ในทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตจำนวนเต็มเชิงพีชคณิตคือจำนวนเชิงซ้อนที่เป็นจำนวนเต็มเหนือจำนวนเต็มกล่าวคือ จำนวนเต็มเชิงพีชคณิตเป็นราก เชิงซ้อน ของพหุนามเอกลักษณ์ บางตัว ( พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์นำหน้าเป็น 1) ซึ่งสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม เซตของจำนวนเต็มเชิงพีชคณิตทั้งหมดAปิดภายใต้การบวก การลบ และการคูณ ดังนั้นจึงเป็นวงแหวนย่อยสลับที่ ของจำนวนเชิงซ้อน

วงแหวนของจำนวนเต็มของฟิลด์จำนวนKซึ่งเขียนแทนด้วยO _KคือจุดตัดของKและA : นอกจากนี้ยังสามารถระบุได้ว่าเป็นอันดับ สูงสุด ของฟิลด์Kจำนวนเต็มพีชคณิตแต่ละจำนวนเป็นสมาชิกของวงแหวนของจำนวนเต็มของฟิลด์จำนวนบางฟิลด์ จำนวนαเป็นจำนวนเต็มพีชคณิตก็ต่อเมื่อวงแหวนนั้นถูกสร้าง ขึ้นอย่างจำกัดในฐานะกลุ่มอาเบเลียนซึ่งก็คือในฐานะโมดูลa${\displaystyle \mathbb {Z} [\alpha ]}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

ต่อไปนี้เป็นนิยามที่เทียบเท่ากันของจำนวนเต็มพีชคณิต ให้Kเป็นฟิลด์จำนวน (กล่าวคือส่วนขยายจำกัดของฟิลด์จำนวนตรรกยะ ) หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือสำหรับจำนวนพีชคณิต บางจำนวน โดยทฤษฎีบท องค์ประกอบดั้งเดิม${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\theta )}$${\displaystyle \theta \in \mathbb {C} }$

• α ∈ Kเป็นจำนวนเต็มพีชคณิต ถ้ามีพหุนามเอกลักษณ์อยู่ตัวหนึ่งซึ่ง f ( α ) = 0${\displaystyle f(x)\in \mathbb {Z} [x]}$
• α ∈ Kเป็นจำนวนเต็มพีชคณิต ถ้า พหุนามเอกลักษณ์ ขั้นต่ำของ αบนอยู่ใน${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$
• α ∈ Kเป็นจำนวนเต็มพีชคณิต ถ้าเป็นโมดูล${\displaystyle \mathbb {Z} [\alpha ]}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• α ∈ Kเป็นจำนวนเต็มพีชคณิต ถ้ามีซับโมดูลที่อยู่ซึ่ง αM ⊆ M${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle M\subset \mathbb {C} }$

จำนวนเต็มเชิงพีชคณิตเป็นกรณีพิเศษขององค์ประกอบจำนวนเต็มของส่วนขยายวงแหวน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จำนวนเต็มเชิงพีชคณิตเป็นองค์ประกอบจำนวนเต็มของส่วนขยายจำกัด ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$

โปรดทราบว่า ถ้าP ( x )เป็นพหุนามดั้งเดิมที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มแต่ไม่ใช่พหุนามเอกลักษณ์ และPไม่สามารถแยกตัวประกอบได้เหนือx แล้ว รากของPจะไม่ใช่จำนวนเต็มพีชคณิต (แต่เป็นจำนวนพีชคณิต ) ในที่นี้ คำว่า "ดั้งเดิม"ใช้ในความหมายว่าตัวหารร่วมมากที่สุดของสัมประสิทธิ์ของPคือ 1 ซึ่งอ่อนกว่าการกำหนดให้สัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กันเป็นคู่ๆ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

• จำนวนเต็มพีชคณิตเพียงจำนวนเดียวที่พบในเซตของจำนวนตรรกยะคือจำนวนเต็ม กล่าวอีกนัยหนึ่ง จุดตัดของและAคือจำนวนตรรกยะ⁠${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$เอ/ขbไม่ใช่จำนวนเต็มพีชคณิต เว้นแต่ว่า b จะหารa ลงตัว สัมประสิทธิ์นำหน้าของพหุนาม bx − aคือจำนวนเต็ม b
• รากที่สอง ของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบnเป็นจำนวนเต็มพีชคณิต แต่จะเป็นจำนวนอตรรกยะเว้นแต่ว่าnจะเป็น กำลัง สองสมบูรณ์${\displaystyle {\sqrt {n}}}$
• ถ้าdเป็นจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวประกอบกำลังสอง ส่วน^ขยายจะ เป็นฟิลด์กำลังสองของจำนวนตรรกยะ วงแหวนของจำนวนเต็มพีชคณิตO _Kประกอบด้วยเนื่องจากเป็นรากของพหุนามเอกลักษณ์x² − dยิ่งไปกว่านั้น ถ้าd ≡ 1 mod 4แล้วสมาชิกก็เป็นจำนวนเต็มพีชคณิตเช่นกัน มันสอดคล้องกับพหุนามx² ⁻ x + ⁠${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}\,)}$${\displaystyle {\sqrt {d}}}$${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}}\,)}$1/4( 1 − d )โดยที่พจน์คงที่1/4( 1 − d )เป็นจำนวนเต็ม วงแหวนเต็มของจำนวนเต็มถูกสร้างขึ้นโดยหรือตามลำดับ ดูจำนวนเต็มกำลังสองสำหรับข้อมูลเพิ่มเติม${\displaystyle {\sqrt {d}}}$${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}}\,)}$
• วงแหวนของจำนวนเต็มของฟิลด์α = ³ √ m (โดยที่mเป็นจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวประกอบกำลังสาม ) มีฐานจำนวนเต็มดัง ต่อไปนี้ เขียนm = hk 2สำหรับจำนวนเต็มที่ ไม่มี ตัวประกอบกำลัง สอง ^hและk : ^{[ 1 ]}${\displaystyle F=\mathbb {Q} [\alpha ]}$$${\displaystyle {\begin{cases}1,\alpha ,{\dfrac {\alpha ^{2}\pm k^{2}\alpha +k^{2}}{3k}}&m\equiv \pm 1{\bmod {9}}\\1,\alpha ,{\dfrac {\alpha ^{2}}{k}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$
• ถ้าζ _nเป็น ราก ที่n ดั้งเดิมของเอกภาพแล้ววงแหวนของจำนวนเต็มของฟิลด์ไซโคล โทมิก ก็คือ${\displaystyle \mathbb {Q} (\ซีตา _{n})}$${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$
• ถ้าαเป็นจำนวนเต็มพีชคณิตแล้วβ = ⁿ √ αก็เป็นจำนวนเต็มพีชคณิตอีกตัวหนึ่งเช่นกัน พหุพจน์สำหรับβได้มาจากการแทนx ⁿ ลง ในพหุพจน์สำหรับα

สำหรับα ใดๆ การขยายวงแหวน (ในความหมายที่เทียบเท่ากับการขยายฟิลด์ ) ของจำนวนเต็มโดยαซึ่งเขียนแทนด้วยจะถูกสร้างขึ้นอย่างจำกัดก็ต่อเมื่อαเป็นจำนวนเต็มพีชคณิต ${\displaystyle \mathbb {Z} [\alpha ]\equiv \left\{\sum _{i=0}^{n}\alpha ^{i}z_{i}|z_{i}\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {Z} \right\}}$

การพิสูจน์นั้นคล้ายคลึงกับการพิสูจน์ข้อเท็จจริงที่เกี่ยวข้องกับจำนวนพีชคณิตโดยแทนที่ "ที่นั่น" ด้วย " ที่นี่" และแทนที่แนวคิดของระดับการขยายฟิลด์ด้วยการสร้างแบบจำกัด (โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าฟิลด์นั้นถูกสร้างขึ้นแบบจำกัด) การเปลี่ยนแปลงที่จำเป็นเพียงอย่างเดียวคือ มีเพียงกำลังที่ไม่เป็นลบของα เท่านั้น ที่เกี่ยวข้องในการพิสูจน์ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

การเปรียบเทียบนี้เป็นไปได้เพราะทั้งจำนวนเต็มพีชคณิตและจำนวนพีชคณิตต่างก็ถูกนิยามว่าเป็นรากของพหุนามเอกลักษณ์เหนือหรือตามลำดับ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

ผลรวม ผลต่าง และผลคูณของจำนวนเต็มพีชคณิตสองจำนวน ล้วนเป็นจำนวนเต็มพีชคณิต แต่โดยทั่วไปแล้ว ผลหารของจำนวนทั้งสองจะไม่ใช่จำนวนเต็มพีชคณิต ดังนั้น จำนวนเต็มพีชคณิตจึงประกอบกันเป็นริง

สามารถแสดงสิ่งนี้ได้ในลักษณะเดียวกันกับการพิสูจน์ที่เกี่ยวข้องสำหรับจำนวนพีชคณิตโดยใช้จำนวนเต็มแทนจำนวนตรรกยะ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

^{นอกจาก นี้}เรายังสามารถสร้างพหุนามเอกลักษณ์ที่เกี่ยวข้องได้อย่างชัดเจน ซึ่งโดยทั่วไปจะมีดีกรี สูง กว่าดีกรีของจำนวนเต็มพีชคณิตดั้งเดิม โดยการหาผลลัพธ์และแยกตัวประกอบ ตัวอย่างเช่น ถ้าx² − x − 1 = 0 , y³ − y − 1 = 0และz = xyแล้ว การกำจัดxและyจากz − xy = 0และพหุนามที่ x และ y สอดคล้องโดย^ใช้ผลลัพธ์จะได้ z⁶ − ^3z⁴ − ^4z³ + z² + z − 1 = 0 ซึ่งเป็นพหุนามที่ไม่สามารถแยก ตัวประกอบ ได้ และ ^{เป็นสม}การเอกลักษณ์ที่ผลคูณสอดคล้อง (เพื่อให้เห็นว่าxyเป็นรากของ ผลลัพธ์ xของz − xyและx² ⁻ x − 1เราอาจใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าผลลัพธ์นั้นบรรจุอยู่ในไอเดียลที่สร้างขึ้นจากพหุนามอินพุตสองตัว)

รากทุกรากของพหุนามเอกลักษณ์ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มพีชคณิตนั้น ตัวมันเองก็เป็นจำนวนเต็มพีชคณิตเช่นกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง จำนวนเต็มพีชคณิตเหล่านี้ก่อให้เกิดวงแหวนที่ปิดสนิทในส่วนขยายใดๆ ของมัน

กล่าวอีกนัยหนึ่ง การพิสูจน์นี้คล้ายคลึงกับการพิสูจน์ที่ว่าจำนวนพีชคณิตเป็น จำนวน ปิดเชิงพีชคณิต

• จำนวนใดๆ ที่สร้างขึ้นได้จากจำนวนเต็มที่มีราก การบวก และการคูณ ถือเป็นจำนวนเต็มพีชคณิต แต่ไม่ใช่ว่าจำนวนเต็มพีชคณิตทั้งหมดจะสร้างขึ้นได้เช่นนั้น ในความหมายอย่างง่ายๆ รากส่วนใหญ่ของพหุคูณ กำลังห้าที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้นั้นสร้างขึ้น ไม่ได้ นี่คือทฤษฎีบทของอาเบล-รัฟฟินี
• วงแหวนของจำนวนเต็มพีชคณิตเป็นโดเมนเบซูต์ซึ่งเป็นผลมาจากทฤษฎีบทอุดมคติหลัก
• ถ้าพหุนามเอกลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเต็มพีชคณิตมีพจน์คงที่เท่ากับ 1 หรือ −1 แล้วส่วนกลับของจำนวนเต็มพีชคณิตนั้นก็จะเป็นจำนวนเต็มพีชคณิตเช่นกัน และแต่ละตัวจะเป็นหน่วยซึ่งเป็นสมาชิกของกลุ่มหน่วยในวงแหวนของจำนวนเต็มพีชคณิต
• ถ้าxเป็นจำนวนพีชคณิตแล้วa _n xจะเป็นจำนวนเต็มพีชคณิต โดยที่xสอดคล้องกับพหุนามp ( x )ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และa _n x ⁿเป็นพจน์ที่มีดีกรีสูงสุดของp ( x )ค่าy = a _n xเป็นจำนวนเต็มพีชคณิตเพราะเป็นรากของq ( y ) = a^{n − 1} _np ( y / a _n )โดยที่ q ( y )คือพหุนามเอกลักษณ์ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม
• ถ้าxเป็นจำนวนพีชคณิต ก็สามารถเขียนได้ในรูปอัตราส่วนของจำนวนเต็มพีชคณิตกับจำนวนเต็มพีชคณิตที่ไม่เป็นศูนย์ ที่จริงแล้ว ตัวส่วนสามารถเลือกให้เป็นจำนวนเต็มบวกได้เสมอ อัตราส่วนคือ| a _n | x / | a _n |โดยที่xสอดคล้องกับพหุนามp ( x )ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม และa _n x ⁿ คือพจน์ ที่มีดีกรีสูงสุดของp ( x )
• จำนวนเต็มพีชคณิตตรรกยะเพียงอย่างเดียวคือจำนวนเต็ม นั่นคือ ถ้าxเป็นจำนวนเต็มพีชคณิตแล้วนี่เป็นผลโดยตรงจากทฤษฎีบทรากตรรกยะสำหรับกรณีของพหุนามเอกลักษณ์${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle x\in \mathbb {Z} }$

• จำนวนเต็มเกาส์เซียน
• จำนวนเต็มไอเซนสไตน์
• รากแห่งความเป็นหนึ่งเดียว
• ทฤษฎีบทหน่วยของดิริชเลต์
• หน่วยพื้นฐาน