ในทฤษฎีจำนวนจำนวนเต็มกำลังสองเป็นการขยายความของจำนวนเต็ม ปกติ ไปสู่ฟิลด์กำลังสองจำนวนเชิงซ้อนเรียกว่าจำนวนเต็มกำลังสอง ถ้ามันเป็นรากของพหุนามเอกลักษณ์ ( พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์นำหน้าเป็น 1) ดีกรีสอง ซึ่งสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม กล่าวคือ จำนวนเต็มกำลังสองเป็นจำนวนเต็มพีชคณิตดีกรีสอง ดังนั้น จำนวนเต็มกำลังสองคือจำนวนเชิงซ้อนที่เป็นคำตอบของสมการในรูปแบบ √( ...√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√

x² + bx + ^c = 0

โดยที่bและcเป็นจำนวนเต็ม (ปกติ) เมื่อพิจารณาจำนวนเต็มพีชคณิต จำนวนเต็มปกติมักเรียกว่าจำนวนเต็มตรรกยะ

ตัวอย่างทั่วไปของจำนวนเต็มกำลังสอง ได้แก่รากที่สองของจำนวนเต็มตรรกยะ เช่นและจำนวนเชิงซ้อนซึ่งสร้างจำนวนเต็มเกาส์เซียนอีกตัวอย่างหนึ่งที่พบได้ทั่วไปคือ ราก ที่สามของเอกภาพ ที่ไม่ใช่ จำนวนจริงซึ่งสร้างจำนวนเต็มไอเซนสไตน์ ${\textstyle {\sqrt {2}}}$${\textstyle i={\sqrt {-1}}}$${\textstyle {\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}}$

จำนวนเต็มกำลังสองปรากฏในคำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์ หลายสมการ เช่นสมการของเพลล์และคำถามอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องกับรูปแบบกำลังสอง เชิงปริพันธ์ การศึกษาเกี่ยวกับวงแหวนของจำนวนเต็มกำลังสองเป็นพื้นฐานสำหรับคำถามมากมายในทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต

นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียในยุคกลาง ได้ค้นพบการคูณจำนวนเต็มกำลังสองที่มีค่า ดิสครีมิแนนต์Dเดียวกันซึ่งทำให้พวกเขาสามารถแก้สมการของเพลล์ได้ ในบางกรณี

ลักษณะเฉพาะที่ระบุไว้ใน§ การแสดงจำนวนเต็มกำลังสองอย่างชัดเจนนั้น ได้รับการนำเสนอครั้งแรกโดยRichard Dedekindในปี พ.ศ. 2414 ^{[ 1 ] [ 2 ]}

จำนวนเต็ม กำลัง สองคือจำนวนเต็มพีชคณิตดีกรีสอง กล่าวโดยละเอียดกว่านั้น คือ^{จำนวนเชิงซ้อน}ที่ แก้สมการในรูปแบบx² + bx + c = 0โดยที่bและc เป็น จำนวนเต็ม จำนวนเต็มกำลังสองแต่ละจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนเต็มจะไม่ใช่จำนวนตรรกยะกล่าวคือ เป็นจำนวนอตรรกยะ จริง ถ้าb² − 4c > 0และเป็นจำนวนอจริงถ้า^b² − 4c < 0และอยู่ในฟิลด์กำลังสองที่กำหนดขึ้นอย่างเฉพาะเจาะจงซึ่งเป็น^{ส่วนขยาย}ของฟิลด์ที่สร้างขึ้นโดยรากที่สองของ จำนวนเต็ม D ที่ไม่มี ตัวประกอบกำลังสอง เพียงตัวเดียว ที่สอดคล้องกับb² ⁻ 4c = De² สำหรับจำนวนเต็มe บางตัว ถ้าDเป็นบวก จำนวนเต็มกำลังสองจะเป็นจำนวนจริง ถ้าD < 0มันจะเป็น จำนวน จินตนาการ (นั่นคือ จำนวนเชิงซ้อนและไม่ใช่จำนวนจริง) ${\displaystyle x=(-b\pm {\sqrt {b^{2}-4c}})/2}$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

จำนวนเต็มกำลังสอง (รวมถึงจำนวนเต็มธรรมดา) ที่อยู่ในฟิลด์กำลังสองนั้นก่อให้เกิดโดเมนเชิงปริพันธ์ที่เรียกว่าวงแหวนของจำนวนเต็ม${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,).}$

ถึงแม้ว่าจำนวนเต็มกำลังสองที่อยู่ในฟิลด์กำลังสองที่กำหนดจะก่อตัวเป็นริงแต่เซตของ จำนวนเต็มกำลังสอง ทั้งหมดไม่ใช่ริง เพราะมันไม่ปิดภายใต้การบวกหรือการคูณ ตัวอย่างเช่นและเป็นจำนวนเต็มกำลังสอง แต่และไม่ใช่ เพราะพหุนามขั้นต่ำ ของพวกมัน มีดีกรีสี่ ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})\cdot {\sqrt {3}}}$

ในที่นี้และในส่วนต่อไป จำนวนเต็มกำลังสองที่พิจารณาอยู่ในฟิลด์กำลังสอง โดยที่Dเป็นจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวประกอบกำลังสอง นี่ไม่ได้จำกัดความทั่วไป เนื่องจากความเท่าเทียมกัน(สำหรับจำนวนเต็มบวกใดๆa ) หมายความว่า${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,),}$${\textstyle {\sqrt {a^{2}D}}=a{\sqrt {D}}}$${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)=\mathbb {Q} ({\sqrt {a^{2}D}}\,)}$

สมาชิกxของเป็นจำนวนเต็มกำลังสองก็ต่อเมื่อมีจำนวนเต็มสองจำนวนaและbที่ทำให้เงื่อนไขใดเงื่อนไขหนึ่งต่อไปนี้เป็นจริง ${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$

${\displaystyle x=a+b{\sqrt {D}},}$

หรือถ้าD  − 1เป็นพหุคูณของ4

${\displaystyle x={\frac {a}{2}}+{\frac {b}{2}}{\sqrt {D}},}$โดยที่aและb เป็นเลขคี่ทั้งคู่

กล่าวอีกนัยหนึ่ง จำนวนเต็มกำลังสองทุกจำนวนสามารถเขียนได้เป็นa + ωbโดยที่aและ bเป็นจำนวนเต็ม และωถูกกำหนดโดย

${\displaystyle \omega ={\begin{cases}{\sqrt {D}}&{\mbox{if }}D\equiv 2,3{\pmod {4}}\\{{1+{\sqrt {D}}} \over 2}&{\mbox{if }}D\equiv 1{\pmod {4}}\end{cases}}}$

(เนื่องจากDถือว่าไม่มีกำลังสอง กรณีนี้จึงเป็นไปไม่ได้ เพราะจะหมายความว่าDหารลงตัวด้วยกำลังสอง 4) ^{[ 3 ]}${\textstyle D\equiv 0{\pmod {4}}}$

จำนวนเต็มกำลังสองในอาจเขียนได้ดังนี้ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$

${\textstyle a+b{\sqrt {D}}}$,

โดยที่aและ bเป็นจำนวนเต็มทั้งคู่ หรือ ถ้าD ≡ 1 (mod 4)ทั้งคู่จะเป็นครึ่งของจำนวนคี่ ค่าบรรทัดฐานของจำนวนเต็มกำลังสองดังกล่าวคือ

${\textstyle N(a+b{\sqrt {D}})=a^{2}-Db^{2}.}$

ค่าบรรทัดฐานของจำนวนเต็มกำลังสองจะเป็นจำนวนเต็มเสมอ ถ้าD < 0ค่าบรรทัดฐานของจำนวนเต็มกำลังสองจะเป็นกำลังสองของค่าสัมบูรณ์ในรูปจำนวนเชิงซ้อน (ซึ่งเป็นเท็จถ้า) ค่าบรรทัดฐานเป็นฟังก์ชันการคูณโดยสมบูรณ์ซึ่งหมายความว่าค่าบรรทัดฐานของผลคูณของจำนวนเต็มกำลังสองจะเป็นผลคูณของค่าบรรทัดฐานของจำนวนเหล่านั้นเสมอ ${\textstyle D>0}$

จำนวนเต็มกำลังสองทุกจำนวนมีคู่สังยุค${\textstyle a+b{\sqrt {D}}}$

${\textstyle {\overline {a+b{\sqrt {D}}}}=ab{\sqrt {D}}.}$

จำนวนเต็มกำลังสองมีค่าบรรทัดฐานเท่ากับจำนวนเต็มสังยุคของมัน และค่าบรรทัดฐานนี้คือผลคูณของจำนวนเต็มกำลังสองกับจำนวนเต็มสังยุคของมัน จำนวนเต็มสังยุคของผลรวมหรือผลคูณของจำนวนเต็มกำลังสองคือผลรวมหรือผลคูณ (ตามลำดับ) ของจำนวนเต็มสังยุคเหล่านั้น ซึ่งหมายความว่าการสังยุคเป็นออโตมอร์ฟิซึมของวงแหวนของจำนวนเต็ม– ดู§ วงแหวนจำนวนเต็มกำลังสองด้านล่าง ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$

จำนวนเต็มที่ไม่มีตัวประกอบกำลังสอง (ต่างจาก 0 และ 1) Dทุกตัวกำหนดวงแหวนจำนวนเต็มกำลังสองซึ่งเป็นโดเมนเชิงปริพันธ์ที่ประกอบด้วยจำนวนเต็มพีชคณิตที่อยู่ในเป็นเซตที่ ω = √dถ้าD = 4k + 1และω = √dถ้าไม่ใช่ มักใช้สัญลักษณ์เพราะเป็นวงแหวนของจำนวนเต็มของซึ่งเป็นการปิดเชิงปริพันธ์ของในวงแหวนนี้^{ประกอบด้วย}รากทั้งหมดของสมการx² ⁺ Bx + C = 0ซึ่ง^ดิ ส ครีมิแนนต์B² − 4C เป็นผลคูณของDกับกำลังสองของจำนวนเต็ม โดยเฉพาะอย่างยิ่ง√dอยู่ในเนื่องจากเป็นรากของสมการx² − D = 0ซึ่งมี4dเป็นดิสครีมิแน นต์${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,).}$${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]=\{a+\omega b:a,b\in \mathbb {Z} \}}$${\displaystyle \omega ={\tfrac {1+{\sqrt {D}}}{2}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}}$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,).}$${\displaystyle \mathbb {Z} [\โอเมก้า ]}$${\displaystyle \mathbb {Z} [\โอเมก้า ]}$

^รากที่สองของจำนวนเต็มใดๆ ก็เป็นจำนวนเต็มกำลังสองเช่นกัน เพราะจำนวนเต็มทุกจำนวนสามารถเขียนได้ในรูปn ^{= m²D} โดยที่ D เป็นจำนวนเต็มที่ ไม่มี ตัวประกอบกำลังสอง และรากที่สองของมันคือรากของx² ⁻ m²D = 0

ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิตไม่เป็นจริงในวงแหวนจำนวนเต็มกำลังสองจำนวนมาก อย่างไรก็ตาม มีการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันสำหรับอุดมคติซึ่งแสดงโดยข้อเท็จจริงที่ว่าวงแหวนจำนวนเต็มพีชคณิตทุกวงเป็นโดเมนเดเดคินด์เนื่องจากจำนวนเต็มกำลังสองเป็นตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของจำนวนเต็มพีชคณิต จึงมักเป็นตัวอย่างเริ่มต้นของการศึกษาทฤษฎีจำนวนพีชคณิต ส่วนใหญ่ ^{[ 4 ]}

วงแหวนจำนวนเต็มกำลังสองแบ่งออกเป็นสองประเภทขึ้นอยู่กับเครื่องหมายของDถ้าD > 0สมาชิกทั้งหมดของวงแหวนจะเป็นจำนวนจริง และวงแหวนนั้นจะเป็นวงแหวนจำนวนเต็มกำลังสองจริงถ้าD < 0สมาชิกจริงของวงแหวนจะมีเพียงจำนวนเต็มธรรมดาเท่านั้น และวงแหวนนั้นจะเป็น วงแหวนจำนวนเต็มกำลัง สอง เชิงซ้อน${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}}$

สำหรับวงแหวนจำนวนเต็มกำลังสองจริงค่าจำนวนชั้นซึ่งใช้วัดความล้มเหลวของการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกัน จะระบุไว้ในOEIS A003649ส่วนกรณีจินตนาการ จะระบุไว้ในOEIS A000924

จำนวนเต็มกำลังสองเป็นหน่วยในวงแหวนของจำนวนเต็มก็ต่อเมื่อค่าบรรทัดฐานของมันคือ1หรือ−1ในกรณีแรกตัวผกผันการคูณ ของมัน คือจำนวนสังยุคของมัน ในกรณีที่สอง ตัวผกผันการคูณของมันคือค่าลบของจำนวนสังยุคของมัน ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$

ถ้าD < 0วงแหวนของจำนวนเต็มจะมีหน่วยอย่างมากที่สุดหกหน่วย ในกรณีของจำนวนเต็มเกาส์เซียน ( D = −1 ) หน่วยทั้งสี่คือในกรณีของจำนวนเต็มไอเซนสไตน์ ( D = −3 ) หน่วยทั้งหกคือ สำหรับค่า Dติดลบอื่นๆ ทั้งหมดจะ มีหน่วยเพียงสองหน่วย คือ1และ−1${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$${\textstyle 1,-1,{\sqrt {-1}},-{\sqrt {-1}}}$${\textstyle \pm 1,{\frac {\pm 1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}}$

ถ้าD > 0วงแหวนของจำนวนเต็มจะมีหน่วยอนันต์ที่เท่ากับ± u ⁱโดยที่iเป็นจำนวนเต็มใดๆ และuเป็นหน่วยเฉพาะที่เรียกว่าหน่วยพื้นฐานเมื่อกำหนดหน่วยพื้นฐานuแล้ว จะมีหน่วยพื้นฐานอื่นๆ อีกสามหน่วย ได้แก่ หน่วยสังยุคและ โดยทั่วไปแล้วเราเรียก " หน่วยพื้นฐาน" ว่าหน่วยเดียวที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า 1 (ในฐานะจำนวนจริง) หน่วยพื้นฐานเดียวนี้สามารถเขียนได้ในรูปa + b √ Dโดยที่aและbเป็นจำนวนบวก (จำนวนเต็มหรือครึ่งของจำนวนเต็ม) ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$${\displaystyle {\โอเวอร์ไลน์ {u}},}$${\displaystyle -u}$${\displaystyle -{\โอเวอร์ไลน์ {u}}.}$

หน่วยพื้นฐานสำหรับจำนวนเต็มบวกที่ไม่มีตัวประกอบกำลังสองที่เล็กที่สุด 10 จำนวนDคือ( อัตราส่วนเงิน ) , ( อัตราส่วนทองคำ ), , , , , , , , สำหรับค่า D ที่มากขึ้นสัมประสิทธิ์ของหน่วยพื้นฐานอาจมีค่ามาก ตัวอย่างเช่น สำหรับD = 19, 31, 43หน่วยพื้นฐานคือ, และ ตาม ลำดับ ${\textstyle 1+{\sqrt {2}}}$${\textstyle 2+{\sqrt {3}}}$${\textstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$${\textstyle 5+2{\sqrt {6}}}$${\textstyle 8+3{\sqrt {7}}}$${\textstyle 3+{\sqrt {10}}}$${\textstyle 10+3{\sqrt {11}}}$${\textstyle {\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}}$${\textstyle 15+4{\sqrt {14}}}$${\textstyle 4+{\sqrt {15}}}$${\textstyle 170+39{\sqrt {19}}}$${\textstyle 1520+273{\sqrt {31}}}$${\textstyle 3482+531{\sqrt {43}}}$

สำหรับD  < 0 นั้นωเป็นจำนวนเชิงซ้อน ( จำนวน จินตนาการหรือจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนจริง) ดังนั้นจึงเป็นเรื่องปกติที่จะพิจารณาวงแหวนจำนวนเต็มกำลังสองว่าเป็นเซตของจำนวนเชิงซ้อนพีชคณิต

• ตัวอย่างคลาสสิกคือจำนวนเต็มเกาส์เซียน ซึ่ง คาร์ล เกาส์นำเสนอราวปี ค.ศ. 1800 เพื่อระบุถึงกฎการแลกเปลี่ยนแบบกำลังสองของเขา^{[ 5 ]}${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-1}}\,]}$
• องค์ประกอบในนั้นเรียกว่าจำนวนเต็มไอเซนสไตน์${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-3}}\,)}=\mathbf {Z} \left[{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {-3}}~\!{\bigr )}\right]}$
• องค์ประกอบในนั้นเรียกว่าจำนวนเต็มไคลน์เนียน${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-7}}\,)}=\mathbf {Z} \left[{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {-7}}~\!{\bigr )}\right]}$

วงแหวนสองวงแรกที่กล่าวถึงข้างต้นเป็นวงแหวนของจำนวนเต็มของฟิลด์ไซโคลโทมิกQ ( ζ ₄ ) และQ ( ζ ₃ ) ตามลำดับ ในทางตรงกันข้ามไม่ใช่แม้แต่โดเมนเดเดคินด์ ${\displaystyle \mathbf {Z} {\bigl [}{\sqrt {-3}}~\!{\bigr ]}}$

ตัวอย่างทั้งหมดข้างต้นเป็นวงแหวนอุดมคติหลักและโดเมนยุคลิดสำหรับนอร์มด้วย แต่กรณีนี้ไม่เป็นเช่นนั้นสำหรับ

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}}\,)}=\mathbf {Z} \left[{\sqrt {-5}}\,\right],}$

ซึ่งไม่ใช่แม้แต่โดเมนการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันสามารถแสดงได้ดังต่อไปนี้

ในที่ที่เรามี ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}}\,)},}$

${\displaystyle 9=3\cdot 3=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}}).}$

ตัวประกอบ 3 และเป็นตัวประกอบที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้อีกเนื่องจากตัวประกอบเหล่านี้มีค่าบรรทัดฐานเท่ากับ 9 ทั้งหมด และหากตัวประกอบเหล่านี้ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้อีก ตัวประกอบของพวกมันจะมีค่าบรรทัดฐานเท่ากับ 3 ซึ่งเป็นไปไม่ได้ เนื่องจากค่าบรรทัดฐานขององค์ประกอบที่แตกต่างจาก±1จะต้องมีค่าอย่างน้อย 4 ดังนั้น การแยกตัวประกอบของ 9 ออกเป็นตัวประกอบที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้อีก จึงไม่เป็นเอกลักษณ์ ${\displaystyle 2+{\sqrt {-5}}}$${\displaystyle 2-{\sqrt {-5}}}$

อุดมคติและไม่ใช่อุดมคติหลักเพราะการคำนวณอย่างง่ายแสดงให้เห็นว่าผลคูณของทั้งสองคืออุดมคติที่สร้างขึ้นโดย 3 และถ้าหากทั้งสองเป็นอุดมคติหลัก นั่นหมายความว่า 3 จะไม่สามารถลดทอนไม่ได้ ${\displaystyle \langle 3,1+{\sqrt {-5}}\,\rangle }$${\displaystyle \langle 3,1-{\sqrt {-5}}\,\rangle }$

สำหรับD > 0นั้นωเป็นจำนวนจริง อตรรกยะบวก และวงแหวนจำนวนเต็มกำลังสองที่สอดคล้องกันคือเซตของจำนวนจริงพีชคณิต คำตอบของสมการของเพลล์X² − DY² = 1 ^ซึ่งเป็น ^สมการไดโอแฟนไทน์ที่ได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวาง คือหน่วยของวงแหวนเหล่านี้ สำหรับD ≡ 2, 3 (mod 4 )

• สำหรับD = 5 , ω = ⁠1/2( 1+ √ 5 )คืออัตราส่วนทองคำ วงแหวน จำนวนเต็มทองคำนี้ได้รับการศึกษาโดย Peter Gustav Lejeune Dirichletหน่วยของมันมีรูปแบบ ± ω ⁿโดยที่ n เป็นจำนวนเต็มใดๆ วงแหวนนี้ยังเกิดขึ้นจากการศึกษา สมมาตรการหมุน 5 เท่าบนระนาบยุคลิดเช่นการปูพื้นแบบเพนโรส ^{[ 6 ]}
• นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียพราหมณคุปตะได้ทำการวิเคราะห์สมการของเพลล์X ² − 61 Y ² = 1ซึ่งสอดคล้องกับวงแหวนZ [ √ 61 ]ผลลัพธ์บางส่วนถูกนำเสนอต่อประชาคมยุโรปโดยปิแอร์ แฟร์มาต์ในปี ค.ศ. 1657

คุณสมบัติการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันนั้นไม่ได้รับการตรวจสอบเสมอไปสำหรับวงแหวนของจำนวนเต็มกำลังสอง ดังที่เห็นข้างต้นในกรณีของZ [ √ −5 ]อย่างไรก็ตาม เช่นเดียวกับโดเมนเดเดคินด์ ทุกโดเมน วงแหวนของจำนวนเต็มกำลังสองจะเป็นโดเมนการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันก็ต่อเมื่อมันเป็นโดเมนอุดมคติหลักซึ่งเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อจำนวนชั้นของฟิลด์กำลังสอง ที่สอดคล้องกัน เป็นหนึ่ง

วงแหวนจินตนาการของจำนวนเต็มกำลังสองที่เป็นวงแหวนอุดมคติหลักได้รับการกำหนดอย่างสมบูรณ์แล้ว วงแหวนเหล่านี้มีไว้สำหรับ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,)}}$

D = −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163 .

ผลลัพธ์นี้ถูกตั้งสมมติฐาน ครั้งแรก โดยเกาส์และได้รับการพิสูจน์โดยเคิร์ต ฮีกเนอร์แม้ว่าการพิสูจน์ของฮีกเนอร์จะไม่ได้รับการยอมรับจนกระทั่งแฮโรลด์ สตาร์กได้ให้การพิสูจน์ในภายหลังในปี 1967 (ดูทฤษฎีบทสตาร์ก-ฮีกเนอร์ ) นี่เป็นกรณีพิเศษของปัญหาจำนวนชั้นที่มี ชื่อเสียง

มีจำนวนเต็มบวกD > 0 จำนวนมากที่ทราบกันดีอยู่แล้ว ซึ่งวงแหวนของจำนวนเต็มกำลังสองเป็นวงแหวนอุดมคติหลัก อย่างไรก็ตาม รายชื่อทั้งหมดนั้นยังไม่เป็นที่รู้จัก และยังไม่ทราบด้วยซ้ำว่าจำนวนของวงแหวนอุดมคติหลักเหล่านี้มีจำนวนจำกัดหรือไม่

เมื่อวงแหวนของจำนวนเต็มกำลังสองเป็นโดเมนอุดมคติหลัก เป็นเรื่องน่าสนใจที่จะทราบว่ามันเป็นโดเมนยุคลิด หรือ ไม่ ปัญหานี้ได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์แล้วดังต่อไปนี้

เมื่อกำหนดบรรทัดฐาน เป็นฟังก์ชันยุคลิดแล้ว จะเป็นโดเมนยุคลิดสำหรับค่าD ติดลบ เมื่อ ${\displaystyle N(a+b{\sqrt {D}}\,)=|a^{2}-Db^{2}|}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,)}}$

D = −1, −2, −3, −7, −11 , ^{[ 7 ]}

และสำหรับค่าD ที่เป็นบวก เมื่อ

D = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 (ลำดับ A048981ใน OEIS )

ไม่มีวงแหวนจำนวนเต็มกำลังสองอื่นใดที่เป็นยูคลิดโดยมีนอร์มเป็นฟังก์ชันยูคลิด^{[ 8 ]} สำหรับDที่เป็นลบ วงแหวนจำนวนเต็มกำลังสองจะเป็นยูคลิดก็ต่อเมื่อนอร์มเป็นฟังก์ชันยูคลิดสำหรับวงแหวนนั้น ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า สำหรับ

D = −19, −43, −67, −163 ,

วงแหวนจำนวนเต็มกำลังสองทั้งสี่ที่สอดคล้องกันนั้น เป็นหนึ่งในตัวอย่างที่หาได้ยากของโดเมนอุดมคติหลักที่ไม่ใช่โดเมนแบบยุคลิด

ในทางกลับกันสมมติฐานรีมันน์ทั่วไปบ่งชี้ว่าวงแหวนของ จำนวนเต็มกำลังสอง จริงที่เป็นโดเมนอุดมคติหลักก็เป็นโดเมนยุคลิดสำหรับฟังก์ชันยุคลิดบางฟังก์ชัน ซึ่งอาจแตกต่างจากบรรทัดฐานปกติได้^{[ 9 ]} ค่าD = 14, 69เป็นค่าแรกที่พิสูจน์ได้ว่าวงแหวนของจำนวนเต็มกำลังสองเป็นยุคลิด แต่ไม่ใช่ยุคลิดตามบรรทัดฐาน^{[ 10 ] [ 11 ]}