ในทางคณิตศาสตร์ฟิลด์Fเรียกว่าฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต ถ้า พหุนามที่ไม่ใช่ค่าคงที่ทุกตัวที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในFมีรากอยู่ในFกล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟิลด์จะเรียกว่าฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต ถ้าทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตเป็นจริงสำหรับฟิลด์นั้น ตัวอย่างเช่น ฟิลด์ของจำนวนจริงไม่ใช่ฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต เพราะพหุนามไม่มีรากที่เป็นจำนวนจริง ในขณะที่ฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อนเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต ${\displaystyle x^{2}+1}$

ทุกฟิลด์บรรจุอยู่ในฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตและรากของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์ อยู่ใน นั้นก่อให้เกิดฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตที่เรียกว่าการปิดเชิงพีชคณิตของ ฟิลด์ นั้น เมื่อกำหนดการปิดเชิงพีชคณิตสองแบบของฟิลด์นั้น จะมีไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างกันซึ่งตรึงองค์ประกอบของฟิลด์นั้นไว้${\displaystyle K}$${\displaystyle C,}$${\displaystyle C}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K.}$

ฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตปรากฏในลำดับการรวมคลาส ต่อไปนี้ :

rngs ⊃วงแหวน ⊃วงแหวนสลับที่ ⊃ โดเมนจำนวนเต็ม ⊃โดเมนปิดจำนวนเต็ม ⊃โดเมน GCD ⊃โดเมนการแยกตัวประกอบเฉพาะ ⊃โดเมนอุดมคติหลัก ⊃โดเมนยุคลิด ⊃ฟิลด์ ⊃ฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต

ยกตัวอย่างเช่น ฟิลด์ของจำนวนจริงไม่เป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต เพราะสมการพหุนามไม่มีคำตอบในจำนวนจริง แม้ว่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมด (1 และ 0) จะเป็นจำนวนจริงก็ตาม เหตุผลเดียวกันนี้พิสูจน์ได้ว่าไม่มีฟิลด์ย่อยใดในฟิลด์ของจำนวนจริงที่เป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟิลด์ของจำนวนตรรกยะไม่เป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต ในทางตรงกันข้ามทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตกล่าวว่าฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อน เป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต อีกตัวอย่างหนึ่งของฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตคือฟิลด์ของ จำนวนพีชคณิต (เชิงซ้อน) ${\displaystyle x^{2}+1=0}$

ไม่มีฟิลด์จำกัดF ใด ที่เป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต เพราะถ้าa ₁ , a ₂ , ..., a _nเป็นสมาชิกของFแล้ว พหุนาม ( x  −  a ₁ )( x  −  a ₂ ) ⋯ ( x  −  a _n ) + 1 จะไม่มีศูนย์ในFอย่างไรก็ตาม การรวมกันของฟิลด์จำกัดทั้งหมดที่มีลักษณะเฉพาะp คงที่ ( pเป็นจำนวนเฉพาะ) เป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต ซึ่งในความเป็นจริงแล้วก็คือการปิดเชิงพีชคณิตของฟิลด์ที่มี สมาชิก pตัวนั่นเอง ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

ขอบเขตของฟังก์ชันตรรกยะที่มีสัมประสิทธิ์เชิงซ้อนนั้นไม่ปิดสนิท ตัวอย่างเช่น พหุนามมีรากซึ่งไม่ใช่สมาชิกของ ${\displaystyle \mathbb {C} (x)}$${\displaystyle y^{2}-x}$${\displaystyle \pm {\sqrt {x}}}$${\displaystyle \mathbb {C} (x)}$

เมื่อกำหนดฟิลด์Fแล้ว ข้อความ " Fเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต" เทียบเท่ากับข้อความอื่นๆ ดังนี้:

ฟิลด์Fปิดเชิงพีชคณิตก็ต่อเมื่อพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ เพียงอย่างเดียว ในวงแหวนพหุนามF [ x ] คือพหุนามดีกรีหนึ่ง

ข้อความที่ว่า "พหุนามดีกรีหนึ่งไม่สามารถแยกตัวประกอบได้" นั้นเป็นจริงอย่างเห็นได้ชัดสำหรับฟิลด์ใดๆ ก็ตาม ถ้าFเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต และp ( x ) เป็นพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ของF [ x ] แล้ว p ( x ) จะมีรากa บางตัว และดังนั้น p(x ) จึงเป็นพหุคูณของx − aเนื่องจากp ( x ) ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ นั่นหมายความว่าp ( x ) = k ( x − a )สำหรับk ∈ F ∈ {0} บาง ตัว ในทางกลับกัน ถ้าFไม่ใช่ฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต ก็จะมีพหุนามp ( x ) ที่ไม่ใช่ค่าคงที่ในF [ x ] ที่ไม่มีรากในFให้q ( x ) เป็นตัวประกอบที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ของp ( x ) เนื่องจากp ( x ) ไม่มีรากในFดังนั้นq ( x ) ก็ไม่มีรากในFเช่น กัน ดังนั้นq ( x ) จึง มีดีกรีมากกว่าหนึ่ง เนื่องจากพหุนามดีกรีหนึ่งทุกตัวมีรากหนึ่งรากในF

ฟิลด์Fเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตก็ต่อเมื่อพหุนาม p(x) ทุกตัว_ที่มีดีกรีn ≥ 1  และมีสัมประสิทธิ์อยู่ในFสามารถแยกออกเป็นตัวประกอบเชิงเส้นได้ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ มีสมาชิกk ,  x₁ ,  x₂ _, ... ,  xₙ _ในฟิลด์Fที่ทำให้p ( x ) =  k ( x  −  x₁ )( x  −  x₂ _{) ⋯} ( x  −  _xₙ )

ถ้าFมีคุณสมบัตินี้ แสดงว่าพหุนามที่ไม่คงที่ทุกตัวในF [ x ] มีรากบางตัวในF อย่างชัดเจน กล่าวอีกนัยหนึ่งFเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต ในทางกลับกัน คุณสมบัติที่กล่าวไว้ในที่นี้ใช้ได้กับFถ้าFเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตนั้น เป็นผลมาจากคุณสมบัติก่อนหน้านี้ร่วมกับข้อเท็จจริงที่ว่า สำหรับฟิลด์K ใดๆ พหุนามใดๆ ในK [ x ] สามารถเขียนได้ในรูปผลคูณของพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้

ถ้าพหุนามทุกตัวเหนือFที่มีดีกรีเป็นจำนวนเฉพาะมีรากในFแล้วพหุนามที่ไม่ใช่ค่าคงที่ทุกตัวจะมีรากในF ^{[ 1 ]}เป็นผลให้ฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตก็ต่อเมื่อพหุนามทุกตัวเหนือF ที่มีดีกรี เป็นจำนวนเฉพาะมีรากใน F

ฟิลด์Fเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตก็ต่อเมื่อไม่มีส่วนขยายเชิงพีชคณิต ที่ แท้จริง

ถ้าFไม่มีส่วนขยายพีชคณิตที่เหมาะสม ให้p ( x ) เป็นพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ในF [ x ] แล้วผลหารของF [ x ] มอดูลอุดมคติที่สร้างโดยp ( x ) คือส่วนขยายพีชคณิตของFซึ่ง มี ดีกรีเท่ากับดีกรีของp ( x ) เนื่องจากไม่ใช่ส่วนขยายที่เหมาะสม ดีกรีของมันจึงเป็น 1 และด้วยเหตุนี้ ดีกรีของp ( x ) จึงเป็น 1

ในทางกลับกัน ถ้าFมีส่วนขยายพีชคณิตที่เหมาะสมKแล้วพหุนามขั้นต่ำของสมาชิกในK  \  Fจะไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ และดีกรีของมันจะมากกว่า 1

ฟิลด์Fเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตก็ต่อเมื่อมันไม่มีส่วนขยายจำกัด ที่เหมาะสม เพราะถ้าหากในการพิสูจน์ก่อนหน้านี้คำว่า "ส่วนขยายเชิงพีชคณิต" ถูกแทนที่ด้วยคำว่า "ส่วนขยายจำกัด" การพิสูจน์ก็ยังคงใช้ได้ (ส่วนขยายจำกัดจำเป็นต้องเป็นส่วนขยายเชิงพีชคณิต)

ฟิลด์Fปิดเชิงพีชคณิตก็ต่อเมื่อ สำหรับจำนวนธรรมชาติn ใดๆ แผนที่เชิงเส้นทุก แผนที่ จากF ⁿไปยังตัวมันเองจะมีเวกเตอร์ลักษณะ เฉพาะบาง ตัว

เอนโดมอร์ฟิซึมของF ⁿจะมีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะก็ต่อเมื่อพหุนามลักษณะเฉพาะ ของมัน มีราก ดังนั้น เมื่อFปิดเชิงพีชคณิต เอนโดมอร์ฟิซึมทุกตัวของF ⁿจะมีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ในทางกลับกัน ถ้าเอนโดมอร์ฟิซึมทุกตัวของF ⁿมีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ให้p ( x ) เป็นสมาชิกของF [ x ] เมื่อหารด้วยสัมประสิทธิ์นำหน้า เราจะได้พหุนามอีกตัวหนึ่งq ( x ) ซึ่งจะมีรากก็ต่อเมื่อp ( x ) มีราก แต่ถ้าq ( x ) = x ⁿ + a _{n − 1} x ^{n − 1} + ⋯ + a ₀แล้วq ( x ) จะเป็นพหุนามลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์คู่n×n

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&-a_{0}\\1&0&\cdots &0&-a_{1}\\0&1&\cdots &0&-a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&-a_{n-1}\end{pmatrix}}.}$

ฟิลด์Fเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตก็ต่อเมื่อฟังก์ชันตรรกยะ ทุกฟังก์ชัน ในตัวแปรเดียวxที่มีสัมประสิทธิ์อยู่ในFสามารถเขียนได้ในรูปผลรวมของฟังก์ชันพหุนามกับฟังก์ชันตรรกยะในรูปแบบa /( x  −  b ) ⁿโดยที่nเป็นจำนวนธรรมชาติ และaกับbเป็นสมาชิกของ F

ถ้าFเป็นเซตปิดเชิงพีชคณิตแล้ว เนื่องจากพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ในF [ x ] ทั้งหมดมีดีกรี 1 คุณสมบัติที่กล่าวไว้ข้างต้นจึงเป็นจริงตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับการแยกส่วนเศษส่วนย่อย

ในทางกลับกัน สมมติว่าคุณสมบัติที่กล่าวมาข้างต้นใช้ได้กับฟิลด์Fให้p ( x ) เป็นองค์ประกอบที่ไม่สามารถแยกย่อยได้ในF [ x ] แล้วฟังก์ชันตรรกยะ 1/ pสามารถเขียนได้เป็นผลรวมของฟังก์ชันพหุนามqกับฟังก์ชันตรรกยะในรูปแบบa /( x  –  b ) ⁿดังนั้นนิพจน์ตรรกยะ

${\displaystyle {\frac {1}{p(x)}}-q(x)={\frac {1-p(x)q(x)}{p(x)}}}$

สามารถเขียนได้ในรูปผลหารของพหุนามสองตัว โดยที่ตัวส่วนเป็นผลคูณของพหุนามดีกรีหนึ่ง เนื่องจากp ( x) ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ จึงต้องหารผลคูณนี้ลงตัว และด้วยเหตุนี้ p( x ) จึงต้องเป็นพหุนามดีกรีหนึ่งเช่นกัน

สำหรับฟิลด์F ใดๆ ถ้าพหุนามp ( x ), q ( x ) ∈ F [ x ] สองตัว เป็นพหุนามเฉพาะสัมพัทธ์กันแล้ว พหุนามทั้งสองจะไม่มีรากร่วมกัน เพราะถ้าa ∈ Fเป็นรากร่วมกันแล้ว  p ( x ) และ  q ( x ) จะต้องเป็นพหุคูณของx − a ทั้งคู่ ดังนั้นพหุนามทั้งสองจึงไม่ใช่พหุนามเฉพาะสัมพัทธ์ ฟิลด์ที่ข้อความกลับกันเป็นจริง (กล่าวคือ ฟิลด์ที่เมื่อใดก็ตามที่พหุนามสองตัวไม่มีรากร่วมกัน พหุนามทั้งสองจะเป็นพหุนามเฉพาะสัมพัทธ์กัน) ก็คือฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตนั่นเอง

ถ้าฟิลด์Fเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต ให้p ( x ) และq ( x ) เป็นพหุนามสองตัวที่ไม่เป็นพหุนามเฉพาะสัมพัทธ์กัน และให้r ( x ) เป็นตัวหารร่วมมากที่สุดของพหุนามทั้ง สอง นั้น เนื่องจากr ( x ) ไม่ใช่ค่าคงที่ มันจึงจะมีรากa บางราก ซึ่งจะเป็นรากร่วมของp ( x ) และq ( x ) ด้วย

ถ้าFไม่ใช่เซตปิดเชิงพีชคณิต ให้p ( x ) เป็นพหุนามที่มีดีกรีอย่างน้อย 1 และไม่มีราก แล้วp ( x ) และp ( x ) จะไม่เป็นพหุนามเฉพาะสัมพัทธ์กัน แต่พวกมันไม่มีรากร่วมกัน (เนื่องจากไม่มีพหุนามใดมีราก)

ถ้าFเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต และnเป็นจำนวนธรรมชาติ แล้วF จะประกอบด้วยรากที่ n ของเอกภาพ ทั้งหมดเพราะรากเหล่านี้ (ตามนิยาม) คือ ศูนย์ n ตัว (ไม่จำเป็นต้องแตกต่างกัน) ของพหุนามx ⁿ  − 1 ส่วนขยายของฟิลด์ที่บรรจุอยู่ในส่วนขยายที่สร้างขึ้นโดยรากของเอกภาพเรียกว่าส่วนขยายไซโคลโท มิก และส่วนขยายของฟิลด์ที่สร้างขึ้นโดยรากของเอกภาพทั้งหมดบางครั้งเรียกว่าการปิดไซโคลโท มิก ดังนั้นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตจึงเป็นฟิลด์ปิดเชิงไซโคลโทมิก แต่ข้อความกลับกันนั้นไม่เป็นจริง แม้จะสมมติว่าพหุนามทุกตัวในรูปแบบx ⁿ  −  aแยกออกเป็นตัวประกอบเชิงเส้นได้ ก็ยังไม่เพียงพอที่จะรับประกันว่าฟิลด์นั้นเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต

ถ้าข้อเสนอที่สามารถแสดงได้ในภาษาของตรรกะลำดับแรกเป็นจริงสำหรับฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตแล้ว ข้อเสนอนั้นจะเป็นจริงสำหรับทุกฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตที่มีลักษณะ เดียวกัน ยิ่งไปกว่านั้น ถ้าข้อเสนอดังกล่าวเป็นจริงสำหรับฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตที่มีลักษณะ 0 แล้ว ไม่เพียงแต่จะเป็นจริงสำหรับฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตอื่นๆ ทั้งหมดที่มีลักษณะ 0 เท่านั้น แต่ ^ยังมีจำนวนธรรมชาติN บางจำนวน ที่ทำให้ข้อเสนอนั้นเป็นจริงสำหรับทุกฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตที่มีลักษณะ  pเมื่อp  >  N ^{[ 2} ]

ฟิลด์ Fทุกฟิลด์มีส่วนขยายบางอย่างที่ปิดทางพีชคณิต ส่วนขยายดังกล่าวเรียกว่าส่วนขยายที่ปิดทางพีชคณิต^ในบรรดาส่วนขยายดังกล่าวทั้งหมด มีเพียงส่วนขยายเดียวเท่านั้น ( ขึ้นอยู่กับไอโซมอร์ฟิซึมแต่ไม่ใช่ไอโซมอร์ฟิซึมที่ไม่ซ้ำกัน ) ซึ่งเป็นส่วนขยายทางพีชคณิตของF [ ^{3 ]}เรียกว่าการปิด ทางพีชคณิตของF

ทฤษฎีของฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตมีการกำจัดตัวบ่งปริมาณ

ไม่มีฟิลด์จำกัด ที่ปิดทางพีชคณิต : หากมีฟิลด์ดังกล่าว โดยมีเซตพื้นฐานสำหรับบางค่าของแล้วพหุนามจะไม่เป็นศูนย์สำหรับค่าใดๆของ ${\displaystyle \{0,1,k_{2},...,k_{n}\}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle x(x-1)(x-k_{2})...(x-k_{n})+1}$${\displaystyle x}$

• ฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตเทียม
• ฟิลด์ปิดกึ่งพีชคณิต
• สนามปิดกำลังสอง
• สนามปิดจริง