ในทางคณิตศาสตร์จำนวนเต็มไอเซนสไตน์ (ตั้งชื่อตามก็อตโธลด์ ไอเซนสไตน์ ) ซึ่งบางครั้งเรียกว่าจำนวนเต็มออยเลอร์^{[ 1 ]} (ตั้งชื่อตามเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ) เป็นจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบ

${\displaystyle z=a+b\omega ,}$

โดยที่aและbเป็นจำนวนเต็มและ

${\displaystyle \omega ={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}=e^{i2\pi /3}}$

เป็น ราก ที่ สามของเอกภาพแบบดั้งเดิม (ดังนั้นจึงไม่ใช่จำนวนจริง)

จำนวนเต็มไอเซนสไตน์ก่อตัวเป็นโครงข่ายสามเหลี่ยมในระนาบเชิงซ้อนซึ่งแตกต่างจากจำนวนเต็มเกาส์เซียนที่ก่อตัวเป็นโครงข่ายสี่เหลี่ยมในระนาบเชิงซ้อน จำนวนเต็มไอเซนสไตน์เป็นเซตอนันต์ที่นับได้

จำนวนเต็มไอเซนสไตน์ก่อตัวเป็นวงแหวนสลับที่Z [ ω ]ของจำนวนเต็มพีชคณิตในฟิลด์จำนวนพีชคณิตQ ( ω ) – ฟิลด์ไซโคลโทมิก ที่สาม เพื่อให้เห็นว่าจำนวนเต็มไอเซนสไตน์เป็นจำนวนเต็มพีชคณิต ให้สังเกตว่าแต่ละz = a + bωเป็นรากของพหุนามเอกลักษณ์

${\displaystyle z^{2}-(2a-b)\;\!z+\left(a^{2}-ab+b^{2}\right)~.}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งωสอดคล้องกับสมการ

${\displaystyle \omega ^{2}+\omega +1=0~.}$

ผลคูณของจำนวนเต็มไอเซนสไตน์สองจำนวนa + bωและc + dωถูกกำหนดอย่างชัดเจนโดย

${\displaystyle (a+b\;\!\omega )\;\!(c+d\;\!\omega )=(ac-bd)+(bc+ad-bd)\;\!\omega ~.}$

นอร์ม 2 ของจำนวนเต็มไอเซนสไตน์คือค่าสัมบูรณ์ยกกำลังสอง ของมัน และกำหนดโดย

${\displaystyle {\left|a+b\;\!\omega \right|}^{2}\,=\,{(a-{\tfrac {1}{2}}b)}^{2}+{\tfrac {3}{4}}b^{2}\,=\,a^{2}-ab+b^{2}~,}$

ซึ่งเห็นได้ชัดว่าเป็นจำนวนเต็มบวกธรรมดา (ตรรกยะ)

นอกจากนี้ ค่าสังยุคเชิงซ้อนของωยังสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้

${\displaystyle {\bar {\omega }}=\omega ^{2}~.}$

กลุ่มของหน่วยในวงแหวนนี้คือกลุ่มวัฏจักรที่เกิดจากรากที่หกของเอกภาพในระนาบเชิงซ้อน: {±1, ± ω , ± ω ² } ซึ่ง เป็น จำนวนเต็มไอเซนสไตน์ที่มีบรรทัดฐาน  1

วงแหวนของจำนวนเต็มไอเซนสไตน์ก่อให้เกิดโดเมนแบบยุคลิดซึ่งมีนอร์มNกำหนดโดยค่าสัมบูรณ์กำลังสอง ดังที่กล่าวมาข้างต้น:

${\displaystyle N(a+b\,\omega )=a^{2}-ab+b^{2}.}$

อัลกอริทึมการหารเมื่อนำไปใช้กับตัวตั้งหารα ใดๆ และตัวหารβ ≠ 0จะให้ผลหารκและเศษเหลือρที่เล็กกว่าตัวหาร โดยเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

${\displaystyle \alpha =\kappa \beta +\rho \ \ {\text{ with }}\ \ N(\rho )<N(\beta ).}$

ในที่นี้α , β , κ , ρล้วนเป็นจำนวนเต็มไอเซนสไตน์ อัลกอริทึมนี้ชี้ให้เห็นถึงอัลกอริทึมยูคลิดซึ่งพิสูจน์ทฤษฎีบทของยูคลิดและการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันของจำนวนเต็มไอเซนสไตน์เป็นจำนวนเฉพาะไอเซนสไตน์

อัลกอริทึมการหารวิธีหนึ่งมีดังนี้ ขั้นแรกให้ทำการหารในฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อน แล้วเขียนผลหารในรูปของω :

${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}\ =\ {\tfrac {1}{\ |\beta |^{2}}}\alpha {\overline {\beta }}\ =\ a+bi\ =\ a+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}b+{\tfrac {2}{\sqrt {3}}}b\omega ,}$

สำหรับจำนวนตรรกยะa , b ∈ Qจากนั้นให้หาผลหารจำนวนเต็มของไอเซนสไตน์โดยการปัดเศษสัมประสิทธิ์ตรรกยะให้เป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ที่สุด:

${\displaystyle \kappa =\left\lfloor a+{\tfrac {1}{\sqrt {3}}}b\right\rceil +\left\lfloor {\tfrac {2}{\sqrt {3}}}b\right\rceil \omega \ \ {\text{ และ }}\ \ \rho ={\alpha }-\kappa \beta .}$

ในที่นี้ อาจหมายถึงฟังก์ชัน การปัดเศษเป็นจำนวนเต็ม มาตรฐานใดๆ ก็ได้${\displaystyle \lfloor x\rceil }$

เหตุผลที่วิธีนี้สอดคล้องกับN ( ρ ) < N ( β )ในขณะที่วิธีที่คล้ายกันนี้ใช้ไม่ได้กับวงแหวนจำนวนเต็มกำลังสองอื่นๆ ส่วนใหญ่มีดังนี้โดเมนพื้นฐานสำหรับไอเดียล Z [ ω ] β = Zβ + Zωβซึ่งกระทำโดยการเลื่อนบนระนาบเชิงซ้อน คือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน 60°–120° ที่มีจุดยอด0 , β , ωβ , β + ωβจำนวนเต็ม Eisenstein α ใดๆ จะอยู่ภายในการเลื่อนของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน นี้ และผลหารκคือจุดยอดจุดหนึ่ง ส่วนที่เหลือคือระยะทางกำลังสองจากαไปยังจุดยอดนี้ แต่ระยะทางสูงสุดที่เป็นไปได้ในอัลกอริทึมของเรามีเพียงดังนั้น(ขนาดของρอาจลดลงเล็กน้อยโดยการเลือกκเป็นมุมที่ใกล้ที่สุด) ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}|\beta |}$${\displaystyle |\rho |\leq {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}|\beta |<|\beta |}$

ถ้าxและyเป็นจำนวนเต็มไอเซนสไตน์ เรากล่าวว่าx หาร yลงตัวถ้ามีจำนวนเต็มไอเซนสไตน์z บางตัว ที่ทำให้y = zxจำนวนเต็มไอเซนสไตน์xที่ไม่ใช่หน่วย เรียกว่าเป็นจำนวนเฉพาะไอเซนสไตน์ ถ้าตัวหารที่ไม่ใช่หน่วยเพียงอย่างเดียวของมันอยู่ในรูปuxโดยที่uคือหน่วยใดหน่วยหนึ่งในหกหน่วย จำนวนเฉพาะไอเซนสไตน์เหล่านี้เป็นแนวคิดที่สอดคล้องกับจำนวนเฉพาะเกาส์เซียนในจำนวนเต็มเกาส์เซียน

จำนวนเฉพาะของไอเซนสไตน์มีสองประเภท

• จำนวนเฉพาะธรรมดา(หรือจำนวนเฉพาะตรรกยะ ) ที่สมมูลกับ2 mod 3ก็เป็นจำนวนเฉพาะไอเซนสไตน์ด้วย
• 3และจำนวนเฉพาะตรรกยะแต่ละตัวที่สอดคล้องกับ1 mod 3จะเท่ากับค่ามาตรฐานx² ⁻ xy + y²ของจำนวนเต็มไอเซนสไตน์^x + ωyดังนั้นจำนวนเฉพาะดังกล่าวสามารถแยกตัวประกอบได้เป็น( x + ωy )( x + ω²y ) และตัวประกอบเหล่านี้คือจำนวนเฉพาะไอเซนส ไต^น์ : ซึ่งก็คือจำนวนเต็มไอเซนสไตน์ที่มีค่ามาตรฐานเป็นจำนวนเฉพาะตรรกยะนั่นเอง

ในประเภทที่สอง ปัจจัยของ3และเป็นผู้ร่วมงานกันดังนั้นจึงถือว่าเป็นประเภทพิเศษในหนังสือบางเล่ม^{[ 2 ] [ 3 ]}${\displaystyle 1-\omega }$${\displaystyle 1-\omega ^{2}}$${\displaystyle 1-\omega =(-\omega )(1-\omega ^{2})}$

จำนวนเฉพาะไอเซนสไตน์กลุ่มแรกๆ ที่มีรูปแบบ3 n − 1ได้แก่:

2 , 5 , 11 , 17 , 23 , 29 , 41 , 47 , 53 , 59 , 71 , 83 , 89 , 101 , ... (ลำดับA003627ในOEIS )

จำนวนเฉพาะธรรมชาติที่สอดคล้องกับ0หรือ1มอดูล3ไม่ใช่ จำนวนเฉพาะไอเซนสไต น์ : ^{[ 4 ]}พวกมันยอมรับการแยกตัวประกอบที่ไม่ธรรมดาในZ [ ω ]ตัวอย่างเช่น:

3 = −(1 + 2 ω ) ²

7 = (3 + ω )(2 − ω ) .

โดยทั่วไป ถ้าจำนวนเฉพาะธรรมชาติpเป็น1มอดูโล3และสามารถเขียนได้เป็นp = a² − ab + b²แล้ว จำนวนเฉพาะนั้นจะแยกตัวประกอบ^{ได้บน}Z [ ω ]ดังนี้

p = ( a + bω ) (( a − b ) − bω )

จำนวนเฉพาะไอเซนสไตน์ที่ไม่เป็นจริงบางจำนวนได้แก่

2 + ω , 3 + ω , 4 + ω , 5 + 2 ω , 6 + ω , 7 + ω , 7 + 3 ω .

เมื่อพิจารณาถึงการสมมูลกันและตัวคูณหน่วย จำนวนเฉพาะที่ระบุไว้ข้างต้น รวมทั้ง2และ5ล้วนเป็นจำนวนเฉพาะของไอเซนสไตน์ที่มีค่าสัมบูรณ์ ไม่เกิน7

ณ เดือนตุลาคม 2023 จำนวนเฉพาะไอเซนสไตน์จริงที่ใหญ่ที่สุดที่รู้จักคือจำนวนเฉพาะที่รู้จักอันดับที่ 12 คือ10223 × 2 ^31172165 + 1ซึ่งค้นพบโดย Péter Szabolcs และPrimeGrid ^{[ 5 ]}

ผลรวมของส่วนกลับของจำนวนเต็มไอเซนสไตน์ทั้งหมด ยกเว้น0ที่ยกกำลังสี่ คือ0 : ^{[ 6 ]} ดังนั้นจึงเป็นรากของj-invariantโดยทั่วไปก็ต่อเมื่อ^{[ 7 ]}$${\displaystyle \sum _{z\in \mathbf {E} \setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{4}}}=G_{4}\left(e^{\frac {2\pi i}{3}}\right)=0}$$${\displaystyle e^{2\pi i/3}}$${\displaystyle G_{k}\left(e^{\frac {2\pi i}{3}}\right)=0}$${\displaystyle k\not \equiv 0{\pmod {6}}}$

ผลรวมของส่วนกลับของจำนวนเต็มไอเซนสไตน์ทั้งหมด ยกเว้น0ที่ยกกำลังหก สามารถแสดงได้ในรูปของฟังก์ชันแกมมา : โดยที่Eคือจำนวนเต็มไอเซนสไตน์ และG ₆คืออนุกรมไอเซนสไตน์ที่มีน้ำหนัก 6 ^{[ 8 ]}$${\displaystyle \sum _{z\in \mathbf {E} \setminus \{0\}}{\frac {1}{z^{6}}}=G_{6}\left(e^{\frac {2\pi i}{3}}\right)={\frac {\Gamma (1/3)^{18}}{8960\pi ^{6}}}\approx 5.86303}$$

ผลหารของระนาบเชิงซ้อนCโดยแลตทิซที่ประกอบด้วยจำนวนเต็ม Eisenstein ทั้งหมดคือทอรัสเชิงซ้อนที่มีมิติจริง  2ซึ่งเป็นหนึ่งในสองทอรัสที่มีสมมาตร สูงสุด ในบรรดาทอรัสเชิงซ้อนดังกล่าวทั้งหมด^{[ 9 ]}ทอรัสนี้สามารถหาได้โดยการระบุขอบตรงข้ามสามคู่ของรูปหกเหลี่ยมปกติ

ทอรัสที่มีสมมาตรสูงสุดอีกแบบหนึ่งคือผลหารของระนาบเชิงซ้อนด้วยแลตทิซบวกของจำนวนเต็มเกาส์เซียนและสามารถหาได้โดยการระบุคู่ด้านตรงข้ามสองคู่ของโดเมนพื้นฐานรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เช่น [0, 1] × [0, 1]

• จำนวนเต็มเกาส์เซียน
• สนามไซโคลโทมิก
• เรขาคณิตซิสโตลิก
• ค่าคงที่ของเฮอร์ไมต์
• การแลกเปลี่ยนแบบลูกบาศก์
• อสมการทอรัสของโลวเนอร์
• ควอเทอร์เนียนของฮูร์วิตซ์
• จำนวนเต็มกำลังสอง
• ฟังก์ชันวงรีของดิกสัน
• เอควิอันฮาร์โมนิก

• จำนวนเต็มไอเซนสไตน์ -- จาก MathWorld