ในด้านการประมวลผลสัญญาณความล่าช้าของกลุ่ม ( Group Delay ) และความล่าช้าของเฟส (Phase Delay ) เป็นฟังก์ชันที่อธิบายถึงเวลาหน่วงที่เกิดขึ้นกับส่วนประกอบความถี่ไซน์ต่างๆ ของสัญญาณ ขณะที่สัญญาณเหล่านั้นผ่านระบบเชิงเส้นคงที่ตามเวลา (LTI) (เช่นไมโครโฟนสายโคแอกเซียล เครื่องขยายเสียงลำโพงระบบสื่อสารสายอีเธอร์เน็ตตัวกรองดิจิทัลหรือตัวกรองอนาล็อก )

ความล่าช้าเหล่านี้บางครั้งขึ้นอยู่กับความถี่^{[ 1 ]}ซึ่งหมายความว่าส่วนประกอบความถี่ไซน์ที่แตกต่างกันจะประสบกับความล่าช้าของเวลาที่แตกต่างกัน ส่งผลให้รูปคลื่น ของสัญญาณ เกิดการบิดเบือนเมื่อผ่านระบบ การบิดเบือนนี้อาจทำให้เกิดปัญหาต่างๆ เช่นคุณภาพ ต่ำ ในวิดีโออนาล็อกและเสียงอนาล็อกหรืออัตราข้อผิดพลาดบิต สูง ในสตรีมบิตดิจิทัล

การวิเคราะห์ฟูริเยร์เผยให้เห็นว่าสัญญาณในเวลาสามารถแสดงได้อีกแบบหนึ่งเป็นผลรวมของส่วนประกอบความถี่ไซน์ โดยแต่ละส่วนประกอบนั้นอิงตามฟังก์ชันตรีโกณมิติที่มีแอมพลิจูดและเฟสคงที่ และไม่มีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด ${\displaystyle \sin(x)}$

ระบบเชิงเส้นที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาจะประมวลผลส่วนประกอบไซน์แต่ละส่วนอย่างอิสระ คุณสมบัติของความเป็นเชิงเส้นหมายความว่าระบบเหล่านี้เป็นไปตามหลักการซ้อนทับ

คุณสมบัติการหน่วงเวลาของกลุ่มและการหน่วงเวลาของเฟสของระบบเชิงเส้นคงที่ตามเวลา (LTI) เป็นฟังก์ชันของความถี่ โดยให้เวลาตั้งแต่ส่วนประกอบความถี่ ของ ปริมาณทาง กายภาพ ที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาเช่น สัญญาณแรงดันไฟฟ้า ปรากฏที่อินพุตของระบบ LTI จนถึงเวลาที่สำเนาของส่วนประกอบความถี่เดียวกันนั้น ซึ่งอาจเป็นปรากฏการณ์ทางกายภาพที่แตกต่างกัน ปรากฏที่เอาต์พุตของระบบ LTI

การตอบสนองเฟสที่แปรผันตามฟังก์ชันของความถี่ ซึ่งสามารถคำนวณความล่าช้าของกลุ่มและความล่าช้าของเฟสได้ มักเกิดขึ้นในอุปกรณ์ต่างๆ เช่น ไมโครโฟน เครื่องขยายเสียง ลำโพง เครื่องบันทึกแม่เหล็ก หูฟัง สายโคแอกเซียล และตัวกรองป้องกันการเกิดสัญญาณรบกวน^{[ 2 ]}ส่วนประกอบความถี่ทั้งหมดของสัญญาณจะเกิดความล่าช้าเมื่อผ่านอุปกรณ์ดังกล่าว หรือเมื่อแพร่กระจายผ่านอวกาศหรือตัวกลาง เช่น อากาศหรือน้ำ

ในขณะที่การตอบสนองเฟสอธิบายการเปลี่ยนแปลงเฟสในหน่วยเชิงมุม (เช่นองศาหรือเรเดียน ) การหน่วงเฟสจะอยู่ในหน่วยเวลาและเท่ากับค่าลบของการเปลี่ยนแปลงเฟสที่แต่ละความถี่หารด้วยค่าของความถี่นั้น การหน่วงกลุ่มคือค่าอนุพันธ์ ลบ ของการเปลี่ยนแปลงเฟสเทียบกับความถี่

ระบบหรืออุปกรณ์เชิงเส้นที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาจะมี คุณสมบัติ การตอบสนองเฟสและคุณสมบัติการหน่วงเฟส โดยที่คุณสมบัติหนึ่งสามารถคำนวณได้อย่างแม่นยำจากอีกคุณสมบัติหนึ่ง การหน่วงเฟสจะวัด การหน่วง เวลาของอุปกรณ์หรือระบบของ ส่วนประกอบความถี่ ไซน์ แต่ละส่วนโดยตรง หากฟังก์ชันการหน่วงเฟสที่ความถี่ใดๆ ภายในช่วงความถี่ที่สนใจ มีค่าคงที่สัดส่วนเดียวกันระหว่างเฟสที่ความถี่ที่เลือกและความถี่ที่เลือกเอง ระบบ/อุปกรณ์จะมีคุณสมบัติการหน่วงเฟสแบบราบเรียบในอุดมคติ หรือที่เรียกว่าเฟสเชิงเส้น [ ^{1 ] เนื่องจาก}การหน่วงเฟสเป็นฟังก์ชันของความถี่ที่ให้การหน่วงเวลา การเบี่ยงเบนจากความราบเรียบของกราฟฟังก์ชันสามารถเปิดเผยความแตกต่างของการหน่วงเวลาในส่วนประกอบความถี่ ไซน์ต่างๆ ของสัญญาณ ซึ่งในกรณีนี้ความแตกต่างเหล่านั้นจะส่งผลให้เกิดการบิดเบือนสัญญาณ ซึ่งปรากฏให้เห็นเป็นรูปร่างของรูปคลื่นสัญญาณเอาต์พุตที่แตกต่างจากสัญญาณอินพุต

โดยทั่วไป คุณสมบัติการหน่วงเฟสจะไม่ให้ข้อมูลที่เป็นประโยชน์หากสัญญาณอินพุตของอุปกรณ์เป็น สัญญาณ มอดูเลตในกรณีนั้น ต้องใช้การหน่วงกลุ่มแทน

ความล่าช้าของกลุ่มเป็นการวัดความเป็นเชิงเส้นของเฟสเทียบกับความถี่ในระบบการมอดูเลชันที่สะดวก^{[ 3 ] [ 4 ]}สำหรับสัญญาณมอดูเลชัน ( สัญญาณแถบ ความถี่ผ่าน ) ข้อมูลที่ส่งผ่านสัญญาณจะถูกส่งผ่านซองคลื่น เท่านั้น ดังนั้นความล่าช้าของกลุ่มจึงทำงานเฉพาะกับส่วนประกอบความถี่ที่ได้มาจากซองคลื่น

ค่าความหน่วงกลุ่ม (group delay) ของอุปกรณ์สามารถคำนวณได้อย่างแม่นยำจากค่าการตอบสนองเฟส (phase response) ของอุปกรณ์แต่ในทางกลับกันนั้นทำไม่ได้ตัวอย่างการใช้งานที่ง่ายที่สุดของค่าความหน่วงกลุ่มแสดงในรูปที่ 1 ซึ่งแสดง ระบบ การมอดูเลชั่น เชิงแนวคิด ซึ่งตัวมันเองก็เป็นระบบ LTI ที่มีเอาต์พุตเบสแบนด์ซึ่งในอุดมคติแล้วเป็นสำเนาที่แม่นยำของสัญญาณอินพุตเบสแบนด์ ระบบทั้งหมดนี้เรียกว่าระบบ/อุปกรณ์ LTI ภายนอก ซึ่งประกอบด้วยระบบ/อุปกรณ์ LTI ภายใน (บล็อกสีแดง) เช่นเดียวกับกรณีของระบบวิทยุ ระบบ LTI สีแดงภายในในรูปที่ 1 สามารถแทนระบบ LTI สองระบบที่ต่อกันแบบอนุกรมได้ ตัวอย่างเช่น แอมพลิฟายเออร์ที่ขับเสาอากาศส่งสัญญาณที่ฝั่งส่ง และอีกตัวหนึ่งเป็นเสาอากาศและแอมพลิฟายเออร์ที่ฝั่งรับ

การมอดูเลชั่นแอมพลิจูดสร้างสัญญาณพาสแบนด์โดยการเลื่อนส่วนประกอบความถี่เบสแบนด์ไปยังช่วงความถี่ที่สูงขึ้นมาก แม้ว่าความถี่จะแตกต่างกัน แต่สัญญาณพาสแบนด์ก็มีข้อมูลเดียวกันกับสัญญาณเบสแบนด์ ตัวดีมอดูเลเตอร์ทำในสิ่งที่ตรงกันข้าม โดยเลื่อนความถี่พาสแบนด์กลับลงมายังช่วงความถี่เบสแบนด์เดิม ในอุดมคติแล้ว สัญญาณเอาต์พุต (เบสแบนด์) จะเป็นเวอร์ชันที่หน่วงเวลาของสัญญาณอินพุต (เบสแบนด์) โดยที่รูปคลื่นของเอาต์พุตจะเหมือนกับของอินพุต

ในรูปที่ 1 ความล่าช้าของเฟสของระบบภายนอกเป็นตัวชี้วัดประสิทธิภาพที่สำคัญสำหรับการมอดูเลชั่นแอมพลิจูด ความล่าช้าของกลุ่มอุปกรณ์ LTI สีแดงด้านในจะกลายเป็นความล่าช้าของเฟสของอุปกรณ์ LTI ภายนอกหากความล่าช้าของกลุ่มอุปกรณ์สีแดงด้านในราบเรียบอย่างสมบูรณ์ในช่วงความถี่ที่สนใจ อุปกรณ์ภายนอกจะมีค่าในอุดมคติของความล่าช้าของเฟสที่ราบเรียบอย่างสมบูรณ์เช่นกัน โดยที่การบิดเบือนที่เกิดจากการตอบสนองเฟสของอุปกรณ์ LTI ภายนอก—ซึ่งกำหนดโดยการตอบสนองเฟสที่อาจแตกต่างกันของอุปกรณ์ภายใน—จะถูกกำจัดออกไป ในกรณีนั้น ความล่าช้าของกลุ่มของอุปกรณ์สีแดงด้านในและความล่าช้าของเฟสของอุปกรณ์ภายนอกจะให้ค่าความล่าช้าของเวลาเดียวกันสำหรับสัญญาณโดยรวม ตั้งแต่สัญญาณอินพุตเบสแบนด์ไปจนถึงสัญญาณเอาต์พุตเบสแบนด์สิ่งสำคัญที่ควรทราบคือ เป็นไปได้ที่อุปกรณ์ด้านใน (สีแดง) จะมีความล่าช้าของเฟสที่ไม่ราบเรียบมาก (แต่ความล่าช้าของกลุ่มราบเรียบ) ในขณะที่อุปกรณ์ภายนอกมีค่าในอุดมคติของความล่าช้าของเฟสที่ราบเรียบอย่างสมบูรณ์ นี่เป็นเรื่องโชคดีเพราะในการออกแบบอุปกรณ์ LTI การทำให้ความล่าช้าของกลุ่มราบเรียบนั้นง่ายกว่าการทำให้ความล่าช้าของเฟสราบเรียบ

ในระบบการมอดูเลชั่นเชิงมุม เช่น การมอดูเลชั่นความถี่ (FM) หรือการมอดูเลชั่นเฟส (PM) สัญญาณย่านความถี่ผ่าน (FM หรือ PM) ที่ป้อนเข้าระบบ LTI สามารถวิเคราะห์ได้เป็นสัญญาณย่านความถี่ผ่านสองสัญญาณแยกกัน คือ สัญญาณย่านความถี่ผ่านแบบแอมพลิจูดมอดูเลชั่น (AM) เฟสตรงกัน (I) และสัญญาณย่านความถี่ผ่านแบบแอมพลิจูดมอดูเลชั่น (AM) เฟสตั้งฉาก (Q) โดยผลรวมของทั้งสองสัญญาณจะสร้างสัญญาณย่านความถี่ผ่านแบบการมอดูเลชั่นเชิงมุม (FM หรือ PM) ดั้งเดิมขึ้นมาใหม่ได้อย่างแม่นยำ แม้ว่าสัญญาณย่านความถี่ผ่าน (FM/PM) จะไม่ใช่แอมพลิจูดมอดูเลชั่น และดังนั้นจึงไม่มีซองสัญญาณภายนอกที่ชัดเจน แต่สัญญาณย่านความถี่ผ่านแบบ I และ Q นั้นมีซองสัญญาณแอมพลิจูดมอดูเลชั่นแยกกันของตัวเอง (อย่างไรก็ตาม ต่างจากการมอดูเลชั่นแอมพลิจูดแบบปกติ ซองสัญญาณ I และ Q จะไม่คล้ายกับรูปคลื่นของสัญญาณเบสแบนด์ แม้ว่า 100 เปอร์เซ็นต์ของสัญญาณเบสแบนด์จะถูกแสดงในรูปแบบที่ซับซ้อนโดยซองสัญญาณ I และ Q เหล่านั้นก็ตาม) ดังนั้น สำหรับสัญญาณพาสแบนด์ I และ Q แต่ละตัว การหน่วงเวลาแบบกลุ่มที่ราบเรียบจะช่วยให้มั่นใจได้ว่าทั้งซองสัญญาณพาสแบนด์ I และซองสัญญาณพาสแบนด์ Q จะไม่มีการบิดเบือนรูปคลื่น ดังนั้นเมื่อสัญญาณพาสแบนด์ I และสัญญาณพาสแบนด์ Q ถูกบวกเข้าด้วยกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นสัญญาณพาสแบนด์ FM/PM ดั้งเดิม ซึ่งจะไม่มีการเปลี่ยนแปลงเช่นกัน

ตามทฤษฎีระบบ LTI (ที่ใช้ในทฤษฎีการควบคุมและ การประมวลผลสัญญาณ ดิจิทัลหรืออนาล็อก ) สัญญาณเอาต์พุตของระบบ LTI สามารถกำหนดได้โดยการคอนโว ลูชัน การตอบสนองอิมพัลส์ในโดเมนเวลาของระบบ LTI กับสัญญาณอินพุต ระบบเชิงเส้นไม่แปรผันตามเวลา § การแปลงฟูริเยร์และลาปลาสแสดงความสัมพันธ์นี้ได้ดังนี้: ${\displaystyle \displaystyle y(t)}$${\displaystyle \displaystyle h(t)}$${\displaystyle \displaystyle x(t)}$

${\displaystyle y(t)=(h*x)(t)\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )\,x(\tau )\,\mathrm {d} \tau \mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\,X(s)\}\,,}$

โดยที่แทนการดำเนินการคอนโวลูชันและคือการแปลงลาปลาสของอินพุตและการตอบสนองแบบอิมพั ลส์ ตามลำดับsคือความถี่เชิงซ้อนและคือการแปลงลาปลาสผกผันเรียกว่าฟังก์ชันถ่ายโอนของระบบ LTI และเช่นเดียวกับการตอบสนองแบบอิมพัลส์กำหนด ลักษณะอินพุต-เอาต์พุตของระบบ LTI ได้อย่างสมบูรณ์สามารถคำนวณคอนโวลูชันนี้ได้โดยใช้การแสดงออกเชิงปริพันธ์ในโดเมนเวลาหรือ (ตามการแสดงออกทางขวาสุด) โดยใช้การคูณในโดเมนลาปลาสแล้วใช้การแปลงผกผันเพื่อกลับไปยังโดเมนเวลา ${\displaystyle *}$${\displaystyle \displaystyle X(s)}$${\displaystyle \displaystyle H}$${\displaystyle \displaystyle x(t)}$${\displaystyle \displaystyle h(t)}$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}}$${\displaystyle \displaystyle H}$${\displaystyle \displaystyle h(t)}$

สมมติว่าระบบดังกล่าวถูกขับเคลื่อนด้วยแพ็กเก็ตคลื่นที่เกิดจาก การคูณ ไซน์กับซองแอมพลิจู ด ดังนั้นอินพุตจึงสามารถแสดงได้ในรูปแบบต่อไปนี้: ${\displaystyle \displaystyle A_{\text{env}}(t)>0}$${\displaystyle \displaystyle x(t)}$

${\displaystyle x(t)=A_{\text{env}}(t)\cos(\omega t+\theta )\,.}$

สมมติเพิ่มเติมว่าซองสัญญาณมีการเปลี่ยนแปลงอย่างช้าๆ เมื่อเทียบกับความถี่ของคลื่นไซน์เงื่อนไขนี้สามารถแสดงทางคณิตศาสตร์ได้ดังนี้: ${\displaystyle \displaystyle A_{\text{env}}(t)}$${\displaystyle \displaystyle \โอเมก้า }$

${\displaystyle \left|{\frac {d}{dt}}\log {\big (}A_{\text{env}}(t){\big )}\right|\ll \omega \ .}$

การนำสมการคอนโวลูชันก่อนหน้านี้มาใช้จะแสดงให้เห็นว่าเอาต์พุตของระบบ LTI ดังกล่าวสามารถประมาณได้อย่างแม่นยำดังนี้:

${\displaystyle y(t)={\big |}H(i\omega ){\big |}\ A_{\text{env}}(t-\tau _{g})\cos {\big (}\omega (t-\tau _{\phi })+\theta {\big )}\;.}$

นี่คือค่าหน่วงเวลาของกลุ่ม และนี่คือค่าหน่วงเวลาของเฟส ซึ่งกำหนดโดยนิพจน์ด้านล่าง (และอาจเป็นฟังก์ชันของความถี่เชิงมุม ) เฟสของคลื่นไซน์ ซึ่งระบุโดยตำแหน่งของจุดตัดศูนย์ จะหน่วงเวลาไปเป็นปริมาณที่เท่ากับค่าหน่วงเวลา ของ เฟส ส่วนซองคลื่นของคลื่นไซน์จะหน่วงเวลาไปเป็นค่าหน่วงเวลาของกลุ่ม${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$${\displaystyle \displaystyle \tau _{\phi }}$${\displaystyle \displaystyle \โอเมก้า }$${\displaystyle \displaystyle \tau _{\phi }}$${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$

ความล่าช้าของกลุ่ม , , และความล่าช้าของเฟส , , อาจขึ้นอยู่กับความถี่^{[ 5 ]}และสามารถคำนวณได้จากค่าการเลื่อนเฟสที่คลายออกความ ล่าช้า ของเฟสที่แต่ละความถี่เท่ากับค่าลบของการเลื่อนเฟสที่ความถี่นั้นหารด้วยค่าของความถี่นั้น: ${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$${\displaystyle \displaystyle \tau _{\phi }}$${\displaystyle \displaystyle \phi (\โอเมก้า )}$

${\displaystyle \tau _{\phi }(\omega )=-{\frac {\phi (\omega )}{\omega }}\,.}$

ความล่าช้าของกลุ่มที่ความถี่แต่ละความถี่เท่ากับค่าลบของความชัน (กล่าวคืออนุพันธ์เทียบกับความถี่) ของเฟสที่ความถี่นั้น: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \tau _{g}(\omega )=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}\,.}$

ใน ระบบ เฟสเชิงเส้น (ที่มีอัตราขยายไม่กลับเฟส) ทั้งและมีค่าคงที่ (กล่าวคือ ไม่ขึ้นอยู่กับ ) และเท่ากัน โดยค่าร่วมของทั้งสองจะเท่ากับค่าหน่วงเวลาโดยรวมของระบบ และ ค่าการเลื่อนเฟสที่คลายออกของระบบ (กล่าวคือ) มีค่าเป็นลบ โดยขนาดจะเพิ่มขึ้นเป็นเส้นตรงตามความถี่ ${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$${\displaystyle \displaystyle \tau _{\phi }}$${\displaystyle \displaystyle \โอเมก้า }$${\displaystyle \displaystyle -\omega \tau _{\phi }}$${\displaystyle \displaystyle \โอเมก้า }$

โดยทั่วไปแล้ว สามารถแสดงได้ว่าสำหรับระบบ LTI ที่มีฟังก์ชันถ่ายโอนซึ่งถูกขับเคลื่อนด้วยไซน์ซอยด์เชิงซ้อนที่มีแอมพลิจูดหนึ่งหน่วย ${\displaystyle \displaystyle H}$

${\displaystyle x(t)=e^{i\omega t}\ }$

ผลลัพธ์คือ

${\displaystyle {\begin{aligned}y(t)&=H(i\omega )\ e^{i\omega t}\ \\&=\left({\big |}H(i\omega ){\big |}e^{i\phi (\omega )}\right)\ e^{i\omega t}\ \\&={\big |}H(i\omega ){\big |}\ e^{i\left(\omega t+\phi (\omega )\right)}\ \\\end{aligned}}\ }$

โดยที่การเลื่อนเฟสคือ ${\displaystyle \displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi (\omega )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \arg \left\{H(i\omega )\right\}\;.}$

เฟสของตัวกรองความถี่ต่ำ ลำดับที่ 1 ที่สร้างขึ้นโดยวงจร RCที่มีความถี่ตัด คือ: ^{[ 7 ]}${\displaystyle \omega _{o}{=}{\frac {1}{RC}}}$

$${\displaystyle \phi (\omega )=-\arctan \left({\frac {\omega }{\omega _{o}}}\right)\,.}$$

ในทำนองเดียวกัน เฟสสำหรับตัวกรองความถี่สูง RC อันดับที่ 1 คือ:

$${\displaystyle \phi (\omega )={\frac {\pi }{2}}-\arctan \left({\frac {\omega }{\omega _{o}}}\right)\,.}$$

การหาอนุพันธ์เชิงลบเทียบกับตัวกรองความถี่ต่ำหรือความถี่สูงนี้จะทำให้ได้ความล่าช้าของกลุ่มเดียวกันดังนี้: ^{[ 8 ]}${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{g}(\omega )&={\frac {\omega _{o}}{\omega ^{2}+\omega _{o}^{2}}}\,.\\\end{aligned}}}$$

สำหรับความถี่ที่ต่ำกว่าความถี่ตัดอย่างมาก การตอบสนองเฟสจะเป็นเชิงเส้นโดยประมาณ (ค่า arctan สำหรับอินพุตขนาดเล็กสามารถประมาณได้ว่าเป็นเส้นตรง) ดังนั้นค่าหน่วงเวลาของกลุ่มจึงลดรูปเหลือค่าคงที่ดังนี้:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{g}(\omega \ll \omega _{o})&\approx {\frac {1}{\omega _{o}}}=RC\,.\\\end{aligned}}}$$

ในทำนองเดียวกัน ที่ความถี่ตัดพอดี${\displaystyle \tau _{g}(\omega {=}\omega _{o})={\frac {1}{2\omega _{o}}}={\frac {RC}{2}}\,.}$

เมื่อความถี่มีค่ามากขึ้นเรื่อยๆ ค่าการหน่วงเวลาของกลุ่มจะลดลงตามกำลังสองผกผันของความถี่ และจะเข้าใกล้ศูนย์เมื่อความถี่เข้าใกล้ค่าอนันต์

• รูปที่ 2: วงจรกรองหน่วงเวลาแบบกลุ่มลบ
• 
  วงจรที่มี ความ ล่าช้าของกลุ่มเป็นลบ= −RC = −1 มิลลิวินาทีสำหรับความถี่ที่ต่ำกว่า1 ⁄ RC = 1 กิโลเฮิร์ตซ์มาก${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$
• 
  การจำลองLTspice ACตั้งแต่1 Hz ( ≅ −1 ms ) ถึง10 kHz ( ≅ 0 ms )${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$${\displaystyle \displaystyle \tau _{g}}$
• 
  การจำลอง แบบชั่วคราวของคลื่นอินพุต (สีเขียว) ซึ่งเอาต์พุต (สีแดง) นำหน้าอยู่1 มิลลิวินาทีแต่มีความไม่เสถียรเมื่ออินพุตเปิดและปิด

ตัวกรองจะมี ค่าความ ล่าช้าของกลุ่มเป็นลบในช่วงความถี่ที่การตอบสนองเฟสมีความชันเป็นบวก หากสัญญาณมีแบนด์วิดท์จำกัดภายในความถี่สูงสุด B สัญญาณนั้นจะสามารถคาดการณ์ได้ในระดับเล็กน้อย (ภายในช่วงเวลาที่น้อยกว่า1 / B ) ตัวกรองที่มีค่าความล่าช้าของกลุ่มเป็นลบตลอดช่วงความถี่ทั้งหมดของสัญญาณนั้น สามารถใช้ความสามารถในการคาดการณ์ของสัญญาณเพื่อสร้างภาพลวงตาของการเลื่อนเวลาที่ไม่เป็นเหตุเป็นผล อย่างไรก็ตาม หากสัญญาณมีเหตุการณ์ที่ไม่สามารถคาดการณ์ได้ (เช่น การเปลี่ยนแปลงอย่างกะทันหันที่ทำให้สเปกตรัมของสัญญาณเกินขีดจำกัดแบนด์วิดท์) ภาพลวงตานั้นก็จะพังทลายลง^{[ 9 ]}วงจรที่มีค่าความล่าช้าของกลุ่มเป็นลบ (เช่น รูปที่ 2) เป็นไปได้ แม้ว่าความเป็นเหตุเป็นผลจะไม่ถูกละเมิด ก็ตาม ^{[ 10 ]}

ตัวกรองหน่วงเวลากลุ่มเชิงลบสามารถสร้างได้ทั้งในโดเมนดิจิทัลและอนาล็อก การใช้งานรวมถึงการชดเชยการหน่วงเวลาโดยธรรมชาติของตัวกรองความถี่ต่ำ เพื่อสร้าง ตัวกรอง เฟสศูนย์ซึ่งสามารถใช้เพื่อตรวจจับการเปลี่ยนแปลงในแนวโน้มของข้อมูลเซ็นเซอร์หรือราคาหุ้นได้อย่างรวดเร็ว^{[ 11 ]}

ความล่าช้าของกลุ่มมีความสำคัญในด้านเสียงและโดยเฉพาะอย่างยิ่งในด้านการสร้างเสียง^{[ 12 ] [ 13 ]}

ส่วนประกอบหลายอย่างของวงจรการสร้างเสียง โดยเฉพาะลำโพงและเครือข่ายครอ สโอเวอร์ลำโพงแบบหลายทาง ทำให้เกิดความล่าช้าของกลุ่มในสัญญาณเสียง^{[ 2 ] [ 13 ]}ดังนั้นจึงเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องทราบเกณฑ์การได้ยินของความล่าช้าของกลุ่มเมื่อเทียบกับความถี่^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่งหากวงจรเสียงนั้นคาดว่าจะให้ การสร้างเสียง ที่มีความเที่ยงตรงสูงตารางเกณฑ์การได้ยินที่ดีที่สุดได้รับการจัดทำโดย Blauert และ Laws ^{[ 17 ]}

Flanagan, Moore และ Stone สรุปว่าที่ความถี่ 1, 2 และ 4  kHzความล่าช้าของกลุ่มประมาณ 1.6 มิลลิวินาทีสามารถได้ยินได้ด้วยหูฟังในสภาวะที่ไม่มีเสียงสะท้อน^{[ 18 ]}ผลการทดลองอื่นๆ ชี้ให้เห็นว่าเมื่อความล่าช้าของกลุ่มในช่วงความถี่ตั้งแต่ 300 Hz ถึง 1 kHz ต่ำกว่า 1.0 มิลลิวินาที จะไม่สามารถได้ยินได้^{[ 15 ]}

เป็นไปได้ที่จะใช้เทคนิคการประมวลผลสัญญาณดิจิทัลเพื่อแก้ไขความผิดเพี้ยนของความล่าช้ากลุ่มที่เกิดขึ้นเนื่องจากการใช้เครือข่ายครอสโอเวอร์ในระบบลำโพงหลายทาง^{[ 19 ]}ซึ่งเกี่ยวข้องกับการสร้างแบบจำลองเชิงคำนวณของระบบลำโพงจำนวนมากเพื่อนำการปรับสมดุลความล่าช้ามาใช้ให้สำเร็จ^{[ 20 ]}โดยใช้อัลกอริทึมการออกแบบตัวกรอง FIR equiripple ของ Parks - McClellan ^{[ 1 ] [ 4 ] [ 21 ] [ 22 ]}

ในฐานะเกณฑ์ในการคำนวณแบนด์วิดท์ของแอมพลิฟายเออร์สำหรับความเป็นเชิงเส้นของเฟสที่กำหนด Leach ^{[ 23 ]}ได้นำเสนอแนวคิดของการบิดเบือนเวลาหน่วงที่แตกต่างกันซึ่งกำหนดไว้ดังนี้:

${\displaystyle \Delta \tau =\tau _{\phi }-\tau _{g}}$,

ซึ่งเป็นความแตกต่างระหว่างการหน่วงเฟสและการหน่วงกลุ่มโดยการหน่วงเฟสหมายถึงการหน่วงเวลาของคลื่นไซน์ที่มีความถี่สูงกว่าหนึ่งคลื่น และการหน่วงกลุ่มหมายถึงความถี่ที่ต่ำกว่ามากซึ่งได้มาจากซองสัญญาณของการมอดูเลชันแอมพลิจูดที่ใช้กับคลื่นไซน์นั้น ส่งผลให้เกิดสิ่งที่รับรู้ได้ว่าเป็นโน้ตดนตรี แบบแถบความถี่แคบ อย่างไรก็ตาม การแสดงความผิดเพี้ยนของการหน่วงเวลาที่แตกต่างกันเป็นศูนย์หรือน้อยมากนั้นเป็นคุณสมบัติที่จำเป็นแต่ไม่เพียงพอของระบบในอุดมคติ ซึ่งจะต้องมีการหน่วงเฟสที่ราบเรียบ นั่นเป็นเพราะเมื่อโน้ตที่มอดูเลชันแอมพลิจูดแบบแถบความถี่แคบสองตัว ตัวหนึ่งมีความถี่สูงกว่าในย่านเสียงของมนุษย์มากกว่าอีกตัวหนึ่งมาก จนสเปกตรัมความถี่ของทั้งสองไม่ทับซ้อนกัน ผลลัพธ์ที่แสดงแยกกันนั้นจึงถือว่าสมบูรณ์แบบในเชิงการรับรู้ เพราะไม่น่าเป็นไปได้ที่มนุษย์จะตรวจจับได้ว่าเวลาเริ่มต้นของโน้ตหนึ่งใช้เวลานานกว่าจากอินพุตของอุปกรณ์ไปยังเอาต์พุตของอุปกรณ์มากกว่าโน้ตอีกตัวหนึ่ง อย่างไรก็ตาม ในระบบเดียวกัน หากโน้ตทั้งสองถูกส่งเข้ามาพร้อมกันที่อินพุตของอุปกรณ์ เมื่อถึงเอาต์พุตของอุปกรณ์ โน้ตตัวหนึ่งจะใช้เวลานานขึ้นในการเริ่มต้นกว่าอีกตัวหนึ่ง และอาจเปลี่ยนแปลงการรับรู้ของโน้ตผสมที่ได้ หากเวลาเริ่มต้นที่เอาต์พุตห่างกันมากเกินไป

การหน่วงเวลาแบบกลุ่มมีความสำคัญในวิชาฟิสิกส์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในวิชา ทัศนศาสตร์

ในเส้นใยแก้วนำแสง ค่าหน่วงเวลาของกลุ่ม (group delay) คือเวลาที่ใช้ใน การส่งผ่าน พลังงาน แสง ซึ่งเดินทางด้วยความเร็วกลุ่ม (group velocity)ของโหมด หนึ่งๆ เพื่อเดินทางในระยะทางที่กำหนด สำหรับ การวัด การกระจายตัว ของแสงในเส้นใยแก้วนำ แสง ปริมาณที่สนใจคือค่าหน่วงเวลา ของกลุ่ม ต่อหน่วยความยาว ซึ่งเป็นส่วนกลับของความเร็วกลุ่มของโหมดนั้นๆ ค่าหน่วงเวลาของกลุ่มที่วัดได้ของสัญญาณผ่านเส้นใยแก้วนำแสงจะแสดงให้เห็นถึง การพึ่งพา ความยาวคลื่นเนื่องจาก กลไก การกระจายตัว ต่างๆ ที่มีอยู่ในเส้นใย

โดยทั่วไปแล้ว เป็นที่พึงปรารถนาให้ค่าหน่วงเวลาของกลุ่ม (group delay) มีค่าคงที่ตลอดทุกความถี่ มิเช่นนั้นจะเกิดการเบลอของสัญญาณตามเวลา เนื่องจากค่าหน่วงเวลาของกลุ่มเป็นดังนั้น จึงสรุปได้ว่าสามารถทำให้ค่าหน่วงเวลาของกลุ่มคงที่ได้ หากฟังก์ชันถ่ายโอนของอุปกรณ์หรือตัวกลางมี ลักษณะการตอบสนองเฟส เชิงเส้น (กล่าวคือเมื่อค่าหน่วงเวลาของกลุ่มมีค่าคงที่) ระดับของความไม่เป็นเชิงเส้นของเฟสบ่งชี้ถึงการเบี่ยงเบนของค่าหน่วงเวลาของกลุ่มจากค่าคงที่ ${\textstyle \tau _{g}(\omega )=-{\frac {d\phi }{d\omega }}}$${\displaystyle \phi (\omega )=\phi (0)-\tau _{g}\omega }$${\displaystyle \tau _{g}}$

ค่าหน่วงเวลาของกลุ่มที่แตกต่างกันคือความแตกต่าง ของ เวลาใน การแพร่กระจาย ระหว่างโหมดเฉพาะสองโหมด คือ โพลาไร เซชัน XและY พิจารณาโหมดเฉพาะสองโหมดที่เป็น สถานะ โพลาไรเซชันเชิงเส้น 0° และ 90° ถ้าสถานะโพลาไรเซชันของสัญญาณอินพุตเป็นสถานะเชิงเส้นที่ 45° ระหว่างโหมดเฉพาะทั้งสอง สัญญาณอินพุตจะถูกแบ่งเท่าๆ กันไปยังโหมดเฉพาะทั้งสอง กำลังของสัญญาณที่ส่งผ่านE _{T ,total}คือผลรวมของสัญญาณที่ส่งผ่านของทั้งโหมด xและy

${\displaystyle E_{T}=(E_{i,x}\cdot t_{x})^{2}+(E_{i,y}\cdot t_{y})^{2}\,}$

ค่าหน่วงเวลาของกลุ่มเชิงอนุพันธ์D _tถูกกำหนดให้เป็นความแตกต่างของเวลาในการแพร่กระจายระหว่างโหมดเฉพาะ: D _t  = | t _{t , x}  −  t _{t , y} |

กล่าวได้ว่าอุปกรณ์ส่งสัญญาณมีการหน่วงเวลาจริง (TTD) หากการหน่วงเวลาไม่ขึ้นอยู่กับความถี่ของสัญญาณไฟฟ้า^{[ 24 ] [ 25 ]} TTD ช่วยให้แบนด์วิด ท์สัญญาณทันทีที่กว้าง โดยแทบไม่มีการบิดเบือนสัญญาณ เช่น การขยายพัลส์ระหว่างการทำงานแบบพัลส์

TTD เป็นคุณลักษณะสำคัญของสายส่งสัญญาณแบบไม่ สูญเสียหรือมีการสูญเสียต่ำ ปราศจากการกระจาย ตัว สมการของนักโทรเลข § การส่งสัญญาณแบบไม่สูญเสียแสดงให้เห็นว่าสัญญาณแพร่กระจายผ่านสายด้วยความเร็วสำหรับค่าความเหนี่ยวนำแบบกระจายLและค่าความจุCดังนั้น ความล่าช้าในการแพร่กระจายของสัญญาณใดๆ ผ่านสายจึงเท่ากับความยาวของสายหารด้วยความเร็วนี้ ${\displaystyle 1/{\sqrt {LC}}}$

ถ้าฟังก์ชันถ่ายโอนหรือ Sij ของพารามิเตอร์การกระเจิงอยู่ใน รูปแบบ การแปลงลาปลาส แบบพหุนาม แล้วนิยามทางคณิตศาสตร์สำหรับความล่าช้าของกลุ่มข้างต้นสามารถหาคำตอบได้แบบวิเคราะห์ในรูปแบบปิดฟังก์ชันถ่ายโอนแบบพหุนาม อาจ ถูกกำหนดตามแกนและนิยามเป็นสามารถหาค่า ได้จากแล้วความล่าช้าของกลุ่มสามารถหาได้โดยการแก้หาค่า ${\displaystyle P(S)}$${\displaystyle j\omega }$${\displaystyle P(j\omega )}$${\displaystyle \phi (\omega )}$${\displaystyle P(j\omega )}$${\displaystyle -d\phi (\omega )|/d\omega }$

ในการพิจารณาจากให้ใช้คำนิยามของเนื่องจากเป็นจำนวนจริงเสมอ และเป็นจำนวนจินตนาการเสมอ จึงอาจนิยามใหม่ได้เป็น โดยที่คู่และคี่หมายถึงพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์อันดับคู่หรือคี่ตามลำดับในตัวเศษเพียงแค่แปลงตัวเศษที่เป็นจำนวนจินตนาการให้เป็นค่าจริง เนื่องจากเพียงอย่างเดียวเป็นจำนวนจินตนาการล้วนๆ ${\displaystyle \phi (\omega )}$${\displaystyle P(j\omega )}$${\displaystyle \phi (\omega )=tan^{-1}(P(j\omega )_{imag}/P(j\omega )_{real})}$${\displaystyle j^{2N}}$${\displaystyle j^{2N+1}}$${\displaystyle \phi (\omega )}$${\displaystyle \phi (\omega )=tan^{-1}(-jP(j\omega )_{odd}/P(j\omega )_{even})}$${\displaystyle -j}$${\displaystyle P(j\omega )_{odd}}$${\displaystyle P(j\omega )_{odd}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {dtan^{-1}(f(x))}{dx}}={\frac {df(x)/dx}{1+f(x)^{2}}}\\&f(x)={\frac {-jP(j\omega )_{odd}}{P(j\omega )_{even}}}\\&{\frac {df(x)}{dx}}={\frac {P(j\omega )_{even}{\frac {d(P(j\omega )_{odd})}{dx}}--jP(j\omega )_{odd}{\frac {d(-jP(j\omega )_{even})}{dx}}}{P(j\omega )_{even}^{2}}}\end{aligned}}}$

นิพจน์ข้างต้นประกอบด้วยสี่ส่วนที่ต้องคำนวณ:

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}Se=P(j\omega )_{even}&=&\sum _{k=0}^{N/2}P_{2k}(j\omega )^{2k}&=&\sum _{k=0}^{N/2}P_{2k}(-1)^{k}(\omega )^{2k}\\So=P(j\omega )_{odd}&=&-j\sum _{k=1}^{(N+1)/2}P_{2k-1}(j\omega )^{2k-1}&=&\sum _{k=1}^{(N+1)/2}P_{2k-1}(-1)^{k-1}(\omega )^{2k-1}\\De={\frac {d(P(j\omega )_{even})}{dx}}&=&-j\sum _{k=1}^{N/2}2kP_{2k}(j\omega )^{2k-1}&=&\sum _{k=1}^{N/2}2kP_{2k}(-1)^{k-1}(\omega )^{2k-1}\\Do={\frac {d(P(j\omega )_{odd})}{dx}}&=&\sum _{k=1}^{(N+1)/2}{(2k-1)}P_{2k-1}(j\omega )^{2k-2}&=&\sum _{k=1}^{(N+1)/2}{(2k-1)}P_{2k-1}(-1)^{k-1}(\omega )^{2k-2}\\\\{\frac {df(x)}{dx}}&=&{\frac {SeDo-SoDe}{Se^{2}}}\end{array}}}$

สมการข้างต้นสามารถใช้เพื่อกำหนดค่าการหน่วงเวลาของกลุ่มพหุนาม ในรูปแบบปิด ดังแสดงด้านล่างหลังจากที่สมการได้ถูกลดรูปให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายขึ้นแล้ว ${\displaystyle P(S)}$

${\displaystyle {\text{Group Delay}}=gd(P(j\omega ))=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}=-{\frac {(So*De+Se*Do)}{(Se^{2}+So^{2})}}{\text{ sec}}}$

อัตราส่วนพหุนามในรูปแบบเช่นที่พบได้ทั่วไปในคำจำกัดความของการออกแบบตัวกรอง อาจมีค่าหน่วงเวลาของกลุ่มที่กำหนดโดยใช้ประโยชน์จากความสัมพันธ์ ของ เฟส${\displaystyle P2(S)=P_{num}(S)/P_{den}(S)}$${\displaystyle \phi (P1/P2)=\phi (P1)-\phi (P2)}$

${\displaystyle {\text{Group Delay}}=gd(P2)=gd(P2_{num})-gd(P2_{den})sec}$

ฟังก์ชันถ่ายโอนของตัวกรองเลอจองเดอร์แบบสี่ขั้วที่ใช้ในตัวอย่างตัวกรองเลอจองเดอร์แสดงอยู่ด้านล่าง

${\displaystyle T_{4}(j\omega )={\frac {1}{2.4494897(j\omega )^{4}+3.8282201(j\omega )^{3}+4.6244874(j\omega )^{2}+3.0412127(j\omega )+1}}}$

ค่าความล่าช้าของกลุ่มตัวเศษจากการตรวจสอบเป็นศูนย์ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องคำนวณเฉพาะค่าความล่าช้าของกลุ่มตัวส่วนเท่านั้น

${\displaystyle {\begin{aligned}&Pe_{den}=2.4494897\omega ^{4}-4.6244874\omega ^{2}+1\\&Po_{den}=-3.8282201\omega ^{3}+3.0412127\omega \\&De_{den}=4(2.4494897)\omega ^{3}-2(4.6244874)\omega \\&Do_{den}=3(-3.8282201)\omega ^{2}+3.0412127\end{aligned}}}$

ประเมินค่าที่= 1 เรเดียน/วินาที: ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&Pe_{den}=-1.1749977\\&Po_{den}=-0.7870074\\&De_{den}=-0.548984\\&Do_{den}=-8.4434476\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{Group Delay}}=gd(T_{4}(j\omega ))=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}\\&={\bigg [}0--{\frac {((-0.7870074*-0.548984)+(-1.1749977*-8.4434476))}{((-1.1749977)^{2}+(-0.7870074)^{2})}}{\bigg ]}\\&=5.1765430{\text{ sec}}\\&{\text{at }}\omega =1{\text{ rad/sec}}\end{aligned}}}$

ขั้นตอนการคำนวณค่าหน่วงเวลาของกลุ่มและผลลัพธ์ที่ได้สามารถตรวจสอบความถูกต้องได้โดยการเปรียบเทียบกับผลลัพธ์ที่ได้จากการหาอนุพันธ์ ดิจิทัล ของมุมเฟสโดยใช้ค่าเดลต้าเล็กน้อยที่ +/-1.e-04 เรเดียน/วินาที ${\displaystyle \phi (\omega )}$${\displaystyle \Delta \omega }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{Group Delay}}=gd(T_{4}(j\omega ))=-{\frac {d\phi (\omega )}{d\omega }}\\&=-(\phi (1+1e-04)-\phi (1.-1e04))/2e-04\\&=5.1765432{\text{ sec}}\\&{\text{at }}\omega =1{\text{ rad/sec}}\end{aligned}}}$

เนื่องจากค่าหน่วงเวลาของกลุ่มที่คำนวณโดยอนุพันธ์ดิจิทัลโดยใช้ค่าเดลต้าขนาดเล็กมีความแม่นยำภายใน 7 หลัก เมื่อเปรียบเทียบกับการคำนวณเชิงวิเคราะห์ที่แม่นยำ จึงยืนยันได้ว่าขั้นตอนและผลลัพธ์ของการคำนวณค่าหน่วงเวลาของกลุ่มนั้นถูกต้อง

การเบี่ยงเบนจากเฟสเชิงเส้นซึ่งบางครั้งเรียกว่า "การเบี่ยงเบนเฟส" คือความแตกต่างระหว่างการตอบสนองเฟสและ ส่วน เชิงเส้นของการตอบสนองเฟส[ ^{26 ] และ}เป็นการวัดที่มีประโยชน์ในการกำหนดความเป็นเชิงเส้นของ ${\displaystyle \phi _{DLP}(\omega )}$${\displaystyle \phi (\omega )}$${\displaystyle \phi _{L}(\omega )}$${\displaystyle \phi (\omega )}$

วิธีที่สะดวกในการวัดคือการใช้การถดถอยเชิงเส้นอย่างง่ายของค่าที่สุ่มตัวอย่างในช่วงความถี่ที่สนใจ แล้วลบออกจากค่าจริงค่าของการตอบสนองเฟสเชิงเส้นในอุดมคติคาดว่าจะมีค่าเป็น 0 ตลอดช่วงความถี่ที่สนใจ (เช่น แถบความถี่ผ่านของตัวกรอง) ในขณะที่ค่าของการตอบสนองเฟสเชิงเส้นโดยประมาณในโลกแห่งความเป็นจริงอาจเบี่ยงเบนจาก 0 ไปเล็กน้อยในช่วงความถี่ที่สนใจ ${\displaystyle \phi _{DLP}(\omega )}$${\displaystyle \phi (\omega )}$${\displaystyle \phi (\omega )}$${\displaystyle \phi _{DLP}(\omega )}$${\displaystyle \phi _{DLP}(\omega )}$

ข้อดีของการวัดหรือคำนวณค่าเมื่อเทียบกับการวัดหรือคำนวณค่าหน่วงเวลาของกลุ่มคือ ค่าจะลู่เข้าสู่ 0 เสมอเมื่อเฟสเป็นเชิงเส้น ในขณะที่ค่าจะลู่เข้าสู่ค่าจำกัดค่าหนึ่งซึ่งอาจไม่ทราบล่วงหน้า ด้วยเหตุนี้ ฟังก์ชันการปรับเฟสเชิงเส้นจึงอาจทำงานได้ง่ายกว่าเมื่อมีเป้าหมาย มากกว่าเมื่อมีเป้าหมาย ในกรณีที่ค่าไม่จำเป็นต้องทราบล่วงหน้า ${\displaystyle \phi _{DLP}(\omega )}$${\displaystyle gd(\omega )}$${\displaystyle \phi _{DLP}(\omega )}$${\displaystyle gd(\omega )}$${\displaystyle \phi _{DLP}(\omega ){=}0}$${\displaystyle gd(\omega ){=}constant}$${\displaystyle constant}$

• การวัดระบบเสียง
• เฟสเชิงเส้น
• ตัวกรองเบสเซล – ตัวกรองความถี่ต่ำที่มีความล่าช้าของกลุ่มที่ราบเรียบที่สุด
• ตัวกรองเลอจองเดอร์ – จากส่วนตัวอย่าง
• ลวดลายดวงตา
• ความเร็วกลุ่ม – "ความเร็วกลุ่มของแสงในตัวกลางคือค่าผกผันของความล่าช้ากลุ่มต่อหน่วยความยาว" ^{[ 27 ]}
• ความเร็วเฟส
• แพ็กเก็ตคลื่น

• การอภิปรายเกี่ยวกับความล่าช้าของกลุ่มในลำโพง
• คำอธิบายและการประยุกต์ใช้การเลื่อนเวลาแบบกลุ่ม
• "ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับตัวกรองดิจิทัลและการประยุกต์ใช้ด้านเสียง" โดย Julius O. Smith III (ฉบับเดือนกันยายน 2550)