ในทางคณิตศาสตร์จำนวนเชิงซ้อนคือองค์ประกอบของระบบจำนวนที่ขยายจำนวนจริงด้วยองค์ประกอบเฉพาะที่เรียกว่าiซึ่งเรียกว่าหน่วยจินตนาการและสอดคล้องกับสมการ เนื่องจากไม่มีจำนวนจริงใดที่สอดคล้อง กับสมการข้างต้นเรเน่ เดส์การ์ตจึงเรียกi ว่า จำนวนจินตนาการจำนวนเชิงซ้อนทุกจำนวนสามารถแสดงได้ในรูปโดยที่aและbเป็นจำนวนจริง และaเรียกว่า จำนวนจริง${\displaystyle i^{2}=-1}$${\displaystyle a+bi}$ส่วนจริงและbเรียกว่าส่วนจินตนาการเซตของจำนวนเชิงซ้อนแสดงด้วยสัญลักษณ์ Cหรือแม้ว่าจะมีชื่อเรียกทางประวัติศาสตร์ ^{[ 1 ]}จำนวน "จินตนาการ" ไม่ใช่จำนวนสมมติ: พวกมันมีความจริงทางคณิตศาสตร์ไม่น้อยไปกว่าจำนวนจริง ^{[ 2 ] [ 3 ]}และพวกมันมีความสำคัญต่อคำอธิบายทางวิทยาศาสตร์ของโลกทางกายภาพ ^{[ 4 ]}${\displaystyle \mathbb {C} }$

จำนวนเชิงซ้อนช่วยให้สามารถหาคำตอบของสมการพหุนาม ทุกสมการได้ แม้แต่สมการที่ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริงก็ตาม กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตกล่าวว่า สมการพหุนามที่ไม่คงที่ทุกสมการที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนจะมีคำตอบเป็นจำนวนเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น สมการ ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง เพราะกำลังสองของจำนวนจริงไม่สามารถเป็นลบได้ แต่มีคำตอบเชิงซ้อนที่ไม่ใช่จำนวนจริงสองคำตอบคือ และ${\displaystyle (x+1)^{2}=-9}$${\displaystyle x=-1+3i}$${\displaystyle x=-1-3i}$

การบวก การลบ และการคูณของจำนวนเชิงซ้อนถูกกำหนดขึ้นโดยอาศัยกฎการบวก การลบ และการคูณรวมถึงกฎการสมาคมการสลับที่และ การแจกแจง จำนวนเชิงซ้อน ที่ไม่เป็นศูนย์ทุกจำนวนมีตัวผกผันการคูณ ซึ่งทำให้สามารถหารด้วยจำนวนเชิงซ้อนอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ได้ ดังนั้นจำนวนเชิงซ้อนจึงเป็นฟิลด์ ที่มีจำนวนจริงเป็นฟิลด์ ย่อยเนื่องจากคุณสมบัติเหล่านี้และรูปแบบการเขียนขึ้นอยู่กับธรรมเนียมปฏิบัติและข้อพิจารณาด้านรูปแบบ ${\displaystyle i^{2}=-1}$${\displaystyle a+bi=a+ib}$

จำนวนเชิงซ้อนยังเป็นปริภูมิเวกเตอร์จริงมิติสองโดยมี ฐานมาตรฐาน เป็นฐานมาตรฐานนี้ทำให้จำนวนเชิงซ้อนเป็นระนาบคาร์ทีเซียนเรียกว่าระนาบเชิงซ้อนสิ่งนี้ทำให้สามารถตีความจำนวนเชิงซ้อนและการดำเนินการทางเรขาคณิตได้ และในทางกลับกัน วัตถุและการดำเนินการทางเรขาคณิตบางอย่างสามารถแสดงในรูปของจำนวนเชิงซ้อนได้ ตัวอย่างเช่น จำนวนจริงประกอบเป็นเส้นตรงจริงซึ่งแสดงเป็นแกนแนวนอนของระนาบเชิงซ้อน ในขณะที่ผลคูณจริงของเป็นแกนแนวตั้ง จำนวนเชิงซ้อนยังสามารถกำหนดได้ด้วยพิกัดเชิงขั้ว ทางเรขาคณิต : รัศมีเรียกว่าค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน ในขณะที่มุมจากแกนจริงบวกเรียกว่าอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน จำนวนเชิงซ้อนที่มีค่าสัมบูรณ์หนึ่งประกอบเป็นวงกลมหน่วยการบวกจำนวนเชิงซ้อนคงที่กับจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมดจะกำหนดการเลื่อนในระนาบเชิงซ้อน และการคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อนคงที่คือความคล้ายคลึงกันที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด (ขยายด้วยค่าสัมบูรณ์ และหมุนด้วยอาร์กิวเมนต์) การดำเนินการสังยุคเชิงซ้อนคือสมมาตรการสะท้อนเทียบกับแกนจริง ${\displaystyle \{1,i\}}$${\displaystyle i}$

จำนวนเชิงซ้อนก่อให้เกิดโครงสร้างที่ซับซ้อน ซึ่งเป็นทั้งฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต พีชคณิตสลับที่เหนือจำนวนจริง และปริภูมิเวกเตอร์ยุคลิดมิติสองไป พร้อมๆ กัน

จำนวนเชิงซ้อนคือการแสดงออกในรูปแบบa + biโดยที่aและbเป็นจำนวนจริง และiเป็นสัญลักษณ์นามธรรมที่เรียกว่าหน่วยจินตนาการ ซึ่งความหมายจะอธิบายเพิ่มเติมด้านล่าง^{[ 5 ]}ตัวอย่างเช่น2 + 3 iเป็นจำนวนเชิงซ้อน^{[ 6 ]}

สำหรับจำนวนเชิงซ้อนa + biจำนวนจริงaเรียกว่าส่วนจริงและจำนวนจริงb (ไม่ใช่จำนวนเชิงซ้อนbi ) เรียกว่าส่วนจินตนาการ [ ^{7 ] [ 8 ] ส่วน}จริงของจำนวนเชิงซ้อนzเขียนแทนด้วยRe( z ) , , หรือ; ส่วนจินตนาการเขียนแทนด้วยIm( z ) , , หรือ: ตัวอย่างเช่น, . ${\displaystyle {\mathcal {Re}}(z)}$${\displaystyle {\mathfrak {R}}(z)}$${\displaystyle {\mathcal {Im}}(z)}$${\displaystyle {\mathfrak {I}}(z)}$${\textstyle \ตัวดำเนินการ {Re} (2+3i)=2}$${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {Im} (2+3i)=3}$

จำนวนเชิงซ้อนzสามารถระบุได้ด้วยคู่ลำดับของจำนวนจริงซึ่งอาจตีความได้ว่าเป็นพิกัดของจุดในระนาบยุคลิดที่มีพิกัดมาตรฐาน ซึ่งเรียกว่าระนาบเชิงซ้อนหรือแผนภาพอาร์แกนด์ [ ^{9 ] [ 10 ] [ a ] ​​โดย}ทั่วไปแกนแนวนอนจะใช้แสดงส่วนจริง โดยมีค่าเพิ่มขึ้นไปทางขวา และส่วนจินตนาการจะแสดงบนแกนแนวตั้ง โดยมีค่าเพิ่มขึ้นไปทางด้านบน ${\displaystyle (\Re (z),\Im (z))}$

จำนวนจริงaสามารถมองได้ว่าเป็นจำนวนเชิงซ้อนa + 0 iซึ่งส่วนจินตภาพเป็น 0 ส่วนจำนวนจินตภาพบริสุทธิ์biคือจำนวนเชิงซ้อน0 + biซึ่งส่วนจริงเป็นศูนย์ โดยทั่วไปมักเขียนa + 0 i = a , 0 + bi = bi , และa + (− b ) i = a − bi ; ตัวอย่างเช่น3 + (−4) i = 3 − 4 i

เซตของจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมดถูกแทนด้วย( ตัวหนาแบบกระดานดำ ) หรือC ( ตัวหนาแบบตั้งตรง ) ${\displaystyle \mathbb {C} }$

ในบางสาขาวิชา เช่น แม่เหล็กไฟฟ้าและวิศวกรรมไฟฟ้า จะใช้ jแทนiเนื่องจากiมักแทนกระแสไฟฟ้า^{[ 11 ] [ 12 ]}และจำนวนเชิงซ้อนจะเขียนเป็น a + bjหรือa + jb

จำนวนเชิงซ้อนสองจำนวนและจะถูกบวกโดยการบวกส่วนจริงและส่วนจินตนาการแยกกัน^{[ 13 ]}กล่าวคือ: ${\displaystyle a=x+yi}$${\displaystyle b=u+vi}$

$${\displaystyle a+b=(x+yi)+(u+vi)=(x+u)+(y+v)i.}$$ ในทำนองเดียวกันการลบสามารถทำได้ดังนี้ $${\displaystyle ab=(x+yi)-(u+vi)=(xu)+(yv)i.}$$

การบวกสามารถมองเห็นได้ในเชิงเรขาคณิตดังนี้: ผลรวมของจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวนaและbซึ่งตีความได้ว่าเป็นจุดในระนาบเชิงซ้อน คือจุดที่ได้จากการสร้างรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานจากจุดยอดทั้งสามOและจุดของลูกศรที่กำกับด้วยaและb (โดยที่จุดเหล่านั้นไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน) หรืออีกนัยหนึ่ง หากเรียกจุดเหล่านี้ว่าAและBตามลำดับ และจุดที่สี่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานXว่าสามเหลี่ยมOABและXBAจะเท่ากันทุกประการ

ผลคูณของจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวนคำนวณได้ดังนี้: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle (a+bi)\cdot (c+di)=ac-bd+(ad+bc)i.}$

ตัวอย่างเช่น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กรณีพิเศษนี้จะรวมถึงสูตรพื้นฐานด้วย ${\displaystyle (2-i)(3+4i)=2\cdot 3-((-1)\cdot 4)+(2\cdot 4+(-1)\cdot 3)i=10+5i.}$

${\displaystyle i^{2}=i\cdot i=-1.}$

สูตรนี้ใช้แยกแยะจำนวนเชิงซ้อนiออกจากจำนวนจริงใดๆ เนื่องจากกำลังสองของจำนวนจริงใดๆ (ทั้งบวกและลบ) จะเป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบเสมอ

ด้วยนิยามของการคูณและการบวกนี้ กฎที่คุ้นเคยสำหรับเลขคณิตของจำนวนตรรกยะหรือจำนวนจริงยังคงใช้ได้กับจำนวนเชิงซ้อน กล่าวคือคุณสมบัติการกระจายและคุณสมบัติการสลับที่ (ของการบวกและการคูณ) ยังคงใช้ได้ ดังนั้น จำนวนเชิงซ้อนจึงสร้างโครงสร้างพีชคณิตที่เรียกว่าฟิลด์เช่นเดียวกับจำนวนตรรกยะหรือจำนวนจริง^{[ 14 ]}

สังยุคเชิงซ้อนของจำนวนเชิงซ้อนz = x + yiถูกกำหนดเป็น ^{[ 15 ]}บางผู้เขียนยังใช้สัญลักษณ์แทนด้วย ในทางเรขาคณิตzคือ"การสะท้อน"ของzเกี่ยวกับแกนจริง การสังยุคสองครั้งจะให้จำนวนเชิงซ้อนเดิมจำนวนเชิงซ้อนเป็นจำนวนจริงก็ต่อเมื่อมันเท่ากับสังยุคของตัวเองการดำเนินการเอกภาคในการหาสังยุคเชิงซ้อนของจำนวนเชิงซ้อนไม่สามารถแสดงได้โดยใช้เพียงการดำเนินการพื้นฐานของการบวก การลบ การคูณ และการหาร ${\displaystyle {\overline {z}}=x-yi.}$${\displaystyle z^{*}}$${\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z.}$

สำหรับจำนวนเชิงซ้อนใดๆz = x + yiผลคูณ

${\displaystyle z\cdot {\overline {z}}=(x+iy)(x-iy)=x^{2}+y^{2}}$

เป็น จำนวน จริงที่ไม่เป็นลบซึ่งทำให้สามารถกำหนดค่าสัมบูรณ์ (หรือโมดูลัสหรือขนาด ) ของzให้เป็นรากที่สองได้^{[ 16 ]} ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสคือระยะทางจากจุดกำเนิดไปยังจุดที่แทนจำนวนเชิงซ้อนzในระนาบเชิงซ้อน โดยเฉพาะอย่างยิ่งวงกลมรัศมีหนึ่งรอบจุดกำเนิดประกอบด้วยจำนวนzที่ทำให้ ซึ่งเรียกว่าจำนวนเชิงซ้อนหน่วย$${\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$$${\displaystyle |z|}$${\displaystyle |z|=1}$ถ้าเป็นจำนวนจริงแล้วค่าสัมบูรณ์ของมันในรูปจำนวนเชิงซ้อนและในรูปจำนวนจริงจะเท่ากัน ${\displaystyle z=x=x+0i}$${\displaystyle |z|=|x|}$

การใช้คอนจูเกต ส่วนกลับของจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์สามารถคำนวณได้เป็น^{[ 13 ]}${\displaystyle z=x+yi}$

$${\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}={\frac {x-yi}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}i.}$$ โดยทั่วไปแล้ว การหารจำนวนเชิงซ้อนใดๆด้วยจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์ จะ เท่ากับ กระบวนการนี้บางครั้งเรียกว่า " การทำให้เป็นจำนวนตรรกยะ " ของตัวส่วน (แม้ว่าตัวส่วนในนิพจน์สุดท้ายอาจเป็นจำนวนจริงอตรรกยะ) เนื่องจากมีลักษณะคล้ายกับวิธีการกำจัดรากออกจากนิพจน์ง่ายๆ ในตัวส่วน^{[ 17 ] [ 18 ]}${\displaystyle w=u+vi}$${\displaystyle z=x+yi}$$${\displaystyle {\frac {w}{z}}={\frac {w{\bar {z}}}{|z|^{2}}}={\frac {(u+vi)(x-iy)}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {ux+vy}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {vx-uy}{x^{2}+y^{2}}}i.}$$

อาร์กิวเมนต์ของz (บางครั้งเรียกว่า "เฟส" φ ) [ ^{10 ] คือ}มุมของรัศมีOzกับแกนจริงบวก และเขียนเป็นarg zซึ่งแสดงในหน่วยเรเดียนในบทความนี้ มุมนี้ถูกกำหนดไว้เฉพาะการเพิ่มผลคูณจำนวนเต็มของ เท่านั้นเนื่องจากการหมุนรอบจุดกำเนิดโดย (หรือ 360°) ทำให้จุดทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อนไม่เปลี่ยนแปลง ทางเลือกหนึ่งที่เป็นไปได้ในการระบุอาร์กิวเมนต์อย่างเฉพาะเจาะจงคือการกำหนดให้อยู่ในช่วงซึ่งเรียกว่าค่าหลัก^{[ 19 ]} อาร์กิวเมนต์สามารถคำนวณได้จากรูปแบบสี่เหลี่ยมผืนผ้าx + yiโดยใช้ ฟังก์ชัน arctan (แทนเจนต์ผกผัน) ^{[ 20 ]}${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$

สำหรับจำนวนเชิงซ้อนz ใดๆ ที่มีค่าสัมบูรณ์และอาร์กิวเมนต์สมการ^{[ 13 ]}${\displaystyle r=|z|}$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$

ถือครองเอกลักษณ์นี้เรียกว่ารูปแบบเชิงขั้วของzบางครั้งจะย่อเป็นในทางอิเล็กทรอนิกส์ จะแสดงเฟเซอร์ที่มีแอมพลิจูดrและเฟสφในรูปแบบเชิงมุมดังนี้ : ^{[ 21 ]}${\textstyle z=r\ชื่อผู้ดำเนินการ {\mathrm {cis} } \varphi }$$${\displaystyle z=r\angle \varphi .}$$

ถ้าจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวนอยู่ในรูปพิกัดเชิงขั้ว เช่นz ₁ = r ₁ (cos φ ₁ + i sin φ ₁ )และz ₂ = r ₂ (cos φ ₂ + i sin φ ₂ )ผลคูณและการหารสามารถคำนวณได้ดังนี้ (ซึ่งเป็นผลมาจากเอกลักษณ์ตรีโกณมิติของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์) กล่าวคือ ค่าสัมบูรณ์จะถูกคูณกันและค่าอาร์กิวเมนต์จะถูกบวกกันเพื่อให้ได้ผลคูณในรูปพิกัดเชิงขั้ว ภาพด้านขวาแสดงการคูณ เนื่องจากส่วนจริงและส่วนจินตนาการของ5 + 5i เท่ากัน ค่าอาร์กิวเมนต์ของจำนวนนั้นคือ 45 องศา หรือπ /4 (ในหน่วยเรเดียน ) ในทางกลับกัน ผลรวมของมุมที่จุดกำเนิดของสามเหลี่ยมสีแดงและสีน้ำเงินคือarctan (1/3) และ arctan(1/2) ตามลำดับ ดังนั้นสูตรจึง เป็นจริง เนื่องจาก ฟังก์ชัน arctanสามารถประมาณได้อย่างมีประสิทธิภาพสูง สูตรเช่นนี้ – ซึ่งรู้จักกันในชื่อสูตรแบบ Machin – จึงถูกใช้สำหรับการประมาณค่า πที่มีความแม่นยำสูง: ^{[ 22 ]}$${\displaystyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2})).}$$$${\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\left(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right),{\text{if }}z_{2}\neq 0.}$$$${\displaystyle (2+i)(3+i)=5+5i.}$$$${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan \left({\frac {1}{2}}\right)+\arctan \left({\frac {1}{3}}\right)}$$$${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan \left({\frac {1}{5}}\right)-\arctan \left({\frac {1}{239}}\right)}$$

กำลัง ที่nของจำนวนเชิงซ้อนสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรของเดอ มัวร์ซึ่ง ได้มาจากการใช้สูตรข้างต้นซ้ำๆ สำหรับผลคูณ: ^{[ 23 ]} ตัวอย่างเช่น กำลังไม่กี่ตัวแรกของหน่วยจินตนาการiคือ$${\displaystyle z^{n}=\underbrace {z\cdot \dots \cdot z} _{n{\text{ factors}}}=(r(\cos \varphi +i\sin \varphi ))^{n}=r^{n}\,(\cos n\varphi +i\sin n\varphi ).}$$${\displaystyle i,i^{2}=-1,i^{3}=-i,i^{4}=1,i^{5}=i,\dots }$

รากที่ n ของ จำนวนเชิงซ้อนzกำหนดโดย^{[ 24 ]} สำหรับ0 ≤ k ≤ n − 1 (ในที่นี้ คือรากที่ nปกติ (บวก) ของจำนวนจริงบวกr ) เนื่องจากไซน์และโคไซน์เป็นฟังก์ชันคาบ ค่าจำนวนเต็มk อื่นๆ จึงไม่ให้ค่าอื่น สำหรับ k ใดๆจะมี รากที่ nเชิงซ้อนที่แตกต่างกันn รากโดยเฉพาะ ตัวอย่างเช่น มีรากที่สี่ของ 1 อยู่ 4 ราก ได้แก่ $${\displaystyle z^{1/n}={\sqrt[{n}]{r}}\left(\cos \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)\right)}$$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{r}}}$${\displaystyle z\neq 0}$

${\displaystyle z_{1}=1,z_{2}=i,z_{3}=-1,z_{4}=-i.}$

โดยทั่วไปแล้ว ไม่มีวิธีธรรมชาติใดที่จะแยกแยะ รากที่ nของจำนวนเชิงซ้อนที่เฉพาะเจาะจงได้ (ซึ่งแตกต่างจากรากของจำนวนจริงบวกx ที่มีรากที่ nเป็นจำนวนจริงบวกเพียงหนึ่งเดียวจึงมักเรียกกันว่าราก ที่ nของx ) เราอาจกล่าวถึงสถานการณ์นี้โดยกล่าวว่า รากที่ nเป็นฟังก์ชันที่มีค่าเป็น nของz

ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตของคาร์ล ฟรีดริช เกาส์และฌอง เลอ รอนด์ ดาเลมเบิร์ตกล่าวว่า สำหรับจำนวนเชิงซ้อนใดๆ (เรียกว่าสัมประสิทธิ์ ) a ₀ , ..., a _nสมการ จะมีคำตอบเชิงซ้อนอย่างน้อยหนึ่งคำตอบzโดยมีเงื่อนไขว่าอย่างน้อยหนึ่งในสัมประสิทธิ์ที่สูงกว่าa ₁ , ..., a _nจะต้องไม่เป็นศูนย์^{[ 25 ]}คุณสมบัตินี้ไม่เป็นจริงสำหรับฟิลด์ของจำนวนตรรกยะ (พหุนามx ² − 2ไม่มีรากตรรกยะ เนื่องจาก√2ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ) หรือจำนวนจริง(พหุนามx ² + 4ไม่มีรากจริง เนื่องจากกำลังสองของxเป็นบวกสำหรับจำนวนจริงx ใดๆ ) $${\displaystyle a_{n}z^{n}+\dotsb +a_{1}z+a_{0}=0}$$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

เนื่องจากข้อเท็จจริงนี้จึงเรียกว่าฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตมันเป็นรากฐานสำคัญของการประยุกต์ใช้จำนวนเชิงซ้อนต่างๆ ดังที่จะกล่าวรายละเอียดเพิ่มเติมด้านล่าง มีวิธีการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้หลายวิธี ทั้งโดยวิธีวิเคราะห์ เช่นทฤษฎีบทของ Liouvilleหรือ วิธี เชิงโทโพโลยีเช่นจำนวนการหมุนหรือการพิสูจน์ที่รวมทฤษฎีบทของ Galoisและข้อเท็จจริงที่ว่าพหุนามจริงใดๆ ที่ มีดีกรี คี่จะมีรากจริงอย่างน้อยหนึ่งราก ${\displaystyle \mathbb {C} }$

ฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อนถูกนิยามว่าเป็นฟิลด์ส่วนขยาย เชิงพีชคณิต (ที่ไม่ซ้ำกัน) ของจำนวนจริง ซึ่งจะกล่าวถึงในหัวข้อ #นิยามเชิงพีชคณิตนามธรรม ต่อไป

คำตอบในรูปราก (โดยไม่ใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ) ของสมการกำลังสาม ทั่วไป เมื่อรากทั้งสามเป็นจำนวนจริง จะมีรากที่สองของจำนวนลบซึ่งเป็นสถานการณ์ที่ไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยการแยกตัวประกอบโดยใช้การทดสอบรากตรรกยะหากสมการกำลังสามนั้นไม่สามารถแยก ตัวประกอบได้ นี่คือสิ่งที่เรียกว่าcasus irreducibilis ( ' กรณีที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้' ) ปัญหาดังกล่าวทำให้นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีGerolamo Cardanoคิดค้นจำนวนเชิงซ้อนขึ้นมาราวปี ค.ศ. 1545 ในหนังสือ Ars Magna ของเขา^[ 26 ] ^{แม้ว่าความ}เข้าใจของเขาจะยังไม่สมบูรณ์นัก ยิ่งไปกว่านั้น เขายังอธิบายจำนวนเชิงซ้อนในภายหลังว่า "มีความละเอียดอ่อนพอๆ กับที่ไร้ประโยชน์" ^{[ 27 ]} Cardano ใช้จำนวนจินตนาการ แต่ได้อธิบายว่าการใช้จำนวนจินตนาการนั้นเป็น "การทรมานทางจิตใจ" ^{[ 28 ]}ซึ่งเกิดขึ้นก่อนการใช้ระนาบเชิงซ้อนแบบกราฟิก Cardano และนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีคนอื่นๆ โดยเฉพาะScipione del Ferroได้สร้างอัลกอริทึมสำหรับแก้สมการกำลังสาม ซึ่งโดยทั่วไปจะมีคำตอบจริงหนึ่งคำตอบและคำตอบที่มีจำนวนจินตนาการสองคำตอบ เนื่องจากพวกเขามองข้ามคำตอบที่มีจำนวนจินตนาการ Cardano จึงพบว่าคำตอบเหล่านั้นไร้ประโยชน์^{[ 29 ]}

งานวิจัยเกี่ยวกับปัญหาของพหุนามทั่วไปนำไปสู่ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิต ซึ่งแสดงให้เห็นว่าเมื่อใช้จำนวนเชิงซ้อน จะมีคำตอบสำหรับสมการพหุนาม ทุกสมการ ที่มีดีกรีหนึ่งขึ้นไป จำนวนเชิงซ้อนจึงเป็นฟิลด์ปิดทางพีชคณิตซึ่งสมการพหุนามใดๆ ก็มี ราก

นักคณิตศาสตร์หลายคนมีส่วนร่วมในการพัฒนาจำนวนเชิงซ้อน กฎสำหรับการบวก การลบ การคูณ และการถอดรากของจำนวนเชิงซ้อนได้รับการพัฒนาโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีราฟาเอล บอมเบลลี [ ^{30 ] รูป}แบบนามธรรมที่มากขึ้นสำหรับจำนวนเชิงซ้อนได้รับการพัฒนาเพิ่มเติมโดยนักคณิตศาสตร์ชาวไอริชวิลเลียม โรวัน แฮมิลตันซึ่งขยายแนวคิดนามธรรมนี้ไปสู่ทฤษฎีของควอเทอร์เนียน^{[ 31 ]}

อาจกล่าวได้ว่า การอ้างอิงถึง รากที่สองของจำนวนลบที่เก่าแก่ที่สุด ปรากฏขึ้นในงานของนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก เฮโรแห่งอเล็กซานเดรียในศตวรรษที่ 1 หลังคริสต์ศักราชโดยในStereometrica ของเขา เขาได้พิจารณาปริมาตร ของพีระมิดตัดยอดที่ไม่สามารถเป็นไปได้ ซึ่งดูเหมือนจะผิดพลาดเพื่อให้ได้คำศัพท์ในการคำนวณของเขา ซึ่งในปัจจุบันจะลดรูปเหลือเพียง[ ^{b ] ปริมาณ}ลบไม่ได้ถูกคิดขึ้นในคณิตศาสตร์ยุคเฮลเลนิสติกและเฮโรเพียงแค่แทนที่ค่าลบด้วยค่าบวก^{[ 33 ]}${\displaystyle {\sqrt {81-144}}}$${\displaystyle {\sqrt {-63}}=3i{\sqrt {7}}}$${\displaystyle {\sqrt {144-81}}=3{\sqrt {7}}.}$

แรงผลักดันในการศึกษาจำนวนเชิงซ้อนในฐานะหัวข้อเฉพาะนั้นเกิดขึ้นครั้งแรกในศตวรรษที่ 16 เมื่อ นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี ( Niccolò Fontana TartagliaและGerolamo Cardano ) ค้นพบวิธีแก้ปัญหาเชิงพีชคณิตสำหรับรากของพหุนามกำลังสามและกำลังสี่ ในไม่ช้าก็ตระหนัก (แต่ได้รับการพิสูจน์ในภายหลัง) ^{[ 34 ]}ว่าสูตรเหล่านี้ แม้ว่าจะสนใจเฉพาะวิธีแก้ปัญหาที่เป็นจำนวนจริงก็ตาม บางครั้งก็จำเป็นต้องมีการจัดการรากที่สองของจำนวนลบ อันที่จริง ต่อมาได้มีการพิสูจน์แล้วว่าการใช้จำนวนเชิงซ้อนเป็นสิ่งที่หลีกเลี่ยงไม่ได้เมื่อรากทั้งสามเป็นจำนวนจริงและแตกต่างกัน^{[ c ]}อย่างไรก็ตาม สูตรทั่วไปยังคงสามารถใช้ได้ในกรณีนี้ โดยต้องระมัดระวังในการจัดการกับความกำกวมที่เกิดจากการมีอยู่ของรากกำลังสามสามรากสำหรับจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์ Rafael Bombelli เป็นคนแรกที่กล่าวถึงวิธีแก้ปัญหาที่ดูเหมือนจะขัดแย้งกันของสมการกำลังสามอย่างชัดเจน และพัฒนากฎสำหรับเลขคณิตเชิงซ้อน โดยพยายามแก้ไขปัญหาเหล่านี้

คำว่า "จินตนาการ" สำหรับปริมาณเหล่านี้ถูกบัญญัติโดยเรเน่ เดส์การ์ตในปี พ.ศ. 2480 ซึ่งพยายามเน้นย้ำถึงลักษณะที่ไม่เป็นจริงของปริมาณเหล่านี้: ^{[ 35 ]}

... บางครั้งเป็นเพียงจินตภาพเท่านั้น นั่นคือเราสามารถจินตนาการได้มากเท่าที่ผมบอกในแต่ละสมการ แต่บางครั้งก็ไม่มีปริมาณที่ตรงกับที่เราจินตนาการไว้ [ ... quelquefois seulement imaginaires c'est-à-dire que l'on peut toujours en Imaginer autant que j'ai dit en chaque équation, mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité qui contacte à celle qu'on จินตนาการ ]

แหล่งที่มาของความสับสนเพิ่มเติมคือสมการดูเหมือนจะไม่สอดคล้องกับเอกลักษณ์ทางพีชคณิตอย่างไม่แน่นอนซึ่งใช้ได้กับจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบaและbและยังใช้ในการคำนวณจำนวนเชิงซ้อนโดยที่aและb ตัวใดตัวหนึ่ง เป็นบวกและอีกตัวหนึ่งเป็นลบ การใช้เอกลักษณ์นี้อย่างไม่ถูกต้องในกรณีที่ทั้งaและbเป็นลบ และเอกลักษณ์ที่เกี่ยวข้อง สร้างความปวดหัวให้กับ Leonhard Eulerอย่างมากความยากลำบากนี้ในที่สุดก็ทำให้เกิดธรรมเนียมการใช้สัญลักษณ์พิเศษiแทนเพื่อป้องกันความผิดพลาดนี้^{[ 36 ] [ 37 ]}ถึงกระนั้น Euler ก็คิดว่าเป็นเรื่องปกติที่จะแนะนำจำนวนเชิงซ้อนให้กับนักเรียนเร็วกว่าที่เราทำในปัจจุบัน ในตำราพีชคณิตเบื้องต้นของเขาElements of Algebraเขาแนะนำจำนวนเหล่านี้เกือบจะในทันทีแล้วจึงใช้ในลักษณะที่เป็นธรรมชาติไปตลอดทั้งเล่ม ${\displaystyle {\sqrt {-1}}^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}=-1}$${\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}}$${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {a}}}={\sqrt {\frac {1}{a}}}}$${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$

ในศตวรรษที่ 18 จำนวนเชิงซ้อนได้รับการใช้งานอย่างแพร่หลายมากขึ้น เนื่องจากพบว่าการจัดการเชิงรูปแบบของนิพจน์เชิงซ้อนสามารถช่วยลดความซับซ้อนของการคำนวณที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรีโกณมิติได้ ตัวอย่างเช่น ในปี 1730 อับราฮัม เดอ มัวร์ได้สังเกตว่าเอกลักษณ์ที่เชื่อมโยงฟังก์ชันตรีโกณมิติของจำนวนเต็มคูณมุมกับกำลังของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมนั้น สามารถเขียนใหม่ได้ด้วยสูตรของเดอ มัวร์ ดังต่อไปนี้ :

$${\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta .}$$

ในปี พ.ศ. 2391 ออยเลอร์ได้ก้าวไปอีกขั้นและได้สูตรการวิเคราะห์เชิงซ้อนของ ออยเลอร์ : ^{[ 38 ]}

$${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }$$

โดยการจัดการอนุกรมกำลัง เชิงซ้อนอย่างเป็นทางการ และพบว่าสูตรนี้สามารถนำมาใช้ลดเอกลักษณ์ตรีโกณมิติใดๆ ให้กลายเป็นเอกลักษณ์เลขชี้กำลังที่ง่ายกว่ามากได้

แนวคิดเรื่องจำนวนเชิงซ้อนในฐานะจุดในระนาบเชิงซ้อนได้รับการอธิบายครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์ชาวเดนมาร์ก - นอร์เวย์Caspar Wesselในปี 1799 ^{[ 39 ]}แม้ว่าจะมีการคาดการณ์ไว้ตั้งแต่ปี 1685 ในตำราพีชคณิตของWallis ก็ตาม ^{[ 40 ]}

บันทึกความทรงจำของเวสเซลปรากฏในรายงานการประชุมของสถาบันโคเปนเฮเกนแต่กลับไม่ได้รับความสนใจมากนัก ในปี 1806 ฌอง-โรเบิร์ต อาร์แกนด์ได้ตีพิมพ์จุลสารเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อนโดยอิสระ และได้พิสูจน์ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิต อย่าง เข้มงวด^{[ 41 ]} ก่อนหน้านี้ คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ได้ตีพิมพ์บท พิสูจน์ เชิงโทโพโลยีของทฤษฎีบทนี้ในปี 1797 แต่ในขณะนั้นเขาแสดงความสงสัยเกี่ยวกับ "อภิปรัชญาที่แท้จริงของรากที่สองของ −1" ^{[ 42 ]}จนกระทั่งปี 1831 เขาจึงเอาชนะความสงสัยเหล่านี้ได้ และตีพิมพ์บทความเกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อนในฐานะจุดบนระนาบ^{[ 43 ]}ซึ่งส่วนใหญ่ได้วางรากฐานสัญลักษณ์และศัพท์เฉพาะสมัยใหม่^{[ 44 ]}

หากก่อนหน้านี้ใครพิจารณาเรื่องนี้จากมุมมองที่ผิดพลาดและจึงพบกับความมืดมิดลึกลับ ส่วนหนึ่งเป็นเพราะการใช้คำศัพท์ที่ไม่เหมาะสม หากไม่เรียก +1, −1 ว่าหน่วยบวก หน่วยลบ หรือหน่วยจินตนาการ (หรือแม้แต่หน่วยที่เป็นไปไม่ได้) แต่ใช้คำว่าหน่วยโดยตรง หน่วยผกผัน หรือหน่วยด้านข้างแทน ก็คงไม่มีการพูดถึงความมืดมิดเช่นนี้${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$

^{ในช่วงต้นศตวรรษ ที่} 19 นักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ได้ค้นพบการแสดงทางเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อนโดยอิสระ ได้แก่ Buée ^{[ 45 ] [ 46 ] Mourey} [ 47 ^{] Warren} [ 48 ^{] [ 49 ] [ 50 ] Français}และ Bellavitis น้องชายของเขา^{[ 51 ] [ 52 ]}

นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษGH Hardyกล่าวว่า Gauss เป็นนักคณิตศาสตร์คนแรกที่ใช้จำนวนเชิงซ้อนใน "วิธีที่มั่นใจและเป็นวิทยาศาสตร์อย่างแท้จริง" แม้ว่านักคณิตศาสตร์เช่นNiels Henrik Abel ชาวนอร์เวย์ และCarl Gustav Jacob Jacobiจะใช้จำนวนเชิงซ้อนเป็นประจำก่อนที่ Gauss จะตีพิมพ์ตำราของเขาในปี 1831 ก็ตาม^{[ 53 ]}

Augustin-Louis CauchyและBernhard Riemannร่วมกันพัฒนาแนวคิดพื้นฐานของการวิเคราะห์เชิงซ้อนให้มีความสมบูรณ์มากยิ่งขึ้น โดยเริ่มต้นในกรณีของ Cauchy ประมาณปี 1825

คำศัพท์ทั่วไปที่ใช้ในทฤษฎีส่วนใหญ่มาจากผู้ก่อตั้ง Argand เรียกcos φ + i sin φว่าปัจจัยทิศทางและโมดูลัส [ ^{d ] [ 54 ] Cauchy} (1821) เรียกcos φ + i sin φว่ารูปแบบลดรูป (l'expression réduite) ^{[ 55 ]}และเห็นได้ชัดว่าได้แนะนำคำว่าอาร์กิวเมนต์Gaussใช้iสำหรับ[ ^{e ]}แนะนำคำว่าจำนวนเชิงซ้อนสำหรับa + bi ^{[ f ]}และเรียกa ² + b ²ว่านอร์ม^[ g ^]สัมประสิทธิ์ทิศทางของ^{นิพจน์ซึ่ง}มักใช้สำหรับcos φ + i sin φมาจาก Hankel (1867) ^{[ 59 ]}และค่าสัมบูรณ์สำหรับโมดูลัสมาจาก Weierstrass ${\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$

นักเขียนคลาสสิกในยุคหลังที่เขียนเกี่ยวกับทฤษฎีทั่วไป ได้แก่Richard Dedekind , Otto Hölder , Felix Klein , Henri Poincaré , Hermann Schwarz , Karl Weierstrassและอีกมากมาย งานสำคัญ (รวมถึงการจัดระบบ) ในแคลคูลัสหลายตัวแปรเชิงซ้อนได้เริ่มต้นขึ้นในช่วงต้นศตวรรษที่ 20 ผลลัพธ์ที่สำคัญได้รับการบรรลุโดยWilhelm Wirtingerในปี 1927

แม้ว่าคำจำกัดความที่เป็นรูปธรรมข้างต้น ซึ่งรวมถึงการบวกและการคูณ จะอธิบายจำนวนเชิงซ้อนได้อย่างถูกต้อง แต่ก็ยังมีแนวทางอื่น ๆ ที่เทียบเท่ากัน ซึ่งเผยให้เห็นโครงสร้างพีชคณิตนามธรรมของจำนวนเชิงซ้อนได้ชัดเจนยิ่งขึ้น

นิยามหนึ่งของจำนวนเชิงซ้อนคือ จำนวนเชิงซ้อนก่อตัวเป็นฟิลด์ที่แสดงด้วย⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {C} }$ซึ่งประกอบด้วยฟิลด์จริง⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$และถูกสร้างขึ้นเหนือ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$โดยองค์ประกอบที่โดดเด่นที่แสดงด้วย⁠ ⁠${\displaystyle i}$โดยที่⁠ ⁠${\displaystyle i^{2}=-1}$เทียบเท่ากับ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {C} }$คือฟิลด์แยกส่วนของพหุนาม⁠ ⁠ ${\displaystyle x^{2}+1}$^{เหนือ}ฟิลด์จริง⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} }$^{[ 60} ] ^{[ 61 ] [ 62 ]}

การมีอยู่ของฟิลด์สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้แบบจำลองต่างๆ แบบจำลองหนึ่งคือการมองฟิลด์เชิงซ้อนว่าเป็นเซตที่มีกฎการบวกและการคูณบนคู่ลำดับ และ : ในแบบ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$จำลองนี้สมาชิก${\displaystyle (a,b)}$สอดคล้องกับ${\displaystyle (a',b')}$ สมาชิกและจำนวนจริงถูกฝังเป็นเซตของคู่อีกแบบหนึ่งคือการสร้างฟิลด์แยกส่วนมาตรฐานโดยใช้ผลหารของวงแหวนพหุนามดังที่แสดงด้านล่าง $${\displaystyle (a,b)+(a',b')=(a+a',b+b'),\quad (a,b)(a',b')=(aa'-bb',ab'+a'b).}$$${\displaystyle i}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle (a,0)}$${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$

เนื่องจากฟิลด์ มีโมเดลที่แตกต่างกัน จึงไม่ใช่วัตถุทางคณิตศาสตร์เดียวกันอย่างแท้จริง แต่ทั้งหมดเป็นไอโซมอร์ฟิกกันโดย ขึ้น อยู่กับไอโซมอร์ฟิซึมของวงแหวนที่รักษาจำนวนจริงไว้ กล่าวคือ เมื่อกำหนดโมเดลสองแบบคือ${\displaystyle \mathbb {C} }$และจะมีไอโซมอร์ฟิซึมที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียวซึ่งเป็นเชิงเส้นเหนือจำนวนจริงและเป็นไปตามเงื่อนไข[ 63 ^{]โดยทั่วไป} แล้ว ฟิลด์ส่วนขยายจำกัดที่ไม่เป็นศูนย์ของจำนวนจริงใดๆ จะเป็น ไอ โซมอร์ฟิกกับฟิลด์เชิงซ้อน^{[ 64 ] [ 65 ]} ยิ่งไปกว่านั้น ไอโซมอร์ฟิซึมจะมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว ตราบใดที่ยังคงรักษาฟิลด์ย่อยของจำนวนจริงไว้ โดยขึ้นอยู่กับการกระทำของกลุ่มกาโลอิส (การผันเชิงซ้อน) ${\displaystyle \mathbb {C} _{1}=\mathbb {R} (i_{1})}$${\displaystyle \mathbb {C} _{2}=\mathbb {R} (i_{2})}$${\displaystyle \phi :\mathbb {C} _{1}\to \mathbb {C} _{2}}$${\displaystyle \phi (i_{1})=i_{2}}$

แนวทางหนึ่งในการ หาค่า p คือ การใช้พหุนาม_{กล่าว} คือ นิพจน์ในรูปแบบ p = p₀ โดยที่สัมประสิทธิ์a₀ _, ..., anเป็นจำนวนจริง เซตของพหุนามดังกล่าวทั้งหมดจะถูกแทนด้วยΣ ... ${\displaystyle \mathbb {C} }$$${\displaystyle p(X)=a_{n}X^{n}+\dotsb +a_{1}X+a_{0},}$$${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$${\displaystyle \mathbb {R} [X]}$${\displaystyle p(i)=a_{n}i^{n}+\dotsb +a_{1}i+a_{0}}$${\displaystyle X=i}$

${\displaystyle \mathbb {R} [X]\to \mathbb {C} }$

ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันทั่วถึงเนื่องจากจำนวนเชิงซ้อนทุกจำนวนสามารถหาได้ด้วยวิธีนี้: การประเมินค่าของพหุนามเชิงเส้น ที่ i คืออย่างไรก็ตาม การประเมินค่าของพหุนามที่iคือ 0 เนื่องจากพหุนามนี้ ไม่ สามารถแยกตัวประกอบได้กล่าวคือ ไม่สามารถเขียนเป็นผลคูณของพหุนามเชิงเส้นสองตัวได้ ข้อเท็จจริงพื้นฐานของพีชคณิตนามธรรมจึงบ่งชี้ว่าเคอร์เนลของแผนที่ข้างต้นเป็นไอเดียลที่สร้างขึ้นโดยพหุนามนี้ และผลหารโดยไอเดียลนี้เป็นฟิลด์ และมีการสมสัณฐาน${\displaystyle a+bX}$${\displaystyle X=i}$${\displaystyle a+bi}$${\displaystyle X^{2}+1}$${\displaystyle i^{2}+1=0.}$

${\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1){\stackrel {\cong }{\to }}\mathbb {C} }$

ระหว่างวงแหวนผลหารและ . ผู้ เขียน บางคนถือว่านี่เป็นนิยามของ. ^{[ 66 ] [ 67 ]}นิยามนี้แสดงเป็นพีชคณิตกำลังสอง${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

ฟิลด์นี้เป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตตามทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตและดังนั้นจึงเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตของ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$

จำนวนเชิงซ้อนa + biสามารถแสดงได้ด้วยเมทริกซ์2 × 2 ที่มีรูปแบบ^{[ 68 ]} โดยที่สมาชิกaและbเป็นจำนวนจริง เนื่องจากผลรวมและผลคูณของเมทริกซ์ดังกล่าวสองเมทริกซ์มีรูปแบบนี้เช่นกัน เมทริกซ์เหล่านี้จึงประกอบเป็นวงแหวนย่อยของวงแหวนของเมทริกซ์ 2 × 2$${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}.}$$

การคำนวณอย่างง่ายแสดงให้เห็นว่าแผนที่นี้ เป็นไอโซมอร์ฟิซึมของวงแหวนจากฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อนไปยังวงแหวนของเมทริกซ์เหล่านี้ ซึ่งพิสูจน์ได้ว่าเมทริกซ์เหล่านี้ประกอบกันเป็นฟิลด์ ไอโซมอร์ฟิซึมนี้เชื่อมโยงกำลังสองของค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อนกับดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ที่สอดคล้องกัน และคอนจูเกตของจำนวนเชิงซ้อนกับทรานสโพสของเมทริกซ์ $${\displaystyle a+ib\mapsto {\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}}$$

การแสดงจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบเชิงขั้ว จะให้เมทริกซ์เหล่านี้อย่างชัดเจนใน รูป ของ เมทริกซ์การหมุน ที่ปรับขนาดแล้ว โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กรณีที่r = 1ซึ่งก็คือจะให้เมทริกซ์การหมุน (ที่ไม่ได้ปรับขนาด) $${\displaystyle r(\cos \theta +i\sin \theta )\mapsto {\begin{pmatrix}r\cos \theta &-r\sin \theta \\r\sin \theta &\;\;r\cos \theta \end{pmatrix}}}$$${\displaystyle |a+ib|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=1}$

การศึกษาฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนเรียกว่าการวิเคราะห์เชิงซ้อนและมีประโยชน์อย่างมากในทาง ปฏิบัติ ทั้ง ใน คณิตศาสตร์ประยุกต์ และสาขาอื่นๆ ของคณิตศาสตร์ บ่อยครั้งที่การพิสูจน์ที่ดูเป็นธรรมชาติที่สุดสำหรับข้อความใน คณิตศาสตร์วิเคราะห์เชิงจริงหรือแม้แต่ทฤษฎีจำนวนมักใช้เทคนิคจากการวิเคราะห์เชิงซ้อน (ดูทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะเป็นตัวอย่าง)

ต่างจากฟังก์ชันจริงซึ่งโดยทั่วไปมักแสดงในรูปกราฟสองมิติฟังก์ชันเชิงซ้อนมีกราฟสี่มิติ และอาจแสดงให้เห็นได้อย่างชัดเจนโดยการใช้รหัสสีกับกราฟสามมิติเพื่อสื่อถึงสี่มิติ หรือโดยการสร้างภาพเคลื่อนไหวแสดงการเปลี่ยนแปลงแบบไดนามิกของฟังก์ชันเชิงซ้อนบนระนาบเชิงซ้อน

แนวคิดเรื่องอนุกรมลู่เข้าและฟังก์ชันต่อเนื่องในวิเคราะห์ (จำนวนจริง) มีความคล้ายคลึงกันอย่างเป็นธรรมชาติในวิเคราะห์เชิงซ้อน ลำดับของจำนวนเชิงซ้อนจะลู่เข้าก็ต่อเมื่อส่วนจริงและส่วนจินตนาการลู่เข้าด้วย ซึ่งเทียบเท่ากับนิยาม(ε, δ) ของลิมิตโดยที่ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริงถูกแทนที่ด้วยค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน จากมุมมองที่เป็นนามธรรมมากขึ้น ซึ่งมีเมตริก เป็น ปริภูมิเมตริก สมบูรณ์ซึ่งรวมถึงอสมการสามเหลี่ยม สำหรับจำนวนเชิงซ้อนz₁และz₂ _ใดๆด้วย ${\displaystyle \mathbb {C} }$$${\displaystyle \operatorname {d} (z_{1},z_{2})=|z_{1}-z_{2}|}$$$${\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|}$$

เช่นเดียวกับในการวิเคราะห์เชิงจริง แนวคิดเรื่องการลู่เข้านี้ใช้ในการสร้างฟังก์ชันพื้นฐาน จำนวนหนึ่ง เช่น ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง exp zหรือเขียนว่าe ^zถูกกำหนดให้เป็นอนุกรมอนันต์ซึ่งสามารถแสดงให้เห็นว่าลู่เข้าสำหรับz ใดๆ ตัวอย่าง เช่นคือจำนวนของออยเลอร์สูตรของออยเลอร์กล่าวว่า สำหรับจำนวนจริงφ ใดๆ สูตรนี้เป็นผลลัพธ์อย่างรวดเร็วจากข้อเท็จจริงพื้นฐานทั่วไปเกี่ยวกับอนุกรมกำลังลู่เข้าและนิยามของฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องว่าเป็นอนุกรมกำลัง ในกรณีพิเศษนี้รวมถึงเอกลักษณ์ของออยเลอร์ ด้วย$${\displaystyle \exp z:=1+z+{\frac {z^{2}}{2\cdot 1}}+{\frac {z^{3}}{3\cdot 2\cdot 1}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$$${\displaystyle \exp(1)}$${\displaystyle e\approx 2.718}$$${\displaystyle \exp(i\varphi )=\cos \varphi +i\sin \varphi }$$$${\displaystyle \exp(i\pi )=-1.}$$

สำหรับจำนวนจริงบวกt ใดๆ จะมีจำนวนจริงx เพียงจำนวนเดียวเท่านั้น ที่ทำให้ซึ่งนำไปสู่คำนิยามของลอการิทึมธรรมชาติว่าเป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง สถานการณ์จะแตกต่างออกไปสำหรับจำนวนเชิงซ้อน เนื่องจาก ${\displaystyle \exp(x)=t}$${\displaystyle \ln \colon \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ;x\mapsto \ln x}$

${\displaystyle \exp(z+2\pi i)=\exp z\exp(2\pi i)=\exp z}$

โดยใช้สมการเชิงฟังก์ชันและเอกลักษณ์ของออยเลอร์ ตัวอย่างเช่นe ^iπ = e ^{3 iπ} = −1ดังนั้นทั้งiπและ3 iπจึงเป็นค่าที่เป็นไปได้สำหรับลอการิทึมเชิงซ้อนของ −1

โดยทั่วไปแล้ว สำหรับจำนวนเชิงซ้อนw ที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ จำนวนz ใดๆ ก็ สามารถแก้สมการได้

${\displaystyle \exp z=w}$

เรียกว่าลอการิทึมเชิงซ้อนของwซึ่งแสดงด้วยสามารถแสดงได้ว่าตัวเลขเหล่านี้สอดคล้องกับ^{[ 69 ]} โดยที่คืออาร์กิวเมนต์ที่กำหนดไว้ข้างต้นและลอการิทึมธรรมชาติ (จริง) เนื่องจาก arg เป็นฟังก์ชันหลายค่าซึ่งมีเอกลักษณ์เฉพาะจนถึงตัวคูณของ 2π เท่านั้นlogจึงเป็นฟังก์ชันหลายค่าเช่นกันค่าหลักของ log มักจะหาได้จากการจำกัดส่วนจินตนาการให้อยู่ในช่วง(−π , π ]ซึ่งทำให้ลอการิทึมเชิงซ้อนเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงที่รับค่าในช่วง(ซึ่งแสดงด้วยในภาพประกอบข้างต้น) ${\displaystyle \log w}$$${\displaystyle z=\log w=\ln |w|+i\arg w,}$$${\displaystyle \arg }$${\displaystyle \ln }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}+\;i\,\left(-\pi ,\pi \right]}$${\displaystyle S_{0}}$$${\displaystyle \ln \colon \;\mathbb {C} ^{\times }\;\to \;\;\;\mathbb {R} ^{+}+\;i\,\left(-\pi ,\pi \right].}$$

ถ้าไม่ใช่จำนวนจริงที่ไม่เป็นบวก (เป็นจำนวนบวกหรือจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนจริง) ค่าหลักของลอการิทึมเชิงซ้อนที่ได้จะมีค่าอยู่ในช่วง− π < φ < πซึ่งเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์นอกจำนวนจริงลบ แต่ไม่สามารถขยายเป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องที่จำนวนจริงลบใดๆ ได้^โดยที่ค่าหลักคือln z = ln(− z ) + iπ [ ^{h ]}${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus \left(-\mathbb {R} _{\geq 0}\right)}$${\displaystyle z\in -\mathbb {R} ^{+}}$

การยกกำลัง เชิงซ้อนz ^ωถูกกำหนดโดย และมีค่าหลายค่า ยกเว้นเมื่อωเป็นจำนวนเต็ม สำหรับω = 1 / nสำหรับจำนวนธรรมชาติn บางตัว จะทำให้ได้ ค่าราก ที่ nที่ไม่ซ้ำกัน ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น หาก z > 0เป็นจำนวนจริง (และωเป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ) เราจะมีตัวเลือกที่เหมาะสมกว่าคือลอการิทึมจริง ซึ่งสามารถใช้กำหนดฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่เหมาะสมได้ $${\displaystyle z^{\omega }=\exp(\omega \ln z),}$$${\displaystyle \ln x}$

จำนวนเชิงซ้อน ต่างจากจำนวนจริง โดยทั่วไปแล้วจะไม่สอดคล้องกับเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึมที่ไม่เปลี่ยนแปลง โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อพิจารณาอย่างง่ายๆ ว่าเป็นฟังก์ชันค่าเดียว ดูความล้มเหลวของเอกลักษณ์กำลังและลอการิทึมตัวอย่างเช่น พวกมันไม่สอดคล้องกับ ทั้งสองข้างของสมการเป็นค่าหลายค่าตามนิยามของการยกกำลังเชิงซ้อนที่ให้ไว้ในที่นี้ และค่าทางด้านซ้ายเป็นเซตย่อยของค่าทางด้านขวา $${\displaystyle a^{bc}=\left(a^{b}\right)^{c}.}$$

อนุกรมที่กำหนดฟังก์ชันตรีโกณมิติจริงsinและcosรวมถึงฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกsinhและcoshนั้น สามารถนำไปใช้กับอาร์กิวเมนต์เชิงซ้อนได้โดยไม่เปลี่ยนแปลง สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติและไฮเปอร์โบลิกอื่นๆ เช่นtan นั้นสิ่งต่างๆ จะซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย เนื่องจากอนุกรมที่กำหนดนั้นไม่ลู่เข้าสำหรับค่าเชิงซ้อนทั้งหมด ดังนั้นจึงต้องกำหนดฟังก์ชันเหล่านั้นในรูปของไซน์ โคไซน์ และเลขชี้กำลัง หรือเทียบเท่ากันโดยใช้วิธีการต่อยอดเชิงวิเคราะห์

ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติหรือฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกของจำนวนเชิงซ้อนสามารถแสดงได้ในรูปของฟังก์ชันเหล่านั้นที่ประเมินค่าบนจำนวนจริง โดยใช้สูตรการบวกมุม สำหรับz = x + iy ,

$${\displaystyle \sin {z}=\sin {x}\cosh {y}+i\cos {x}\sinh {y}}$$

$${\displaystyle \cos {z}=\cos {x}\cosh {y}-i\sin {x}\sinh {y}}$$

$${\displaystyle \tan {z}={\frac {\tan {x}+i\tanh {y}}{1-i\tan {x}\tanh {y}}}}$$

$${\displaystyle \cot {z}=-{\frac {1+i\cot {x}\coth {y}}{\cot {x}-i\coth {y}}}}$$

$${\displaystyle \sinh {z}=\sinh {x}\cos {y}+i\cosh {x}\sin {y}}$$

$${\displaystyle \cosh {z}=\cosh {x}\cos {y}+i\sinh {x}\sin {y}}$$

$${\displaystyle \tanh {z}={\frac {\tanh {x}+i\tan {y}}{1+i\tanh {x}\tan {y}}}}$$

$${\displaystyle \coth {z}={\frac {1-i\coth {x}\cot {y}}{\coth {x}-i\cot {y}}}}$$

ในกรณีที่นิพจน์เหล่านี้ไม่ได้นิยามไว้อย่างชัดเจน เนื่องจากฟังก์ชันตรีโกณมิติหรือฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกมีค่าเป็นอนันต์ หรือมีการหารด้วยศูนย์ นิพจน์เหล่านั้นก็ยังคงถูกต้องในฐานะลิ มิต

ฟังก์ชัน→ เรียกว่าฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกหรือฟังก์ชันเชิงซ้อนที่หาอนุพันธ์ได้ที่จุดหนึ่งถ้าลิมิต → ${\displaystyle f:\mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle \lim _{z\to z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}}$

มีอยู่จริง (ในกรณีนี้จะใช้สัญลักษณ์) ซึ่งเลียนแบบนิยามของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้จริง ยกเว้นว่าปริมาณทั้งหมดเป็นจำนวนเชิงซ้อน กล่าวโดยคร่าวๆ คือ ความอิสระในการเข้าใกล้ในทิศทางต่างๆ ทำให้เกิดเงื่อนไขที่เข้มงวดกว่าการเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ (จริง) มาก ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน ${\displaystyle f'(z_{0})}$${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle f(z)={\overline {z}}}$

ฟังก์ชัน สามารถหาอนุพันธ์ได้แต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์เชิงซ้อนได้ ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้จริง จะหาอนุพันธ์เชิงซ้อนได้ก็ต่อเมื่อเป็นไปตามสมการโคชี-รีมันน์ซึ่งบางครั้งอาจย่อว่า ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0.}$

การวิเคราะห์เชิงซ้อนแสดงให้เห็นคุณลักษณะบางอย่างที่ไม่ปรากฏในการวิเคราะห์เชิงจริง ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทเอกลักษณ์กล่าวว่าฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกสองฟังก์ชันfและgสอดคล้องกันหากพวกมันสอดคล้องกันบนเซตย่อยเปิด ขนาดเล็กใดๆ ของฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกซึ่งเป็นฟังก์ชันที่สามารถเขียนได้ในระดับท้องถิ่นเป็นf ( z )/( z − z0 ₎ nโดยมีฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกf ยังคงมีคุณสมบัติบางอย่างร่วมกับฟังก์ชันโฮ ^โลมอร์ฟิก ฟังก์ชันอื่นๆ มีจุดเอกฐานที่สำคัญเช่นsin(1/ z )ที่z = 0 ${\displaystyle \mathbb {C} }$

จำนวนเชิงซ้อนมีการประยุกต์ใช้ในสาขาวิทยาศาสตร์หลายแขนง รวมถึงการประมวลสัญญาณทฤษฎีการควบคุมแม่เหล็กไฟฟ้า พลศาสตร์ของไหลกลศาสตร์ควอนตัมการทำแผนที่และการวิเคราะห์การสั่นสะเทือนตัวอย่างการประยุกต์ใช้บางส่วนมีอธิบายไว้ด้านล่าง

การสังยุคเชิงซ้อนยังถูกนำไปใช้ในเรขาคณิตผกผันซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของเรขาคณิตที่ศึกษาการสะท้อนที่ทั่วไปกว่าการสะท้อนรอบเส้นตรง ในการวิเคราะห์วงจรไฟฟ้าการสังยุคเชิงซ้อนถูกใช้ในการหาอิมพีแดนซ์สมมูลเมื่อต้องการค้นหา ทฤษฎีการถ่ายโอนกำลังสูงสุด

จุดสาม จุด ที่ไม่เรียงกันในระนาบจะกำหนดรูปร่างของสามเหลี่ยมการระบุตำแหน่งของจุดในระนาบเชิงซ้อน รูปร่างของสามเหลี่ยมนี้สามารถแสดงได้ด้วยเลขคณิตเชิงซ้อน รูปร่างของสามเหลี่ยมจะยังคงเหมือนเดิมเมื่อระนาบเชิงซ้อนถูกแปลงโดยการเลื่อนหรือการขยาย (โดยการแปลงเชิงเส้น ) ซึ่งสอดคล้องกับแนวคิดเชิงสัญชาตญาณของรูปร่างและอธิบายความคล้ายคลึงกันดังนั้นสามเหลี่ยมแต่ละรูปจึงอยู่ในชั้นความคล้ายคลึงกันของสามเหลี่ยมที่มีรูปร่างเดียวกัน^{[ 70 ]}${\displaystyle u,v,w}$${\displaystyle \{u,v,w\}}$$${\displaystyle S(u,v,w)={\frac {u-w}{u-v}}.}$$${\displaystyle S}$${\displaystyle \{u,v,w\}}$

เซตแมนเดลบร็อตเป็นตัวอย่างยอดนิยมของแฟร็กทัลที่เกิดขึ้นบนระนาบเชิงซ้อน โดยนิยามจากพล็อตตำแหน่งทุกตำแหน่งที่การวนซ้ำลำดับไม่ ทำให้เกิดการล divergenceเมื่อวนซ้ำไปเรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด ในทำนองเดียวกันเซตจูเลียก็มีกฎเดียวกัน ยกเว้นในกรณีที่มีค่าคงที่ ${\displaystyle c}$${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c}$${\displaystyle c}$

สามเหลี่ยมทุกรูปมีวงรีสไตเนอร์ ที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งเป็นวงรีที่อยู่ภายในสามเหลี่ยมและสัมผัสกับจุดกึ่งกลางของด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมจุดโฟกัสของวงรีสไตเนอร์ของสามเหลี่ยมสามารถหาได้ดังต่อไปนี้ ตามทฤษฎีบทของมาร์เดน : ^{[ 71 ] [ 72 ]}กำหนดให้จุดยอดของสามเหลี่ยมในระนาบเชิงซ้อนเป็นa = x _A + y _A i , b = x _B + y _B i , และc = x _C + y _C iเขียนสมการกำลังสาม หาอนุพันธ์ และกำหนดให้อนุพันธ์ (กำลังสอง) เท่ากับศูนย์ ทฤษฎีบทของมาร์เดนกล่าวว่าคำตอบของสมการนี้คือจำนวนเชิงซ้อนที่แสดงตำแหน่งของจุดโฟกัสทั้งสองของวงรีสไตเนอร์ ${\displaystyle (x-a)(x-b)(x-c)=0}$

ดังที่กล่าวมาข้างต้น สมการพหุนามที่ไม่คงที่ใดๆ (ในสัมประสิทธิ์เชิงซ้อน) จะมีคำตอบอยู่ในยิ่งไปกว่านั้นหากสมการมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนตรรกยะ คำตอบก็จะเป็นเช่นเดียวกัน รากของสมการดังกล่าวเรียกว่าจำนวนพีชคณิตซึ่งเป็นหัวข้อหลักในการศึกษาทฤษฎีจำนวนพีชคณิตเมื่อเปรียบเทียบกับส่วนปิดพีชคณิตของซึ่งประกอบด้วยจำนวนพีชคณิตทั้งหมดมีข้อดีคือเข้าใจได้ง่ายในเชิงเรขาคณิต ด้วยวิธีนี้ วิธีการทางพีชคณิตสามารถนำมาใช้ศึกษาคำถามทางเรขาคณิต และในทางกลับกัน ด้วยวิธีการทางพีชคณิต โดยเฉพาะอย่างยิ่งการประยุกต์ใช้กลไกของทฤษฎีฟิลด์กับฟิลด์จำนวนที่มีรากของเอกภาพจะสามารถแสดงให้เห็นได้ว่าไม่สามารถสร้างรูปเก้าเหลี่ยม ปกติได้ โดยใช้เพียงวงเวียนและไม้บรรทัดซึ่งเป็นปัญหาทางเรขาคณิตล้วนๆ ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

อีกตัวอย่างหนึ่งคือจำนวนเต็มเกาส์เซียนนั่นคือจำนวนในรูปแบบx² + iy²โดยที่xและyเป็นจำนวนเต็ม ซึ่งสามารถใช้ในการจำแนกประเภทผลรวมของกำลังสองได้

ทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์ศึกษาจำนวน ซึ่งมักจะเป็นจำนวนเต็มหรือจำนวนตรรกยะ โดยใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่าจำนวนเหล่านั้นสามารถมองได้ว่าเป็นจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งสามารถใช้วิธีการวิเคราะห์ได้ โดยการเข้ารหัสข้อมูลทางทฤษฎีจำนวนลงในฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ζ( s )เกี่ยวข้องกับการกระจายของจำนวน เฉพาะ

ในสาขาประยุกต์ จำนวนเชิงซ้อนมักถูกใช้ในการคำนวณอินทิกรัลไม่เหมาะสมที่ มีค่าเป็นจำนวนจริงบางประเภท โดยใช้ฟังก์ชันที่มีค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อน มีหลายวิธีในการทำเช่นนี้ ดูวิธีการอินทิกรัลตามเส้นโค้งได้ที่ นี่

ในสมการเชิงอนุพันธ์มักจะต้องหาค่ารากเชิงซ้อนr ทั้งหมด ของสมการลักษณะเฉพาะของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นหรือระบบสมการก่อน แล้วจึงพยายามแก้ระบบสมการในรูปของฟังก์ชันพื้นฐานในรูปแบบf ( t ) = e ^( ^rt ) เช่นเดียวกัน ในสมการเชิงผลต่าง จะใช้ ค่ารากเชิงซ้อนr ของสมการลักษณะ ^{เฉพาะ} ของระบบสมการเชิงผลต่าง เพื่อพยายามแก้ระบบสม การ ในรูปของฟังก์ชันพื้นฐานในรูปแบบf ( t ) = rt

เนื่องจาก เมทริกซ์ เป็นเมทริกซ์ปิดเชิง พีชคณิต เมทริกซ์จัตุรัสเชิงซ้อนที่ไม่ว่างเปล่าใดๆ จึง มี ค่าไอเกนอย่างน้อยหนึ่งค่า (เชิงซ้อน) ในทางตรงกันข้าม เมทริกซ์จริงไม่จำเป็นต้องมีค่าไอเกนเป็นจำนวนจริงเสมอไป ตัวอย่างเช่นเมทริกซ์การหมุน (สำหรับการหมุนระนาบด้วยมุมที่ไม่ใช่ 0° หรือ 180°) จะไม่กำหนดทิศทางใดๆ ไว้ ดังนั้นจึงไม่มี ค่าไอเกนเป็น จำนวนจริงการมีอยู่ของค่าไอเกน (เชิงซ้อน) และการแยกส่วนประกอบไอเกน ที่ตามมา เป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์สำหรับการคำนวณกำลังของเมทริกซ์และเลขชี้กำลัง ของ เมทริกซ์${\displaystyle \mathbb {C} }$

จำนวนเชิงซ้อนมักเป็นการขยายแนวคิดที่คิดค้นขึ้นในจำนวนจริง ตัวอย่างเช่น เมทริก ซ์สัง ยุค และเมทริกซ์ สลับตำแหน่ง เป็นการขยาย แนวคิดของ เมทริกซ์ สลับตำแหน่ง เมทริกซ์เฮอร์ มิเชีย น เป็นการขยายแนวคิด ของเมทริกซ์สมมาตรและเมทริกซ์เอกภาพเป็นการ ขยายแนวคิด ของเมทริกซ์ตั้งฉาก

ในทฤษฎีการควบคุมระบบมักถูกแปลงจากโดเมนเวลาไปสู่โดเมนความถี่ เชิงซ้อน โดยใช้การแปลงลาปลาสจากนั้นจึงวิเคราะห์ศูนย์และขั้วของระบบ ใน ระนาบเชิงซ้อน เทคนิคการหา ตำแหน่งรากแผนภาพไนควิสต์และแผนภาพนิโคลส์ล้วนใช้ระนาบเชิงซ้อนทั้งสิ้น

ในวิธีการหาตำแหน่งราก (root locus method) สิ่งสำคัญคือว่าศูนย์และขั้วอยู่ในระนาบครึ่งซ้ายหรือครึ่งขวา กล่าวคือ มีส่วนจริงมากกว่าหรือน้อยกว่าศูนย์ หากระบบเชิงเส้นคงที่ตามเวลา (LTI) มีขั้วที่เป็น

• หากอยู่ในระนาบครึ่งขวา จะไม่เสถียร
• ถ้าทุกอย่างอยู่ในระนาบครึ่งซีกซ้าย มัน ก็จะเสถียร
• บนแกนสมมติ มันจะมีเสถียรภาพแบบจำกัด

หากระบบมีศูนย์อยู่ในระนาบครึ่งขวา ระบบนั้นจะเป็นระบบ เฟสไม่ต่ำสุด

จำนวนเชิงซ้อนถูกนำมาใช้ในการวิเคราะห์สัญญาณและสาขาอื่นๆ เพื่ออธิบายสัญญาณที่เปลี่ยนแปลงเป็นคาบได้อย่างสะดวก สำหรับฟังก์ชันจริงที่แสดงถึงปริมาณทางกายภาพจริง ซึ่งมักอยู่ในรูปของไซน์และโคไซน์ จะมีการพิจารณาฟังก์ชันเชิงซ้อนที่สอดคล้องกัน โดยที่ส่วนจริงของฟังก์ชันเชิงซ้อนจะเป็นปริมาณดั้งเดิม สำหรับคลื่นไซน์ที่มีความถี่ที่กำหนดค่าสัมบูรณ์ | z | ของzที่สอดคล้องกันคือแอมพลิจูด และอาร์กิวเมนต์argzคือเฟส

หาก ใช้ การวิเคราะห์ฟูริเยร์เพื่อเขียนสัญญาณค่าจริงที่กำหนดให้เป็นผลรวมของฟังก์ชันคาบ ฟังก์ชันคาบเหล่านี้มักจะเขียนเป็นฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนในรูปแบบ

$${\displaystyle x(t)=\operatorname {Re} \{X(t)\}}$$

และ

$${\displaystyle X(t)=Ae^{i\omega t}=ae^{i\phi }e^{i\omega t}=ae^{i(\omega t+\phi )}}$$

โดยที่ ω แทนความถี่เชิงมุมและจำนวนเชิงซ้อนAแทนเฟสและแอมพลิจูด ดังที่ได้อธิบายไว้ข้างต้น

การใช้งานนี้ยังขยายไปสู่การประมวลผลสัญญาณดิจิทัลและการประมวลผลภาพดิจิทัล ซึ่งใช้การวิเคราะห์ฟูริเยร์ (และการวิเคราะห์ เวฟเล็ต ) ในรูปแบบดิจิทัลเพื่อส่งบีบอัด กู้คืน และประมวลผล สัญญาณ เสียงดิจิทัล ภาพนิ่ง และสัญญาณ วิดีโอ ในรูปแบบอื่นๆ

อีกตัวอย่างหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับแถบความถี่สองแถบด้านข้างของการมอดูเลชั่นแอมพลิจูดของวิทยุ AM คือ:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cos((\omega +\alpha )t)+\cos \left((\omega -\alpha )t\right)&=\operatorname {Re} \left(e^{i(\omega +\alpha )t}+e^{i(\omega -\alpha )t}\right)\\&=\operatorname {Re} \left(\left(e^{i\alpha t}+e^{-i\alpha t}\right)\cdot e^{i\omega t}\right)\\&=\operatorname {Re} \left(2\cos(\alpha t)\cdot e^{i\omega t}\right)\\&=2\cos(\alpha t)\cdot \operatorname {Re} \left(e^{i\omega t}\right)\\&=2\cos(\alpha t)\cdot \cos \left(\omega t\right).\end{aligned}}}$$

ในวิศวกรรมไฟฟ้าการแปลงฟูริเยร์ถูกนำมาใช้ในการวิเคราะห์กระแสไฟฟ้าและแรงดันไฟฟ้า ที่เปลี่ยนแปลงไป จากนั้นจึงสามารถรวม วิธีการจัดการกับตัวต้านทานตัวเก็บประจุและตัวเหนี่ยวนำเข้าด้วยกันได้โดยการแนะนำค่าความต้านทานเชิงจินตนาการที่ขึ้นอยู่กับความถี่สำหรับสองตัวหลัง และรวมทั้งสามอย่างเข้าด้วยกันในจำนวนเชิงซ้อนเดียวที่เรียกว่าอิมพีแดนซ์วิธีการนี้เรียกว่าแคลคูลัส เฟเซอร์

ในวิศวกรรมไฟฟ้า หน่วยจินตภาพจะใช้สัญลักษณ์jเพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนกับIซึ่งโดยทั่วไปใช้เพื่อแสดงกระแสไฟฟ้า หรือโดยเฉพาะอย่างยิ่งiซึ่งโดยทั่วไปใช้เพื่อแสดงกระแสไฟฟ้าขณะใดขณะหนึ่ง

เนื่องจากแรงดันไฟฟ้าในวงจรไฟฟ้ากระแสสลับมีการแกว่ง จึงสามารถแสดงได้ดังนี้

$${\displaystyle V(t)=V_{0}e^{j\omega t}=V_{0}\left(\cos \omega t+j\sin \omega t\right),}$$

เพื่อให้ได้ปริมาณที่วัดได้ จะต้องนำส่วนจริงมาใช้:

$${\displaystyle v(t)=\operatorname {Re} (V)=\operatorname {Re} \left[V_{0}e^{j\omega t}\right]=V_{0}\cos \omega t.}$$

สัญญาณค่าเชิงซ้อนV ( t )เรียกว่า การ ^แสดงเชิงวิเคราะห์ของสัญญาณค่าจริงที่วัดได้v ( t ) [ ^{73 ]}

ในพลศาสตร์ของไหลฟังก์ชันเชิงซ้อนถูกนำมาใช้เพื่ออธิบายการไหลแบบศักย์ในสองมิติ

ฟิลด์จำนวนเชิงซ้อนเป็นส่วนสำคัญของการกำหนดสูตรทางคณิตศาสตร์ของกลศาสตร์ควอนตัมโดยที่ปริภูมิฮิลเบิร์ต เชิงซ้อน เป็นบริบทสำหรับการกำหนดสูตรดังกล่าวซึ่งสะดวกและอาจเป็นมาตรฐานที่สุด สูตรพื้นฐานดั้งเดิมของกลศาสตร์ควอนตัม ได้แก่สมการชโรดิงเกอร์และกลศาสตร์เมทริกซ์ ของไฮเซนเบิร์ก ใช้จำนวนเชิงซ้อน^{[ 74 ]}

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษและทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปสูตรบางอย่างสำหรับเมตริกบนปริภูมิเวลาจะง่ายขึ้นหากถือว่าส่วนประกอบเวลาของปริภูมิเวลาต่อเนื่องเป็นจำนวนจินตนาการ (แนวทางนี้ไม่ได้เป็นมาตรฐานในทฤษฎีสัมพัทธภาพแบบคลาสสิกอีกต่อไป แต่ถูกนำมาใช้ในลักษณะสำคัญในทฤษฎีสนามควอนตัม ) จำนวนเชิงซ้อนมีความสำคัญต่อสปินเนอร์ซึ่งเป็นการวางนัยทั่วไปของเทนเซอร์ที่ใช้ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ^{[ 75 ]}

ฟิลด์นี้มีคุณสมบัติสามประการดังต่อไปนี้: ${\displaystyle \mathbb {C} }$

• ประการแรก มันมีลักษณะเฉพาะคือ 0 ซึ่งหมายความว่า1 + 1 + ⋯ + 1 ≠ 0สำหรับจำนวนพจน์ใดๆ (ซึ่งทั้งหมดเท่ากับหนึ่ง)
• ประการที่สองระดับการก้าวข้ามเหนือฟิลด์หลักของคือจำนวนสมาชิกของคอนติเนียม${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$
• ประการที่สาม มันเป็นโครงสร้างปิดเชิงพีชคณิต (ดูด้านบน)

สามารถแสดงได้ว่าฟิลด์ใดๆ ที่มีคุณสมบัติเหล่านี้จะมีความสัมพันธ์แบบไอโซมอร์ฟิก (ในฐานะฟิลด์) กับตัวอย่างเช่นการปิดเชิงพีชคณิตของฟิลด์ของจำนวนp -adic ก็มีคุณสมบัติทั้งสามประการนี้เช่นกัน ดังนั้นฟิลด์ทั้งสองนี้จึงมีความสัมพันธ์แบบไอโซมอร์ฟิก (ในฐานะฟิลด์ แต่ไม่ใช่ในฐานะฟิลด์เชิงโทโพโลยี) ^{[ 76 ]}นอกจากนี้ ยังมีความสัมพันธ์แบบไอโซมอร์ฟิกกับฟิลด์ของอนุกรม Puiseux เชิงซ้อน อย่างไรก็ตาม การระบุความสัมพันธ์แบบไอโซมอร์ฟิกต้องใช้สัจพจน์ของการเลือก ผลที่ตามมาอีกประการหนึ่งของลักษณะเฉพาะเชิงพีชคณิตนี้คือมีฟิลด์ย่อยที่เหมาะสมจำนวนมากที่มีความสัมพันธ์แบบไอโซมอร์ฟิกกับ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

ลักษณะที่กล่าวมาข้างต้นอธิบายเฉพาะแง่มุมทางพีชคณิตของ เท่านั้น กล่าวคือ คุณสมบัติของความใกล้เคียงและความต่อเนื่องซึ่งมีความสำคัญในสาขาต่างๆ เช่นการวิเคราะห์และโทโพโลยีไม่ได้ถูกกล่าวถึง คำอธิบายต่อไปนี้ของในฐานะฟิลด์โทโพโลยี (นั่นคือ ฟิลด์ที่มีโทโพโลยีซึ่งอนุญาตให้มีแนวคิดเรื่องการล convergence) จะคำนึงถึงคุณสมบัติทางโทโพโลยีด้วยประกอบด้วยเซตย่อยP (กล่าวคือ เซตของจำนวนจริงบวก) ของสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งตรงตามเงื่อนไขสามข้อต่อไปนี้: ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} .}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

• Pมีคุณสมบัติปิดภายใต้การบวก การคูณ และการหาตัวผกผัน
• ถ้าxและyเป็นสมาชิกที่แตกต่างกันของP แล้ว x − y หรือ y − x จะอยู่ในP
• ถ้าSเป็นเซตย่อยที่ไม่ว่างของPแล้วS + P = x + Pสำหรับx บางตัว ใน${\displaystyle \mathbb {C} .}$

นอกจากนี้ ยังมีออโตมอร์ฟิซึมผกผัน ที่ไม่ธรรมดา x ↦ x * (กล่าวคือ การสังยุคเชิงซ้อน) โดยที่x x *อยู่ในPสำหรับx ใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์ ใน${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} .}$

ฟิลด์F ใดๆ ที่มีคุณสมบัติเหล่านี้ สามารถกำหนดโทโพโลยีได้โดยการใช้เซตB ( x , p ) = { y | p − ( y − x )( y − x )* ∈ P }เป็นฐานโดยที่xครอบคลุมฟิลด์ และpครอบคลุมPด้วยโทโพโลยีนี้Fจะเป็นไอโซมอร์ฟิกในฐานะ ฟิลด์ โทโพโลยีกับ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

ฟิลด์โทโพโลยีที่เชื่อมต่อกันแบบกระชับ เฉพาะที่เท่านั้นคือและสิ่งนี้ทำให้เกิดลักษณะเฉพาะอีกอย่างหนึ่งของเป็นฟิลด์โทโพโลยี เนื่องจากสามารถแยกแยะ ออกจาก ได้เพราะจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็น ศูนย์นั้น เชื่อมต่อกันในขณะที่จำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์นั้นไม่เชื่อม ต่อกัน ^{[ 77 ]}${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} .}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

ระบบตัวเลข

	จำนวนตรรกยะ${\displaystyle \mathbb {Q} }$	ตัวเลขจริง${\displaystyle \mathbb {R} }$	จำนวนเชิงซ้อน${\displaystyle \mathbb {C} }$	ควอเทอร์เนียน${\displaystyle \mathbb {H} }$	อ็อกโทเนียน${\displaystyle \mathbb {O} }$	การประชุม${\displaystyle \mathbb {S} }$
สมบูรณ์	เลขที่	ใช่	ใช่	ใช่	ใช่	ใช่
มิติในฐานะปริภูมิเวกเตอร์ ${\displaystyle \mathbb {R} }$	[ไม่เกี่ยวข้อง]	1	2	4	8	16
สั่งซื้อ	ใช่	ใช่	เลขที่	เลขที่	เลขที่	เลขที่
การคูณสลับที่ได้( )${\displaystyle xy=yx}$	ใช่	ใช่	ใช่	เลขที่	เลขที่	เลขที่
การคูณแบบสลับที่ได้( )${\displaystyle (xy)z=x(yz)}$	ใช่	ใช่	ใช่	ใช่	เลขที่	เลขที่
พีชคณิตการหารแบบมีบรรทัดฐาน(เหนือ)${\displaystyle \mathbb {R} }$	[ไม่เกี่ยวข้อง]	ใช่	ใช่	ใช่	ใช่	เลขที่

กระบวนการขยายขอบเขตของจำนวนจริงไปเป็นตัวอย่างหนึ่งของการสร้าง Cayley–Dicksonการนำการสร้างนี้ไปใช้ซ้ำๆ จะทำให้ได้ควอเทอร์เนียนอ็อกโทเนียน^{[ 78 ]}เซเดเนียนและไตรจินทาดูโอเนียนการสร้างนี้กลับกลายเป็นการลดคุณสมบัติเชิงโครงสร้างของระบบจำนวนที่เกี่ยวข้อง ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

ต่างจากจำนวนจริงไม่ใช่ฟิลด์ที่มีลำดับกล่าวคือ ไม่สามารถกำหนดความสัมพันธ์z ₁ < z ₂ที่เข้ากันได้กับการบวกและการคูณได้ ในความเป็นจริง ในฟิลด์ที่มีลำดับใดๆ กำลังสองขององค์ประกอบใดๆ จะต้องเป็นบวกเสมอ ดังนั้นi ² = −1จึงขัดขวางการมีอยู่ของลำดับบน^{[ 79 ]}การเปลี่ยนจาก ไปยัง ควอเทอร์เนียน ทำให้สูญเสียคุณสมบัติการสลับที่ ในขณะที่อ็อกโทเนียน (นอกเหนือจากที่ไม่สลับที่แล้ว) ยังไม่มีคุณสมบัติการเชื่อมโยง จำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน ควอเทอร์เนียน และอ็อกโทเนียน ล้วนเป็นพีชคณิตการหารแบบมีบรรทัดฐานเหนือตามทฤษฎีบทของฮูร์วิตซ์พวกมันเป็นเพียงตัวเดียวเท่านั้นเซเดเนียนซึ่งเป็นขั้นตอนต่อไปในการสร้างของเคย์ลีย์-ดิกสัน ไม่มีโครงสร้างนี้ ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} .}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

การสร้างแบบ Cayley–Dickson มีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับการแสดงแทนแบบปกติของซึ่งคิดว่าเป็นพีชคณิต - ( ปริภูมิเวกเตอร์ - ที่มีการคูณ) โดยสัมพันธ์กับฐาน(1, i )นั่นหมายความว่าแผนที่เชิงเส้น - สำหรับจำนวนเชิงซ้อนw ที่กำหนดไว้ สามารถแสดงได้ด้วย เมทริกซ์ 2 × 2 (เมื่อเลือกฐานแล้ว) โดยสัมพันธ์กับฐาน(1, i )เมทริกซ์นี้คือ นั่นคือ เมทริกซ์ที่กล่าวถึงในส่วนเกี่ยวกับการแสดงแทนเมทริกซ์ของจำนวนเชิงซ้อนข้างต้น แม้ว่านี่จะเป็นการแสดงแทนเชิงเส้นของ ในเมทริกซ์จริง 2 × 2 แต่มันก็ไม่ใช่การ ^แสดงแทนเดียว เมทริกซ์ใดๆ ก็ มีคุณสมบัติว่ากำลังสองของมันคือค่าลบของเมทริกซ์เอกลักษณ์: J² = −I ดังนั้นจึง เป็นไอโซมอร์ฟิกกับฟิลด์และให้โครงสร้างเชิงซ้อนทางเลือกบนสิ่งนี้ได้รับการขยายความโดยแนวคิดของโครงสร้างเชิงซ้อนเชิงเส้น ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {C} &\rightarrow \mathbb {C} \\z&\mapsto wz\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}\operatorname {Re} (w)&-\operatorname {Im} (w)\\\operatorname {Im} (w)&\operatorname {Re} (w)\end{pmatrix}},}$$${\displaystyle \mathbb {C} }$$${\displaystyle J={\begin{pmatrix}p&q\\r&-p\end{pmatrix}},\quad p^{2}+qr+1=0}$$$${\displaystyle \{z=aI+bJ:a,b\in \mathbb {R} \}}$$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

จำนวนไฮเปอร์คอมเพล็กซ์ยังเป็นการขยายแนวคิดทั่วไปอีกด้วยตัวอย่างเช่น แนวคิดนี้ประกอบด้วยจำนวนสปลิตคอมเพล็กซ์ซึ่งเป็นสมาชิกของริง(ตรงข้ามกับจำนวนเชิงซ้อน) ในริงนี้ สมการa² = 1 ^มีสี่คำตอบ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \mathbb {H} ,}$${\displaystyle \mathbb {O} .}$${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}-1)}$${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)}$

ฟิลด์นี้คือส่วนเติมเต็มของฟิลด์จำนวนตรรกยะโดยสัมพันธ์กับเมตริกค่าสัมบูรณ์ ตามปกติ การเลือกเมตริก อื่นๆ บน ฟิลด์นี้ จะนำไปสู่ฟิลด์จำนวนp -adic (สำหรับจำนวนเฉพาะp ใดๆ ) ซึ่งจึงคล้ายคลึงกับฟิลด์นี้ไม่มีวิธีอื่นใดในการเติมเต็มฟิลด์นี้นอกเหนือจากและตามทฤษฎีบทของ Ostrowskiส่วนปิดเชิงพีชคณิตของ ฟิลด์นี้ ยังคงมีบรรทัดฐาน แต่ (ต่างจากฟิลด์นี้) ไม่สมบูรณ์เมื่อเทียบกับบรรทัดฐานนั้น ส่วนเติมเต็มของฟิลด์นี้กลับกลายเป็นส่วนปิดเชิงพีชคณิต โดยการเปรียบเทียบ ฟิลด์นี้จึงเรียกว่าจำนวนเชิงซ้อน p -adic${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p},}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}}}$

ฟิลด์และส่วนขยายฟิลด์จำกัดของฟิลด์เหล่านั้น รวมถึง ฟิลด์เฉพาะที่ เรียกว่าฟิลด์เฉพาะที่ (local fields ) ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p},}$${\displaystyle \mathbb {C} ,}$

วิกิมีเดียคอมมอน ส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเชิงซ้อน

Wikiversity มีแหล่งข้อมูลการเรียนรู้เกี่ยวกับจำนวนเชิงซ้อน

เว็บไซต์ Wikibooks มีหนังสือเกี่ยวกับหัวข้อ: แคลคูลัส/จำนวนเชิงซ้อน

Wikisourceมีข้อความจาก บทความ ในสารานุกรมบริแทนนิกาปี 1911เรื่อง " จำนวน/จำนวนเชิงซ้อน "

• การวิเคราะห์ต่อเนื่อง
• การเคลื่อนที่แบบวงกลมโดยใช้จำนวนเชิงซ้อน
• ระบบฐานเชิงซ้อน
• พื้นที่พิกัดเชิงซ้อน
• เรขาคณิตที่ซับซ้อน
• เรขาคณิตของจำนวน
• เลขเชิงซ้อนคู่
• จำนวนเต็มไอเซนสไตน์
• พีชคณิตเชิงเรขาคณิต (ซึ่งรวมถึงระนาบเชิงซ้อนใน ฐานะปริภูมิย่อยสปินเนอร์ 2 มิติ)${\displaystyle {\mathcal {G}}_{2}^{+}}$