ในทางคณิตศาสตร์ตัวผกผันการบวกขององค์ประกอบxซึ่งเขียนแทนด้วย−x [ ^{1 ] คือ}องค์ประกอบที่เมื่อบวกกับx แล้วจะได้เอกลักษณ์การบวก [ ^{2 ] เอกลักษณ์}การบวกนี้มักจะเป็นเลข0 (ศูนย์)แต่ก็อาจหมายถึงองค์ประกอบศูนย์ ทั่วไปอื่นๆ ได้เช่น กัน

ในคณิตศาสตร์เบื้องต้นตัวผกผันการบวกมักถูกเรียกว่าจำนวนตรงข้าม^{[ 3 ] [ 4 ]}หรือลบของจำนวน^{[ 5 ]}การดำเนินการเอกภาคของการปฏิเสธทางเลขคณิต^{[ 6 ]}มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการลบ^{[ 7 ]}และมีความสำคัญใน การ ^แก้ สม การพีชคณิต^{[ 8 ]}ไม่ใช่ทุกเซตที่กำหนดการบวกจะมีตัวผกผันการบวก เช่นจำนวนธรรมชาติ^{[ 9} ]

เมื่อทำงานกับจำนวนเต็มจำนวนตรรกยะจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อนตัวผกผันการบวกของจำนวนใดๆ สามารถหาได้โดยการคูณ^ด้วย −1 ^[ 8 ^]

กรณีง่ายๆ ของตัวผกผันการบวก

${\displaystyle n}$	${\displaystyle -n}$
${\displaystyle 7}$	${\displaystyle -7}$
${\displaystyle 0.35}$	${\displaystyle -0.35}$
${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{4}}}$
${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle -\pi }$
${\displaystyle 1+2i}$	${\displaystyle -1-2i}$

แนวคิดนี้ยังสามารถขยายไปใช้กับนิพจน์พีชคณิต ซึ่งมักใช้ในการดุลสมการได้อีกด้วย

ตัวผกผันการบวกของนิพจน์พีชคณิต

${\displaystyle n}$	${\displaystyle -n}$
${\displaystyle ab}$	${\displaystyle -(ab)=-a+b}$
${\displaystyle 2x^{2}+5}$	${\displaystyle -(2x^{2}+5)=-2x^{2}-5}$
${\displaystyle {\frac {1}{x+2}}}$	${\displaystyle -{\frac {1}{x+2}}}$
${\displaystyle {\sqrt {2}}\sin {\theta }-{\sqrt {3}}\cos {2\theta }}$	${\displaystyle -({\sqrt {2}}\sin {\theta }-{\sqrt {3}}\cos {2\theta })=-{\sqrt {2}}\sin {\theta }+{\sqrt {3}}\cos {2\theta }}$

ตัวผกผันการบวกมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการลบซึ่งสามารถมองได้ว่าเป็นการบวกโดยใช้ตัวผกผัน:

a − b = a + (− b ) .

ในทางกลับกัน ตัวผกผันการบวกสามารถคิดได้ว่าเป็นการลบออกจากศูนย์:

− a = 0 − a .

ความเชื่อมโยงนี้ทำให้มีการใช้เครื่องหมายลบสำหรับทั้งขนาดที่ตรงข้ามและการลบมาตั้งแต่ศตวรรษที่ 17 แม้ว่าสัญลักษณ์นี้จะเป็นมาตรฐานในปัจจุบัน แต่ในขณะนั้นก็มีการคัดค้าน เนื่องจากนักคณิตศาสตร์บางคนรู้สึกว่าอาจไม่ชัดเจนและนำไปสู่ข้อผิดพลาดได้^{[ 10 ]}

เมื่อกำหนดโครงสร้างพีชคณิตที่กำหนดภายใต้การบวกด้วยเอกลักษณ์การบวกองค์ประกอบจะมีตัวผกผันการบวกก็ต่อเมื่อ, , และ. ^{[ 9 ]}${\displaystyle (S,+)}$${\displaystyle e\in S}$${\displaystyle x\in S}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y\in S}$${\displaystyle x+y=e}$${\displaystyle y+x=e}$

โดยทั่วไปแล้ว การบวกจะใช้เพื่ออ้างถึง การดำเนินการ สลับที่ เท่านั้น แต่สำหรับระบบตัวเลขบางระบบ เช่นจุดลอยตัวอาจไม่เป็นไปตาม การ จัดกลุ่ม^{[ 11 ]}เมื่อเป็นไปตามการจัดกลุ่ม ดังนั้นตัวผกผันซ้ายและขวา หากมีอยู่ จะตรงกัน และตัวผกผันการบวกจะมีเพียงหนึ่งเดียว ในกรณีที่ไม่เป็นไปตามการจัดกลุ่ม ตัวผกผันซ้ายและขวาอาจไม่ตรงกัน และในกรณีเหล่านี้ จะไม่ถือว่าตัวผกผันมีอยู่ ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$

นิยามนี้ต้องการ คุณสมบัติ การปิด กล่าว คือ ต้องมีองค์ประกอบบวก อยู่ใน เซตนั้น อย่างไรก็ตาม แม้ว่าจะสามารถบวกจำนวนธรรมชาติเข้าด้วยกันได้ แต่เซตของจำนวนธรรมชาติไม่ได้รวมค่าผกผันการบวกไว้ด้วย เนื่องจากค่าผกผันการบวกของจำนวนธรรมชาติ (เช่นสำหรับ) ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติ แต่เป็นจำนวนเต็มดังนั้น จำนวนธรรมชาติในเซตจึงมีค่าผกผันการบวก และค่าผกผันเหล่านั้นเป็นจำนวนลบ ${\displaystyle y}$${\displaystyle S}$${\displaystyle -3}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle S}$

• ในปริภูมิเวกเตอร์ตัวผกผันการบวก−v (มักเรียกว่าเวกเตอร์ตรงข้ามของv ) มีขนาดเท่ากับvแต่มีทิศทางตรงข้าม^{[ 12 ]}
• ในเลขคณิตมอดู ลาร์ ตัวผกผันการบวกมอดูลาร์ของxคือจำนวนaที่a + x ≡ 0 (mod n )และมีอยู่เสมอ ตัวอย่างเช่น ตัวผกผันของ 3 มอดูล 11 คือ 8 เนื่องจาก3 + 8 ≡ 0 (mod 11 ⁾ [ ^{13 ]}
• ในวงแหวนบูลีนซึ่งมีองค์ประกอบการบวกมักถูกกำหนดให้เป็นผลต่างสมมาตรดังนั้น, , , และเอกลักษณ์การบวกของเราคือ 0 และองค์ประกอบทั้งสองเป็นตัวผกผันการบวกของตัวเองเป็นและ^{[ 14 ]}${\displaystyle \{0,1\}}$${\displaystyle 0+0=0}$${\displaystyle 0+1=1}$${\displaystyle 1+0=1}$${\displaystyle 1+1=0}$${\displaystyle 0+0=0}$${\displaystyle 1+1=0}$

• ค่าสัมบูรณ์ (มีความสัมพันธ์กันผ่านเอกลักษณ์|− x | = | x | )
• องค์ประกอบผกผัน
• ฟังก์ชันผกผัน
• การผกผัน (คณิตศาสตร์)
• โมโนอิด
• ตัวผกผันการคูณ
• การสะท้อน (คณิตศาสตร์)
• สมมาตรการสะท้อน
• เซมิกรุ๊ป