเฟสสูงสุดเนื่องจากมีค่าความหน่วงกลุ่ม สูงสุด ในกลุ่มระบบที่มีการตอบสนองขนาดเท่ากัน ในกลุ่มระบบที่มีการตอบสนองขนาดเท่ากันนี้ ระบบเฟสสูงสุดจะมีค่าความหน่วงพลังงานสูงสุด

ตัวอย่างเช่น ระบบ LTI แบบต่อเนื่องสองระบบที่อธิบายโดยฟังก์ชันถ่ายโอน $${\displaystyle {\frac {s+10}{s+5}}\qquad {\text{and}}\qquad {\frac {s-10}{s+5}}}$$

มีการตอบสนองขนาดที่เทียบเท่ากัน อย่างไรก็ตาม ระบบที่สองมีส่วนสนับสนุนต่อการเปลี่ยนแปลงเฟสมากกว่ามาก ดังนั้น ในชุดนี้ ระบบที่สองจึงเป็นระบบเฟสสูงสุด และระบบแรกเป็นระบบเฟสต่ำสุด ระบบเหล่านี้ยังเป็นที่รู้จักกันดีในชื่อระบบเฟสไม่ต่ำสุด ซึ่งก่อให้เกิดความกังวลเกี่ยวกับเสถียรภาพในการควบคุมมากมาย วิธีแก้ปัญหาล่าสุดสำหรับระบบเหล่านี้คือการย้ายศูนย์ RHP ไปยัง LHP โดยใช้วิธี PFCD ^{[ 3 ]}

ระบบเฟสผสม จะมี ค่าศูนย์บางส่วนอยู่ภายในวงกลมหน่วยและบางส่วนอยู่ภายนอกวงกลมหน่วยดังนั้นค่าหน่วงเวลาของกลุ่มจึงไม่ต่ำสุดหรือสูงสุด แต่จะอยู่ระหว่างค่าหน่วงเวลาของกลุ่มของระบบเทียบเท่าเฟสต่ำสุดและระบบเทียบเท่าเฟสสูงสุด

ตัวอย่างเช่น ระบบ LTI แบบต่อเนื่องที่อธิบายโดยฟังก์ชันถ่ายโอนนั้น มีเสถียรภาพและเป็นเหตุเป็นผล อย่างไรก็ตาม ระบบดังกล่าวมีศูนย์ทั้งทางด้านซ้ายและด้านขวาของระนาบเชิงซ้อนดังนั้นจึงเป็น ระบบ เฟสผสม เพื่อควบคุมฟังก์ชันถ่ายโอนที่รวมถึงระบบเหล่านี้ จึง มีการเสนอ วิธีการต่างๆ เช่น ตัวควบคุมแบบจำลองภายใน (IMC) ^{[ 4 ]}ตัวทำนายของสมิธแบบทั่วไป (GSP) ^{[ 5 ]}และการควบคุมแบบป้อนไปข้างหน้าแบบขนานพร้อมอนุพันธ์ (PFCD) ^{[ 6 ]}$${\displaystyle {\frac {(s+1)(s-5)(s+10)}{(s+2)(s+4)(s+6)}}}$$

ระบบเฟสเชิงเส้นจะมีค่าความหน่วงกลุ่ม คงที่ ระบบเฟสเชิงเส้นที่ไม่ธรรมดาหรือเกือบเป็นเฟสเชิงเส้นก็จัดเป็นระบบเฟสผสมเช่นกัน

• ตัวกรองแบบออลพาส  – กรณีพิเศษที่ไม่ใช่แบบเฟสต่ำสุด
• ความสัมพันธ์ Kramers–Kronig  – ระบบเฟสต่ำสุดในฟิสิกส์