ในทางคณิตศาสตร์การแปลงลาปลาสซึ่งตั้งชื่อตามปิแอร์-ซีมง ลาปลาส ( / l ə ˈ p l ɑː s / ) คือการแปลงเชิงปริพันธ์ที่แปลงฟังก์ชันของตัวแปรจริง (โดยปกติอยู่ในโดเมนเวลา ) ไปเป็นฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน (ใน โดเมนความถี่เชิงซ้อนหรือที่เรียกว่าโดเมนsหรือระนาบs ) โดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์ตัวพิมพ์เล็กสำหรับฟังก์ชันในโดเมนเวลา และสัญลักษณ์ตัวพิมพ์ใหญ่ที่สอดคล้องกันสำหรับฟังก์ชันในโดเมนความถี่เช่นและ${\displaystyle t}$${\displaystyle s}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle X(s)}$

การแปลงนี้มีประโยชน์สำหรับการแปลงการหาอนุพันธ์และการหาปริพันธ์ในโดเมนเวลาให้เป็นการดำเนินการทางพีชคณิตเช่น การคูณและการหารในโดเมนลาปลาส (คล้ายกับวิธีที่ลอการิทึมมีประโยชน์ในการทำให้การคูณและการหารง่ายขึ้นเป็นการบวกและการลบ) ซึ่งทำให้การแปลงนี้มีแอปพลิเคชันมากมายในวิทยาศาสตร์และวิศวกรรมโดยส่วนใหญ่ใช้เป็นเครื่องมือในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ เชิงเส้น ^{[ 1 ]}และระบบพลวัตโดยการแทนที่สมการเชิงอนุพันธ์สามัญและสมการปริพันธ์ด้วยสมการพหุนามพีชคณิตและโดยการแทนที่การสังเคราะห์ด้วยการคูณ^{[ 2 ] [ 3 ]}

ตัวอย่างเช่น โดยใช้การแปลงลาปลาส สมการของการสั่นแบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย ( กฎของฮุก ) จะถูกแปลงเป็นสมการพีชคณิตที่รวมเงื่อนไขเริ่มต้นและสามารถแก้หาฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่าได้เมื่อแก้สม การแล้ว สามารถใช้การแปลงลาปลาสผกผันเพื่อแปลงกลับไปยังโดเมนเดิมได้ ซึ่งมักจะ ทำได้ง่ายขึ้นโดยการอ้างอิงตารางต่างๆ เช่น ตารางที่แสดงด้านล่าง $${\displaystyle x''(t)+kx(t)=0}$$$${\displaystyle s^{2}X(s)-sx(0)-x'(0)+kX(s)=0,}$$${\displaystyle x(0)}$${\displaystyle x'(0)}$${\displaystyle X(s)}$

การแปลงลาปลาสถูกนิยาม (สำหรับฟังก์ชันที่เหมาะสม) โดย${\displaystyle f}$อินทิก รั ลโดย ที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt,}$$${\displaystyle s}$

การแปลงลาปลาสมีความเกี่ยวข้องกับการแปลงอื่นๆ อีกมากมาย โดยพื้นฐานแล้วมันเหมือนกับการแปลงเมลลินและมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการแปลงฟูริเยร์แต่ต่างจากการแปลงฟูริเยร์ตรงที่ การแปลงลาปลาสของฟังก์ชันมักจะเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ซึ่งหมายความว่าสามารถแสดงได้ในรูปอนุกรมกำลังที่ลู่เข้าเฉพาะที่ โดยที่สัมประสิทธิ์ของอนุกรมกำลังนั้นแสดงถึงโมเมนต์ของฟังก์ชันดั้งเดิม ยิ่งไปกว่านั้น เทคนิคการวิเคราะห์เชิงซ้อนโดยเฉพาะอย่างยิ่งปริพันธ์ตามเส้นโค้งสามารถนำมาใช้เพื่อลดความซับซ้อนของการคำนวณได้

การแปลงลาปลาซตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ปิแอร์-ซีมอง มาร์กีส์ เดอ ลาปลาซ ซึ่งใช้การแปลงที่คล้ายกันในงานของเขาเกี่ยวกับทฤษฎีความน่าจะเป็น [ ^{4 ] [ 5 ] ลา}ปลาซเขียนเกี่ยวกับการใช้ฟังก์ชันก่อกำเนิด อย่างกว้างขวาง (1814) และรูปแบบอินทิกรัลของการแปลงลาปลาซก็พัฒนาขึ้นตามธรรมชาติเป็นผลจากสิ่งนี้^{[ 6 ]}

การใช้ฟังก์ชันก่อกำเนิดของ Laplace คล้ายกับสิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่าz-transformและเขาให้ความสนใจเพียงเล็กน้อยกับ กรณี ตัวแปรต่อเนื่อง ซึ่ง Niels Henrik Abelได้กล่าวถึง^{[ 7 ]}

ตั้งแต่ปี ค.ศ. 1744 เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ได้ศึกษาอินทิกรัลในรูปแบบ ที่เป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งการแนะนำฟังก์ชันแกมมา^{[ 8 ]}โจเซฟ-หลุยส์ ลากรองจ์เป็นผู้ชื่นชมออยเลอร์ และในงานของเขาเกี่ยวกับการอินทิเกรตฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น ได้ศึกษาการแสดงออกในรูปแบบ ที่คล้ายกับการแปลงลาปลาส^{[ 9 ] [ 10 ]}$${\displaystyle z=\int X(x)e^{ax}\,dx\quad {\text{ และ }}\quad z=\int X(x)x^{A}\,dx}$$$${\displaystyle \int X(x)e^{-ax}a^{x}\,dx,}$$

ดูเหมือนว่าปริพันธ์ประเภทนี้จะดึงดูดความสนใจของลาปลาซเป็นครั้งแรกในปี 1782 โดยเขาได้ดำเนินรอยตามแนวคิดของออยเลอร์ในการใช้ปริพันธ์เป็นคำตอบของสมการ^{[ 11 ]}อย่างไรก็ตาม ในปี 1785 ลาปลาซได้ก้าวไปอีกขั้นที่สำคัญ เมื่อเขาเริ่มประยุกต์ใช้การแปลงในความหมายที่ต่อมาได้รับความนิยม แทนที่จะมองหาคำตอบในรูปแบบของปริพันธ์เพียงอย่างเดียว เขาใช้ปริพันธ์ในรูปแบบ ที่คล้ายกับการแปลงเมลลิน เพื่อแปลง สมการผลต่างทั้งหมดเพื่อค้นหาคำตอบของสมการที่แปลงแล้ว จากนั้นเขาก็ได้ประยุกต์ใช้การแปลงลาปลาซในลักษณะเดียวกันและเริ่มที่จะหาคุณสมบัติบางอย่างของมัน โดยเริ่มตระหนักถึงศักยภาพของมัน^{[ 12 ]}$${\displaystyle \int x^{s}\varphi (x)\,dx,}$$

ลาปลาซยังตระหนักด้วยว่า วิธีการอนุกรม ฟูริเย ร์ ของโจเซฟ ฟูริเยร์สำหรับการแก้สมการการแพร่กระจาย นั้น สามารถใช้ได้เฉพาะกับพื้นที่จำกัดเท่านั้น เนื่องจากคำตอบเหล่านั้นเป็นคาบในปี 1809 ลาปลาซได้ประยุกต์ใช้การแปลงของเขาเพื่อหาคำตอบที่แพร่กระจายไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุดในอวกาศ^{[ 13 ]} ในปี 1821 คอชีได้พัฒนาแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการสำหรับการแปลงลาปลาซที่สามารถใช้ในการศึกษาสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นในลักษณะเดียวกับที่การแปลงนี้ถูกนำมาใช้ในวิศวกรรมพื้นฐานในปัจจุบัน วิธีนี้ได้รับความนิยม และอาจถูกค้นพบใหม่โดยโอลิเวอร์ เฮวิไซด์ในช่วงต้นศตวรรษ^{[ 14 ]}

เบอร์นาร์ด รีมันน์ใช้การแปลงลาปลาสในบทความปี 1859 ของเขาเรื่อง "เกี่ยวกับจำนวนของจำนวนเฉพาะที่น้อยกว่าขนาดที่กำหนด"ซึ่งเขายังพัฒนาทฤษฎีบทการผกผันอีกด้วย รีมันน์ใช้การแปลงลาปลาสเพื่อพัฒนาสมการเชิงฟังก์ชันของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์และวิธีการของเขายังคงใช้เพื่อเชื่อมโยงกฎการแปลงโมดูลาร์ของฟังก์ชันทีตาของจาโคบีซึ่งพิสูจน์ได้ง่ายผ่านการรวมปัวซงเข้ากับสมการเชิงฟังก์ชัน^{[ 15 ]}

Hjalmar Mellinเป็นหนึ่งในคนแรกๆ ที่ศึกษาการแปลงลาปลาสอย่างเข้มงวดใน สำนักวิเคราะห์ Karl Weierstrassและนำไปประยุกต์ใช้ในการศึกษาสมการเชิงอนุพันธ์และฟังก์ชันพิเศษในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 ^{[ 16 ]} ในเวลาเดียวกันนั้น Heaviside ก็กำลังยุ่งอยู่กับแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการของเขา Thomas Joannes Stieltjesพิจารณาการวางนัยทั่วไปของการแปลงลาปลาสที่เชื่อมโยงกับงานของเขาเกี่ยวกับโมเมนต์^ผู้มีส่วนร่วมคนอื่นๆ ในช่วงเวลานี้ ได้แก่Mathias Lerch [ ^{17 ]} Oliver HeavisideและThomas Bromwich ^{[ 18 ]}

ในปี ค.ศ. 1929 Vannevar BushและNorbert Wienerได้ตีพิมพ์หนังสือOperational Circuit Analysisซึ่งเป็นตำราสำหรับการวิเคราะห์ทางวิศวกรรมของวงจรไฟฟ้า โดยประยุกต์ใช้ทั้งการแปลงฟูริเยร์และแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการ และในหนังสือเล่มนี้พวกเขายังได้รวมเอาหนึ่งในต้นแบบแรกๆ ของตารางการแปลงลาปลาสในปัจจุบันไว้ด้วย ในปี ค.ศ. 1934 Raymond PaleyและNorbert Wienerได้ตีพิมพ์ผลงานสำคัญเรื่องFourier transforms in the complex domainซึ่งเกี่ยวกับสิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่าการแปลงลาปลาส (ดูด้านล่าง) นอกจากนี้ ในช่วงทศวรรษที่ 1930 การแปลงลาปลาสยังมีบทบาทสำคัญใน การศึกษา ทฤษฎีบททอเบอเรียนของGodfrey Harold HardyและJohn Edensor Littlewoodและการประยุกต์ใช้ดังกล่าวได้รับการขยายความเพิ่มเติมในภายหลังโดยWidder (1941)ซึ่งได้พัฒนาแง่มุมอื่นๆ ของทฤษฎี เช่น วิธีการผกผันแบบใหม่ Edward Charles Titchmarshได้เขียนหนังสือที่มีอิทธิพลอย่างมากเรื่อง Introduction to the theory of the Fourier integral (1937)

การใช้การแปลงลาปลาสอย่างแพร่หลายในปัจจุบัน (ส่วนใหญ่ในด้านวิศวกรรม) เกิดขึ้นในช่วงและหลังสงครามโลกครั้งที่สองไม่นาน^[ 19 ] ^{โดยแทนที่}แคลคูลัสปฏิบัติการ Heaviside รุ่นก่อนหน้าข้อดีของการแปลงลาปลาสได้รับการเน้นย้ำโดยGustav Doetsch ^{[ 20 ]}

การแปลงลาปลาสของฟังก์ชันf ( t )ซึ่งกำหนดไว้สำหรับจำนวนจริงt ≥ 0 ทั้งหมด คือฟังก์ชันF ( s )ซึ่งกำหนดโดย

โดยที่เป็นพารามิเตอร์โดเมนความถี่เชิงซ้อนที่ มี σและωเป็นจำนวนจริง^{[ 21 ]}${\displaystyle s}$${\textstyle s=\sigma +i\omega }$

สัญลักษณ์อีกแบบหนึ่งสำหรับการแปลงลาปลาสคือ${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}}$แทนที่จะเป็นF [ ^{3 ]}ดังนั้นในสัญกรณ์ฟังก์ชัน มักจะเขียน โดย เฉพาะอย่างยิ่งในบริบททางวิศวกรรมเป็น⁠ ⁠โดยเข้าใจว่า^{ตัวแปร}ดัมมี่ไม่ปรากฏในฟังก์ชัน⁠ ⁠${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\{f\}(s)}$${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle F(s)}$

ความหมายของอินทิกรัลขึ้นอยู่กับประเภทของฟังก์ชันที่สนใจ เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการมีอยู่ของอินทิกรัลคือfต้องเป็น ฟังก์ชัน ที่หาอินทิกรัลได้เฉพาะที่บนช่วง[0, ∞)สำหรับฟังก์ชันที่หาอินทิกรัลได้เฉพาะที่ซึ่งลดลงที่อนันต์หรือเป็นประเภทเลขชี้กำลัง ( ⁠ ⁠${\displaystyle \vert f(t)\vert \leq เอ๋^{B\vert t\vert }}$ ) อินทิกรัลนี้สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นอินทิกรัลเลเบส (ที่เหมาะสม) อย่างไรก็ตาม สำหรับการใช้งานหลายอย่าง จำเป็นต้องพิจารณาว่าเป็นอินทิกรัลไม่เหมาะสมที่ลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข ที่∞ยิ่งไปกว่านั้น อินทิกรัลนี้สามารถเข้าใจได้ในความหมายแบบอ่อนและจะกล่าวถึงในส่วนต่อไป

เราสามารถกำหนดการแปลงลาปลาสของการวัดโบเรล จำกัด μโดยใช้ปริพันธ์เลเบส^{[ 22 ]}$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{\mu \}(s)=\int _{[0,\infty )}e^{-st}\,d\mu (t).}$$

กรณีพิเศษที่สำคัญคือเมื่อμเป็นการวัดความน่าจะเป็นเช่นฟังก์ชันเดลต้าของดิแรกในแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการการแปลงลาปลาสของการวัดมักถูกพิจารณาเสมือนว่าการวัดนั้นมาจากฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นfในกรณีนั้น เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนที่อาจเกิดขึ้น มักจะเขียนว่า โดยที่ขีดจำกัดล่างของ0 ⁻เป็นสัญลักษณ์ย่อสำหรับ $${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt,}$$$${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\varepsilon }^{\infty }.}$$

ขีดจำกัดนี้เน้นย้ำว่ามวลจุด ใดๆ ที่อยู่ที่0นั้นถูกจับได้อย่างสมบูรณ์โดยการแปลงลาปลาส แม้ว่าในการใช้ปริพันธ์เลเบสก์นั้นไม่จำเป็นต้องใช้ขีดจำกัดดังกล่าว แต่ก็ดูเป็นธรรมชาติมากกว่าเมื่อเชื่อมโยงกับการแปลงลาปลาส-สตีลต์เจส

เมื่อกล่าวถึง "การแปลงลาปลาส" โดยไม่มีคำอธิบายเพิ่มเติม มักจะหมายถึงการแปลงลาปลาสแบบด้านเดียวหรือแบบทวิภาค การแปลงลาปลาสสามารถนิยามได้อีกแบบหนึ่งว่าการแปลงลาปลาสแบบทวิภาคหรือการแปลงลาปลาสแบบสองด้านโดยการขยายขอบเขตของการอินทิเกรตให้ครอบคลุมแกนจริงทั้งหมด หากทำเช่นนั้น การแปลงลาปลาสแบบด้านเดียวทั่วไปจะกลายเป็นกรณีพิเศษของการแปลงลาปลาสแบบทวิภาค โดยที่นิยามของฟังก์ชันที่ถูกแปลงนั้นรวมถึงการคูณด้วยฟังก์ชันขั้นบันไดของเฮวิไซด์ด้วย

การแปลงลาปลาสแบบทวิภาคีF ( s )ถูกกำหนดดังนี้:

สัญลักษณ์อื่นสำหรับการแปลงลาปลาสแบบทวิภาคีคือ⁠ ⁠ แทนที่จะ${\displaystyle {\mathcal {B}}\{f\}}$เป็นF

ฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้สองฟังก์ชันจะมีการแปลงลาปลาสเหมือนกันก็ต่อเมื่อฟังก์ชันทั้งสองแตกต่างกันบนเซตที่มีมาตรวัดเลเบสเป็นศูนย์ ซึ่งหมายความว่า บนช่วงของการแปลงนั้น จะมีการแปลงผกผันอยู่ด้วย อันที่จริง นอกเหนือจากฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้แล้ว การแปลงลาปลาสยังเป็นการแมปแบบหนึ่งต่อหนึ่งจากปริภูมิฟังก์ชันหนึ่งไปยังอีกปริภูมิหนึ่งในปริภูมิฟังก์ชันอื่นๆ อีกมากมายเช่นกัน แม้ว่าโดยปกติแล้วจะไม่มีการกำหนดช่วงที่ชัดเจนนักก็ตาม

ปริภูมิฟังก์ชันทั่วไปที่ข้อความนี้เป็นจริง ได้แก่ ปริภูมิของฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีขอบเขต ปริภูมิL ^∞ (0, ∞)หรือโดยทั่วไปแล้วคือการกระจายแบบเทมเปอร์บน(0, ∞)การแปลงลาปลาสยังถูกกำหนดและเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งสำหรับปริภูมิของการกระจายแบบเทมเปอร์ที่เหมาะสมด้วย

ในกรณีเหล่านี้ ภาพของการแปลงลาปลาสจะอยู่ในปริภูมิของฟังก์ชันวิเคราะห์ใน บริเวณของ การลู่เข้าการแปลงลาปลาสผกผันกำหนดโดยปริพันธ์เชิงซ้อนต่อไปนี้ ซึ่งรู้จักกันในชื่อต่างๆ ( ปริพันธ์บรอมวิช ปริพันธ์ฟูริเยร์-เมลลินและสูตรผกผันของเมลลิน ) :

โดยที่γเป็นจำนวนจริงที่ทำให้เส้นทางการอินทิเกรตอยู่ในบริเวณการลู่เข้าของF ( s )ในการใช้งานส่วนใหญ่ เส้นทางการอินทิเกรตสามารถปิดได้ ทำให้สามารถใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือได้สูตรทางเลือกสำหรับการแปลงลาปลาสผกผันนั้นกำหนดโดยสูตรผกผันของโพสต์ขีดจำกัดในที่นี้ถูกตีความใน โทโพโล ยี แบบอ่อน*

ในทางปฏิบัติ การแยกการแปลงลาปลาสออกเป็นการแปลงฟังก์ชันที่ทราบค่าจากตาราง และสร้างการแปลงผกผันโดยการสังเกต มักจะสะดวกกว่า

ใน ทฤษฎีความน่าจะ เป็นบริสุทธิ์และทฤษฎีความน่าจะเป็นประยุกต์การแปลงลาปลาสถูกนิยามว่าเป็นค่าคาดหวังถ้าXเป็นตัวแปรสุ่มที่มีฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นfแล้ว การแปลงลาปลาสของfจะกำหนดโดยค่าคาดหวัง โดย ที่คือ ค่า คาดหวังของตัวแปรสุ่ม$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)=\operatorname {E} \left[e^{-sX}\right],}$$${\displaystyle \operatorname {E} [r]}$${\displaystyle r}$

ตามธรรมเนียมแล้ว สิ่งนี้เรียกว่าการแปลงลาปลาสของตัวแปรสุ่มXเอง ในที่นี้ การแทนที่sด้วย−tจะได้ฟังก์ชันก่อกำเนิดโมเมนต์ของX การแปลงลาปลาสมีการประยุกต์ใช้ในทฤษฎีความน่าจะเป็น มากมายรวมถึงเวลาผ่านครั้งแรกของกระบวนการสุ่มเช่นโซ่มาคอฟและทฤษฎีการต่ออายุ

ความสามารถในการกู้คืนฟังก์ชันการกระจายสะสมของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องXโดยใช้การแปลงลาปลาสมีประโยชน์เป็นพิเศษดังนี้: ^{[ 23 ]}$${\displaystyle F_{X}(x)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {1}{s}}\operatorname {E} \left[e^{-sX}\right]\right\}(x)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}\{f\}(s)\right\}(x).}$$

การแปลงลาปลาสสามารถกำหนดได้อีกวิธีหนึ่งในลักษณะพีชคณิตล้วนๆ โดยการใช้ การสร้าง ฟิลด์เศษส่วนกับวงแหวน การสังเคราะห์ ของฟังก์ชันบนครึ่งเส้นบวกพื้นที่ของตัวดำเนินการนามธรรมที่ ได้ นั้นเทียบเท่ากับพื้นที่ลาปลาสอย่างแน่นอน แต่ในการสร้างนี้ การแปลงไปข้างหน้าและย้อนกลับไม่จำเป็นต้องกำหนดอย่างชัดเจน (หลีกเลี่ยงความยากลำบากที่เกี่ยวข้องกับการพิสูจน์การล convergence) ^{[ 24 ]}

ถ้าfเป็นฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์ได้ในระดับท้องถิ่น (หรือโดยทั่วไปแล้วเป็นมาตรวัดบอเรลที่มีความแปรผันจำกัดในระดับท้องถิ่น) แล้วการแปลงลาปลาสF ( s )ของfจะลู่เข้าก็ต่อเมื่อลิมิต มีอยู่ $${\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int _{0}^{R}f(t)e^{-st}\,dt}$$

การแปลงลาปลาสจะลู่เข้าอย่างสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อปริพันธ์ มีอยู่จริงในรูปปริพันธ์เลเบสที่เหมาะสม โดยทั่วไปแล้ว การแปลงลาปลาสจะเข้าใจว่าเป็นการลู่เข้าแบบมีเงื่อนไขซึ่งหมายความว่ามันลู่เข้าในความหมายแรกแต่ไม่ลู่เข้าในความหมายหลัง $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left|f(t)e^{-st}\right|\,dt}$$

เซตของค่าที่F ( s )ลู่เข้าอย่างสมบูรณ์จะมีรูปแบบเป็นRe( s ) > aหรือRe( s ) ≥ aโดยที่aเป็นค่าคงที่จริงแบบขยายที่มี−∞ ≤ a ≤ ∞ (เป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทการลู่เข้าแบบครอบงำ ) ค่าคงที่aเรียกว่าพิกัดของการลู่เข้าอย่างสมบูรณ์ และขึ้นอยู่กับพฤติกรรมการเติบโตของf ( t ) [ ^{25 ] ใน}ทำนองเดียวกัน การแปลงแบบสองด้านจะลู่เข้าอย่างสมบูรณ์ในแถบที่มีรูปแบบ a < Re( s ) < bและอาจรวมถึงเส้นRe( s ) = aหรือRe( s ) = bด้วย^{[ 26 ]}เซตย่อยของค่าsที่การแปลงลาปลาสลู่เข้าอย่างสมบูรณ์เรียกว่าบริเวณของการลู่เข้าอย่างสมบูรณ์ หรือโดเมนของการลู่เข้าอย่างสมบูรณ์ ในกรณีสองด้าน บางครั้งเรียกว่าแถบของการลู่เข้าอย่างสมบูรณ์ การแปลงลาปลาสเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ในบริเวณที่มีการลู่เข้าสัมบูรณ์: นี่เป็นผลมาจากทฤษฎีบทของฟูบินีและทฤษฎีบทของโมเรรา

ในทำนองเดียวกัน เซตของค่าที่F ( s )ลู่เข้า (แบบมีเงื่อนไขหรือแบบสัมบูรณ์) เรียกว่า บริเวณของการลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข หรือเรียกง่ายๆ ว่าบริเวณของการลู่เข้า (ROC) ถ้าการแปลงลาปลาสลู่เข้า (แบบมีเงื่อนไข) ที่s = s₀แล้ว มันจะลู่เข้าโดยอัตโนมัติสำหรับทุกsที่มีRe( s ) _> Re( s₀ ) ดังนั้น บริเวณของการลู่เข้า _จึงเป็นระนาบครึ่งหนึ่งในรูปแบบRe( s ) > aซึ่งอาจรวมถึงบางจุดของเส้นขอบRe( s ) = aด้วย

ในบริเวณการลู่เข้าRe( s ) > Re( s ₀ )การแปลงลาปลาสของfสามารถแสดงได้โดยการอินทิเกรตโดยใช้การแยกส่วนเป็นอินทิกรัล $${\displaystyle F(s)=(s-s_{0})\int _{0}^{\infty }e^{-(s-s_{0})t}\beta (t)\,dt,\quad \beta (u)=\int _{0}^{u}e^{-s_{0}t}f(t)\,dt.}$$

นั่นคือF ( s )สามารถแสดงได้อย่างมีประสิทธิภาพในบริเวณการลู่เข้า ในรูปของการแปลงลาปลาสที่ลู่เข้าอย่างสมบูรณ์ของฟังก์ชันอื่น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ ในรูปแบบทั่วไปที่สุด การแปลงลาปลาสจะให้การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก ซึ่งสำหรับบางค่า⁠ ⁠${\displaystyle \sigma \in \mathbb {R} }$ถูกกำหนดบนและถูกจำกัดค่าสัมบูรณ์ที่นั่นโดยพหุนาม และการกระจายบนเส้นจำนวนจริงที่รองรับบน⁠ ⁠ซึ่งกลายเป็นการกระจาย^แบบเทมเปอร์หลังจากคูณด้วยสำหรับบางค่า⁠ ⁠ ^{[ 27} ]${\displaystyle \{s\in \mathbb {C} \ \vert \ \mathrm {Re} (s)>\sigma \}}$${\displaystyle [0,\infty )}$${\displaystyle e^{-\sigma t}}$${\displaystyle \sigma }$

มีทฤษฎีบท Paley–Wiener หลายข้อ ที่เกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์ระหว่างคุณสมบัติการลดลงของfและคุณสมบัติของการแปลงลาปลาสภายในบริเวณการลู่เข้า

ในงานวิศวกรรม ฟังก์ชันที่สอดคล้องกับระบบเชิงเส้นคงที่ตามเวลา (LTI)จะมีเสถียรภาพก็ต่อเมื่ออินพุตที่มีขอบเขตทุกตัวให้ผลลัพธ์ที่มีขอบเขต ซึ่งเทียบเท่ากับการลู่เข้าอย่างสมบูรณ์ของการแปลงลาปลาสของฟังก์ชันการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นในบริเวณRe( s ) ≥ 0ดังนั้น ระบบ LTI จึงมีเสถียรภาพ ตราบใดที่ขั้วของการแปลงลาปลาสของฟังก์ชันการตอบสนองต่อแรงกระตุ้นมีส่วนจริงเป็นลบ

กราฟ ROC นี้ใช้ในการตรวจสอบความสัมพันธ์เชิงสาเหตุและความเสถียรของระบบ

คุณสมบัติสำคัญของการแปลงลาปลาสคือการแปลงการหาอนุพันธ์และการหาปริพันธ์ในโดเมนเวลาให้เป็นการคูณและการหารด้วยsในโดเมนลาปลาส ดังนั้น ตัวแปรลาปลาส sจึงเรียกอีกอย่างว่าตัวแปรตัวดำเนินการในโดเมนลาปลาส ได้แก่ตัวดำเนินการอนุพันธ์หรือ (สำหรับs ⁻¹ )ตัวดำเนิน การหาปริพันธ์

กำหนดฟังก์ชันf ( t )และg ( t )และการแปลงลาปลาสF ( s )และ G ( s )ตาม ลำดับ$${\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\},\\g(t)&={\mathcal {L}}^{-^{-1}}\{G(s)\},\end{aligned}}}$$

ตารางต่อไปนี้เป็นรายการคุณสมบัติของการแปลงลาปลาสแบบด้านเดียว: ^{[ 28 ]}

คุณสมบัติของการแปลงลาปลาสแบบด้านเดียว

คุณสมบัติ	โดเมนเวลา	โดเมน s	ความคิดเห็น
ความเป็นเส้นตรง	${\displaystyle af(t)+bg(t)\ }$	${\displaystyle aF(s)+bG(s)\ }$	สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้กฎพื้นฐานของการอินทิเกรต
อนุพันธ์ในโดเมนความถี่	${\displaystyle tf(t)\ }$	${\displaystyle -F'(s)\ }$	F ′คืออนุพันธ์อันดับแรกของ Fเทียบกับ s
อนุพันธ์ทั่วไปในโดเมนความถี่	${\displaystyle t^{n}f(t)\ }$	${\displaystyle (-1)^{n}F^{(n)}(s)\ }$	รูปแบบทั่วไปมากขึ้น คือ อนุพันธ์อันดับ ที่ nของF ( s )
อนุพันธ์	${\displaystyle f'(t)\ }$	${\displaystyle sF(s)-f(0^{-})\ }$	สมมติว่า fเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้และอนุพันธ์ของ f นั้นเป็นแบบเลขชี้กำลัง จากนั้นจึงสามารถหาอนุพันธ์ได้โดยการอินทิเกรตทีละส่วน
อนุพันธ์อันดับสอง	${\displaystyle f''(t)\ }$	${\textstyle s^{2}F(s)-sf(0^{-})-f'(0^{-})\ }$	ถือว่า fสามารถหาอนุพันธ์อันดับสองได้ และอนุพันธ์อันดับสองเป็นแบบเลขชี้กำลัง จากนั้นจึงใช้คุณสมบัติการหาอนุพันธ์กับf ′ ( t )
อนุพันธ์ทั่วไป	${\displaystyle f^{(n)}(t)\ }$	${\displaystyle s^{n}F(s)-\sum _{k=1}^{n}s^{nk}f^{(k-1)}(0^{-})\ }$	ถือว่า f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ nครั้ง โดย อนุพันธ์อันดับที่ nเป็นแบบเลขชี้กำลัง เป็นไปตามหลักการอุปมานทางคณิตศาสตร์
การบูรณาการในโดเมนความถี่	${\displaystyle {\frac {1}{t}}f(t)\ }$	${\displaystyle \int _{s}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma \ }$	ข้อสรุปนี้ได้มาจากการใช้ลักษณะของการหาอนุพันธ์ของความถี่และการลู่เข้าแบบมีเงื่อนไข
การบูรณาการในโดเมนเวลา	${\displaystyle \int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau =(u*f)(t)}$	${\displaystyle {1 \over s}F(s)}$	u ( t )คือฟังก์ชันขั้นบันไดของ Heaviside และ( u * f ) ( t )คือการสังเคราะห์ของ u ( t )และ f ( t )
การเปลี่ยนความถี่	${\displaystyle e^{at}f(t)}$	${\displaystyle F(s-a)}$
การเลื่อนเวลา	${\displaystyle f(t-a)u(t-a)}$ ${\displaystyle f(t)u(t-a)\ }$	${\displaystyle e^{-as}F(s)\ }$ ${\displaystyle e^{-as}{\mathcal {L}}\{f(t+a)\}}$	ถ้า a > 0 , u ( t )คือฟังก์ชันขั้นบันไดของ Heaviside
การปรับขนาดเวลา	${\displaystyle f(at)}$	${\displaystyle {\frac {1}{a}}F\left({s \over a}\right)}$	a > 0
การคูณ	${\displaystyle f(t)g(t)}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{c-iT}^{c+iT}F(\sigma )G(s-\sigma )\,d\sigma \ }$	การอินทิเกรตจะทำตามแนวเส้นแนวตั้งRe( σ ) = cซึ่งอยู่ภายในบริเวณการบรรจบกันของF อย่าง สมบูรณ์ [ 29 ]
การคอนโวลูชัน	${\displaystyle (f*g)(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau }$	${\displaystyle F(s)\cdot G(s)\ }$
การคอนโวลูชันแบบวงกลม	${\displaystyle (f*g)(t)=\int _{0}^{T}f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau }$	${\displaystyle F(s)\cdot G(s)\ }$	สำหรับฟังก์ชันคาบที่มีคาบ T
คอนจูเกชันเชิงซ้อน	${\displaystyle f^{*}(t)}$	${\displaystyle F^{*}(s^{*})}$
ฟังก์ชันคาบ	${\displaystyle f(t)}$	${\displaystyle {1 \over 1-e^{-Ts}}\int _{0}^{T}e^{-st}f(t)\,dt}$	f ( t )เป็นฟังก์ชันคาบที่มีคาบ Tโดยที่ f ( t ) = f ( t + T )สำหรับทุก t ≥ 0นี่เป็นผลมาจากคุณสมบัติการเลื่อนเวลาและอนุกรม เรขาคณิต
ผลรวมเป็นคาบ	${\displaystyle f_{P}(t)=\sum _{n=0}^{\infty }f(t-Tn)}$ ${\displaystyle f_{P}(t)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}f(t-Tn)}$	${\displaystyle F_{P}(s)={\frac {1}{1-e^{-Ts}}}F(s)}$ ${\displaystyle F_{P}(s)={\frac {1}{1+e^{-Ts}}}F(s)}$

ทฤษฎีบทค่าเริ่มต้น

${\displaystyle f(0^{+})=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}.}$

ทฤษฎีบทมูลค่าสุดท้าย

ถ้า${\displaystyle f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}}$ขั้วทั้งหมดของ อยู่ใน ระนาบครึ่งซ้าย${\displaystyle sF(s)}$

ทฤษฎีบทค่าสุดท้ายมีประโยชน์เพราะให้พฤติกรรมในระยะยาวโดยไม่ต้องทำการ แยก ส่วนเศษส่วน (หรือพีชคณิตที่ซับซ้อนอื่นๆ) ถ้าF ( s )มีขั้วอยู่ในระนาบด้านขวาหรือมีขั้วอยู่บนแกนจินตนาการ (เช่น ถ้าหรือ⁠ ⁠ ) พฤติกรรมของสูตรนี้จะไม่สามารถกำหนดได้${\displaystyle f(t)=e^{t}}$${\displaystyle f(t)=\sin(t)}$

การแปลงลาปลาสสามารถมองได้ว่าเป็น อนาล็อก ต่อเนื่องของอนุกรมกำลัง^{[ 30 ]}ถ้า a ( n )เป็นฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องของจำนวนเต็ม บวก nแล้วอนุกรมกำลังที่เกี่ยวข้องกับa ( n )คืออนุกรม ที่xเป็นตัวแปรจริง (ดูการแปลง Z ) การแทนที่ผลรวมเหนือnด้วยการอินทิเกรตเหนือ tจะทำให้อนุกรมกำลังเวอร์ชันต่อเนื่องกลายเป็น โดย ที่ฟังก์ชันไม่ ต่อเนื่อง a ( n )ถูกแทนที่ด้วยฟังก์ชันต่อเนื่องf ( t )$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a(n)x^{n}}$$$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)x^{t}\,dt}$$

การเปลี่ยนฐานของเลขยกกำลังจากxเป็นeจะได้ $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)\left(e^{\ln {x}}\right)^{t}\,dt}$$

เพื่อให้ลู่เข้าสำหรับฟังก์ชันf ที่มีขอบเขตทั้งหมด จำเป็นต้องกำหนดให้ln x < 0การแทนที่− s = ln xจะได้เพียงการแปลงลาปลาส: $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt}$$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง การแปลงลาปลาสเป็นอนาล็อกแบบต่อเนื่องของอนุกรมกำลัง โดยที่พารามิเตอร์แบบไม่ต่อเนื่องn ถูก แทนที่ ด้วยพารามิเตอร์แบบต่อเนื่องtและxถูกแทนที่ด้วยe ^{− s}

ในทำนองเดียวกันกับอนุกรมกำลัง ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle a(n)=O(\rho ^{-n})}$แล้วอนุกรมกำลังจะลู่เข้าสู่ฟังก์ชันวิเคราะห์ใน^⁠ ⁠ ถ้า${\displaystyle \vert x\vert <\rho }$ ⁠ ⁠ การ${\displaystyle f(t)=O(e^{-\sigma t})}$แปลงลาปลาสจะลู่เข้าสู่ฟังก์ชันวิเคราะห์สำหรับ⁠ ⁠${\displaystyle \Re (s)>\sigma }$ [ ^{31 ]}

ปริมาณเหล่านี้ คือ โมเมนต์ของฟังก์ชันfถ้า โมเมนต์ n ตัวแรก ของfลู่เข้าอย่างสมบูรณ์แล้ว โดยการหาอนุพันธ์ซ้ำภายใต้ปริพันธ์ สิ่งนี้มีความสำคัญเป็นพิเศษในทฤษฎีความน่าจะเป็น ซึ่งโมเมนต์ของตัวแปรสุ่มXกำหนดโดยค่าคาดหวังดังนั้นความสัมพันธ์จึงเป็นจริง $${\displaystyle \mu _{n}=\int _{0}^{\infty }t^{n}f(t)\,dt}$$$${\displaystyle (-1)^{n}({\mathcal {L}}f)^{(n)}(0)=\mu _{n}.}$$${\displaystyle \mu _{n}=\operatorname {E} [X^{n}]}$$${\displaystyle \mu _{n}=(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\operatorname {E} \left[e^{-sX}\right](0).}$$

โดยทั่วไปแล้ว การใช้คุณสมบัติการหาอนุพันธ์ของการแปลงลาปลาสเพื่อหาการแปลงของอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นสะดวกกว่า ซึ่งสามารถหาได้จากนิพจน์พื้นฐานของการแปลงลาปลาส ดังนี้: ซึ่ง จะได้ผลลัพธ์เป็น และในกรณีทวิภาคี $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}&=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt\\[6pt]&=\left[{\frac {f(t)e^{-st}}{-s}}\right]_{0^{-}}^{\infty }-\int _{0^{-}}^{\infty }{\frac {e^{-st}}{-s}}f'(t)\,dt\quad {\text{(by parts)}}\\[6pt]&=\left[-{\frac {f(0^{-})}{-s}}\right]+{\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}\left\{f'(t)\right\},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'(t)\}=s\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}-f(0^{-}),}$$$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'(t)\}=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt=s\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}.}$$

ผลลัพธ์ทั่วไป ที่แทน อนุพันธ์อันดับที่ nของfสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้การให้เหตุผลแบบอุปนัย $${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}(t)\right\}=s^{n}\cdot {\mathcal {L}}\{f(t)\}-s^{n-1}f(0^{-})-\cdots -f^{(n-1)}(0^{-}),}$$${\displaystyle f^{(n)}}$

คุณสมบัติที่มีประโยชน์อย่างหนึ่งของการแปลงลาปลาสคือ: ภายใต้สมมติฐานที่เหมาะสมเกี่ยวกับพฤติกรรมของ⁠ ⁠และ⁠ ⁠ในบริเวณใกล้เคียงด้านขวาของและเกี่ยวกับอัตราการลดลงของ⁠ ⁠และ⁠ ⁠ในบริเวณใกล้เคียงด้านซ้ายของ⁠ ⁠สูตรข้างต้นเป็นรูปแบบหนึ่งของการอินทิเกรตโดยส่วน โดยที่ตัวดำเนินการ และถูกแทนที่ด้วยและ⁠ ⁠ให้เราพิสูจน์สูตรที่เทียบเท่ากัน: $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)g(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }({\mathcal {L}}f)(s)\cdot ({\mathcal {L}}^{-1}g)(s)\,ds}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$${\displaystyle \int \,dx}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}}$$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }({\mathcal {L}}f)(x)g(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }f(s)({\mathcal {L}}g)(s)\,ds.}$$

เมื่อแทนค่าลงไปด้านซ้ายจะกลายเป็น: แต่ถ้าสมมติว่าทฤษฎีบทของฟูบินีเป็นจริง โดยการสลับลำดับการอินทิเกรต เราจะได้ด้านขวาที่ต้องการ ${\displaystyle ({\mathcal {L}}f)(x)=\int _{0}^{\infty }f(s)e^{-sx}\,ds}$$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }f(s)g(x)e^{-sx}\,ds\,dx,}$$

วิธีนี้สามารถใช้คำนวณอินทิกรัลที่ยากต่อการคำนวณด้วยวิธีพื้นฐานของแคลคูลัสเชิงจริงได้ ตัวอย่างเช่น $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}dx=\int _{0}^{\infty }{\mathcal {L}}(1)(x)\sin xdx=\int _{0}^{\infty }1\cdot {\mathcal {L}}(\sin )(x)dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}+1}}={\frac {\pi }{2}}.}$$

การแปลง Laplace–Stieltjes (ด้านเดียว) ของฟังก์ชันg  : ℝ → ℝถูกกำหนดโดยอินทิกรัล Lebesgue–Stieltjes$${\displaystyle \{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,d\,g(t)~.}$$

ถือว่าฟังก์ชันg มีค่า ความแปรผันจำกัดถ้าgเป็นอนุพันธ์ผกผันของf : $${\displaystyle g(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,d\,t}$$

จากนั้นการแปลงลาปลาซ-สตีลเจสของgและการแปลงลาปลาซของfจะตรงกัน โดยทั่วไป การแปลงลาปลาซ-สตีลเจสคือการแปลงลาปลาซของการวัดสตีลเจสที่เกี่ยวข้องกับg ดังนั้นในทางปฏิบัติ ความแตกต่างเพียงอย่างเดียวระหว่างการแปลงทั้งสองคือ การแปลงลาปลาซถือว่าเป็นการ ^{ดำเนิน}การกับฟังก์ชันความหนาแน่นของการวัด ในขณะที่การแปลงลาปลาซ-สตีลเจสถือว่าเป็นการดำเนินการกับฟังก์ชันการกระจายสะสม [ ^{32 ]}

ให้ เป็นฟังก์ชันอินทิกรัลเล ^{เบสที่}มีค่าเชิงซ้อนซึ่งรองรับบน^และให้เป็นการ แปลงลาปลาสของ ฟังก์ชันนั้น จากนั้นภายในบริเวณการลู่เข้า เราจะได้ ซึ่งเป็นการแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชัน[ 33 ]${\displaystyle f}$${\displaystyle [0,\infty )}$${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}f(s)}$$${\displaystyle F(\sigma +i\tau )=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-\sigma t}e^{-i\tau t}\,dt,}$$${\displaystyle f(t)e^{-\sigma t}}$

อันที่จริงการแปลงฟูริเยร์เป็นกรณีพิเศษ (ภายใต้เงื่อนไขบางประการ) ของการแปลงลาปลาสแบบทวิภาคี ความแตกต่างหลักคือ การแปลงฟูริเยร์ของฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนของ ตัวแปร จริง (ความถี่) ใน${\displaystyle \tau }$ขณะที่การแปลงลาปลาสของฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนของ ตัวแปร เชิงซ้อน (ตัวประกอบการหน่วงและความถี่) การแปลงลาปลาสมักจำกัดอยู่เฉพาะการแปลงฟังก์ชันของtโดยที่t ≥ 0ผลที่ตามมาจากการจำกัดนี้คือ การแปลงลาปลาสของฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกของตัวแปรsซึ่งแตกต่างจากการแปลงฟูริเยร์ การแปลงลาปลาสของการกระจายโดยทั่วไปเป็น ฟังก์ชัน ที่มีพฤติกรรมที่ดีเทคนิคของตัวแปรเชิงซ้อนยังสามารถใช้เพื่อศึกษาการแปลงลาปลาสโดยตรงได้ ในฐานะที่เป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก การแปลงลาปลาสมี การแสดงในรูป อนุกรมกำลัง อนุกรมกำลังนี้แสดงฟังก์ชันเป็นผลรวมเชิงเส้นของโมเมนต์ของฟังก์ชัน มุมมองนี้มีการประยุกต์ใช้ในทฤษฎีความน่าจะเป็น ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \tau }$

ในทางรูปแบบ การแปลงฟูริเยร์เทียบเท่ากับการประเมินการแปลงลาปลาสแบบทวิภาคีด้วยอาร์กิวเมนต์จินตนาการs = iω ^{[ 34 ] [ 35 ]}เมื่อเงื่อนไขที่อธิบายไว้ด้านล่างเป็นไปตามที่กำหนด $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\omega )&={\mathcal {F}}\{f(t)\}\\[4pt]&={\mathcal {L}}\{f(t)\}|_{s=i\omega }=F(s)|_{s=i\omega }\\[4pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega t}f(t)\,dt~.\end{aligned}}}$$

ข้อตกลงนี้ของการแปลงฟูริเยร์ ( ในหัวข้อการแปลง${\displaystyle {\hat {f}}_{3}(\omega )}$ฟูริเยร์ § ข้อตกลงอื่นๆ ) กำหนดให้มีตัวประกอบของ1/2π​เกี่ยวกับการแปลงฟูริเยร์ผกผัน ความสัมพันธ์ระหว่างการแปลงลาปลาสและการแปลงฟูริเยร์นี้ มักถูกนำมาใช้เพื่อกำหนดสเปกตรัมความถี่ของสัญญาณหรือระบบไดนามิก

ความสัมพันธ์ข้างต้นนั้นถูกต้องตามที่ระบุไว้ก็ต่อเมื่อบริเวณการบรรจบกัน (ROC) ของF ( s )ประกอบด้วยแกนจินตนาการσ = 0เท่านั้น

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันf ( t ) = cos( _ω₀t )มีการแปลงลาปลาส F ( s ) = s /( s² ⁺ ω₀² )ซึ่งมี ROC เป็นRe( s ) > 0 _{เนื่องจาก} s = iω₀ เป็นขั้วของ F ( s )การแทนค่าs = iω ใน F ( s )จึงไม่ได้ให้ผลลัพธ์เป็นการแปลงฟูริเยร์ของ^f ₍ t ) u ( t ) ซึ่งมีพจน์ที่ได้สัดส่วนกับฟังก์ชัน เดลต้าของดิแรกδ ( ω ± ω₀ ₎

อย่างไรก็ตาม ความสัมพันธ์ในรูปแบบดัง กล่าวใช้ได้ภายใต้เงื่อนไขที่อ่อนกว่ามาก ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์นี้ใช้ได้กับตัวอย่างข้างต้นก็ต่อเมื่อเข้าใจว่าลิมิตนั้นเป็นลิมิตแบบอ่อนของการวัด (ดูโทโพโลยีแบบคลุมเครือ ) เงื่อนไขทั่วไปที่เชื่อมโยงลิมิตของการแปลงลาปลาสของฟังก์ชันบนขอบเขตกับการแปลงฟูริเยร์นั้นอยู่ในรูปแบบของทฤษฎีบทพาเลย์-ไวเนอร์ $${\displaystyle \lim _{\sigma \to 0^{+}}F(\sigma +i\omega )={\hat {f}}(\omega )}$$

การแปลงเมลลินและการแปลงผกผันของเมลลินมีความสัมพันธ์กับการแปลงลาปลาสแบบสองด้านโดยการเปลี่ยนตัวแปร

ถ้า เรากำหนดให้θ = e ^{− t}ในการแปลงเมลลิน เราจะได้การแปลงลาปลาสแบบสองด้าน $${\displaystyle G(s)={\mathcal {M}}\{g(\theta )\}=\int _{0}^{\infty }\theta ^{s}g(\theta )\,{\frac {d\theta }{\theta }}}$$

การแปลง Z แบบด้านเดียวหรือด้านเดียว คือการแปลงลาปลาสของสัญญาณที่สุ่มตัวอย่างในอุดมคติ โดยแทนที่ด้วย โดย ที่T = 1/ f _sคือช่วงเวลาการสุ่มตัวอย่าง (ในหน่วยเวลา เช่น วินาที) และ f _sคืออัตราการสุ่มตัวอย่าง (ในหน่วยตัวอย่างต่อวินาทีหรือเฮิรตซ์ ) $${\displaystyle z{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}e^{sT},}$$

ให้ เป็นชุดพัลส์การสุ่มตัวอย่าง (เรียกอีกอย่างว่าหวี Dirac ) และ เป็นการแสดงผลแบบสุ่มตัวอย่างของ x ( t ) ในเวลาต่อเนื่อง$${\displaystyle \Delta _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{q}(t)&{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}x(t)\Delta _{T}(t)=x(t)\sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x(nT)\delta (t-nT)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)\end{aligned}}}$$$${\displaystyle x[n]{\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}x(nT)~.}$$

การแปลงลาปลาสของสัญญาณที่สุ่มตัวอย่างx _q ( t )คือ $${\displaystyle {\begin{aligned}X_{q}(s)&=\int _{0^{-}}^{\infty }x_{q}(t)e^{-st}\,dt\\&=\int _{0^{-}}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]\int _{0^{-}}^{\infty }\delta (t-nT)e^{-st}\,dt\\&=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]e^{-nsT}~.\end{aligned}}}$$

นี่คือคำจำกัดความ ที่ แม่นยำของการแปลง Z ฝ่ายเดียวของฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องx [ n ] ด้วยการแทนที่z → e ^sT$${\displaystyle X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}}$$

เมื่อเปรียบเทียบสมการสองสมการสุดท้าย เราจะพบความสัมพันธ์ระหว่างการแปลง Z แบบด้านเดียวกับการแปลงลาปลาสของสัญญาณที่สุ่มมา $${\displaystyle X_{q}(s)=X(z){\Big |}_{z=e^{sT}}.}$$

ความคล้ายคลึงกันระหว่างการแปลง Z และการแปลงลาปลาสได้รับการขยายความในทฤษฎีแคลคูลัส มาตราเวลา

รูปแบบอินทิกรัลของการแปลงโบเรล เป็นกรณีพิเศษของการแปลงลาปลาสสำหรับf ซึ่ง เป็นฟังก์ชันสมบูรณ์ประเภทเลขชี้กำลัง หมายความว่า สำหรับค่าคงที่ AและB บางค่าการแปลงโบเรลแบบทั่วไปอนุญาตให้ใช้ฟังก์ชันถ่วงน้ำหนักที่แตกต่างกัน แทนที่จะใช้ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง เพื่อแปลงฟังก์ชันที่ไม่ใช่ประเภทเลขชี้กำลังทฤษฎีบทของนาคบินให้เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการแปลงโบเรลที่จะนิยามได้อย่างถูกต้อง $${\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(z)e^{-sz}\,dz}$$$${\displaystyle |f(z)|\leq Ae^{B|z|}}$$

เนื่องจากการแปลงลาปลาสแบบธรรมดาสามารถเขียนได้ในรูปกรณีพิเศษของการแปลงแบบสองด้าน และเนื่องจากการแปลงแบบสองด้านสามารถเขียนได้ในรูปผลรวมของการแปลงแบบด้านเดียวสองครั้ง ดังนั้นทฤษฎีของการแปลงลาปลาส ฟูริเยร์ เมลลิน และ Z จึงเป็นเรื่องเดียวกันโดยพื้นฐาน อย่างไรก็ตาม การแปลงเชิงปริพันธ์หลักทั้งสี่นี้เกี่ยวข้องกับมุมมองที่แตกต่างกันและปัญหาลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกัน

ตารางต่อไปนี้แสดงการแปลงลาปลาสสำหรับฟังก์ชันทั่วไปหลายฟังก์ชันของตัวแปรเดียว^{[ 36 ] [ 37 ]}สำหรับคำจำกัดความและคำอธิบาย โปรดดูหมายเหตุอธิบายที่ท้ายตาราง

เนื่องจากการแปลงลาปลาสเป็นตัวดำเนินการเชิงเส้น

• การแปลงลาปลาสของผลรวม คือ ผลรวมของการแปลงลาปลาสของแต่ละพจน์$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)+g(t)\}={\mathcal {L}}\{f(t)\}+{\mathcal {L}}\{g(t)\}}$$
• การแปลงลาปลาสของตัวคูณของฟังก์ชัน คือ ตัวคูณนั้นคูณด้วยการแปลงลาปลาสของฟังก์ชันนั้น$${\displaystyle {\mathcal {L}}\{af(t)\}=a{\mathcal {L}}\{f(t)\}}$$

โดยใช้ความเป็นเชิงเส้นนี้ และ คุณสมบัติและ/หรือเอกลักษณ์ทาง ตรีโกณมิติไฮเปอร์โบลิกและจำนวนเชิงซ้อน (เป็นต้น) ต่างๆ การแปลงลาปลาสบางอย่างสามารถหาได้จากการแปลงอื่นๆ ได้เร็วกว่าการใช้คำนิยามโดยตรง

การแปลงลาปลาสแบบด้านเดียวรับฟังก์ชันที่มีโดเมนเวลาเป็น จำนวนจริง ที่ไม่เป็นลบ เป็นอินพุต ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมฟังก์ชันโดเมนเวลาทั้งหมดในตารางด้านล่างจึงเป็นพหุคูณของ ฟังก์ชันขั้นบันได ของ Heaviside , u ( t )

ค่าในตารางที่เกี่ยวข้องกับความล่าช้าของเวลาτจะต้องเป็นค่าเชิงสาเหตุ (หมายความว่าτ > 0 ) ระบบเชิงสาเหตุคือระบบที่การตอบสนองต่อแรงกระตุ้นh ( t )เป็นศูนย์สำหรับทุกช่วงเวลาtก่อนt = 0โดยทั่วไปแล้ว บริเวณการลู่เข้าของระบบเชิงสาเหตุจะไม่เหมือนกับบริเวณการลู่เข้าของระบบ ที่ไม่เป็นเชิง สาเหตุ

การแปลงลาปลาสที่เลือก

การทำงาน	โดเมนเวลา ${\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}}$	โดเมนลาปลาซ${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\{f(t)\}}$	บริเวณบรรจบกัน	อ้างอิง
หน่วยอิมพัลส์	${\displaystyle \delta (t)\ }$	${\displaystyle 1}$	ทั้งหมด​	การตรวจสอบ
แรงกระตุ้นที่ล่าช้า	${\displaystyle \delta (t-\tau )\ }$	${\displaystyle e^{-\tau s}\ }$	ทั้งหมด​	การเลื่อนเวลาของอิมพัลส์หน่วย
ขั้นตอนหน่วย	${\displaystyle u(t)\ }$	${\displaystyle {1 \over s}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$	การรวมอิมพัลส์หน่วย
ขั้นตอนหน่วยที่ล่าช้า	${\displaystyle u(t-\tau )\ }$	${\displaystyle {\frac {1}{s}}e^{-\tau s}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$	การเลื่อนเวลาของขั้นหน่วย
ผลคูณของฟังก์ชันหน่วงเวลาและขั้นตอนหน่วงเวลา	${\displaystyle f(t-\tau )u(t-\tau )}$	${\displaystyle e^{-s\tau }{\mathcal {L}}\{f(t)\}}$		การแทนที่ด้วยยู${\displaystyle u=t-\tau }$
แรงกระตุ้นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า	${\displaystyle u(t)-u(t-\tau )}$	${\displaystyle {\frac {1}{s}}(1-e^{-\tau s})}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$
ทางลาด	${\displaystyle t\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\frac {1}{s^{2}}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$	ผสานอิมพัลส์หน่วยสองครั้ง
กำลังที่ n (สำหรับจำนวนเต็ม n )	${\displaystyle t^{n}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {n! \over s^{n+1}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$ ( n > −1 )	ทำการอินทิเกรตขั้นตอน หน่วย nครั้ง
กำลัง q (สำหรับจำนวนเชิงซ้อน q )	${\displaystyle t^{q}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\operatorname {\Gamma } (q+1) \over s^{q+1}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$${\displaystyle \operatorname {Re} (q)>-1}$	[ 38 ] [ 39 ]
รากที่ n	${\displaystyle {\sqrt[{n}]{t}}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {1 \over s^{{\frac {1}{n}}+1}}\operatorname {\Gamma } \left({\frac {1}{n}}+1\right)}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$	ตั้งค่าq = 1/ nด้านบน
กำลังที่ nพร้อมการเลื่อนความถี่	${\displaystyle t^{n}e^{-\alpha t}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\frac {n!}{(s+\alpha )^{n+1}}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>-\alpha }$	รวมขั้นตอนหน่วยและปรับเปลี่ยนความถี่
กำลังnที่ล่าช้าพร้อมการเลื่อนความถี่	${\displaystyle (t-\tau )^{n}e^{-\alpha (t-\tau )}\cdot u(t-\tau )}$	${\displaystyle {\frac {n!\cdot e^{-\tau s}}{(s+\alpha )^{n+1}}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>-\alpha }$	รวมขั้นตอนหน่วย, ปรับเปลี่ยนความถี่, ปรับเปลี่ยนเวลา
การลดลงแบบเลขชี้กำลัง	${\displaystyle e^{-\alpha t}\cdot u(t)}$	${\displaystyle {1 \over s+\alpha }}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>-\alpha }$	การเลื่อนความถี่ของขั้นบันไดหน่วย
การลดลงแบบเอกซ์โปเนนเชียลสองด้าน (เฉพาะสำหรับการแปลงแบบทวิภาคี)	${\displaystyle e^{-\alpha |t|}\ }$	${\displaystyle {2\alpha \over \alpha ^{2}-s^{2}}}$	${\displaystyle -\alpha <\operatorname {Re} (s)<\alpha }$	การเลื่อนความถี่ของขั้นบันไดหน่วย
วิธีการแบบเลขชี้กำลัง	${\displaystyle (1-e^{-\alpha t})\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\frac {\alpha }{s(s+\alpha )}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$	ขั้นหน่วยลบการลดลงแบบเอกซ์ponential
ไซน์	${\displaystyle \sin(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\omega \over s^{2}+\omega ^{2}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$	[ 40 ]
โคไซน์	${\displaystyle \cos(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {s \over s^{2}+\omega ^{2}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$	[ 40 ]
ไซน์ไฮเปอร์โบลิก	${\displaystyle \sinh(\alpha t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\alpha \over s^{2}-\alpha ^{2}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>\left|\alpha \right|}$	[ 41 ]
โคไซน์ไฮเปอร์โบลิก	${\displaystyle \cosh(\alpha t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {s \over s^{2}-\alpha ^{2}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>\left|\alpha \right|}$	[ 41 ]
คลื่นไซน์ ที่ลดลงแบบ เอกซ์ponential	${\displaystyle e^{-\alpha t}\sin(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {\omega \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>-\alpha }$	[ 40 ]
คลื่นโคไซน์ ที่ลดลงแบบเอกซ์ponential	${\displaystyle e^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot u(t)\ }$	${\displaystyle {s+\alpha \over (s+\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>-\alpha }$	[ 40 ]
ลอการิทึมธรรมชาติ	${\displaystyle \ln(t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle -{1 \over s}\left[\ln(s)+\gamma \right]}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$	[ 41 ]
ฟังก์ชันเบสเซล ชนิดแรกอันดับn	${\displaystyle J_{n}(\omega t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\frac {\left({\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}-s\right)^{\!n}}{\omega ^{n}{\sqrt {s^{2}+\omega ^{2}}}}}}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$ ( n > −1 )	[ 42 ]
ฟังก์ชันข้อผิดพลาด	${\displaystyle \operatorname {erf} (t)\cdot u(t)}$	${\displaystyle {\frac {1}{s}}e^{s^{2}/4}\!\left(1-\operatorname {erf} {\frac {s}{2}}\right)}$	${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>0}$	[ 42 ]
หมายเหตุอธิบาย: u ( t )แทนฟังก์ชันขั้นบันไดของ Heaviside δ แทนฟังก์ชันเดลต้าของ Dirac Γ( z )แทนฟังก์ชันแกมมา γคือค่าคงที่ออยเลอร์–มาสเชโรนี tซึ่งเป็นจำนวนจริง โดยทั่วไปจะใช้แทนเวลาแม้ว่ามันอาจจะใช้แทนมิติอิสระใดๆ ก็ได้ sคือ พารามิเตอร์โดเมนความถี่ เชิงซ้อนและ Re( s )คือส่วนจริง ของ พารามิเตอร์ α , β , τและωเป็นจำนวนจริง nเป็นจำนวนเต็ม​

การแปลงลาปลาส มักใช้ในการวิเคราะห์วงจรโดยการแปลงองค์ประกอบวงจรไปยัง โดเมน sองค์ประกอบวงจรสามารถแปลงเป็นอิมพีแดนซ์ซึ่งคล้ายกับ อิม พีแดนซ์เฟเซอร์ มาก

ต่อไปนี้เป็นสรุปคำเทียบเคียง:

โปรดสังเกตว่าตัวต้านทานนั้นเหมือนกันทุกประการทั้งในโดเมนเวลาและ โดเมน sแหล่งกำเนิดจะถูกใส่เข้าไปก็ต่อเมื่อมีเงื่อนไขเริ่มต้นสำหรับองค์ประกอบวงจร ตัวอย่างเช่น หากตัวเก็บประจุมีแรงดันเริ่มต้นคร่อมอยู่ หรือหากตัวเหนี่ยวนำมีกระแสเริ่มต้นไหลผ่าน แหล่งกำเนิดที่ใส่เข้าไปใน โดเมน sจะคำนึงถึงเงื่อนไขเหล่านั้น

ค่าเทียบเท่าสำหรับแหล่งจ่ายกระแสและแรงดันได้มาจากการแปลงในตารางด้านบน

การแปลงลาปลาสถูกนำมาใช้บ่อยครั้งในวิศวกรรมและฟิสิกส์เอาต์พุตของระบบเชิงเส้นที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาสามารถคำนวณได้โดยการคอนโวลูชันการตอบสนองอิมพัลส์หน่วยกับสัญญาณอินพุต การคำนวณนี้ในปริภูมิลาปลาสจะเปลี่ยนการคอนโวลูชันเป็นการคูณ ซึ่งการคูณนั้นง่ายต่อการแก้เนื่องจากมีรูปแบบพีชคณิต สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม โปรดดูทฤษฎีการควบคุมการแปลงลาปลาสสามารถผกผันได้บนฟังก์ชันหลายประเภท เมื่อมีคำอธิบายทางคณิตศาสตร์หรือเชิงฟังก์ชันของอินพุตหรือเอาต์พุตของระบบการแปลงลาปลาสจะให้คำอธิบายเชิงฟังก์ชันทางเลือกที่มักจะทำให้กระบวนการวิเคราะห์พฤติกรรมของระบบหรือในการสังเคราะห์ระบบใหม่ตามชุดข้อกำหนดง่ายขึ้น^{[ 43 ]}

การแปลงลาปลาสยังสามารถใช้ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ได้ และมีการใช้งานอย่างกว้างขวางในวิศวกรรมเครื่องกลและวิศวกรรมไฟฟ้าการแปลงลาปลาสจะลดสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นให้เป็นสมการพีชคณิต ซึ่งสามารถแก้ได้โดยใช้กฎทางพีชคณิตอย่างเป็นทางการ จากนั้นสมการเชิงอนุพันธ์ดั้งเดิมสามารถแก้ได้โดยการใช้การแปลงลาปลาสผกผัน วิศวกรไฟฟ้าชาวอังกฤษโอลิเวอร์ เฮวิไซด์เป็นคนแรกที่เสนอแผนการที่คล้ายกันนี้ แม้ว่าจะไม่ได้ใช้การแปลงลาปลาสก็ตาม และแคลคูลัสเชิงปฏิบัติการที่ได้นั้นได้รับการยกย่องว่าเป็นแคลคูลัสของเฮวิไซด์

ให้⁠ ⁠${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=F(s)}$ . จากนั้น (ดูตารางด้านบน) $${\displaystyle \partial _{s}{\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\partial _{s}\int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}e^{-st}\,dt=-\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}dt=-F(s)}$$

จากนั้นจึงได้รับ: $${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\int _{s}^{\infty }F(p)\,dp.}$$

ในขีดจำกัด⁠ ⁠${\displaystyle s\rightarrow 0}$จะ ได้ว่า การสลับขีดจำกัดนั้นสามารถพิสูจน์ได้ ซึ่งมักเป็นไปได้เนื่องจากทฤษฎีบทค่าสุดท้ายแม้ว่าการสลับจะไม่สามารถพิสูจน์ได้ การคำนวณก็ยังสามารถชี้แนะได้ ตัวอย่างเช่น เมื่อa ≠ 0 ≠ bการดำเนินการอย่างเป็นทางการจะได้ว่า $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {f(t)}{t}}\,dt=\int _{0}^{\infty }F(p)\,dp,}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(at)-\cos(bt)}{t}}\,dt&=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {p}{p^{2}+a^{2}}}-{\frac {p}{p^{2}+b^{2}}}\right)\,dp\\[6pt]&=\left[{\frac {1}{2}}\ln {\frac {p^{2}+a^{2}}{p^{2}+b^{2}}}\right]_{0}^{\infty }={\frac {1}{2}}\ln {\frac {b^{2}}{a^{2}}}=\ln \left|{\frac {b}{a}}\right|.\end{aligned}}}$$

ในทฤษฎีวงจรไฟฟ้ากระแสไฟฟ้าที่ไหลในตัวเก็บประจุเป็นสัดส่วนกับค่าความจุและอัตราการเปลี่ยนแปลงของศักย์ไฟฟ้า (โดยใช้สมการเช่นเดียวกับ ระบบหน่วย SI ) ในเชิงสัญลักษณ์ สามารถแสดงได้ด้วยสมการเชิงอนุพันธ์ โดยที่Cคือค่าความจุของตัวเก็บประจุ, i = i ( t )คือกระแสไฟฟ้าที่ไหลผ่านตัวเก็บประจุเป็นฟังก์ชันของเวลา และv = v ( t )คือแรงดันไฟฟ้าคร่อมขั้วของตัวเก็บประจุ ซึ่งเป็นฟังก์ชันของเวลาเช่นกัน $${\displaystyle i=C{dv \over dt},}$$

เมื่อทำการแปลงลาปลาสของสมการนี้ เราจะได้ โดยที่ และ $${\displaystyle I(s)=C(sV(s)-V_{0}),}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}I(s)&={\mathcal {L}}\{i(t)\},\\V(s)&={\mathcal {L}}\{v(t)\},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle V_{0}=v(0).}$$

เมื่อแก้หาV ( s )เราจะได้ $${\displaystyle V(s)={I(s) \over sC}+{V_{0} \over s}.}$$

นิยามของอิมพีแดนซ์เชิงซ้อนZ (ในหน่วยโอห์ม ) คือ อัตราส่วนของแรงดันไฟฟ้าเชิงซ้อนVหารด้วยกระแสไฟฟ้าเชิงซ้อนIโดยคงสถานะเริ่มต้นV ₀ไว้ที่ศูนย์: $${\displaystyle Z(s)=\left.{V(s) \over I(s)}\right|_{V_{0}=0}.}$$

เมื่อใช้คำจำกัดความนี้และสมการก่อนหน้านี้ เราจะพบว่า: ซึ่งเป็นนิพจน์ที่ถูกต้องสำหรับอิมพีแดนซ์เชิงซ้อนของตัวเก็บประจุ นอกจากนี้ การแปลงลาปลาสยังมีการประยุกต์ใช้มากมายในทฤษฎีการควบคุม $${\displaystyle Z(s)={\frac {1}{sC}},}$$

พิจารณาระบบเชิงเส้นคงที่ตามเวลาที่มีฟังก์ชันถ่ายโอน$${\displaystyle H(s)={\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}.}$$

การตอบสนองต่อแรงกระตุ้นคือการแปลงลาปลาสผกผันของฟังก์ชันถ่ายโอนนี้: $${\displaystyle h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}.}$$

การขยายเศษส่วนย่อย

ในการประเมินการแปลงผกผันนี้ เราเริ่มต้นด้วยการขยายH ( s )โดยใช้วิธีการขยายเศษส่วนย่อย $${\displaystyle {\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}={P \over s+\alpha }+{R \over s+\beta }.}$$

ค่าคงที่ที่ไม่ทราบค่าPและRคือค่าตกค้างที่ตำแหน่งขั้วที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันถ่ายโอน โดยแต่ละค่าตกค้างแสดงถึงสัดส่วนการมีส่วนร่วมของจุดเอกฐาน นั้น ต่อรูปร่างโดยรวมของฟังก์ชันถ่ายโอน

ตามทฤษฎีบทเศษเหลือการแปลงลาปลาสผกผันจะขึ้นอยู่กับขั้วและเศษเหลือของขั้วเท่านั้น ในการหาเศษเหลือPเราคูณทั้งสองข้างของสมการด้วยs + αเพื่อให้ได้ $${\displaystyle {\frac {1}{s+\beta }}=P+{R(s+\alpha ) \over s+\beta }.}$$

จากนั้น เมื่อกำหนดให้s = − αการมีส่วนร่วมจากRจะหายไป และสิ่งที่เหลืออยู่ก็คือ $${\displaystyle P=\left.{1 \over s+\beta }\right|_{s=-\alpha }={1 \over \beta -\alpha }.}$$

ในทำนองเดียวกัน เศษเหลือRจะได้จาก $${\displaystyle R=\left.{1 \over s+\alpha }\right|_{s=-\beta }={1 \over \alpha -\beta }.}$$