ในพีชคณิตเชิงเส้นเมทริกซ์คู่ควบฟรอเบนิอุส ของ พหุนามเอกลักษณ์ คือเมทริกซ์จัตุรัสที่กำหนดโดย $${\displaystyle p(x)=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}+x^{n}}$$

$${\displaystyle C(p)={\begin{bmatrix}0&0&\dots &0&-c_{0}\\1&0&\dots &0&-c_{1}\\0&1&\dots &0&-c_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &1&-c_{n-1}\end{bmatrix}}.}$$

ผู้เขียนบางท่านใช้เมทริกซ์ทรานสโพสของเมทริกซ์นี้ซึ่งสะดวกกว่าสำหรับบางวัตถุประสงค์ เช่นความสัมพันธ์เวียนเกิด เชิงเส้น ( ดูด้านล่าง ) ${\displaystyle C(p)^{T}}$

${\displaystyle C(p)}$ถูกกำหนดจากสัมประสิทธิ์ของในขณะที่พหุนามลักษณะเฉพาะและพหุนามขั้นต่ำของ มี ค่าเท่ากับ^{[ 1 ]}ในแง่นี้ เมทริกซ์และพหุนามถือเป็น "คู่หู" กัน ${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle C(p)}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle C(p)}$${\displaystyle p(x)}$

เมทริกซ์ Aใดๆที่มีสมาชิกอยู่ในฟิลด์Fจะมีพหุนามลักษณะเฉพาะซึ่งในทางกลับกันจะมีเมทริกซ์คู่ควบเมทริกซ์เหล่านี้มีความสัมพันธ์กันดังต่อไปนี้ ${\displaystyle p(x)=\det(xI-A)}$${\displaystyle C(p)}$

ข้อความต่อไปนี้มีความหมายเทียบเท่ากัน:

• A มีความคล้ายคลึงกับFกล่าวคือAสามารถถูกแปลงเป็นเมทริกซ์คู่ของมันได้โดยใช้เมทริกซ์ใน GL _n ( F );${\displaystyle C(p)}$
• พหุนามลักษณะเฉพาะจะตรงกับพหุนามขั้นต่ำของAกล่าวคือ พหุนามขั้นต่ำมีดีกรีn${\displaystyle p(x)}$
• การแมปเชิงเส้นทำให้เกิดโมดูลวัฏจักรซึ่งมีฐานในรูปแบบหรือเทียบเท่ากับโมดูล${\displaystyle A:F^{n}\to F^{n}}$${\displaystyle F^{n}}$${\displaystyle F[A]}$${\displaystyle \{v,Av,\ldots ,A^{n-1}v\}}$${\displaystyle F^{n}\cong F[X]/(p(x))}$${\displaystyle F[A]}$

ถ้าเงื่อนไขข้างต้นเป็นจริง ก็จะกล่าวได้ว่าAไม่ใช่คำที่มีความหมายเชิงลบ

ไม่ใช่ว่าเมทริกซ์จัตุรัสทุกเมทริกซ์จะคล้ายกับเมทริกซ์คู่ แต่เมทริกซ์จัตุรัสทุกเมทริกซ์จะคล้ายกับ เมทริกซ์ บล็อกแนวทแยงที่สร้างจากเมทริกซ์คู่ หากเรากำหนดเงื่อนไขเพิ่มเติมว่าพหุนามของแต่ละบล็อกแนวทแยงต้องหารบล็อกถัดไปลงตัว พหุนามเหล่านั้นจะถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันโดยAและ นี่ทำให้ได้รูปแบบมาตรฐานเชิงตรรกะของA

รากของพหุนามลักษณะเฉพาะคือค่าไอเกน ของ${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle C(p)}$

ถ้ามีค่าไอเกนที่แตกต่างกันn ค่า แล้ว เมทริกซ์ สามารถ ทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้เป็น โดยที่Dคือเมทริกซ์ทแยงมุม และVคือเมทริกซ์แวนเดอร์มอนด์ที่สอดคล้องกับ ค่า λ : อันที่จริง การคำนวณที่ค่อนข้างยากแสดงให้เห็นว่าเมทริกซ์ทรานสโพสมีเวกเตอร์ไอเกน ที่ มีซึ่งเป็นผลมาจากดังนั้น เมทริกซ์ เปลี่ยนฐาน ที่ทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุม คือหมายความว่าและเมื่อทำการทรานสโพสทั้งสองข้างจะได้เราสามารถอ่านเวกเตอร์ไอเกนของที่มี ได้จากสมการ: พวกมันคือเวกเตอร์คอลัมน์ของเมทริกซ์แวนเดอร์มอนด์ผกผันเมทริกซ์นี้เป็นที่รู้จักอย่างชัดเจน ทำให้ได้เวกเตอร์ไอเกนที่มีพิกัดเท่ากับสัมประสิทธิ์ของพหุนามลากรางจ์ หรืออีกทางหนึ่ง เวกเตอร์ไอเกนที่ปรับขนาดแล้วจะมีสัมประสิทธิ์ที่ง่ายกว่า ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$${\displaystyle C(p)}$${\displaystyle C(p)=V^{-1}\!DV}$$${\displaystyle D={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&0&\!\!\!\cdots \!\!\!&0\\0&\lambda _{2}&\!\!\!\cdots \!\!\!&0\\\vdots &\vdots &\!\!\!\ddots \!\!\!&\vdots \\0&0&\!\!\!\cdots \!\!\!&\lambda _{n}\end{bmatrix}},\qquad V={\begin{bmatrix}1&\lambda _{1}&\lambda _{1}^{2}&\!\!\!\cdots \!\!\!&\lambda _{1}^{n-1}\\1&\lambda _{2}&\lambda _{2}^{2}&\!\!\!\cdots \!\!\!&\lambda _{2}^{n-1}\\[-1em]\vdots &\vdots &\vdots &\!\!\!\ddots \!\!\!&\vdots \\1&\lambda _{n}&\lambda _{n}^{2}&\!\!\!\cdots \!\!\!&\lambda _{n}^{n-1}\end{bmatrix}}.}$$${\displaystyle C(p)^{T}}$${\displaystyle v_{i}=(1,\lambda _{i},\ldots ,\lambda _{i}^{n-1})}$${\displaystyle C(p)^{T}\!(v_{i})=\lambda _{i}v_{i}}$${\displaystyle p(\lambda _{i})=c_{0}+c_{1}\lambda _{i}+\cdots +c_{n-1}\lambda _{i}^{n-1}+\lambda _{i}^{n}=0}$${\displaystyle V^{T}=[v_{1}^{T}\ldots v_{n}^{T}]}$${\displaystyle C(p)^{T}=V^{T}D\,(V^{T})^{-1}}$${\displaystyle C(p)=V^{-1}\!DV}$${\displaystyle C(p)}$${\displaystyle C(p)(w_{i})=\lambda _{i}w_{i}}$${\displaystyle C(p)=V^{-1}\!DV}$${\displaystyle V^{-1}=[w_{1}^{T}\cdots w_{n}^{T}]}$${\displaystyle w_{i}=(L_{0i},\ldots ,L_{(n-1)i})}$$${\displaystyle L_{i}(x)=L_{0i}+L_{1i}x+\cdots +L_{(n-1)i}x^{n-1}=\prod _{j\neq i}{\frac {x-\lambda _{j}}{\lambda _{j}-\lambda _{i}}}={\frac {p(x)}{(x-\lambda _{i})\,p'(\lambda _{i})}}.}$$${\displaystyle {\tilde {w}}_{i}=p'\!(\lambda _{i})\,w_{i}}$

ถ้ามีรากหลายราก จะไม่สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ แต่รูปแบบมาตรฐานจอร์แดนของ จะมี บล็อกจอร์แดนหนึ่ง บล็อก สำหรับแต่ละรากที่แตกต่างกัน ถ้าจำนวนรากคือmบล็อกจะเป็นเมทริกซ์ m × m ที่มี บนแนวทแยงมุม และ 1 ในรายการเหนือแนวทแยงมุม ในกรณีนี้Vจะกลายเป็นเมทริกซ์ Vandermonde ที่ต่อเนื่องกัน^{[ 2 ]}${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle C(p)}$${\displaystyle C(p)}$${\displaystyle \lambda }$

ลำดับเวียนเกิดเชิงเส้นที่กำหนดโดยสำหรับมีพหุนามลักษณะเฉพาะซึ่งเมทริกซ์ทรานสโพสคู่ของมันสร้างลำดับ: เวกเตอร์เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์นี้ โดยที่ค่าลักษณะเฉพาะเป็นรากของการกำหนดค่าเริ่มต้นของลำดับให้เท่ากับเวกเตอร์นี้จะสร้างลำดับเรขาคณิตที่สอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิด ในกรณีที่ มีค่าลักษณะเฉพาะที่แตกต่างกัน nค่า คำตอบใดๆสามารถเขียนได้เป็นผลรวมเชิงเส้นของคำตอบเรขาคณิตดังกล่าว และค่าลักษณะเฉพาะที่มีค่าบรรทัดฐานเชิงซ้อนมากที่สุดจะให้การประมาณเชิงอะซิมโทติก ${\displaystyle a_{k+n}=-c_{0}a_{k}-c_{1}a_{k+1}\cdots -c_{n-1}a_{k+n-1}}$${\displaystyle k\geq 0}$${\displaystyle p(x)=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}+x^{n}}$${\displaystyle C(p)^{T}}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{k+1}\\a_{k+2}\\\vdots \\a_{k+n-1}\\a_{k+n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\\-c_{0}&-c_{1}&-c_{2}&\cdots &-c_{n-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{k}\\a_{k+1}\\\vdots \\a_{k+n-2}\\a_{k+n-1}\end{bmatrix}}.}$$${\displaystyle v=(1,\lambda ,\lambda ^{2},\ldots ,\lambda ^{n-1})}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle a_{k}=\lambda ^{k}}$${\displaystyle a_{k}}$

ในทำนองเดียวกันกับกรณีการเวียนเกิดเชิงเส้นข้างต้น ให้พิจารณาODE เชิงเส้นเอก พันธุ์ อันดับnสำหรับฟังก์ชันสเกลาร์: ซึ่งสามารถอธิบายได้อย่างเทียบเท่าว่าเป็นระบบ ODE เชิงเส้นเอกพันธุ์คู่อันดับ 1 สำหรับฟังก์ชันเวกเตอร์: โดยที่คือเมทริกซ์คู่สลับตำแหน่งสำหรับพหุนามลักษณะเฉพาะ ในที่นี้สัมประสิทธิ์อาจเป็นฟังก์ชันก็ได้ ไม่ใช่แค่ค่าคงที่ ${\displaystyle y=y(t)}$$${\displaystyle y^{(n)}+c_{n-1}y^{(n-1)}+\dots +c_{1}y^{(1)}+c_{0}y=0.}$$${\displaystyle z(t)=(y(t),y'(t),\ldots ,y^{(n-1)}(t))}$$${\displaystyle z'=C(p)^{T}z}$$${\displaystyle C(p)^{T}}$$${\displaystyle p(x)=x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{1}x+c_{0}.}$$${\displaystyle c_{i}=c_{i}(t)}$

ถ้าสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ การเปลี่ยนฐานที่ทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมจะแปลงเมทริกซ์นี้ให้เป็นระบบที่ไม่เชื่อมโยงกัน ซึ่งเทียบเท่ากับสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับหนึ่งแบบเอกพันธุ์เชิงสเกลาร์หนึ่งสมการในแต่ละพิกัด ${\displaystyle C(p)^{T}}$

สมการที่ไม่เป็นเอกพันธุ์ เทียบเท่ากับระบบสมการ: โดย มีพจน์ความไม่เป็นเอกพันธุ์$${\displaystyle y^{(n)}+c_{n-1}y^{(n-1)}+\dots +c_{1}y^{(1)}+c_{0}y=f(t)}$$$${\displaystyle z'=C(p)^{T}z+F(t)}$$${\displaystyle F(t)=(0,\ldots ,0,f(t))}$

เช่นเดียวกัน การเปลี่ยนฐานแบบทแยงมุมจะเปลี่ยนสิ่งนี้ให้กลายเป็นระบบแยกส่วนของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับหนึ่งแบบไม่เอกพันธุ์เชิงสเกลาร์

ในกรณีที่ค่าลักษณะเฉพาะเป็นรากเชิงซ้อนของเอกภาพเมทริกซ์คู่และเมทริกซ์สลับเปลี่ยนของมันทั้งคู่จะลดรูปเป็นเมทริกซ์เลื่อน วัฏจักรของซิลเวสเตอร์ ซึ่ง เป็นเมทริกซ์วงกลม${\displaystyle p(x)=x^{n}-1}$

พิจารณาพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์ในฟิลด์และสมมติว่าไม่ สามารถแยกตัวประกอบ ได้ในริงพหุนามแล้วการต่อรากของจะสร้างส่วนขยายฟิลด์ซึ่งเป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือที่มีฐานมาตรฐานแล้วการแมปการคูณเชิงเส้น -linear ${\displaystyle p(x)=x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots +c_{1}x+c_{0}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle F[x]}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle K=F(\lambda )\cong F[x]/(p(x))}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \{1,\lambda ,\lambda ^{2},\ldots ,\lambda ^{n-1}\}}$${\displaystyle F}$

${\displaystyle m_{\lambda }:K\to K}$ กำหนดโดย ${\displaystyle m_{\lambda }(\alpha )=\lambda \alpha }$

มีเมทริกซ์n × nเมื่อเทียบกับฐานมาตรฐาน เนื่องจากและนี่คือเมทริกซ์คู่ของ: สมมติว่าส่วนขยายนี้สามารถแยกได้ (ตัวอย่างเช่น ถ้ามีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์หรือ เป็นฟิลด์จำกัด ) จะมีรากที่แตกต่างกันโดยที่ ดังนั้น และมีฟิลด์แยกตอนนี้ไม่สามารถทำให้เป็นแนวทแยงมุมได้เหนือ; แต่เราต้องขยายมันไปยังแผนที่เชิงเส้น บน ซึ่งเป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือที่มีฐานมาตรฐาน ซึ่งประกอบด้วยเวกเตอร์แผนที่ที่ขยายแล้วถูกกำหนดโดย ${\displaystyle [m_{\lambda }]}$${\displaystyle m_{\lambda }(\lambda ^{i})=\lambda ^{i+1}}$${\displaystyle m_{\lambda }(\lambda ^{n-1})=\lambda ^{n}=-c_{0}-\cdots -c_{n-1}\lambda ^{n-1}}$${\displaystyle p(x)}$$${\displaystyle [m_{\lambda }]=C(p).}$$${\displaystyle F}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda }$$${\displaystyle p(x)=(x-\lambda _{1})\cdots (x-\lambda _{n}),}$$${\displaystyle L=F(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})}$${\displaystyle m_{\lambda }}$${\displaystyle F}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L^{n}\cong L\otimes _{F}K}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \{1{\otimes }1,\,1{\otimes }\lambda ,\,1{\otimes }\lambda ^{2},\ldots ,1{\otimes }\lambda ^{n-1}\}}$${\displaystyle w=(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})=\beta _{1}{\otimes }1+\cdots +\beta _{n}{\otimes }\lambda ^{n-1}}$${\displaystyle m_{\lambda }(\beta \otimes \alpha )=\beta \otimes (\lambda \alpha )}$

เมทริกซ์ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง แต่ดังที่กล่าวมาข้างต้น สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้โดยใช้เมทริกซ์ที่มีสมาชิกใน: สำหรับเมทริกซ์ทแยงมุมและเมทริกซ์ Vandermonde Vที่สอดคล้องกับสูตรที่ชัดเจนสำหรับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ (เวกเตอร์คอลัมน์ที่ปรับขนาดของเมทริกซ์ Vandermonde ผกผัน ) สามารถเขียนได้ดังนี้: โดยที่คือสัมประสิทธิ์ของพหุนาม Lagrange ที่ปรับขนาดแล้ว ${\displaystyle [m_{\lambda }]=C(p)}$${\displaystyle L}$$${\displaystyle [m_{\lambda }]=C(p)=V^{-1}\!DV,}$$${\displaystyle D=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})}$${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in L}$${\displaystyle V^{-1}}$$${\displaystyle {\tilde {w}}_{i}=\beta _{0i}{\otimes }1+\beta _{1i}{\otimes }\lambda +\cdots +\beta _{(n-1)i}{\otimes }\lambda ^{n-1}=\prod _{j\neq i}(1{\otimes }\lambda -\lambda _{j}{\otimes }1)}$$${\displaystyle \beta _{ij}\in L}$$${\displaystyle {\frac {p(x)}{x-\lambda _{i}}}=\prod _{j\neq i}(x-\lambda _{j})=\beta _{0i}+\beta _{1i}x+\cdots +\beta _{(n-1)i}x^{n-1}.}$$

สามารถคำนวณเมทริกซ์คู่ได้อย่างรวดเร็วโดยใช้อัลกอริธึมการคูณเมทริกซ์ที่รวดเร็วในเวลาที่กำหนดอัลกอริธึมที่เกี่ยวข้องมีอยู่ใน^{[ 3 ]}${\displaystyle O({n^{\omega }})}$${\displaystyle ~2.37\leq \omega <3}$

• เอนโดมอร์ฟิซึมของฟรอเบนิอุส
• ทฤษฎีบทเคย์ลีย์-แฮมิลตัน
• ปริภูมิย่อยครีลอฟ