ในด้านอิเล็กทรอนิกส์และการประมวลผลสัญญาณตัวกรองเบสเซล เป็น ตัวกรองเชิงเส้นแบบอนาล็อกชนิดหนึ่งที่มีความล่าช้าของกลุ่มที่ ราบเรียบที่สุด (กล่าวคือการตอบสนองเฟส เชิงเส้นที่สุด ) ซึ่งรักษารูปคลื่นของสัญญาณที่กรองแล้วในย่านความถี่ผ่าน^{[ 1 ]}ตัวกรองเบสเซลมักใช้ในระบบ ครอสโอเวอร์เสียง

ชื่อของตัวกรองนี้อ้างอิงถึงนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันฟรีดริช เบสเซล (ค.ศ. 1784–1846) ผู้พัฒนาทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ที่เป็นพื้นฐานของตัวกรองนี้ ตัวกรองนี้ยังเรียกว่าตัวกรองเบสเซล-ทอมสันเพื่อเป็นการยกย่อง ดับเบิลยู ทอมสัน ผู้คิดค้นวิธีการประยุกต์ใช้ฟังก์ชันเบสเซลในการออกแบบตัวกรองในปี ค.ศ. 1949 ^{[ 2 ]}

ตัวกรองเบสเซลมีความคล้ายคลึงกับตัวกรองเกาส์เซียน มาก และมีแนวโน้มที่จะมีรูปร่างเหมือนกันเมื่อลำดับของตัวกรองเพิ่มขึ้น^{[ 3 ] [ 4 ]} ในขณะที่ การตอบสนองขั้นบันไดในโดเมนเวลาของตัวกรองเกาส์เซียนมีค่าโอเวอร์ชูตเป็นศูนย์^{[ 5 ]}ตัวกรองเบสเซลมีค่าโอเวอร์ชูตเล็กน้อย^{[ 6 ] [ 7 ]}แต่ก็ยังน้อยกว่าตัวกรองในโดเมนความถี่ทั่วไปอื่นๆ เช่น ตัวกรองบัตเตอร์เวิร์ธ มีข้อสังเกตว่าการตอบสนองแบบอิมพัลส์ของตัวกรองเบสเซล-ทอมสันมีแนวโน้มไปสู่เกาส์เซียนเมื่อลำดับของตัวกรองเพิ่มขึ้น^{[ 3 ]}

เมื่อเปรียบเทียบกับการประมาณค่าลำดับจำกัดของตัวกรองเกาส์เซียน ตัวกรองเบสเซลจะมีปัจจัยการปรับรูปร่างที่ดีกว่าเล็กน้อย (กล่าวคือ ตัวกรองเฉพาะนั้นประมาณการตอบสนองแบบโลว์พาสในอุดมคติได้ดีเพียงใด) มีการหน่วงเฟส ที่ราบเรียบกว่า และมีการหน่วงกลุ่ม ที่ราบเรียบ กว่าตัวกรองเกาส์เซียนที่มีลำดับเดียวกัน แม้ว่าเกาส์เซียนจะมีเวลาหน่วงที่ต่ำกว่าและไม่มีการโอเวอร์ชูตก็ตาม^{[ 8 ]}

ตัวกรองความถี่ต่ำแบบเบสเซลมีลักษณะเฉพาะด้วยฟังก์ชันการถ่ายโอน : ^{[ 9 ]}

${\displaystyle H(s)={\frac {\theta _{n}(0)}{\theta _{n}(s/\omega _{0})}}\,}$

โดยที่เป็นพหุนามเบสเซลแบบ ผกผัน ซึ่งเป็นที่มาของชื่อตัวกรอง และเป็นความถี่ที่เลือกเพื่อให้ได้ความถี่ตัดที่ต้องการ ตัวกรองนี้มีค่าหน่วงเวลากลุ่มความถี่ต่ำเท่ากับ⁠ ⁠เนื่องจาก ไม่สามารถหาค่าได้โดยนิยามของพหุ นาม เบสเซลแบบผกผัน แต่ เป็นจุดเอกฐานที่สามารถกำจัดได้จึงกำหนดให้⁠ ⁠${\displaystyle \theta _{n}(s)}$${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle 1/\omega _{0}}$${\displaystyle \theta _{n}(0)}$${\displaystyle \theta _{n}(0)=\lim _{x\rightarrow 0}\theta _{n}(x)}$

ฟังก์ชันถ่ายโอนของตัวกรองเบสเซลเป็นฟังก์ชันตรรกยะที่มีตัวส่วนเป็นพหุนามเบสเซล ผกผัน ดังตัวอย่างต่อไปนี้:

${\displaystyle n=1:\quad s+1}$

${\displaystyle n=2:\quad s^{2}+3s+3}$

${\displaystyle n=3:\quad s^{3}+6s^{2}+15s+15}$

${\displaystyle n=4:\quad s^{4}+10s^{3}+45s^{2}+105s+105}$

${\displaystyle n=5:\quad s^{5}+15s^{4}+105s^{3}+420s^{2}+945s+945}$

พหุนามเบสเซลแบบผกผันมีดังต่อไปนี้: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \theta _{n}(s)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}s^{k},}$

ที่ไหน

${\displaystyle a_{k}={\frac {(2n-k)!}{2^{nk}k!(nk)!}}\quad k=0,1,\ldots ,n.}$

ไม่มีค่าการลดทอนมาตรฐานสำหรับตัวกรองเบสเซล^{[ 8 ]}อย่างไรก็ตาม −3.0103 dB เป็นตัวเลือกที่นิยมใช้กันทั่วไป บางแอปพลิเคชันอาจใช้การลดทอนที่สูงกว่าหรือต่ำกว่า เช่น −1 dB หรือ −20 dB การกำหนดความถี่การลดทอนแบบคัตออฟนั้นเกี่ยวข้องกับการหาความถี่ที่ทำให้เกิดการลดทอนที่ต้องการก่อน ซึ่งจะเรียกว่า⁠ ⁠${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$และจากนั้นปรับขนาดพหุนามให้เป็นส่วนกลับของความถี่นั้น ในการปรับขนาดพหุนาม เพียงแค่เพิ่มเข้าไปในเทอมในแต่ละสัมประสิทธิ์ ดังแสดงในตัวอย่างตัวกรองเบสเซล 3 ขั้วด้านล่าง ${\displaystyle H(s)}$${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$${\displaystyle s}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H(s)&={\frac {15}{s^{3}+6s^{2}+15s+15}}\\H(s)'&=H(s)_{{\text{desired dB at }}\omega =1}={\frac {15}{(\omega _{\text{c}}s)^{3}+6(\omega _{\text{c}}s)^{2}+15\omega _{\text{c}}s+15}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$อาจหาได้โดยใช้วิธีของนิวตันหรือโดยการ หาค่าราก

วิธีของนิวตันต้องการค่าขนาดที่ทราบและค่าขนาดของอนุพันธ์สำหรับ⁠ ⁠${\displaystyle \vert H(j\omega _{\text{c}})\vert }$อย่างไรก็ตาม การคำนวณและใช้งานค่ากำลังสองของค่าเกนตัดที่ต้องการนั้นง่ายกว่าและมีความแม่นยำเท่ากัน ดังนั้นจะใช้ค่ากำลังสอง ${\displaystyle |H(j\omega _{\text{c}})H(-j\omega _{\text{c}})|}$

หากต้องการรับ⁠ ⁠${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$โปรดทำตามขั้นตอนด้านล่าง

1. หากยังไม่มีค่า ให้คูณด้วยเพื่อให้ได้ค่า⁠ ⁠ .${\displaystyle H(s)H(-s)}$${\displaystyle H(s)}$${\displaystyle H(-s)}$${\displaystyle H(s)H(-s)}$
2. กลับเครื่องหมายของทุกพจน์เมื่อหารลงตัวด้วย⁠ ⁠นั่นก็คือ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠และอื่นๆ ฟังก์ชันที่แก้ไขแล้วจะเรียกว่า ⁠ ⁠และการแก้ไขนี้จะช่วยให้สามารถใช้จำนวนจริงแทนจำนวนเชิงซ้อนในการประเมินพหุนามและอนุพันธ์ของมันได้ตอนนี้สามารถใช้จำนวนจริงแทนจำนวนเชิงซ้อน⁠ ⁠ได้ แล้ว${\displaystyle s^{n}}$${\displaystyle (n+2)}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle s^{2}}$${\displaystyle s^{6}}$${\displaystyle s^{10}}$${\displaystyle H_{2}(s)H_{2}(-s)}$${\displaystyle \omega _{a}}$${\displaystyle j\omega _{a}}$
3. แปลงค่าการลดทอนที่ต้องการในหน่วยเดซิเบล (dB ) ให้${\displaystyle A_{\text{dB}}}$เป็นค่ากำลังขยายเลขคณิตกำลังสอง(Δ )${\displaystyle B_{\text{arith}}^{2}}$โดยใช้สูตรΔ ⁿ${\displaystyle B_{\text{arith}}^{2}=10^{A_{\text{dB}}/10}}$ตัวอย่างเช่น 3.010 dB แปลงเป็น 0.5, 1 dB แปลงเป็น 0.79432823 เป็นต้น
4. คำนวณค่าที่ปรับเปลี่ยนแล้วในวิธีของนิวตันโดยใช้ค่าจริงให้ ใช้ ค่าสัมบูรณ์เสมอ${\displaystyle |H_{2}(s)H_{2}(-s)|}$${\displaystyle \omega _{a}}$
5. คำนวณอนุพันธ์ที่ปรับเปลี่ยนแล้วเทียบกับค่าจริง⁠ ⁠ห้ามหาค่าสัมบูรณ์ของอนุพันธ์${\displaystyle H_{2}(\omega _{a})H_{2}(-\omega _{a})}$${\displaystyle \omega _{a}}$

เมื่อดำเนินการตามขั้นตอนที่ 1 ถึง 4 เสร็จสมบูรณ์แล้ว นิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับวิธีของนิวตันสามารถเขียนได้ดังนี้:

${\displaystyle \omega _{a}=\omega _{a}-(|H_{2}(\omega _{a})H_{2}(-\omega _{a})|-B^{2})/(d[H_{2}(\omega _{a})H_{2}(-\omega _{a})]/d\omega _{a})}$

โดยใช้ค่าจริงที่ไม่ต้องใช้การคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน การเคลื่อนที่ของควรถูกจำกัดเพื่อป้องกันไม่ให้ค่าติดลบในช่วงเริ่มต้นของการวนซ้ำ เพื่อเพิ่มความน่าเชื่อถือ เมื่อเสร็จสมบูรณ์แล้วสามารถใช้สำหรับที่สามารถใช้ปรับขนาดตัวส่วนของฟังก์ชันถ่ายโอนดั้งเดิมได้ การลดทอนของที่แก้ไขแล้วจะมีค่าใกล้เคียงกับค่าที่ต้องการที่ 1 เรเดียน/วินาที หากดำเนินการอย่างถูกต้อง จะใช้การวนซ้ำเพียงไม่กี่ครั้งเท่านั้นในการตั้งค่าการลดทอนในช่วงค่าการลดทอนที่ต้องการที่หลากหลายสำหรับตัวกรองทั้งขนาดเล็กและขนาดใหญ่มาก ${\displaystyle \omega _{a}}$${\displaystyle \omega _{a}}$${\displaystyle \omega _{a}}$${\displaystyle \omega _{\text{c}}}$${\displaystyle H(s)}$${\displaystyle G(s)}$

เนื่องจากไม่มีข้อมูลเฟส การแยกตัวประกอบฟังก์ชันถ่ายโอนโดยตรงจะไม่ให้ผลลัพธ์ที่ใช้งานได้ อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันถ่ายโอนอาจถูกปรับเปลี่ยนโดยการคูณด้วยเพื่อกำจัดกำลังคี่ทั้งหมดของซึ่งจะ ทำให้ เป็นจำนวนจริงที่ทุกความถี่ จากนั้น จึงหาความถี่ที่ได้ผลลัพธ์เป็นกำลังสองของความสนใจที่ต้องการ ${\displaystyle |H(j\omega _{a})|}$${\displaystyle H(-s)}$${\displaystyle H(j\omega _{a})}$${\displaystyle H(j\omega _{a})}$

1. หากยังไม่มีค่า ให้คูณด้วยเพื่อให้ได้ค่า⁠ ⁠ .${\displaystyle H(s)H(-s)}$${\displaystyle H(s)}$${\displaystyle H(-s)}$${\displaystyle H(s)H(-s)}$
2. แปลงค่าการลดทอนที่ต้องการในหน่วยเดซิเบล (dB ) ให้${\displaystyle A_{\text{dB}}}$เป็นค่ากำลังขยายเลขคณิตกำลังสอง(Δ )${\displaystyle B_{\text{arith}}^{2}}$โดยใช้สูตรΔ ⁿ${\displaystyle {1}}$ตัวอย่างเช่น 3.010 dB แปลงเป็น 0.5, 1 dB แปลงเป็น 0.79432823 เป็นต้น
3. หา${\displaystyle P(S)=H_{\text{num}}(S)H_{\text{num}}(-S)-B_{\text{arith}}^{2}H_{\text{den}}(S)H_{\text{den}}(-S)}$
4. จงหาค่ารากของสมการ${\displaystyle P(S)}$โดยใช้ อั ลกอริทึมการหาค่าราก
5. จากชุดรากข้างต้น ให้เลือกรากจินตภาพที่เป็นบวกสำหรับตัวกรองอันดับคี่ และรากจริงที่เป็นบวกสำหรับตัวกรองอันดับคู่
   1. ค่าการลดทอนที่สูงกว่าค่าความผันผวนของย่านความถี่ผ่านหรือต่ำกว่าค่าความผันผวนของย่านความถี่หยุด จะส่งคืนค่ารากหลายค่า ดังนั้นจึงต้องเลือกค่ารากที่ถูกต้อง

ตัวอย่างการลดทอนความถี่ตัดที่ 20 dB โดยใช้ตัวอย่างเบสเซล 3 ขั้วด้านล่าง กำหนดไว้ดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}&H(s)={\frac {15}{s^{3}+6s^{2}+15s+15}}{\text{ (from the example below)}}\\&B_{\text{arith}}^{2}=10^{20/10}=0.01{\text{ (the arithmetic gain squared)}}\\&\\&{\text{Find }}H(s)'{\text{ such that }}|H(s)'|=-20{\text{ dB at }}\omega =1{\text{.}}\\&H(s)H(-s)={\frac {225}{-s^{6}+6s^{4}-45^{2}s+225}}\\&P(s)=225-B_{\text{arith}}^{2}(-s^{6}+6s^{4}-45^{2}s+225)=0.01s^{6}-0.06s^{4}+0.45s^{2}+222.75{\text{ (polynomial to be factored)}}\\&R=j5.0771344{\text{ (the positive imaginary root for the above polynomial)}}\\&{\text{For even order filters, use the positive real root.}}\\&\\&\omega _{-20{\text{ dB atten}}}=\omega _{\text{c}}=5.0771344{\text{ rad/sec (20 dB attenuation frequency)}}\\&H(s)'=H(s)_{A=20{\text{ dB at }}\omega =1}={\frac {15}{(5.0771344^{3})s^{3}+(6\times 5.0771344^{2})s^{2}+(15\times 5.0771344)s+15}}\\&={\frac {15}{130.87478s^{3}+154.66376s^{2}+76.157016s+15}}\\&\\&{\text{Check:}}\\&|H(j)'|={\bigg |}{\frac {15}{130.87478j^{3}+154.66376j^{2}+76.157016j+15}}{\bigg |}=0.1=-20{\text{ dB Gain}}\end{aligned}}}$

ฟังก์ชันถ่ายโอนสำหรับ ตัวกรองความถี่ต่ำแบบเบสเซลลำดับที่สาม (สามขั้ว) คือ ${\displaystyle \omega _{0}=1}$

${\displaystyle H(s)={\frac {15}{s^{3}+6s^{2}+15s+15}},}$

โดยที่ตัวเศษถูกเลือกเพื่อให้ได้อัตราขยายหนึ่งหน่วยที่ความถี่ศูนย์ ( ⁠ ⁠${\displaystyle s=0}$ ) รากของพหุนามตัวส่วน ซึ่งเป็นขั้วของตัวกรอง ประกอบด้วยขั้วจริงที่⁠ ⁠${\displaystyle s=-2.3222}$และคู่ขั้วสังยุคเชิงซ้อนที่⁠ ⁠${\displaystyle s=-1.8389\pm j1.7544}$ซึ่งแสดงไว้ในกราฟด้านบน

ผลกำไรก็คือ

${\displaystyle G(\omega )=|H(j\omega )|={\frac {15}{\sqrt {\omega ^{6}+6\omega ^{4}+45\omega ^{2}+225}}}.\,}$

จุด −3 dB ซึ่ง⁠ ⁠${\displaystyle \vert H(j\omega )\vert ={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$เกิดขึ้นที่⁠ ⁠${\displaystyle \omega =1.756}$โดยทั่วไปแล้วจุดนี้เรียกว่าความถี่ตัด (cut-off frequency)

เฟสคือ

${\displaystyle \phi (\omega )=-\arg(H(j\omega ))=\arctan \left({\frac {15\omega -\omega ^{3}}{15-6\omega ^{2}}}\right).}$

ความล่าช้าของ กลุ่ม คือ

${\displaystyle D(\omega )=-{\frac {d\phi }{d\omega }}={\frac {6\omega ^{4}+45\omega ^{2}+225}{\omega ^{6}+6\omega ^{4}+45\omega ^{2}+225}}.}$

การขยาย อนุกรมเทย์เลอร์ของความล่าช้าของกลุ่มคือ

${\displaystyle D(\omega )=1-{\frac {\omega ^{6}}{225}}+{\frac {\omega ^{8}}{1125}}+\cdots .}$

โปรดสังเกตว่าพจน์ทั้งสองในและมีค่าเป็นศูนย์ ส่งผลให้ค่าหน่วงเวลาของกลุ่มที่⁠ ⁠ มีค่าราบเรียบมาก นี่คือจำนวนพจน์สูงสุดที่สามารถตั้งค่าเป็นศูนย์ได้ เนื่องจากมีสัมประสิทธิ์ทั้งหมดสี่ตัวในพหุนามเบสเซลอันดับที่สาม ซึ่งต้องใช้สมการสี่สมการในการกำหนด สมการหนึ่งระบุว่าอัตราขยายเป็นหนึ่งที่และสมการที่สองระบุว่าอัตราขยายเป็นศูนย์ที่⁠ ⁠เหลือสมการสองสมการเพื่อระบุว่าพจน์สองพจน์ในการขยายอนุกรมมีค่าเป็นศูนย์ นี่เป็นคุณสมบัติทั่วไปของค่าหน่วงเวลาของกลุ่มสำหรับตัวกรองเบสเซลอันดับที่⁠ ⁠ : พจน์แรกในการขยายอนุกรมของค่าหน่วงเวลาของกลุ่มจะมีค่าเป็นศูนย์ ดังนั้นจึงทำให้ค่าหน่วงเวลาของกลุ่มที่⁠ ⁠ มีค่าราบเรียบ ที่สุด ${\displaystyle \omega ^{2}}$${\displaystyle \omega ^{4}}$${\displaystyle \omega =0}$${\displaystyle \omega =0}$${\displaystyle \omega =\infty }$${\displaystyle n}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle \omega =0}$

แม้ว่าการแปลงแบบไบลิเนียร์จะใช้ในการแปลงตัวกรองแบบต่อเนื่องเวลา (อนาล็อก) ไปเป็น ตัวกรองแบบ ตอบสนองอิมพัลส์อนันต์ (IIR) แบบดิจิทัลเวลาไม่ต่อเนื่องที่มีการตอบสนองความถี่ ที่เทียบเคียงกันได้ แต่ตัวกรอง IIR ที่ได้จากการแปลงแบบไบลิเนียร์จะไม่มีความล่าช้าของกลุ่มคงที่^{[ 10 ]}เนื่องจากคุณลักษณะที่สำคัญของตัวกรองเบสเซลคือความล่าช้าของกลุ่มที่ราบเรียบที่สุด การแปลงแบบไบลิเนียร์จึงไม่เหมาะสมสำหรับการแปลงตัวกรองเบสเซลแบบอนาล็อกให้เป็นรูปแบบดิจิทัล

เทียบเท่าแบบดิจิทัลคือตัวกรอง Thiran ซึ่งเป็นตัวกรองความถี่ต่ำแบบ all-pole ที่มีความล่าช้าของกลุ่มแบบราบเรียบสูงสุด^{[ 11 ] [ 12 ]}ซึ่งสามารถแปลงเป็นตัวกรอง allpass เพื่อใช้ความล่าช้าแบบเศษส่วนได้เช่นกัน^{[ 13 ] [ 14 ]}

• ฟังก์ชันเบสเซล
• ตัวกรองบัตเตอร์เวิร์ธ
• ตัวกรองเชบิเชฟ
• ตัวกรองแบบหวี
• ตัวกรองวงรี
• ความล่าช้าของกลุ่มและความล่าช้าของเฟส

• ตัวกรองแบบเบสเซลและแบบเฟสเชิงเส้น — นูเฮิร์ตซ์
• ค่าคงที่ตัวกรองเบสเซล — CR Bond
• พหุนามตัวกรองเบสเซล ขั้ว และองค์ประกอบวงจร — ซีอาร์ บอนด์
• โค้ด Java สำหรับคำนวณขั้วของตัวกรองเบสเซล